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f
MÉMOIRES COURONNÉS
ET
MÉMOIRES DES SAVANTS ÉTRANGERS
PUBLIÉS PAR
L'ACADEMIE ROYALE
DES SCIENCES, DES LETTRES ET DES BEAUX-ARTS DE BELGIQUE.
MÉMOIRES COURONNÉS
ET
MÉMOIRES DES SAVANTS ÉTRANGERS
PUBLIÉS PAR
L'ACADEMIE ROYALE
DES SCIENCES, DES LETTRES ET DES BEAUX-ARTS DE BELGIQUE.
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MÉMOIRES COURONNÉS .--/-^-^
ET
MEMOIRES DES SAVANTS ÉTRANGERS
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PUBLldS PAA
L'ACADÉMIE ROYALE
DES SCIENCES, DES LETTRES ET DES BEAUX-ARTS DE BELGIQUE.
^RRUXELLES,
F. HATEZ, IHPRIMEUn DE l'aCADÉHIE ROYALE DBS SCIENCES, DES LETTRES
ET DES BEAUX-ARTS DE BELCIQUE.
rue de LouTaiu, 108
1889
*■ . •* s
♦^ jbL 26 1890
^^yOC'Pt
TABLE
DBS
MÉMOIRES CONTENUS DANS LE TOME LI.
CLASSE DES SCIENCES.
0 \ Sur l'influence du frotlement et des actions mutuelles intërieures dans les mouvements
périodiques d*un système. — Application au sphéroïde terrestre; par E. Ronkar.
G t2. Nouveaux éléments de Torbite de la planète (\S\) Eucharis; par L. de Ba|l.
O 0. Démonstration pratique de Texistcnccde la nutation diurne; par L. Niesten.
0 4. Mémoire sur quelques formules de calcul intégral; par J. Beaupain.
Q5. Recherches sur les jeunes Palmiers (avec 4 planches); par Henri Micheels.
OG. Nouvelles recherches sur quelques formules de calcul intégral; par J. Beaupain.
^7. Ensemble des observations physiques d^la planète Mars faites à Louvain en 1888 h l'Équa-
torial de huit pouces de Grubb (avec 2 planches); par F. Terby.
0 8. Sur la généralisation des semi-invariants; par Jacques Deruyts.
09. Sur la transformation linéaire de la théorie des covariants; par Jacques Deruyts.
QiO. Sur la loi de formation des fonctions invariantes; par Jacques Deruyts.
clj
G
SUR
L'INFLUENCE DU FROTTEMENT
ET DES
ACTIONS MUTUELLES INTÉRIEURES
DANS
LES MOUVEMENTS PERIODIQUES D'UN SYSTÈME
APPLICATION AU SPHÉROÏDE TERRESTRE
PAR
E. RONKAR.
INGÉNIEUR HONORAIRE DES MINE89
DOCTEUR EN SCIENCES PHYSIQUES ET MATHÉMATIQUES,
CHARGÉ DE COURS A L*UNIVERSITÉ DE LIÈGE.
(Préseoué à Ir Classe des sciences, dans la séance du 7 Janvier 1888.)
TOMB LI i
SUR
L'INFLUENCE DU FROTTEMENT
ET DES
ACTIONS MUTUELLES INTÊKIEUKES
DANS
LES MOUVEMENTS PÉRIODIQUES D'UN SYSTÈME
' ■ •
APÎMJCATION Al SPHEKOIDE TERRESTRE
§ I. — Sur l'effet du frottement intérieur.
Considérons d'abord le mouvement de deux poinls matériels libres
m(xy y y z) et m' a?', y\ 2'), soumis chacun à Taclion d'une force de nature
périodique ainsi qu'a celle d'un froUemenl dont la grandeur dépend de leur
vitesse relative. Admettons, par exemple, que ce frottement est proportion-
nel; pour chacun des points, à la vitesse relative de l'autre, et que la force
qu'il exerce est dirigée suivant cette dernière vitesse. D'après cela, la force
de frottement f qui agit sur le point m aura pour composantes suivant
les axes :
Idx' ds\
Idz' dz\
l étant une constante positive.
SUR L'INFLUENCE DU FROTTEMENT, etc.,
Les composanics de la force de froltemciU qui agit sur m' seroul :
Pour généraliser un peu la question, nous pouvons prendre :
(dx'
A=«h7-
rfx\
dï)'
fy
f.
iày'
dll
tdz' dz\
\dt'"dt]
Soîenl mainlenanl F„ F^, F„ les composâmes de la force périodique agissant
sur m^ cl F^, Fy,, F^, celles de la force périodique qui agit sur w' ; nousaurons :
— = F -f- {
'" ;^ = P' -^ A
1
m
m
- F, H- /;
m
m
F.. H- /•..
m
Ai
(Pz-
Ip
T — l'y' "♦■ /f' )•
= F,. ♦-/;.
Nous voyons tout de suite, en nous reportant aux expressions des forces ^
qu'il suffit d'examiner simultanément les premières équations de ces deux
groupes qui sont relatives à la direction x; ce que nous en déduirons pourra
s'appliquer aux directions des // et des z, en tenant compte des valeurs
particulières des constantes, qui peuvent différer pour las trois directions
coordonnées.
Posons :
T'
il vient :
d'x
^ 2t(/ — X) dx dx\
r/l* ^ ï \dt iU I
««'
rf'x
fil •— — tssz > a cos
ih^ ma
dt
ï
r
\ <n di I
DANS LES MOUVEMENTS PÉRIODIQUES DUN SYSTÈME 5
Il s'agit dlnlégrer ces équations.
En les ajoutant membre à membre et intégrant, il vient :
A étant une constante.
En divisant respectivement par m et m' les deux équations et les retran
chant Tune de Tautre, on obtient :
Remarquant que le facteur d'intégration est :
2t II — À)
cos
nous aurons :
\dt dtl ^mj T
^^ tn ^/ T
dt
A' étant une constante.
Or on a en général :
q
sin ni -4- -cos ni
H
Par suite, on a :
/ — i' T (\ \\ «— >'
sin "In -=:, — *- :r- « — • ; cos ^jt —- —
r 2ff \m ml T
f/x' dx
I T'
\2r/ \m ml
. ^ t — X T / 1 I \ ^ « — A
sin 2t H al — I : cos 2t — r—
T "-lit \m mV T
l/l •■ In
'« . I
1\
A f ^"* * •
SUR L'INFLUENCK DU FROTTEMENT, kic.
Combinant cctie équation avec ré(|ualion (4 ), on pourra calculer ^ cl —
Pour simplifier les noialions, posons :
T / I i\ , T [ \
2t \m ml tTT \m
I
m m
lift*
Nous aurons d'abord en calculant -7- :
r//
^ 2t t
^ tfT f — i
-4- > -— sin a*- — H A,
fW
^ îr I -^ r
« . M,
wi'A c
Si nous groupons les termes de cette équation, il viendra :
dx ^uïVI m I \ . < — >i m' * « ^ — ^1
(w -4- w ) — = > — M « : sin 2t ^ -cos 2?: — - —
-^ > f sin !2t cos 2t -— —
^ :l7r \} \ -t-fV T' I -♦-*•'* T' J
-+- A — m'\'p.
-O^.)'
On obtiendrait une expression analogue pour ^^-
Nous pouvons distinguer trois parties dans la valeur de ~ : la première
provient de F„ la deuxième de F,.; la troisième ne dépend que du frottemenl.
Examinons d'abord la première partie que nous désignerons par ^;j^j; nous
avons :
iix'
, m -\- m ^ :ir [\ m 1 -+- r/ T m I -+- r T J
Posons :
m' I "l'KfA
\ H =r p ros
Wl I -4- f"* T
r
m e . 2TU
v>.
— ^^ p siii
/
DAJNS LES MOUVEMENTS PÉKIODIQUES D'UN SYSTÈME.
îf viendra :
_- = . > — p siii 2îr -
Differenliant celte expression el miiilipiiant par m, on a :
/d*x\ Ml —, ( > -4- /K
Comparons le terme de période T de celle expression, savoir :
n. e=a fl . a COS ÎtT '- »
•^ m-^m'^ T
avec le lerme correspondanl de F^, c'esl-à-dire :
Nous voyons d'abord que dans ^„ Pamplilude de la force est réduite dans
le rapport :
m
m H- m
En outre, il y a une varialion de phase dans Taclion de celte force;
Tavance angulaire qui en résulle esl ^.
Des équations ci-dessus, on tire d'ailleurs :
l r m' /m'\n
i -f. f * L m \m /
m'
— e
III
Pour nous faire une idée de la manière dont varienl ces quantilés, nous
ferons quelques hypothèses particulières.
8 SUR L INFLUENCE DU FROTTEMENT, ne,
Supposons d^abord que T soit suffisamment petit pour que Ton puisse
négliger e devant Tunilé; nous aurons :
m'
m
m'
fA m
m
On conclut de là que la variation de la phase tend vers zéro, à mesure
que T diminue.
Ensuite, il vient :
Ainsi donc, à la limite ^, = g.
En d'autres termes, la force g exerce son action sur le point m, comme si
ce point était entièrement libre; Faction du frottement exercé par m' dis-
paraît.
Supposons maintenant que T croisse, de sorte que e soit 1res grand par
rapport à d + — ; nous aurons :
m
^«^; ^ — f
m -¥- m'
"iiFfjL _ m' \
On voit que la variation de la phase diminue à mesure que T augmente.
Ensuite, la valeur de 6 indique que, au point de vue de l'action exercée sur
m, les choses se passent comme si la force g s'était répartie sur les masses
m et m* proportionnellement à ces masses; ou si Ton veut, on peut dire que
cette action s'exerce comme si m entraînait ?n' dans son mouvement.
Entre ces deux cas limites, on a toujours :
m
m -f- m'
)
t
i
DANS LES MOUVEMElNTS PÉRIODIQUES D'CIN SYSTEME »
p décroissanl à mesure que T augmente; on peut alors poser :
m -4- wi|
De sorte qu'au point de vue de Tintensilé^ Taelion de g s'exerce de la même
manière que si m entraînait une partie m^ de la masse de m'; cette partie
entraînée croît avec T.
Quant à la variation de phase dans Faction de g , elle est nulle pour
T = 0; elle croît d'abord avec T, passe par un maximum pour ê=^ i + ~ t*e
qui donne :
9»
^ m
puis elle décroît de nouveau, et s'annule pour T = oc .
Remarquons tout de suite que l'accroissement du coeflicient a, entraine les
mêmes conséquences que l'accroissement de-T; si a est très grand, le mou-
vement aura toujours à peu près lieu. comme si les points m et m' étaient
invariablement reliés; au contraire, si « décroîl, l'indépendance des mouve-
ments de m et de m' s'accentue, de la même manière que quand T décroît.
Passons maintenant à l'examen de la seconde partie de -; désignons-la
par \^\ , et nous aurons :
dx\ \ ^a'T V Tr . « ^ — ^ es ' — >
— = > ; c'sn27r — cos2t-— —
Posons :
e'=o' eosSar — » { = p' sinâT-;;
T' ' 1
il viendra :
1 £
Enfin :
/, m -f- m •^ 2rr
di If m -f- m' ^ 2rr y/^
fo^ME Ll
- SU! 2t
+ e'^
10 SUR LINFLUEJNCE DU FROTTEMENT, etc.,
On en déduit :
e' ^ e — X'— f*'
— = ; z « cos 2t —
Comparons encore le terme de période T' de cette expression^ c'est-à-dire :
m , e ^( — A — A4
QÎ= 7 g "" cos 2y t
^* m H- m' V/TT7^ T'
avec le terme correspondant de F,., savoir :
g =-a cos ;p
Nous constatons encore que le coefficient d'intensité a' de g' est réduit
dans le rapport :
a' îi
m -4- m |/ 1 ^, e«*
Il y a ensuite un relard angulaire de la phase^ représenté par an ^7.
Examinons encore quelques cas particuliers.
Si T' décroiti il en est de même de e', et à la limite^ on a :
Àinsi^ dans ce cas^ la forcer' n'a nulle action sur le mouvement du point m.
Si nous rapprochons ce résultat de celui que nous avons obtenu précédem-
ment par rapport à Faction de g^ lorsque T est petit^ nous pourrons dire :
En ce qui concerne la partie périodique du mouvement des points m et m',
on peut considérer ces deux points comme absolument indépendants pour les
termes à courte période.
Considérons maintenant le cas où T' est très grand; si Tunité devient
négligeable par rapport à e'^ il vient :
m m'
d'= ;, 2r- = 0.
m -¥■ m' T
DANS LES MOUVEMENTS PÉRIODIQUES DUN SYSTÈME, ii
La variation de la phase tend donc vers zéro. En outre/Faclion de ^'
sur m a lieu de la même manière que si celle force se réparlissail sur m
et m' proportionnellement ù ces masses.
Si nous rapprochons ce résullat de celui que nous avons obtenu précé-
demment pour Paclion de g lorsque T est très grand, nous pourrons dire :
En ce qui concerne la partie périodique du mouvement des points m
et m', on peut considérer ces deux points comme invariablement reliés entre
eux pour les termes à longue période.
Dans tout autre cas, on a :
m
0<f <
m -4- m
6' croissant au fur et à mesure que T augmente.
On pourrait poser
mi
e' = ; » m, < iM,
iifi -4- m
et considérer que dans son mouvement la masse m' entraine une partie m^
de la masse m.
Quant à la variation de la phase, elle varie de ^ à 0.
Nous pourrons donc dire :
Pour les termes à période moyenne, on peut considérer que chacune des
masses m et m' entraine dans son mouvement une partie de la masse de
l'autre d'autant plus grande que la période est plus grande; eti outre,
faction de la force se produit avec une certaine variation dans la phase. .
Il nous reste à examiner la troisième partie de •£, savoir :
\dl /, m -«- m' m -+- w'
•^j serait :
o.
j:i_A'e-'(^-*-^)'.
fw -♦- m m -♦- m
J2 SUR L'INFLUENCE DU FROTTEMENT, etc,
On voil d'abord que ces deux parties sont indépendantes des forces pério-
diques Fjp el F,,; à mesure que / augmente^ ces deux valeurs tendent vers la
même limite :
■ ■ >
m -♦- m'
de sorte qu'après un temps très long, on peul considérer les deux points
comme animés d'un mouvement uniforme de même vitesse ; outre ce mouve-
ment, chacun des points sera animé d'un mouvement oscillatoire déterminé
par les forces F^ et F^^., ainsi que nous venons de le voir.
Comme nous Pavons déjà fait remarquer, les mêmes conclusions sont
applicables aux mouvements parallèles aux axes des y et des 2;; il y a seule-
ment à tenir compte de la valeur plus ou moins grande du coefficient de
frottement pour ces diverses directions.
Occupons-nous maintenant d'un cas qui diiïère un peu du précédeni,
mais qui s'y ramène néanmoins. Supposons que les points m et m' sont
animés chacun d'un mouvement sensiblement uniforme el rectiligne (*). Ce
mouvement est troublé par l'action de forces perturbatrices très petites et
de nature périodique; elles sont données en fonction de la position des points.
En outre, nous admettons l'existence d'un frottement de même nature que
celui considéré jusqu'ici. Pour ne pas compliquer inutilement les notations el
les calculs, nous poserons simplement :
F, = a cos pu ; F^ = 0 ;
• * ■
li esl un coefficient très petit, u est une fonction linéaire de (xy y, ^,)
Çpc\y\ z^y On reconnaîtra aisément par la suite que le problème se résou-
drait de même si F^ et F^ se composaient chacun d'une série de termes de
cette forme.
Les mouvements des deux points étant sensiblement uniformes, nous
|)ouvons poser :
^ élanl une quantité très petite.
*) Ou du moins qu'on peut considérer conime tel dans un intervalle de temps donné.
DANS LES iMOUVEMENTS PÉRIODIQUES D'UN SYSTEME i5
Les équalions des mouvements des deux points sont donc :
m ,
dt
— =s a C08 I Stt -- — h (^ -♦-«-; T-
t* \ T / \dl dl I
m ' ,
di
Si Ton néglige J dans une première approximalion, les équations auront la
forme de celles du cas traité précédemment et nous pourrons les remplacer
par les suivantes :
m — - = aacos2fr h A ac ^^ * ,
dl^ T
nv -—- «o»! cos 2r A «e v- - v
c/«* T
OÙ G^ Oyy iJLy //.| ont des significations connues en fonction de ol et T.
En intégrant^ il vient comme plus haut :
m-«=ae — sinSîT -^ A' -c ^"' ""^ -♦- A
m
rf/ âîT T m -¥■ m' m -h m'
puis :
mx
= — fld — cos2t ^ ^- — : e V-."*"-'; ^a I-4-C,
v2nl T a \m -♦- m / m -f- m'
C étant une constante.
On obtiendrait des équalions analogues pour ^ et x'; et de même pour
les autres axes coordonnés.
Puisque nous avons supposé d^abord que les mouvements étaient uni-
formes et reclilignes^ x elti sont des fonctions linéaires de ly et on peut écrire :
mj=.y(( — X)(7 +t?,
a étant un coefliciei)t numérique, et v une quantité de même nature que i.
U SUR JL'INFLUENCE DU FROTTEMENT, etc.,
On peut prendre d'abord :
/T\« t + fc-x A'/ mm' \« -.(l+-|,)i
\zir/ T a \m -I- m /
si les termes considérés sont très petits.
Considérons le terme périodique :
a» y eos -L-^^ -' .
Si par la nature de la question T est pelil^ on sait que 6 se rapproche de
Tunité^ et si en outre a est petit^ le ferme considéré est toujours très petit
el peut être conservé dans la valeur de t^.
Si, au contraire, T est très grand, 5 est à peu près égal à ^^^r, pour que
le terme considéré soit très petit, il faut donc que a soit excessivement petit,
ce que nous supposons dans le problème proposé.
Le terme :
\al \m -♦- m'I
'à'\
est petit, si le coeflicienl (-] est suffisamment petit; nous avons vu
qu'abstraction faite des termes périodiques. A' est petit si, dans Tétat initial,
les deux points ont sensiblement la même vitesse; en outre, le terme devient
petit au bout d'un temps / suffisamment grand.
Telles sont les conditions que nous devons supposer remplies, pour que le
problème puisse être résolu par la méthode approchée précédente. On pour-
rait alors obtenir une valeur plus approchée de x et de a?', en remplaçant t;
et par suite i par leurs valeurs.
Il est clair qu'on pourrait maintenant déterminer le mouvement des points,
si les forces périodiques étaient données, partie en fonction du temps, partie
en fonction de la position des points.
Après avoir examiné le mouvement de deux points matériels, m, m',
passons maintenant à l'étude du mouvement d'un système dans les mêmes
conditions.
DANS LES MOUVEMENTS PÉRIODIQUES D'UN SYSTÈME. iîJ
Pour cela, admellons d'abord qu'un troisième point m" Ça;*', y", z")
intervienne; ce point est soumis à Faction d'une force périodique (F,M,Fy.,,F,,r),
et agit par frottement sur les points m et 7n'; grâce à ce frottement, la force
(F^,, Fyf,, F^,f) exercera, en vertu de ce qui précède, une certaine action sur
les mouvements des points m et m', action qui dépend de la grandeur des
périodes des termes qui composent la force. On peut encore montrer que
cette action est sensiblement nulle pour les termes à courte période, tandis
que pour les termes à longue période, la masse m'' entraine, dans son mou-
vement, les masses m et m', comme si ces trois masses formaient un sysième
rigide.
Sans altérer la généralité de la question, nous pouvons poser :
F. = F.,= 0, F,.«o"cos — ;
les équations des mouvements des points seront de la forme :
(Px (dx dx\ Idx" dx\
df \dt di I '\dt dtl
, cTx' (dx dx'\ Idx" dx'\
'dF=*[dr-i[ri'^'''\'dr — w
,rfV (dx dx"\ [dx' dx"\ „ S^e
dl* \dl du \ dt dtl T"
On obtiendrait des équalions de même forme pour les axes des y et des z.
Recherchons d'abord les termes périodiques de ar, x*, x".
Posons :
dx V [ 2t< . 2tI\
m
—- A COS
!27r \ T"
(il !27r\ T" V I
dx' T" / 2ir« , . 2t( \
~ "A* sin— - .
T" / , 2ir«
— \' COS
2Tr \ T"
dl 27r\ T" '^ y I
dx" T" , 2t/
dl 2t \ T"
: sm----J
T"/
Substituons dans les équations précédentes et égalons, dans chacune d'elles.
16 SUR L'IISFLUEiNCE DU FUOTTEMENT, etc.,
É
les cocfficîenis de sin —^ el cos ~ dans les deux membres; nous aurons :
2r
^ ''•^ ;p' = * (^' — A*) -♦- «1 'a*" — A*)i
»» V .p; = « (X — X') ^ *, (A" - A'),-
--»»">"|^= ««(f*-OH- Mf-'-n^
d'où Ton lire d'abord :
mx -•- m'y 4- m "Ji" » 0,
«
fWfi 4-m/E&+m/K =tt.
En résolvant les six équations précédentes^ on obtient les (X^ a) en fonction
de a" et de T".
Examinons le cas où T" est très petit; on peut prendre :
X = X' = i"=0,
^ = ^' = 0, f^" = —;
m
On voit d'abord que le mouvement du point in^^ n'influe pas sur ceux de
m et de m\ Ensuite il vient :
dx" a" ï" . "Irl
dt m" '2n ^'" T"
d*x" , 2»rf
m" -7— =» a" eos -—-•
dl* T"
Ainsi donc, lorsque la période T'^ est très petite, on peut considérer les
mouvements des trois points comme indépendants, quant à la partie pério-
dique.
DANS LES MOUVEMENTS PÉRIODIQUES D UN SYSTÈME. 17
Supposons maintenant que T'' croisse de telle sorte que les quantités aV
soient très grandes; on satisfera aux équations en posant :
> == A'=.A"«0,
Les équations des mouvements des points deviennent alors :
m
rfC
o"
cos
m -♦-
m'
-h
rtrtf,
rf^x'
m'
t
2r{
m'
dC
^
o"
ces
m -1-
m'
-4- m
rjp/,
m"
tPx"
o"
m'
/
cos
ÎTf
dl*
m -h m'
-♦-
m"
1»//
Ainsi donc^ la force F,,, se répartit sur les trois points proportionnellement
à leurs masses et sans changement de phase. On peut donc^ dans ce cas^ en
ce qui concerne la partie périodique du mouvement^ considérer les trois
points comme invariablement reliés entre eux.
Les termes exponentiels du mouvement s'obtiendraient en satisfaisant aux
équations :
(Px fdx dx\ Idx" dx\
dC
d'x' Idx dx\ Idx" dx'
dx"'
m'-^-r- «=a,l-^ ^— I -*-a, 1-^ —
.,rfV' Idx dx"\ Idx' ri
d'où Ton tire d'abord :
dx , dx „ dx
m -- -4- m —r- -♦- »h — = A.
dt dt dt
Nous ne nous occuperons pas davantage de cette partie; mais il est évi
Tome LI 3
iS SUR L'INFLUENCE DU FROTTEMENT, etc.,
denl qu'au bout d'un (emps très long^ les vitesses des trois points tendent
vers une même limite indépendante des forces périodiques.
Si Ton pose en eiïet :
r/x dx' dx"
di dt dt
il vient^ en vertu des équations précédentes :
B =. B' « B
f »
fil -4- m' -H m''
Il est clair que nous pouvons encore étendre les considérations précédentes
au cas d'un nombre quelconque de points; en oulre^ au lieu de supposer
que les forces agissantes sont données en fonction du temps tyOn peut admettre
que les points ont des mouvements sensiblement uniformes et rectilignes, et
que ces mouvements sont troublés par Faction de forces perturbatrices très
petites^ de nature périodique et fondions de la position des points. Dans
Ions ces cas, l'action du frotlemenl qui s'exerce entre les points sera encore
telle, qu'en ce qui concerne la partie périodique du mouvement, les points
pourront être considérés comme indépendants pour les termes à courte
période, et comme invariablement reliés entre eux pour les termes à longue
période; pour les périodes intermédiaires, les points s entraînent plus ou
moins dans leurs mouvements, et cette action donne lieu à des variations de
phase dans Vaction des forces.
Ces résultats ont été obtenus^ en supposant que les composantes de la
force de frottement qui s^exerce entre deux points »? el m' sont de la forme :
Idi' dx\
'• ^ ' rf« dt
DAiNS LES MOUVEMENTS PERIODIQUES D'UN SYSTÈME. i9
Pour généraliser Texpression de la loi de rroUemeni, on pourrait prendre :
^'=''[iû—dïi'-'"\-dï-d{i^'''[in-drr
_ Idx' dx\ Idy' rfy\ Idz' dz\
^'=^\Ti-di]'^^'\Tt-d{]-*-^\iû~dir
'• ^\dt dt) ^'\di d(l ^'\dt dii
Prenons mainlenanl les équations du mouvement de deux points^ en
posant F, » acos-y^; nous pouvons provisoirement supposer nulles toutes les
autres composantes des forces ; nous aurons :
MI-— - =
d^
dt^
a cos —
r
A
m
=/i
f»
= A-
m
m
m'
rf*x'
di*
d'z'
IF
=-/:
=-/;
=-A
Si maintenant nous posons :
dx T / . 2ir(
--- = — A Slll
rf( Stt V T
dx
Jt
dl
dz
7t
27rA l
A* cos^J'
dy T [ , <jtxl 2t:A dl/' T / , . 2irl
dt 2t \ ' T T y • I A 2t \ * T
dz ï / . 27rf
-— = -- Xi sm -—
dl 2w V T
2rA
d(
d£
J ^^
ï /
= — V siiî
27r\
i
2tA
f*'cos— j»
, 2nA
T / . 2,/ , 2«rA
== — >i sin-—- + fit, cos -— >
2t \ T ^ Il
nous obtiendrons douze équations du premier degré pour déterminer les
coefficienis l et ^ly savoir :
'O G)
wA _ = a — ■ -*- « (a*' — A*) + «1(^1 — A«i) ■*- «i (a4 — /"t).
2t
2t
T
m'A' — =
fît Zt =
T
a(A' — A ) 4-«,(a; — ;i,) -♦- «i(>;- i,\
« (f* —A*') -♦- «1 {/t*i— A*l) -♦- «i (a« — a4),
a (i — A*) + a, (A, — A',) 4- «, (A, - a;), clc.
20 SUR L'INFLUENCE DU FROTTEMENT, etc.,
On reconnaît lout de suite que ces équations nous conduisent aux mêmes résul-
tats que précédemment; lorsqu'on suppose T très petite les mouvements des
points sont indépendants; si T est très grande le système se comporte comme
un système invariable. Ainsi^ la partie périodique du mouvement des deux
points et même d'un système de points reste soumise aux lois que nous avons
formulées précédemment.
Dans tous les calculs, précédents^ nous avons considéré comme constants
les coefficients de frottement «, /S, y.
Il nous reste à voir si nos conclusions s'appliquent encore au cas où ces
quantités varient avec le temps t, ou bien avec la position relative des points^
leurs vitesses^ etc.; ainsi^ par exemple^ on peut très bien admettre que le
frottement qui s'exerce entre deux points m et »i' dépend de leur distance^
notamment décroît avec cette distance et disparait au delà d'un certain
écartement.
Reprenons le cas du mouvement de deux points et posons simplement :
X 2îr/ dx' -dx\
- = acos-—- -i- a -i -7-1»
' T \di dtl
, d}x* _ tdx _ dx'\
~dî''^''\dî'^Til
On tire d'abord de là :
rfx dx' T . 2t( ^
dt rf< !2t T '
puis :
Idx dx'\ i\ \\ [dx dx'\ a ^itt
rf Idx dx'
Considérons d'abord a comme une fonction du temps l.
dT"" f/J ^^ l'équation (3) se compose d'abord
de l'intégrale générale de l'équation :
d (dx dx'\ fi ^\ (dx dx'\ _
ItUt'^ di),'^''\m'^m'l\dr^lû),'-'^'
(4)
DANS LES MOUVEMENTS PÉRIODIQUES D'UN SYSTÈME 21
intégrale qui est de la forme :
idt dl
L'intégrale de Téqualion (3) comprend^ en oulre^ un terme qui est une inté*
grale particulière de Péquation el qui ne provient que du terme additionnel
^ cos ^. Ainsi donc^ chacjue force périodique donne lieu à un terme spécial
dans Tinlégraie; seulement ce terme n'est plus entièrement périodique.
Dans le cas actuel, ce terme est :
f'if - î^flU - e-f«') " /'eus ^-^ e ./' (^ -*- ^>'
\di di 1^ m J 1
c/( . . . . (6)
On peut remarquer d'abord que Ton parviendrait à Téquation (4) en
laissant de côté le terme périodique dans les équations du mouvement. Le
terme (5) qui provient de celte équation (4) décroit indéfiniment, lorsque le
temps augmente, puisque, par la nature même du frottement, a est toujours
une quantité positive. Ce terme remplace, dans le cas actuel, le terme expo-
nentiel des calculs précédents.
Examinons le terme (6) et tâchons de le mettre sous la forme :
Idx dx'\ T / . 2;r«
4- i, COS Y
>l, et /Z| étant deux fonctions de / convenablement choisies; si nous substi-
tuons dans Péquation (3) et égalons les coefficients de cos -^ et sin ~ dans
les deux membres, nous aurons :
a l\ I \ T dx, T 1
_ « a - H- — I — i, 4- ^, -♦. — —
m \m ml 2t di 2ir
\m ml^w^ dt Stt
(7)
Les intégrales générales de ces équations comprennent d'abord les inté-
22 SUR L'INFLUENCE DU FROTTEMENT, etc.,
grales générales des équations :
/i 1 \ T . „ dL ï
0=a — H— — L-*-M + — —
\m ml î2t dt 2ir
[\ \\T . dM T
0=:« -H _M— L -»-—.—
\m m7î27r dt Î2ir
(8)
intégrales que nous représenterons par L et M. Les intégrales des équa-
tions (7) comprennent en outre deux termes spéciaux L^ et M| qui sont deux
solutions particulières de ces équations et qui ne proviennent que du terme
additionnel - .
Ovy dans le cas qui nous occupe^ nous devons prendre pour valeurs de
X, et /Al ces solutions particulières. En eiTel, on parviendrait encore aux mêmes
équations (7)^ si on voulait donner à l'intégrale générale de (3) la Tormc :
i— A, C08 —^ -+- U| sin
2t \ ' T '^
car en procédant comme pour 7., et /Z( on aurait :
a / 1 M , T , Ja; ï
ni \m ni / 2r dt ^n
o = « -^-U;- — a; .
\m m I Stt
rW T
(î>
d'où Ton tirerait
aJ = L -h L,,
Or L et M renfermant les constantes arbitraires^ la partie
— L cos H M SI
2t \ T
2irA
sin-j
ne peut conduire qu'au terme (5), tandis que L, et M, dépendant du terme
additionnel, la partie
'i' /, 2ir« . 2t/\
— L| COS -—- -4- M| sin -—- 1
2t \ T T /
correspond au terme (6), que nous voulons considérer.
/
DANS LES MOUVEMENTS PÉRIODIQUES D UN SYSTÈME. 23
Oq peut d'ailleurs vérilier direclemenl ces résultais.
Éliminons >i'| des équations (9), nous aurons :
* U m'I^n iii 2t ^' dt -Ir:'
en posant :
I \\i
Ml m / ^t:
H vieni ainsi :
^ttI (II* itT (Il Vix dt I m • • • • v«^;
ce qui nous donne^ pour calculer M^ Téquation :
[Tyd'U ^ T rfM „/T de , \
— -TT-^^e-- — -i-M — ~H-r-+- 1 = (Il)
V2rJ (//* ^7T dt \^v dl I ^ '
Prenons d'abord le cas où a et par suite e eslconslant; les deux équations
précédentes deviennent :
/T\«rrM T rfM
U- -77 -+- 2f 7- -^ M(t'-Hi) = 0 (13)
VlrJ dC "-Zr dt ^ ^ ^ ^
Posons M = e'*; nous aurons, pour déterminer y, l'équation :
d'où Ton lire :
l{ i\ 2«,/
^ = — a --4-— dr--K — I.
\w fW7 T
On a donc :
M -«(i-»-^.)' \r 2t/ ^, . 2;rn
M = e V- -^^ C^cos — ^C^sin —
2i SUR LINFLUENCE DU FROTTEMENT, etc.,
Si Ton dédiiil L à Taide de celte valeur de M, on a :
L = eM-+--- = c ^- -'^ C, cos -— — C, sin — ;
rf« 2t L T T J
puis il vient :
2îr \ T T / 2;: ^
ce qui est conforme a nos conclusions.
De Téqualion (12), on tire d'ailleurs aisément :
L. ==-
d'où :
a t al
• — — i t » ^ïi = — - : »
2W 2t/
sin-— --4-fcos
T /. 2;r/ ^, . 2t/\ a t T ï
— L. ros h M| siii — == .
2n \ T T / «J 2t ^ ^ s*
ce qui e$l bien le terme périodique que nous avons obtenu dans Thypo-
thèse de a constant.
Prenons maintenant le cas général. On satisfait à Téquation (il) en
prenant :
On peut donc prendre :
M = e
On en déduit :
U_,-/-(>-)''[cc.^-C,.i„^]
Et Ton a encore :
2ïr V ï T / 2» ^ '
DANS LES MOUVEMENTS PÉRIODIQUES D'UN SYSTÈME. 2«
Ainsi donc les valeurs L el M conduisent bien au lerme (5)/ Il reste à
calculer L, et M,. Pour cela, reprenons Téqualion (10), et tâchons d'y
satisfaire en prenant :
en considérant C| et C^ comme des variables.
Nous aurons
en posant :
dC, 2tI dC, . ^7:1
.-T-cos--— -4- -7- sin -— - = 0,
dt T dt T
•^ étant une quantité de la même forme que^.
Ensuite :
r == -TT- + e *^ — cos sin — I
' dl* l dt T dt T J
En substituant dans (10), il vient :
-7- cos -— sin -~- = e ^ ' .
(/« T dt T m T
Ensuite :
Ainsi :
— = — sin — t*^
dt m ï T
e/C, a in irt /*, !î «
— = cos — e ■•' ^
A m T T
C, = C, — - — / smY.rft.ey ^ ,
t. = C, ^ - •— / co» — - ./ft.e^ ^ ..
m Ij ï
Tome L1.
26 SUR L'INFLUENCE DU FROITEMENT, etc.,
On tire de là :
Mi-s-Y»-^ ' Isin— y C08 Y •«''•«•' — «>sy/*'"T '
a 2ff -A?^. r 2>r« /• 2ff< . A»fw. . 2irt /-. 2rt ^ A»-2:«"|
Enfin :
ainsi qu^on devait s'y attendre.
Si Ton suppose e constant, on retrouve encore :
M,.î '
mi-*-**
a f
ni I -♦- f *
Ainsi donc^ il est bien évident que nous devons prendre pour valeurs
de \ et ft| les valeurs de L| et M|.
Ceci établi^ passons à Texamen des divers cas.
Supposons d^abord que T soit très petit; les équations (7) pourront
di^ dt
s'écrire, si Ton suppose queaXi,a/z„ -^', -— restent finis :
a
fil
ces solutions satisfont aux conditions ci-dessus indiquées.
On a ainsi :
on en conclut :
m
fdx dx'\ a T 2jr/
DANS LES MOUVEMENTS PÉRIODIQUES D'UN SYSTÈME, 27
ainsi lorsque T est très petit, le terme provenant de la force redevient
simplement périodique et le mouvement a lieu comme si les deux points
étaient indépendants.
Considérons ensuite le cas où T est très grand, de sorte que aT a une
valeur très grande; si nous supposons que \ et ju, restent Gnis, les équations
se réduiront à :
a ^r fi 1 \ , rfA,
m T \m m'I dt
D'où Ton déduit, à la limite :
a
Al s: /it, = o-* — ; (ff s'annulant & la limite)
m
ces solutions satisfont en outre à la condition ci-dessus; on peut donc prendre :
m l-rr ) = a : COS-zrl m l -tt- i = CI 7 C08 -— -;
m -♦- m T
ainsi, lorsque T est très grand, les ternies provenant de la force rede«
viennent simplement périodiques, et les points se meuvent sous Tinfluence
de cette force, comme s'ils étaient invariablement reliés entre eux.
Pour les périodes intermédiaires, on peut encore considérer que les
points s'entraînent partiellement; mais cette fois, la partie entraînée varie
avec le temps /. Il y a aussi une variation de phase dans Faction des forces,
et cette variation est aussi fonction du temps.
Nous avons en effet :
on tire de là :
[tPx (Px'\ I T rfA,\ 2îrl IdfJLx T ,\ . 27r<
W c/t'jt \ Stt (/«/ T \rf( 2ïr V T
la \ 2ff« . 2jrl
28 SUR L'INFLUENCE DU FROTTEMENT, etc.,
On a en outre :
m -^-r -»- m — — >= a cos -—- »
dl* cft* T
ce qui donne :
inl , . 2rr|
cos -~- — fttim 8in -— ■ >
Il suffirait maintenant de mettre comme précédemment ces formules
sous la forme :
m
it)
=
2ir U —
0* cos — -
T
o
m'
D
, 2»(/ —
ai cos _
V)
pour connaître les coeflicienls d'action réciproque 0 et 0* ainsi que les avances
angulaires des phases, en fonction du temps /•
Ceci établi^ il importe de remarquer qu'on peut parvenir directement aux
équations (7) en partant des équations du mouvement. Posons en effet :
T ^ T y
(-1 - - (
dx'\ T / , 2n< , .
En procédant comme auparavant^ il viendra :
T dx , T 1
m/jL -♦- m —«. o -4- «(1 — A) —
ï r/A* , . T
> (ti)
T dx' T
m>' ■♦-m' = « (A — i') —
'^ 2r A ^ ^2t
— m'A' -♦- m' ^^%{fji^ fi') —
2r <// "^ '^^2t
DANS LES MOUVEMENTS PÉRIODIQUES D'UN SYSTÈME. 29
Si Ton posait mainlenant
;. — a' = A, et tt — ^' « lA,,
on relomberail évidemment sur les équations (7). Mais il est clair qu'on peut
traiter directement les équations (14) comme les équations (7); on les
résoudra et on prendra pour valeurs de l, X\ [i, fi', les termes^ qui dans les
intégrales générales de ces équations ne contiennent pas de constantes arbi-
traires et dépendent seulement du terme additionnel a. Ces termes sont,
comme on le sait, des solutions particulières des équations.
Ainsi, par exemple, si T est très petit, on aura :
^ ' , ,
fl ssa-^ , X Kss )i -xsz f^' tsa 0,
m
et il viendra comme précédemment :
m
((Px\ 2r< , ((Px'\
Au contraire, si T est 1res grand, il vient :
On a ainsi :
rfA
m =a(A'— A\
m — ^«(;— a),
A = A', fi = /*',
el, comme précédemment :
A, « ^, = 0.
Ainsi les résultais sont conformes aux précédents. Mais, on peut, par ce
30 SUR L1NFLUENCE DU FROTTEMENT, etc.,
dernier procédé^ généraliser encore davanlage la loi de frotlemenl ; on peut,
prendre :
Idx' dx\ fdy' dy\ Idz' dz\
^'"^'[li-^dll -^^^t'-dfl -^^'[lû-^dil'
a, a^y (Xj étant considérés maintenant comme des fonctions du temps t. Il est
facile de voir que les résultats généraux précédents ne sont pas altérés.
Le mode de calcul est analogue à celui que nous avons employé lorsque ces
coefficients étaient considérés comme constants^ sauf qu'ici il faut tenir
compte de ce que les quantités l, (i sont des fonctions du temps. On retombe
sur un système d'équations de la forme (li); équations que Ton peut traiter
de la même manière. Enfin, on peut étendre les mêmes considérations au
cas d'un nombre quelconque de points matériels.
Nous venons de supposer que les coefficients de frottement sont donnés
en fonction du temps; on peut aussi admettre que ces quantités sont des
fonctions données de la position relative des points, de leurs vitesses, etc.,
en d'autres termes, qu'ils sont fonctions des (ir, y, z,~, ..•^, ...). Dans ce
cas, les équations du mouvement ne sont plus linéaires; d'où il résulte que
chaque force périodique ne donne plus lieu, en général, à un terme séparé
dans l'intégrale. On peut, néanmoins, toujours Imaginer que les équations
du mouvement ont été résolues et qu'on connaît les {x, %jy z) en fonction
de /; cela étant, les coefficients de frottement seraient connus en fonction
de /, et on pourrait appliquer les méthodes précédentes. Chaque force
périodique donne lieu, dans cette manière de voir, à un terme spécial dans
le mouvement, terme à l'égard duquel on peut encore se représenter que
l'un des points entraîne partiellement les autres dans son mouvement; seule-
ment ici, la partie entraînée et la variation de phase dans l'action de la
force doivent être considérées comme dépendant de toutes les forces pério-
diques agissantes, et non uniquement de la force considérée, comme dans le
cas précédent. Quant aux cas des périodes très courtes ou très longues, il est
clair que les résultats précédents restent acquis.
Ainsi, dans tous les cas, si une force périodique de période très petite
agit sur les points du système, on pourra, dans la recherche du terme cor-
DANS LES MOUVEMENTS PÉRIODIQUES D'UN SYSTÈME. 3i
respondanl, considérer ce point comme indépendant des autres, pourvu
cependant qu'en vertu du mouvement même le coefficient de frottement
entre ce point et un autre ne tende pas à devenir inflniment grand à un
moment donné.
De même, si une force à longue période agit sur Tun des points, on peut
considérer, dans la recherche du terme correspondant, ce point comme
entraînant complètement tous ceux qui exercent sur lui une action de la
nature du frottement; il faut encore supposer que, dans le cours du mouve-
ment, et en vertu de celui-ci, le coefficient de frottement entre ce point et un
de ceux qu'il entraîne ne devient pas tellement petit que les quantités de
l'ordre «T ne soient plus très grandes; par exemple, cela arrive si un point
sort de la sphère d'action de l'autre. Remarquons encore que, pour que le
système entier se meuve comme invariable dans ce cas, il n'est pas nécessaire
que chaque point exerce un frottement sur tous les autres ; il suffit que
chaque point exerce une action de ce genre sur un nombre d'autres points
suffisant pour que l'on puisse considérer le système comme continu.
On peut encore admettre, dans ce qui précède, que certaines parties du
système se solidifient, ce qui revient à supposer qu'entre les points corres-
pondants les coefficients de frottement deviennent assez grands pour que
quel que soit T, le système de ces points puisse être considéré comme inva-
riable. Il ne s'agira plus, dans ce qui précède, que de considérer les mouve-
ments relatifs des points et des parties ainsi solidifiées, et on pourra appliquer
à ces mouvements relatifs les conclusions ci-dessus suivant la grandeur des
périodes des forces agissantes.
§ 2. — Sur l'effet des actions mutuelles intérieures.
Considérons deux points matériels m(x, y, z) et m'{x', y>, z'), soumis
chacun à l'action d'une force de nature périodique et entre lesquels agit en
outre une force centrale dont nous représenterons l'intensité attractive
par y(r), r étant la dislance des deux points.
32 SUR L'INFLUENCE DU FROTTEMENT, etc.,
Les équations du mouvement parallèle à Taxe des x seront de la forme :
(Px ,_va:' — X ^ 2t(( — J)
m -^ = f (r) -4- 5 « ^*
On tire d'abord de là :
ensuite :
aoos ^^ H-^û'cos 15 ; • • • (tî^)
-4- 1 N— (x — X ) «= > — COS 2w — > — cOS âsr
rf«« <//* \«i %n'l r^ ' ^m T ^ m' T
Il faut intégrer cette éqiiatioii. Avant de la traiter dans le cas général^
supposons d'abord qu'il s'agisse du cas simple^ où Ton a :
h étant une quantité positive.
H viendra :
— (x — x' H-A — -♦- — l(x — x' = \-cos2îr-— \_cos2ir , (tC)
L'intégrale générale de cette équation comprend d'abord l'intégrale géné-
rale de l'équation :
rf* I \ \\
dC^ ' \%n m'r ^
(17)
cette intégrale est
2irf , . 2irr
(x — x') = C| cos — -4- Lt sin — ,
en posant pour simplifier :
\m ml \t/
DANS LES MOUVEMENTS PÉUIODIQUES D UN SYSTÈME. 53
L'intégrale de Téquatlon (16) comprend, en outre, des termes spéciaux,
qui sont des solutions parliculières de celte équation et qui proviennent
seulement des termes additionnels des sommes :
— cos ZT et — > — cos St
m T ^m' r
Cherchons le terme correspondant au terme ^ cos 27r^-^ j en lui donnant
la forme ^(^]*cos 27r~, nous aurons, pour déterminer \ Téquation :
a
m
-ïï
i
Nous avons donc enfin l'intégrale générale de Péqualion (16)
t t
X — ac' = Cl sin 2^ — -f- C, cos 2ir -
T T
T'
I
-(t)"
On lire de là :
(^x d^x' /2t\« I* . ^H ^Irll
— -T- = — — Cl sin H C« cos
-— -cos2t > --COS27r
Combinant cetle équalion avec Téqualion (IS), il vient :
d^x /27r\« r t n
(m -♦- wi') — = — I — 1 m' G, sin 2t ~ -h Q cos 2t -
"-(;)
fi' / 1 \ COS 2îr
ToMB LI. 8
m /T\« I T
'■«'
34 SUR L'INFLUENCE DU FROTTEMENT, etc.,
On obtiendrait une valeur analogue pour •^.
Nous pouvons distinguer trois parties dans la valeur de^.
La première partie^ que nous désignerons pariai est :
On reconnaît tout de suite que cette partie, qui est périodique, est due à
Faction de la force centrale f (r).
La seconde partie de ^, que nous représenterons par l^\ , est :
f(Px\ _^ a I m' i y
t — â
COS Str — rr- •
Elle provient de la force périodique qui agit sur le point m.
Considérons le terme :
gtssacos zjT .
de cette force, et comparons- le au terme correspondant de m (^~] , savoir :
m I m' \ \ f — (?
jfj =, a ; / 4 -♦- — - \ COS 2t
m -¥- m \ m [Ty '
Les deux forces ne difTèrenl que par le coefficient d^intensité et non par
la phase.
Le rapport des amplitudes de g^ et de g est :
m / m'
m -i- m \ m
-(!)•
i
Pour nous faire une idée de la variation d^intensité^ examinons encore
quelques cas particuliers.
DANS LES MOUVEMENTS PÉRIODIQUES D'UN SYSTÈME. 55
Supposons d^abord que T soit (rès pelit^ sans que r le soit (ce qui exige
que h ne soit pas très grand vis-à-vis de m el de m'); on voit qu'à la limite
nous aurons :
Puisque, en outre^ il n'y a pas variation de phase, on en conclut que^ dans
ce cas, faction de la force g s'exerce sur le point m, comme si ce point
était indépendant de m\
Supposons maintenant, au contraire, que T soit très grand sans que r le
soit (ce qui exige que h ne soit pas trop petit) ; nous aurons à la limite :
m
6s=
m -4- m
L'action de la force g s'exerce donc sur le point m, comme si le point m' y
était invariablement relié.
Entre ces deux cas limites, on peut considérer que la massent' influe plus
ou moins fortement sur le mouvement de m; en d'autres termes, on peut
considérer que l'action de g sur m s'exerce comme si 7n entraînait une certaine
masse m^ qui dépend de m, de ?n' et de-.
Si l'on pose, en effet :
m
m -4- m,
il vient
m
nii = — m'-
0'
m
. - ,1)
m
On voit que l'expression de la masse entraînée est plus compliquée que
dans le cas de l'action du frottement.
Si nous attribuons à t une valeur finie, nous avons cependant^ comme
dans le cas du frottement
m, = 0, 6 = 1, lorsque T est très petit,
et
w, = m'y e = , lorsque T est 1res grand.
m -^^ m
36 SUR L'INFLUENCE l)U FROTTEMENT, etc.
Mais, enlre ces deux limites, on n'a pas toujours :
0 < m, < tw' et i > e >
m -♦- tw' '
m, peut même avoir des valeurs négatives.
Si T est plus petil que r^ m^ esl négatif et croit en valeur absolue, à
mesure que T croît.
Pour T = T, on a m^ = — m et e = c» . Malgré cette circonstance, il faut
remarquer que Ton peut mettre Tintégrale précédente sous forme finie.
Pour le montrer, ne conservons que le terme en question dans l'équa-
tion (16); celle dernière devient :
-- ix — X ) + h 1 \ ix — X ) «= — cos !2t — •
(tt^^ ' \m m'r m T
L'intégrale générale esl :
X — X = C| sin H L, cos 1 — —- ros Sir — - —
r * T mWi __r\y ï
Nous pouvons la mettre sous la forme :
X — x' = i\ — sin H Cfl cos —
'Iti t t
- n. te) 7J7TV r ^ vt "" — - ^" Y J ^ ^^^ T- r t - ^'^^ t JJ
en appelant Cq el Ci les valeurs initiales de (x — x') et de ^^^^" — .
Si maintenant nous faisons T == r, il vient :
(x — X } = tç — sin — -f- Cç coi*
2t t
a/T\*r 27r(jV 2W Ti !2ir/\ 2Tcf //rt . î2tA 1
— sin sin cos -»- cos l — sin — :
m \27r/ L r \ r r t / r Vr r / J '
DANS LES MOUVEMENTS PÉRIODIQUES D'UN SYSTÈME 37
On peut écrire celte équation sous la forme
(x — a? )=>Ci8iii — -H Cicos f.sinzT »
T T m4T T
C, et G^ étant deux constantes arbitraires.
On vérifie aisément que cette valeur de {x — .r') est la solution générale
de Téquation ci-dessus dans le cas où T = r. Cette circonstance , savoir
que 0 = Qo , s^explique par le fait que la force extérieure a cos ^ tend à
imprimer au point m un mouvement synchrone à celui que tend à lui
imprimer la force (p(r}. Il ne s'agit donc pas ici d'autre chose que d^une sorte
de phénomène de résonnance.
Lorsque T satisfait à Féquation :
m
on a :
[' - ïï.
H- W' = 0,
nii = db » et d = 0 .
Âinsi^ à cet instant^ Faction de la force g ne se fait plus sentir dans le
mouvement du point m.
Examinons maintenant la troisième partie de ^; en la désignant par /^] ,
Wl. ^m-^m' n'y T
'-(t)
Cette partie provient de la force périodique qui agit sur m'.
Considérons le terme :
•7 1%»
de cette force^ et comparons-le au terme :
(t)'
m \ T / t — «ï'
•'* m -^ m' TV T
qui lui correspond dans m (^j .
38 SUR L'INFLUENCE DU FROTTEMENT, etc.,
On voit d'abord que l'action de g^ s'exerce sans variation de phase ; mais
il y a une réduction d'intensité représentée par :
m -♦- m' t'— T
Si nous supposons que Ta une valeur finie différente de 0^ on a encore pour
r = 0, B' = 0;
et pour
m
r = oo, 6' =
m -4- m'
Ainsi lorsque T' est très petite l'action de g^ ne se fait pas sentir dans le
mouvement de m; au contraire^ si T' est très grande le point m' entraîne le
point m dans son mouvement, comme si ce dernier lui était invariablement
relié. Pour les périodes intermédiaires, on peut encore imaginer que le point
m' entraîne, dans son mouvement^ une masse m| dont la grandeur dépend de
m, de m' et de — .
En rapprochant ces résultats des précédents, nous pourrons donc dire :
En vertu de l'action de la force y, on peut considérer les points m et m'
comme indépendants relativement aux forces extérieures à courte période;
on peut les considérée' comme invariablement reliés entre eux, quand il s'agit
de forces extérieures à longue période; pour les forces à période inter-
médiaire, on peut supposer que chacune des deux masses m et m' entraine
une certaine masse complémentaire, dont la grandeur varie avec m, m' et
la grandeur de la période.
Il est bien entendu que la grandeur de la période se mesure par rapport
à la grandeur de la période r, qui résulterait de la seule action de la force f.
Il est clair aussi que l'on obtiendrait des résultats analogues pour les direc-
tions des y et des z.
Passons maintenant au cas d'un système de points.
Sans restreindre la généralité de la question, nous pourrons nous borner à
trois points, entre lesquels s'exercent des forces centrales, et nous supposerons
DANS LES MOUVEMENTS PÉRIODIQUES D'UN SYSTÈME. 39
qu^une force périodique extérieure agit sur Fun des points. Les équations
du mouvement parallèle à Taxe des x sont donc de la forme :
m -—- sa A (x' — X ) -t- A' (x" — X ) -\- a cos —
m' — = A (X — x') -4- A"(x' — ^') ),.... (18)
m" — ,- = A' (x — x") -f- h'\x' —x")
OÙ h, h\ A" sont des constantes positives.
Les intégrales générales de ces équations (48) comprennent d^abord les
intégrales générales des équations :
d*x
m — c= /è (x'— X ) H- A' (x"— x' )
dt* ^ '
d'x'
m' — =-A (x — x') + A"(x"-x') ) (\9)
m" -— == /i' (x — x") -+- h"(x' — x")
dt* ' ^ ,
Ces dernières font connaître les termes qui dépendent des forces (f; leurs
intégrales renferment les constantes arbitraires.
Les intégrales des équations (18) contiennent, en outre^ des termes spé-
ciaux^ solutions particulières de ces équations^ qui proviennent seulement du
terme additionnel a cos ^ .
Pour obtenir seulement ces termes^ posons :
cos -—
T
, / T \« M
x' = i' — cos — -
\2t/ T
40 SUR L'INFLUENCE DU FROTTEMENT, etc,
Nous aurons pour déterminer X ^ a', à", les équations suivantes :
— m X
y)* = * (^'- M -^ /*' l^"- O -^ « (y)*'
- '""'" (y)*= '''(^ -' ^") -*- ^'V -^")^
d'où l'on lire d'abord :
Si maintenant nous supposons que T soit très petit, sans que les quantités
h soient très grandes, nous pourrons prendre :
m
c'est-à-dire, que nous pourrons considérer les mouvements des points comme
indépendants.
Si, au contraire, nous supposons T très grand, de sorte que les quantités AT^
soient très grandes, nous aurons sensiblement
a
m •+- m' -4- m"
c'est-à-dire, que le mouvement aura lieu comme si les trois points m, m', m'^
étaient invariablement reliés entre eux.
Il est clair qu'on peut étendre les considérations précédentes au cas d'un
nombre quelconque de points et de forces extérieures périodiques.
Gomme, en outre, les résultats sont également vrais pour les directions
des y et des z, nous pourrons dire :
Dans un système de points matériels, en vertu de l'action des forces 9, on
peut considérer les points comme indépendants entre eux, quant à faction des
forces périodiques à courte période ; on peut les considérer comme invaria-
DANS LES MOUVEMENTS PÉRIODIQUES D'UN SYSTÈME. U
blement reliés entre eux, quant à l'action des forces à longue période. Quant
aux forces de période moyenne, on peut supposer que les points considérés
entraînent certaines masses fictives dont la grandeur varie avec la masse
des divers points et avec la grandeur des périodes.
Il est clair que la grandeur des périodes s'établit relativement à la grandeur
de celles qui pourraient résulter de Taclion seule des forces f. Âinsi^ il est
évident que Tindépendance du mouvement de deux points cesse d'autant
moins vite^ lorsque la période croit, que Fattraction ip est moindre entre ces
deux points; au contraire, plus grande est Fatlraction (f, plus vite tend*à
s'établir Tégalité du mouvem'ent des deux points, lorsque T augmente.
Dans tout ce qui précède, nous avons considéré la quantité h comme une
constante, la fonction 9 étant de la forme hr. Passons maintenant à Fexamen
du cas plus général où h est variable; admettons d^abord que h est une
fonction donnée du temps /.
Reprenons simplement le cas de deux points; on verra tout de suite qu'on
peut étendre le raisonnement au cas d'un nombre quelconque de points
matériels.
Nous aurons :
m --- = A (x — X ) -♦- acos —-
dC T .
j^, ^ )> (20)
m' -rr = h (x — x')
pour le mouvement parallèle à l'axe des x.
On tire d'abord de là :
cTx .cfx' 2tI
mvT -♦■w — T=«cos— -; (21)
dt* dt* T ^ '
ensuite :
^(x-x')-+-a(^-*-^)(^-x') = -cos^' (22)
• d** \m ml m T
Celte dernière équation est linéaire en x — x'. Son intégrale générale
comprend d'abord l'intégrale générale de l'équation :
Tome LI. 6
i2 SUR L'INFLUENCE DU FROTTEMENT, etc.,
à laquelle on parviendrait directement en négligeant, dans les équations du
mouvement, le terme a cos y-J nous désignerons par {x — x^\cei\A intégrale.
Lintégrale générale de (22) renferme, en outre, un terme spécial, solution
particulière de cette équation, qui provient uniquement du terme additionnel.
Désignons par [x — a?'), cette seconde partie de Tintégrale.
Nous voyons donc que chaque force périodique extérieure donne lieu à un
terme spécial, mais en général, ce terme n'est plus simplement périodique.
Cependant, essayons de le mettre sous la forme :
en considérant \ et (i^ comme des fonctions de t.
En substituant dans Féquation (22) et égalant les coefficients de cos ~ et
de sin y ^^^^ '^^ ^^"^ membres, nous aurons pour déterminer A| et /x, les
équations :
[ir^AlYi-^'m-A-"]
(i4)
en posant, pour simplifier :
Les intégrales générales des équations (24) renferment d'abord les inté-
grales générales Lo, Mq des équations :
(f.)'^-9?-^''[0'-]-«
Les intégrales générales de (24) renferment, en outre, deux termes
spéciaux Li et M^, solutions particulières de ces équations, qui proviennent
seulement du terme additionnel -.
m
DANS LES MOUVEMENTS PÉRIODIQUES D'UN SYSTÈME. 43
Il est clair que dous devons prendre :
En efTet^ si Ton posait :
(x — x)=~^A,cos — H-fA,sin— j.
on aurait pour V, e( i/.[ les mêmes équations (24), puis il viendrait :
aJ = Lo -4- L| , /Lcj = Mo H- M| .
Les parties L| etM|^ qui renferment les constantes arbitraires, ne peuvent
donner que :
(x— j;)o=^— j LoCosY-^MoSin — h
tandis que L, et M^ qui proviennent uniquement du terme additionnel,
donnent :
(X — x)i=-^^j lL,cos — -^-Misinyl
Il est d'ailleurs aisé de le vérifier, dans le cas où h est constant; on a alors :
^'[ïï-'Hi
D'où :
2t(
^ \2t/ m
T
ce qui est conforme aux résultats obtenus précédemment*
Cela étant, considérons de nouveau le cas où T est très petit, sans que z le
soit; les équations (24) deviendront, si A^, (i^ et leurs dérivées restent finis :
a
m
f*i=0.
U SUR L'INFLUENCE DU FROTTEMENT, etc.,
Alors il viendra :
/T\«o 2t<
d'où Ton (ire :
puis :
m
U- =acos-— î m' — - =0.
Donc^ dans ce cas^ raelion de la force périodique se traduit encore par un
terme périodique et les points m et m' sont indépendants dans leurs mou-
vements.
Passons maintenant au cas où T est très grand; alors les équations (24)
donnent^ si r n'est pas aussi très grand [ii,/*n ^, et ^' restant finis] :
d'A, /2n\' „
d'où Ton tire :
*f=0, f», = 0,
ou mieux
a a
fn ira
o et ai tendant vers zéro, lorsque T augmente.
Il vient alors :
•" t Jr ;rr;;r " ^'»'' t' "tir .irr^ « *•"'• t
Dans ce cas^ la force périodique donne donc lieu à un terme périodique,
et les points m et m' se meuvent comme s'ils étaient invariablement reliés
entre eux.
Pour les périodes intermédiaires, les masses m et m' ne sont plus indé-
pendantes; on peut se représenter chacune de ces masses comme entraînant
DANS LES MOUVEMENTS PÉRIODIQUES D'UN SYSTÈME 48
une masse variable dont la grandeur dépend des masses m et 7/1'^ et des
périodes T et r.
En outre, puisque, en général, on n^a pas /X) = 0, il y a une variation de
phase dans Faction des forces. Cette variation est aussi fonction du temps.
En procédant comme dans le cas où nous avons considéré Taction du
frottement, il ne serait pas difficile d'étendre ces résultats au cas d'un nombre
quelconque de points matériels.
On peut maintenant considérer le cas où h est une fonction des coordon-
nées des points mobiles. Ce cas se ramène aisément au précédent. Il suffit de
supposer que les équations du mouvement sont résolues et qu'on connaît les
(ar, y, z) en fonction du temps /.
Alors chaque force périodique donne encore lieu à un terme spécial. Seu-
lement on doit se figurer que, dans le mouvement, chaque point du système
entraine une masse dont la grandeur dépend des masses des divers points et
des périodes de toutes les forces périodiques. Il y a aussi une variation de
phase qui dépend des mêmes quantités. Pour les périodes très courtes ou
très longues, les résultats précédents restent évidemment acquis.
Ainsi donc, si Ton tient compte des attractions mutuelles d'un système de
points, on peut dire que, lorsqu'une force périodique à courte période agit sur
l'un d'eux, on peut le considérer comme indépendant des autres quant à
l'action de la force, sauf le cas où, en vertu du mouvement, l'action attrac-
tive exercée par un de ces autres points sur le point considéré devient
très grande. Au contraire, si une force à longue période agit sur un des
points, on peut considérer tous les autres points comme y étant invariable-
ment reliés, sauf naturellement ceux, qui en vertu du mouvement, viennent
à tomber hors de la sphère d'action du point qui subit l'action de la force.
Si l'on suppose que le coefficient d attraction h devient très considérable
entre deux points, on pourra, quel que soit T, considérer ces deux points
comme invariablement reliés entre eux. On peut donc toujours imaginer
qu'une ou plusieurs parties du système proposé se solidifient.
Les conclusions précédentes s'appliqueront alors aux mouvements relatifs
de ces diverses parties.
46 SUR L'INFLUENCE DU FROTTEMENT, etc.,
§ 3. — Sur l'action simultanée des causes précédentes.
Maintenant que, dans les paragraphes précédents, nous avons étudié
séparément les effels produits par le frottement, d'une part, et par les actions
mutuelles des points, d'autre part, au point de vue de Faction de forces
périodiques extérieures, il nous sera aisé d'examiner ce qui se passe lorsque
Ton considère les deux causes précédentes comme agissant simultanément.
Comme il est facile de le reconnaitre, aussi bien par ce qui précède que
par les considérations que nous allons développer, nous n'altérerons en rien
la généralité de la question, en nous bornant à considérer un simple système
de deux points matériels.
Supposons que les équations du mouvement parallèle à l'axe des x soient :
<Px Idx' dx\ , , , 2t(
dt^ \di dit ^ ' T .
(26)
a'x [dx ax'\ ,, ,. \
m
, (for' (dx dx'\
et considérons d'abord le cas où les coefficients A et a sont constants.
Nous aurons d'abord :
d*x d*x' t
ensuite :
(28)
d* , l\ \\d , , / i M . , tt 2t«
-(x^xV-*-a(-^-J-(x-x)-.A(-^-)(x-x,«»-cos- .
Pour intégrer cette équation, cherchons d'abord l'intégrale de :
d* d
en posant, pour simplifier :
tfo = «(— -^— ; Ao«A — -^— •
\ m ml \ m ml
DANS LES MOUVEMENTS PÉRIODIQUES D'UN SYSTÈME. 47
Nous aurons tout de suite :
^^i r 2îrr 2;rn
(x — x')o = e ' C, sin — -♦- C, cos — »
L ^0 To J
en posant :
Nous supposons que a soit assez petit pour que r^ ait une valeur réelle.
Cherchons maintenant Tinlégrale particulière de Téquation (28), prove-
T
Posons cette intégrale particulière :
nant du terme additîonel -cos >p .
m 1
A, et p, étant des conslantes.
Substituant dans Téquation (28) et égalant les coefficients du sinus et' du
cosinus dans les deux membres, nous aurons :
T . /T\« a
T ^ /TV (
On tire de là :
i
a
,..[(i)-.]- - ...p-.]-
en posant comme précédemment e == aeo ^ et ( ^ j* = h^.
Enfin, il viendra :
a
m
X — X = c ' C| sm h C ,co8 —
laW r/T\« i art . irt]
=- - — 1 C08— --t-esin — •
.t^r(ï)*_jLl-^^^ j T tJ
48
SUR L'INFLUENCE DU FROTTEMENT, etc.,
En combinant cette équation avec Tinlégrale de (27), qui est :
mx -h m'x' =
T \« 2t«
— I -- cos -— - -+- A'I -4- A ,
2t/ T
on a la solution de la question.
On peut distinguer deux parties dans (x — x') et par suite aussi dans
xelx^. .
La première est (x — x')o; elle est évidemment due à Faction de
la force <fy combinée à Faction du frottement. Cette partie n'est plus simple-
ment périodique comme dans le cas où la force f agit seule; elle tend
vers zéro^ à mesure que / augmente. Le frottement altère^ en oulre^ la durée
d'oscillation qui, de t, devient t^, et Fon a :
/2ir\« l^lny aï
La seconde partie de {x — a?') est (x — ar'),; elle provient de la force
extérieure périodique.
Nous avons :
/d^x <Px
\di}~'di
^). °".^[(lj'-.T [[(^)*-']"' V * ""t]
et en combinant avec Féquation (27), il vient :
l(Px\
(w -^ m') (^j^
a
\ —
-[(Tr-'îj
^ni
COS
On conclut de là que Faction de la force
9 sa a cos
2ff«
m
m
â^/
[(t)--]*
sin
s'exerce sur le point m avec un changement d'intensité et une variation de
DANS LES MOUVEMENTS PÉRIODIQUES D'UN SYSTÈME. 49
phase, qu'il serait facile d'évaluer^ si Ton mcdail la Tormule précédente sous
la forme :
\f/t*/, T
Examinons encore quelques cas particuliers.
Supposons que T soil très pelii^ de sorte que e et ^ tendent vers zéro; nous
aurons à la limite :
(i'x\ a ' "l^i /rfV\
-r- = — COS-— (ît — - =0.
Ainsi donc, au point de vue de Taclion de la force g^ on peut considérer
les deux points m et m' comme complètement indépendants.
Supposons maintenant que T soit très grand, de sorte que t et ^soient
très grands.
Il viendra :
/cPjr\ a 2W ld''x'\ a ^2nt
— = C08 — : 1 = <;os — •
\dtV, m-^ m' T ' \ f/(V, m + m' . T
La variation de phase disparait, comme dans le cas précédent, et Ton voit
que Taction de la force g s'exerce comme si les points m et m' étaient inva-
riablement reliés entre eux.
On remarquera qu'il suffit, pour que cette dernière circonstance ail lieu,
T
OU que e, ou que ^soit très grand.
Entre les cas limites que nous venons d'examiner, on pourra considérer
la masse m comme entraînant une certaine masse m„ dont la grandeur dépend
de m, de m'^ de T, de t et du coefficient a. En outre, il se produit une
variation de phase dans l'action de la force.
Nous pouvons maintenant aborder l'étude du cas général, en considérant,
dans les équations (26), A et a comme étant des fonctions du temps.
L'équation (^1) ne change pas, pas plus que l'équation (28), où a^ el/i^
sont alors des fonctions de /.
On peut encore décomposer x — x' en deux parties : l'une [x —a?')^ satis-
fait à réquation(29), et provient de l'action de la force ^ et du frottement;
Tome LI. 7
50 SUR L'INFLUENCE DU FROTTEMENT, etc.,
lautre partie (x — u?'), esl une solulion parlicuiière de (28) provenant
seulement du lerrae additionnel.
En posant encore :
OÙ Âi et [J.^ sont des fonctions de /, on obtiendrait pour X, et ju, des é(|uations
analogues à celles que nous avons déjà traitées dans les paragraphes précé-
dents; elles donneraient encore généralement :
a
X, = . f*i = 0,
m
lorsque T esl très petit^ et
A,'=/it, = 0,
lorsque T est très grand.
On peut ensuite considérer le cas où h et a sont fonctions des coordonnées.
EnHn^ étendant les considérations précédentes à un système de points,
nous pourrons encore dire :
Dans un système de points matériels qui sont sollicités par leurs actions
mutuelles et entre lesquels s'exercent des frottements y on peut considérer les
points comme indépendants au point de vue de l'action des forces extérieures
périodiques à courte période ; on peut les considérer comme invariablement
reliés entre eux quant à l'action des forces à longue période ; en ce qui con-
cerne l'action des forces à période intermédiaire^ les points sont dans une
dépendance variable, et on peut les considérer comme entraînant certaines
masses, dont la grandeur varie suivant les circonstances; il y a en outre'
aussi, en général, une variation de phase dans l'action des forces.
Il y a quelques Testrictions à faire à cet énoncé, relativement aux points
qui restent indépendants ou invariablement reliés entre eux. Il suffit de se
rappeler ce que nous avons dit à cet égard, à la fin des deux paragraphes
précédents.
DANS LES MOUVEMENTS PÉRIODIQUES D'UN SYSTÈME Si
§ 4. — Application aux mouvements relatifs de Técorce
et du noyau terrestres.
Imaginons maintenant un système de points matériels soumis à leurs
actions mutuelles et exerçant en outre^ dans leurs mouvements relatifs^ des
actions de frottement les uns sur les aulres. Des forces extérieures agissent
sur le système^ et les équations du mouvement d'un point sont de la forme :
m
m
équations dans lesquelles les quantités h, f, F ont les significations que nous
leur avons attribuées précédemment. Nous aurons ensuite :
i-^-^'i--i^'
dO dl
d'y d'yo
\.
2 (Pz d*Zo Y ^
^09 yoy ^0 étant les coordonnées du centre de gravité.
Si nous appelons ({, >?, c) les coordonnées du point (Xy y, z) par rapport
au centre de gravité, nous aurons :
52 SUR L'INFLUENCE DU FROTTEMENT, etc ,
puis :
m
dl' ^ r
(/*
dX ^ C' - C ^
dt* ^ r ^1^ ->
en posant :
fç
= F.
m
S»'^
F.
-F,
m
2".
Ff
-F,
m
1^'
Supposons maintenant que les forces F^, F,^ F^ soient des forces de
nature périodique^ soit qu'elles soient données directement en fonction du
temps, soit qu'étant données en fonction de la position des points^ on puisse^
au moins dans une première approximation^ les considérer commç des
fonctions périodiques de l, en vertu du mouvement général. Les équations
que nous obtenons ainsi sont alors de même forme que celles que nous avons
traitées jusqu'ici^ de sorte qu'on peut appliquer au mouvement du système
autour du centre de gravité les résultats que nous avons obtenus précé-
demment.
Considérons^ par exemple, le sphéroïde terrestre^ On peut se représenter
ce sphéroïde comme formé d'une croûte solide mobile sur un noyau qui est,
soit fluide, soit solide, soit en partie fluide et en partie solide. On peut
d'abord admettre qu'entre ces diverses parties s'exercent des actions de frot-
tement, le noyau, quelle que soit sa nature frottant d'abord sur la croûte ;
ensuite, si le noyau est fluide, on peut supposer qu'il existe un frottement
intérieur dû au plus ou moins de viscosité de ce noyau. Enfln, il y a à
DANS LES MOUVEMENTS PERIODIQUES D'UN SYSTÈME. 83
considérer les actions mutuelles qui s^exercent entre le noyau et Técorce
ou entre les divers points mêmes du noyau, si Ton admet que celui-ci est
fluide.
Chaque point du système peut être considéré comme animé d'un mouve-
ment qui diffère peu d'un mouvement de rotation sensiblement uniforme
autour d'un certain axe passant par le centre de gravité, el, tout au moins
dans une première approximation, on peut supposer qu'en vertu de ce mou-
vement sensiblement uniforme et des actions extérieures, chaque point est
soumis à des forces perturbatrices périodiques. En nous reportant alors à ce
que nous avons obtenu précédemment, nous pourrons dire :
Dans les mouvements à très longue pmode^ le sphéroïde terrestre se meut
sensiblement comme si la croûte et le noyau étaient solidaires; dans les
mouvements à très courte période^ au contraire, le noyau et la croûte
se meuvent indépendamment l'un de l'autre; dans les mouvements à période
moyenne^ on peut considérer les deux parties comme s'entrainant partielle--
ment y et il y a, en outre, généralement une variation de phase dans l'action
des forces.
Il y a une remarque à faire au sujet de cet énoncé en ce qui concerne les
mouvements à période moyenne.
Si l'on ne tient compte que du frottement, il résulte, en effet, de ce que
nous avons vu précédemment^ que Ton peut, généralement, considérer les
deux parties comme s'entrainant partiellement, la masse entraînée par la
croûte dans son mouvement étant une fraction déterminée de la masse du
noyau et vice versa (*). Si, au contraire, on tient compte seulement des actions
mutuelles entre le noyau et l'écorce, il en est un peu différemment. Ces
actions mutuelles, si elles agissent seules, tendent, pour un déplacement relatif
inilial quelconque, à amener un balancement de l'écorce sur le noyau. Si, en
outre, des forces extérieures périodiques agissent sur l'écorce, celle-ci peut être
considérée comme entraînant une certaine masse qui, en réalité, dans la
(') Nous l'avons démontré pour le cas où les coefficients de frottement sont constants.
U SUR L'INFLUENCE DU FROTTEMENT, etc.,
plupart des cas, dépend de la masse du noyau, mais qui n^en est pas toujours
une fraction déterminée. Si nous nous reportons à ce que nous avons dit
au § 2, nous savons que, suivant le rapport qui existe entre la période de la
force extérieure et celle qui tend à résulter de Taction intérieure, la masse
additionnelle varie beaucoup; elle peut être tantôt supérieure à celle du noyau,
tantôt même négative, auquel cas, en vertu de Taction de la force intérieure^
le coefficient de Taction de la force extérieure parait renforcé. Néanmoins
pour les cas limites, où T esl très grand ou très petit, Ténoncé précédent
reste strictement vrai. Quant au cas où Ton tient compte à la fois du frotte-
ment et des actions intérieures, il résulte d'abord de ce que nous avons vu
que le frottement tend à faire disparaître avec le temps le mouvement de
balancement dû aux actions intérieures, tout en altérant sa période; en ce qui
concerne la masse entraînée, elle varie aussi beaucoup dans ce cas; mais^
dans les cas extrêmes, Ténoncé précédent est encore vrai.
Signalons encore un cas qui peut se présenter.
Si nous prenons deux forces de même période dans le mouvement
de Técorce et du noyau, il peut se faire qu^en vertu de ces forces, ces
parties des sphéroïdes prennent des mouvements concordants (c'est-à-dire
ne donnant lieu à aucun déplacement relatif des points), lorsqu'on les
considère comme indépendantes. Il est clair que, pour un tel groupe de
termes, on doit pouvoir considérer à volonté les deux parties, ou comme
réellement indépendantes, ou comme invariablement reliées entre elles,
quelle que soit la période.
Pour le mieux faire voir, prenons simplement deux points et soit :
F, es rm C08 -— - et F, = cm cos -— •
T T
Si Ton considérait les deux points comme indépendants, les termes pério-
diques, dans le mouvement parallèle à Taxe des x, seraient les mêmes pour
les deux |)oints.
En vertu de quoi, on peut nécessairement, quand il peut se produire des
frottements ou quand il y a des actions mutuelles, considérer, quant à ces
DANS LES MOUVEMENTS PÉRIODIQUES D'UN SYSTÈME. SS
termes périodiques, les points comme indépendants ou comme invariablement
reliés entre eux.
Si l'on se reporte^ en effets à la formule (2), page 5, quant au frottement,
les deux termes correspondants donnent, puisqu'ici :
a =^ cm el a = cm' :
dx' dx
Pour les forces intérieures, il en est de même, si nous nous reportons à la
formule de la page 33.
Du reste, ce résultat était à peu près évident par lui-même.
Le 5 janvier 1888.
c'h
0
NOUVEAUX ÉLÉMENTS
DE
L'ORBITE DE LA PLANETE (181) EDCHARIS,
PAR
L. DE BALL,
DOCTEUR EN PHILOSOPHIE,
PRËPAHATisSUR DBS COURS D*ASTRONOMIE ET DE GÉODÂSIB
A L'UNIVERSITÉ DE LIÈGE.
(Présenté à la Qasse des sciences dans la séance du 7 avril 1888.)
Tome LI. 1
NOUVEAUX ÉLÉMENTS
DE
L'ORBITE DE LA PLANÈTE (181) EUCHARIS,
L'aunée dernière j'ai eu Thonneur de présenter à TÂcadémie un mémoire
intitulé : Recherches sur l'orbite de la planète (181) Eucharis. Dans ce
mémoire j'ai en premier lieu fait connailre les perturbations exercées sur la
planète Eucharis par Jupiter et Saturne. Pour le calcul de ces perturbations
je m'étais servi d'un système d'éléments (I) que voici :
ÉLÉUENTS (I) D'EUCHARIS.
Osculation et époque: 1881 août 31.0, temps moyen de Berlin.
M = 264o3r46".l
(0 = 310 51 39 .1 )
Û « 144 45 57 .9 [ Ëquinoxe moyen 1880 0
t =r 18 35 S7 .5 )
<p = 12 43 58.8
(JL — 644".4903
J'ai donné ensuite des éléments corrigés^ savoir :
ÉLÉUENTS (II) D'EUCHARIS.
Osculation et époque : 1881 août 31.0, temps moyen de Berlin.
M = 2640 38' 3r'.l
0) = 310 51 10 .3
Û =: 144 46 0 .8 \ Ëquinoxe moyen 1880.0
t = 18 35 30 .1
<p «r 12 44 4.6
(JL = 6U'\5034
4 NOUVEAUX ÉLÉMENTS DE L'ORBITE
A Taide de ces éléments (II) et des anciennes valeurs des perturbations^
des éphémérides ont été déduites pour toutes les apparitions d'Eucharis
qu'on avait pu observer jusqu'en 4886. La comparaison de ces éphémérides
aux observations avait fourni 8 positions normales de la planète et c'est à
leur aide que j'avais calculé les éléments finaux :
ÉLËMENTS (III) D'ECCHARIS.
Osculation et époque : 1881 août 31.0, temps moyen de Berlin.
M
(I)
Û
1
?
264û38'31".06
ÎIO 51 7 .89
144 46 3 .25
18 35 28 .38
12 44 4.16
644^.50284
Ëquinoxe moyen 1880 0
Partant de ces éléments (III) j'ai repris plus tard l'étude du mouvement
d'Eucharis. Et d'abord les perturbations dues à l'action de Jupiter ont été
calculées de nouveau. En outre, j'ai eu égard aux perturbations causées par
Mars et négligées auparavant. Celles qu'a exercées Saturne ont pu être
adoptées d'après les recherches antérieures. Je donnerai plus tard les pertur-
bations totales des coordonnées polaires de la planète Eucharis. En comparant
ces valeurs avec celles données dans les Recherches, on remarquera que les
nouveaux résultats s'écartent en partie d'une manière assez sensible des
anciens — ce qui tient surtout aux perturbations exercées par Mars. Voici les
quantités à ajouter aux anciennes valeurs pour avoir les nouvelles (l'unité des
(/y et dz est la septième décimale) :
DATES.
d(AM)
d(A(o)
d>é
dx
1878 février 11.5
— mars 29.5
1879 juin 1.5
1880 juin 12.5
1881 septembre ... 17.5
1883 janvier 5.5
1885 juiUet 3.5
1886 juin 27.5
- 2".27
- 2.13
- 1 .02
- 0 25
0.00
+ 0.23
•f 3 36
•1- 4.01
♦ 0".ld
+ 0.16
+ 0.17
+ 0.02
0.00
- 0.28
- 0.60
- 0.74
- 20
- 21
- 19
- 11
0
- 11
- 24
- 3
- 1
0
•f 3
+ 2
0
- 2
- 1
- 5
DE LA PLANÈTE (181) EVCHARIS. 8
Ces corrections sont assez considérables pour imposer une nouvelle déter-
mination de Forbite d'Eucharis. Ce qui m'a engagé encore davantage d'entre-
prendre ce travail c'est qu'aujourd'hui je dispose d'observations à la fois plus
nombreuses et plus exactes qu'auparavant. Dans mes Recherches j'avais basé
la position normale d'Eucharis correspondant à l'apparition en 1881 sur
quatre observations faites à Palerme au moyen d'un micromètre circulaire.
Plus tard mon attention a été appelée à quatre autres observations faites lors
de cette apparition à Berlin et à Leipzig. Ces observations^ faites au moyen
de micromètres filaires et émanant d'astronomes dont on connaît la haute
exactitude dans les mesures^ ont permis de remplacer l'ancienne position
normale pour 1881 par une nouvelle beaucoup plus exacte que la première
et assez différente d'elle. Les autres positions normales ont subi des change-
ments plus ou moins importants par l'emploi d'un nombre très considérable
de nouvelles positions des étoiles de comparaison. EnOn, en me servant de
toutes les observations d'Eucharis faites en 1886 et encore de celles faites
en 1887^ j'ai pu former des positions normales pour deux nouveaux termes :
le nombre des équations de condition s'est donc accru de quatre et s'élève
actuellement à vingt. — En résumé, dans le travail présent, les bases pour
le calcul de l'orbite d'Eucharis sont beaucoup plus solidement établies qu'elles
ne l'étaient dans mes Recherches.
Avant de faire connaître plus exactement ces bases ainsi que le système
d'éléments fondés sur elles, j'adresse mes remerciements bien sincères aux
astronomes qui, en observant de nouveau soit la planète Eucharis^ soit les
étoiles de comparaison, ont pris une large part dans le succès de mon entre-
prise : de déterminer aussi exactement que possible l'orbite d'Eucharis. Ces
astronomes sont : M'"'' Lamb-Updegraff, MM. Charlois, Herz, Kûstner,
Rnorre, J. Palisa, Peter, Pomerantzeff, Romberg et Schnauder. Je suis en
outre très obligé à MM. Bossert et Rayet d'avoir bien voulu me donner
connaissance de quelques observations d'étoiles de comparaison qui ne sont
pas encore publiées.
6
NOUVEAUX ÉLÉMENTS DE L'ORBITE
PERTURBATIONS d'eUCHÂRIS DUES AUX ACTIONS RÉUNIES
DE JUPITER^ SATURNE ET MARS.
Pour la signification des AiM^ Au^ v et z, voir : Oppolzer, Lehrbuch zur
Bahnbestimmung der Cometen und Planelen, II Band, pp. 139-162. Les
aM el Ao) ont été calculées jusqu'à un millième de seconde^ les v et z jusqu'à
la neuvième décimale^ Tunilé des v et :3 qui suivent est la septième décimale.
— Les masses de Jupiter et de Saturne ont été adoptées d'après les recherches
de Bessel^ celle de Mars d'après M. Hall.
DATES.
1877 décembre 30
1878 février 8. .
mars 20 . .
avril 29 . .
juin 8. . .
juillet 18 .
août 27 . .
octobre 6* .
novembre 15
1878 décembre 25
1879 février 3. .
mars 15. .
avril 24 . .
juin 5 . .
juillet 13. .
août 22 . .
octobre 1 .
novembre 10
1870 décembre 20
1880 janvier 20 .
mars 0 . .
avril 18 . .
mai 28 . .
juillet 7 . .
AM.
i
\cu.
V.
2.
+ 0' 26".57
- 4'
33"19
■1-
12459
- 377
- 0 31.70
- 4
6.45
+
10213
- 713
- 1 18.91
- 3
41.48
+
8156
- 1009
- 1 56.06
- 3
18.39
+
6305
- 1261
- 2 24 22
- 2
57.20
•»•
4664
- 1467
- 2 44 47
• 2
37.85
+
3229
- 1627
- 2 57.84
- 2
20.26
+
1991
- 1742
- 3 5.31
- 2
4.30
■1-
936
- 1816
- 3 7.79
- 1
49.84
+
52
- 1851
- 3 6.11
- 1
36.77
-
678
- 1852
- 3 1.03
- 1
24 96
-
1269
- 1821
- 2 53.24
- 1
14.30
-
1733
- 1764
- 2 43.35
- 1
4.68
-
2085
- 1685
-2 31.90
- 0
56.02
-
2337
- 1587
- 2 19.39
- 0
48 23
-
2502
- 1474
- 2 6.23
- 0
41.24
-
2590
- 1351
- 1 52.79
- 0
34.99
-
2611
- 1220
- 1 39.39
- 0
29.41
-
2574
- 1080
- 1 26.32
- 0
24.45
-
2488
- 051
-1 13.80
- 0
20.07
-
2362
- 819
- 1 2.01
- 0
16.23
-
2203
- 691
-0 51.12
- 0
12.88
•
2018
- 570
- 0 41.23
- 0
10.00
-
1814
- 458
- 0 32.42
- 6
7.55
•
1598
- 356
DE LA PLANÈTE (181) EVCHARIS
DATES.
août 16 . .
septembre 25
novembre 4.
1880 décembre 14
1881 janvier 23 .
mars 4 . .
avril 13 . .
mai 23 . .
juillet 2 . .
août 11 . .
sçptembre 20
octobre 30 .
1881 décembre 9.
1882 janvier 18 .
février 27 .
avril 8 . .
mai 18 . .
juin 27 . .
août 6 . .
septembre 15
octobre 25 .
1882 décembre 4.
1883 janvier 13 .
février 22 .
avrit 3 . .
mai 13 . .
juin 22 . .
août 1 . .
septembre 10
octobre 20 .
1883 novembre î9
1884 janvier 8. .
février 17 .
mars 28 . .
mai 7. . .
juin 16 . .
juillet 26. .
septembre 4
octobre 14 .
novembre 23
AM.
- 0' 24".75
- 0 18.23
- 0 12.85
- 0 8.56
+
+
+
■I-
+
+
+
+
+
+
+
0
0
0
0
0
0
0
0
0
5.30
2.06
1.41
0.52
0.11
0.00
0.00
0.11
0.52
0 1.38
0 2.84
0 4.95
0 7.63
0 10.67
0 13.62
0 15.72
0 15.89
0 12.67
+ 0 4.32
- 0 11.08
- 0 35.30
- 1 9.72
- 1 55.09
- 2 51.47
- 3 58.25
- 5 14.31
- 6 38.19
. 8 8.2f
- 9 42.60
- 11 19.61
- 12 57.55
- 14 34.83
- 16 9.99
- 17 41.71
- 19 8.81
- 20 30 27
Aui.
- 0' 5".50
- 0 3.83
- 0 2.50
-0 1.49
- 0
- 0
- 0
4^ 0
+ 0
-I- 0
4- 0
•f 0
+ 0
-I- 0
^ 0
•F 0
+ 0
0.77
0.30
0.03
0.07
0.06
0.01
0.02
0.18
0.65
1.60
3.24
5.85
9.73
4- 0 15.22
•I- 0 22.68
+ 0 32.36
^ 0 44.39
4- 0 58.55
^ 1 14.22
^ 1 30.43
^ 1 46.04
A- 2 0.06
+ 2 11.94
4-2 21.50
¥ 2 28.93
•I- 2 34.56
+ 2 38.79
^ 2 41.99
+ 2 44.47
+ 2 46.51
-I- 2 48.31
+ 2 50.02
4-2 51.76
* 2 53.63
4- 2 55.69
4- 2 57.98
V.
%,
4-
4-
4-
4-
4i
4-
4-
1376
1153
936
730
540
372
231
120
44
5
5
44
118
345
469
566
599
518
261
242
1061
2243
3791
5656
7734
9891
4- 11993
4^ 13924
4- 15599
4^ 16963
4^ 17989
4- 18670
4- 1901S
4- 19034
4^ 18759
4^ 18212
4^ 17422
4- 16417
+ 15225
4-
4-
4-
4-
4-
4-
4-
4-
267
190
127
77
40
16
2
3
3
1
1
10
34
82
164
4- 292
4-
4-
478
738
4- 1086
4^ 1540
4^ 2113
+ 2812
+ 3632
+ 4551
+ 5527
+ 6505
4. 7427
4- 8239
+ 8903
+ 9395
+ 9703
+ 9825
+ 9768
+ 9543
+ 9162
+ 8641
+ 7996
+ 7243
+ 6398
+ 5475
8
NOUVEAUX ÉLÉMENTS DE L'ORBITE
DATES.
1885 janvier 2. .
février 11
mars 23 . .
mai 2. . .
juin 11..
juillet 21. .
août 50 . .
octobre 9 .
novembre 18
décembre 28
1886 février 6. .
mars 18 . .
avril 27 .
juin 6. . .
juillet 16. .
août 25 . .
octobre 4 .
novembre 13
décembre 23
1887 février I. .
mars 13 . *.
avril 22 . .
juin 1. . .
juillet 11. .
août 20 . .
septembre 29
novembre 8,
décembre 18
AM.
21' 45"18
22 52.80
23 52.48
24 45.74
25 26.18
25 59.54
26 23.66
26 38.48
26 44.06
26 40.56
26 28.25
26 7.50
25 38 77
25 2.67
24 19.87
23 31.19
22 37.55
21 40.01
20 39.73
19 38.03
18 36.36
17 36.29
16 39.56
15 48.04
15 3.71
14 28.69
14 5.17
13 55.38
Ad).
+ 3' 0"56
•i- 3 3.44
•1^ 3 6.66
•h 3 10.23
^ 3 14.18
+ 3 18.53
+ 3 23.29
-1^ 3 28.49
+ 3 34.14
•f 3 40.27
+ 3 46.91
4- 3 54.08
* 4 1.82
+ 4 10.16
4- 4 19.14
•I- 4 28.82
* 4 39.25
-1^ 4 50.47
^ 5 2.57
+ 5 15.61
* 5 29.69
■¥ 5 44 88
* 6 1.29
•i- 6 19.02
^ 6 38.18
^ 6 58.86
+ 7 21.15
^ 7 45.10
V.
«.
* 13873
+ 12386
+ 10791
•h 9109
+ 7366
i- 5581
+ 3777
+ 1975
+ 195
- 1543
- 3218
- 4811
- 6301
- 7667
- 8887
" 9939
- 10800
- 11446
- 11852
- 11991
- 11838
- 11365
- 10544
- 9348
- 7755
- 5744
- 3301
- 426
+
+
4490
3455
2385
1291
187
- 917
- 2009
- 3079
- 4115
- 5106
- 6044
- 6916
- 7714
- 8428
- 9046
- 9560
- 9960
- 10235
- 10376
- 10374
- 10221
- 9908
- 9429
- 8778
- 7954
- 6956
- 5791
- 4470
POSITIONS DES ÉTOILES DE COMPARAISON.
OBSERVATIONS d'eUCHARIS ET COMPARAISON DE CES OBSERVATIONS AUX ÉPHÉMÉRIDES.
Dans mon premier travail sur Porbile d'Eucharis je m'étais servi de toutes
les positions connues des étoiles de comparaison. Aujourd'hui, après avoir
reçu un grand nombre de positions nouvelles, j'ai presque exclusivement fait
usage des observations plus modernes. Les observations de Lamonl ont été
DE LA PLANÈTE (181) EVCHARIS. 9
négligées^ leur relation au système du A6G ' ne pouvant être déterminée
d'une manière suffisante. J'ai encore négligé les positions déterminées par
Argelander^ sauf une seule^ ces positions se rapportant à de faibles étoiles
observées beaucoup plus exactement dans les derniers temps.
Les positions des étoiles de comparaison qui suivent sont déjà réduites au
système du AGC \ les corrections à ajouter à cette fin aux positions prises
des catalogues se trouvent indiquées dans mes Recherches sur l'orbite
d^Eucharis. Les observations nouvelles sont basées en grande majorité sur
le AGC; les quelques exceptions seront citées plus tard.
Aussi dans le travail présent^ pour déduire les positions probables des
étoiles de comparaison^ j'ai donné aux diverses positions d'une même étoile
des poids plus ou moins arbitraires^ me réservant de les évaluer plus
rigoureusement à l'avenir. Aujourd'hui pour bon nombre d'autorités il nous
manque encore des dates indispensables pour ce genre de recherches. Voici
les abréviations dont je me servirai pour désigner les diverses autorités :
(N7YC) et (9YC) = New 7 Year et 9 Year Catalogue ;(BB VI) = Bonner
Beobachtungen^ VL Band; (Y) = Yarnall, II édition; (Schj) = Schjellerup ;
(Gôtt.) = Catalogue de Borgen et Copeland; (Gl.) = Glasgow Catalogue;
(Br.) = Catalogue général des étoiles observées à l'Observatoire de Bruxelles^
de 4857 à 1878; (P) = Observations faites à l'Observatoire de Paris;
(Z — ) = Observations de zones faites à Berlin (ZB.), Leipzig (ZL.) et à
Nicolajew (ZN.); (Rr.) = Kustner; (Pr.) = Peter; (M.) =Bauschinger;
(Bi.)=:^ Bigourdan ; (Bord.) = Rayet ; (Lb.)= Lamb-Updegraff; (H.)= Herz ;
(R.) = Romberg; (S.) = Schnauder; (Cord.) =^ Gould, Argentine General
Catalogue ; (AN) = Astronomische Nachrichten ; (T.) = Pomerantzefif.
Les observations de la planète Eucharis ont été comparées aux éphémé-
rides calculées ou à l'aide des éléments (II) et en tenant compte des perturba-
tions exercées par Jupiter et Saturne^ ou à l'aide des éléments (III) et en
tenant compte des perturbations exercées par Jupiter^ Saturne et Mars.
Suivant que le premier ou le second cas a eu lieu^ je dirai que les observa-
* AGC signifie le « Fundamental-Catalog fur die Zonenbeobachtungen der Astronomi-
schen Gesellschaft (deux parties). »
TOBIE Ll. 2
40
NOUVEAUX ÉLÉMENTS DE L'ORBITE
lions ont été comparées aux éléments (II) respectivemenl aux éléments (III).
Quant aux poids attribués aux diverses différences : observatiourcalcul, je
renvoie aux remarques faites à ce sujet dans mes Recherches. Du reste^ je
ferai sur ces poids les mêmes réserves que sur ceux attribués aux positions
des étoiles de comparaison, intimement liés les uns aux autres.
OBSERVATIONS d'eUGHARIS FAITES EN 1878.
Temps moyen de Berlin —
Temps de l'aberration.
Observatoire.
éb l'étoUt.
a (181) obs.
â (181) obs.
février
•
. . 3.5873
Beriin . . .
21
iOh im 47i.l7
+ ll« 20' 49"4
» ....
. . 3.8115
Clinton. . .
19
10 1 38.25
+ 11 23 31.7
1) ....
. . . 4.3644
Pola . . .
17
10 1 16 33
+ 11 30 4.3
» . . . •
. . 5.652â
Clinton . .
18
10 0 23.37
+ 11 45 25.2
» ....
. . 7.4820
Strasbourg. .
15
9 59 6.74
+ 12 7 20.6
» ....
. . 7 5552
Leipzig. . .
20
9 59 3.49
+ 12 8 15.4
» . . . •
. . 7.7406
Clinton. . .
15
9 58 !i5.86
+ 12 10 28:6
» ....
. . 11 5657
Berlin . . .
13
9 56 11.37
+ 12 56 40.2
» .- . . .
. . 12.5061
Pola , . .
M.
9 55 30.72
+ 13 8 2.3
» . . . •
. . . 12.5744
Leipzig. . .
16
9 55 27.87
+ 13 8 51.0
. » ....
. . 14.7247
Clinton. • .
14
9 53 53.70
+ 13 34 45«2
» ....
. . 18.3604
Leipzig. . .
10
9 51 15.44
+ 14 18 8.1
» ....
. . 19.3093
»
i>
9 50 31.35
+ 14 30 13.9
» ....
, . 19 5765
Clinton . .
9
9 50 23.74
+ 14 32 18.0'
» ....
. . . 20.3763
Bilk. . . .
7
0 49 50.04
+ 14 41 37.1 >
» ....
. . . 20.4630
Leipzig. . .
12
9 49 46.15
+ 14 42 37.6
mars ....
. . . 3.4438
Leipzig. . .
5
9 42 34.70
+ 16 42 37.5
» • .. . •
. . 4 4211
Marseille . .
6
9 42 1.09
+ 16 52 22.1
» ....
. . 5.4399
»
»
9 41 26.77
+ 17 2 27.2
» ....
. . 19.3623
Berlin . . .*
1
9 35 49.58
+ 18 58 22.0
» ....
. . 19.4623
Leipzig . .
»
9 35 47.78
+ 18 59 1.8
» • • . •
. . 22.3014
Berlin . . .
2
9 35 12.26
+ 19 17 37.0»
avril ....
. . 7.4858
»
3
9 55 36 41
4^20 50 50.2
» ....
. . 21.3985
»
4
9 40 55.12
+ 20 53 38.8
» ....
. . 22.3948
»
•
»
9 41 27.37
+ 20 54 1.2
» . • • •
. . 29.4152
Leipzig. . .
8
9 45 47.49
+ 20 59 12 9 >
mai ....
. . 6.4350
Berlin . . .
11
9 51 0.02
+ 20 43 26.4
i> ....
. . 7.4088
»
»
9 51 47.09
+ 20 41 41.5
* L'étoile de com)nrtison n*a été observée qu'une seule fois. — * Obserration fsite an moyen d'un micromètre circulaire.
— s Air mauTais.
DE LA PLANÈTE (18i) EVCHARIS.
il
POSITIONS DES ÉTOILES DE COMPARAISON.
No
dil'éteUe.
Autorités.
•
a (1878.0).
§ (1878.0).
Époques.
Nombre
dHobiOfttioiii.
Poids.
Kr.
9>> 33» 58«.33
+ 18* 56' 40".8
86.3
2
1
Pr. .
58.61
40.9
86.9
3
1
S.
38.61
41.6
87.2
4
1
1
9 33 38.58
•1- 18 56 41.1
3
Kr.
9 35 35.18
-1-19 19 42.9
85.3
1
3
m
Kr.
9 35 45.10
4^30 31 20.7
87.2
2
4
Kr.
9 38 47.66
+ 20 52 3.8
87.2
2
Pr.
9 42 6.74
-f 16 40 48.0
86 9
3
1
S.
6.72
49.1
87.2
4
1
5
9 43 6.73
^ 16 40 48.6
6
ZB.
9 43 50.13
^ 16 52 54.3
70.3
2
Y.
9 44 12.99
♦ 14 41 19.7
fti.2 67.3
8.2
2ll
ZL.
13.03
20.0
69 6
2 ■
1
7
9 44 13.00
^ 14 41 19.9
•
Pr.
9 46 24 13
+ 20 50 19.5
87.2
2
2
S.
24.09
21.2
87.2
4
3
•
21.1
86.4
1
8
9 46 24.11
+ 20 50 20.6
«
9
Scly\
9 49 50.97
+ 14 35 36.1
62.2
1
AN.
9 50 0.75
+ 14 24 53.4
62.3
1
1
ZL.
0.76
51.8
69.6
2
2
Pr.
0.93
51.6
.87.2
2
2
S.
0.94
50.3
87.2
4
3
10
-
9 50 0.87
+ 14 24 51.4
* Rapportée aa n«ll.
i2
NOUVEAUX ÉLÉMENTS DE L'ORBITE
No
de l'étoile.
Autorités.
a (1878.0).
5(1878.0).
Époques.
Nombre
dei obwrrations.
Poids.
P.
9h 80» 56».96
+ 20» 45' 5".l
74.5 75.3
4.3
1
ZB.
56.93
4.9
80.8
2
1
11
9 50 56.95
+ 20 45 5.0
Pr.
9 51 35 15
4- 14 39 15.5
86.9
3
1
S.
35.14
16.6
87.2
4
1
12
9 51 35.14
+ 14 39 16.1
•
Dr.
9 51 39.64
4- 13 1 33.8
60.3 64.5
5.4
1
N7YC.
39.55
33.8
2
Y.
39.61
32. 8
61.2 56.2
9.6
2.1
P.
39.55
34.0
64.6 65.5
5.6
2
ZL.
39.62
34 0
69.2
2
1
9YC.
39.57
33.4
69.9 69.4
8
3
GL
39.60
33.6
74.4 73.7
5.4
1
AN.
39.54
* 33.7
86.4
3
1
13
9 51 39.58
^ 13 1 53.6
Cette étoile a été aussi observée par Schj.
14
Kr.
9
53
34.95
+ 13
34
53.8
87.2
2
Br.
9
57
36.46
+ 12
13
4.2
65.5 71.5
4.3
1
P.
36.38
3.9
66.9 64.3
3 2
1
ZL.
36.35
3.0
69.2
2
1
Gl.
36 42
2.8
71.0
4
1
15
9
57
36.40
-1^ 12
13
3.5
BBVL
9
58
55.53
+ 13
7
51.5
62.2
1
1
AN.
55.94
50.8
62.3
1
1
Y.
55.84
52.0
62.7 65.3
2
. 1
ZL.
55.85
53.6
69.2.
2
2
16
9
58
55.81
+ 13
7
52.3
ZL.
9
59
6.48
+ 11
29
28.0
68.7
2
1
GL
6.23
28.3
74.2 76.7
3 5
1.2
Pr.
6.44
27.1
87.2
2
1
S.
6.45
27.3
87.2
4
2
17
9
59
6.41
+ 11
29
27.7
DE LA PLANÈTE (481) EVCHARIS.
43
N«
Autorités.
a (1878.0).
5(1878.0).
Époques.
Nombre
dMobnrratioDi.
ZL.
lOt»
0" 13>.23
+ HO 46' 16".5
68.7
2
1
Pr.
13.21
.17.2
87.2
2
1
S.
13.21
16.8
87.2
4.3
2
t8
10
0 13.21
4^ 11 46 16.8
19
ZL.
10
1 20.03
•1- 11 25 50.1
68.2
2
SO
Kr.
10
1 42 00
^12 5 53.9
87.2
2
ZL.
10
2 48.57
^ Il 16 51.0
68 2
2
1
GL
48.50
50.1
75.2 78.7
2.4
1.2
Pr.
48.46
49.9
87.2
2
1
S.
48.46
60.7
87.2
4
2
2i
10
2 48.49
+ 11 16 50.4
Les observalioDS d'Eucharis faites en i878 ont été comparées aux
éléments (11). En réunissant dans une moyenne les différences : observation-
calcul^ qui se rapportent à une même étoile de comparaison^ j'ai trouvé :
DATES.
Observ.-calc.
•
Aa cos 5 AS
Étoile.
Nombre
des différ.
Poids.
1878 février 3.6
+ 0«.03
-r'.o
21
1.0
»
3.8
^ 0.09
+ 1.3
19
0.75
»
4.4
•!• 0.22
+ 0.8
17
1.0
»
5.7
•1- 0.02
+ 0.1
18
1.0
»
7.6
- 0.04
- 1.5
15
2
1.5
» .
7.6
- 0.12
- 1.8
20
1.0
»
11.6
- 0.13
. - 0.7
13
1 0
»
. 12.5
+ 0.04
- 0.7
H
1.5
»
12.6
+ 0 24
- 1.0
16
1.0
»
14.7
- 0.26
- 0.9
14
0.75
»
18.9
- 0.18
- 0 6
10
2
1.5
»
19.6
- 0.20
- 1.3
9
0.5
»
. 20.4
+ 0.27
- 1.0
7
0.75
»
. 20.5
+ 0.24
- 1.8
12
1.0
mars .
3.4
- 0.06
+ 0.2
5
4
1.0
»
4.9
-0.21
- 0.3
6
2
1.0
14
NOUVEAUX ÉLËMEINTS DE L'ORBITE
DATES.
1878 mars. 19 4
» «2.3
avriL 7.5
» 21.9
» 29.4
mai 6.9
Observ.-calc.
Aa CCS 8 I A8
Étoile.
Nombre
des diflér.
Poids.
- 0».15
- 0.18
4- 0.02
-0.10
+ 0.05
+ 0.05
- 2"1
- 1.5
- 0.7
- 1.8
[. 5.2]
-2.6
1
2
3
4
8
11
1
1
1
2
1
2
1.5
0.75
1.0
1.5
1.5,0
1.5
De Pensemble des observations faites au mois de février ^, il résulte pour
1878 février 11 .5 : Aa cos $ « + 0«.0i4, AS «s - 0''.75; poids 14.25.
Les autres observations donnent pour
1878 mars 31 .5 : Aa cos 9 » — 0*.075, AS « — 1".42; poids 8.75.
Voici maintenant la comparaison des observations méridiennes faites
en 1878 à TObservatoire de Washington (Voir: Washington observations
1878, p. U5) aux éléments (llj :
Observ.-calc. |
Observ.-calc.
DATBS.
Aacos $
A$
DATES.
Aacos S
A$
Février
4.8
+ 0«.10
-0".5
Mars . • .
. . . 13.7
•1- 0«.14
-2".2
»
28.7
f 0.22
- 0.1
»...
. . . 20 6
+ 0.26
+ 0.4
• Mars
1.7
- 0.01
-3.2
»...
. . . 23.6
-0.06
- 4.0
»
4 7
4- 0.29
- 1.5
»...
. . . 25.6
4-0.24
+ 3.2
»
5.7
+ 0.18
-3.3
Avril . . .
. . . 2.6
+ 0.23
-10.5
» •
9.7
4- 0.06
- 3.1
»...
. . . 5.0
- 0.11
- 5.1
Avant de comparer ces observations à l'éphéméride, elles ont été réduites
au système du ÂGG. A cette fin les quantités suivantes ont été ajoutées aux
positions de la planète prises des Annales de TObservaloire de Washington :
A« = — 0».01, àf= + 0".2. Mais en comparant les corrections de Téphémé-
^ 7 Observations faites à TObservatoire de Marseille ont été rejetées. (Voir Recherchée,
pp. 30-32.)
J
DE LA PLANÈTE (181) EU CHERIS.
iS
ride résullant de ces observations avec celles données plus baut^ on remar-
quera que raccord entre elles est loin d'être satisfaisant.
Il parait que les corrections à apporter aux positions observées à Was-
hington^ tout en gardant les signes ci-devant indiqués^ doivent être considé-
rablement augmentées. La moyenne des différences : observalion-calcui
résultant des observation faites à Washington est
1878 mars 12.6 : Aa cos 8 = -»- 0» 12, A§ == — 2".5.
Pour juger à quoi tient la grande différence entre cette correction et celles
indiquées plus haut, il sera nécessaire de discuter aussi les autres observa-
lions de planètes faites à Washington à peu près en même temps que celles
d'Eucharis. Pour le moment je négligerai ces dernières observations. Nous
avons donc :
«
1878 février ll.S ; Aa = h- 0".22; A8 = — 0".75
» mars 31.5 : Aa=: - 1".20; AS = - 1".42.
D'après les éléments (II) les positions d'Eucharis correspondant à ces dates
sont (Équinoxe moyen 1880.0):
1878iévrier 11 .5 : a = 149o 4' 55".02 S = -+- 12» 55' 24".60
» mars 29.5:a = 143 39 59.75 8 = + 19 56 32.31
En ajoutant à ces positions les corrections données ci -dessus^ il résulte les
positions normales (Équinoxe moyen 1880.0) :
1878févrierll .5 : a = 149» 4' 55".24 5 = + 12* 55' 23".85
» mars 29.5: a =143 39 58.55Ss-i-i9 56 30.89
OBSERVATIONS D EOGHARIS FAITES EN 4879.
Temps moyen de Berlin —
Temps de Taberration.
Observatoire.
de l'étoUe.
a((181)0bs.
S(181)obs.
Mai 24.5449
Juin 9.4832
Berlin.
Leipzig
23
22
15i> 23B34«.85
15 13 36.06
+ 7» 43' 12''.3
^ 7 29 55.8
i6
NOUVEAUX ÉLÉMENTS DE L'ORBITE
POSITIONS DES ÉTOILES DE COMPARAISON.
No
de l'étoile.
Autorité.
«(1879 0)
8(1879,0)
Époques.
Nombre
des observations.
Poids.
P.
is»» 13™ ai.34
+ 70 25' 50".7
73.6
5
2
ZL.
5.27
50.4
83.5
2
1
R.
3.^0
50.0
87.4
5.3
1
Lb.
5.33
50.0
87.4
6
2
ti
15 13 5.30
+ 7 25 50.3
AN.
15 2â 49.04
+ 7 44 32.4
80 4
3
2
R.
49.88
33 1
87.4
2
1.2
Lb.
50.00
34 3
87.4
2.3
2
23
15 22 49.95
+ 7 44 33 3
Les observations d'Eucharis faites en 1879 ont été comparées aux élé-
ments (II). On trouve :
DATES.
Obsei-v. -calcul.
Aa cos $ I Aa
Étoile.
1879 mai 24.5
» juin 9.5
+ 0«.07
-1^ 0.13
- 4".4
- 1.8
23
22
et la moyenne
1879 juin 1.5 Aa == -h r'.5l, A$ = — 3'MO
D'après les éléments (II) la position d'Eucharis correspondant à cette
date est(Êquinoxe moyen 1880.0) :
1 879 juin 1 . 5 a = 2290 33' 55".40 8 = -♦- 7» 42' 1 2".93
En ajoutant à cette position les corrections données ci-dessus, on trouve la
position normale
1879 juin 1.5 a = 2290 s.y 56".91 8 = -4- 7» 42' 9". 83 (Équinoxe moyen 1880.0).
DE LA PLANÈTE (181) EVCHARIS.
17
OBSERVATIONS 0 EUGHARIS FAITES EN 1880.
Temps moyen de Berlin —
Temps de Taberration.
Juin 10.5180
» U.5225
Observatoire.
N«
de l'étoile.
a(181)obs.
a(181)obs.
Berlin
»
24
»
19*» 6«32'.56
19 4 3.29
- 40 56' 43".6
- 5 0 24.9
POSITION DE l'étoile DE COMPARAISON.
No
de l'étoile.
Autorité.
«(1880.0)
0 (1880.0)
Époque.
Nombre
desobserrations.
24
Kr
19»» 4» 3».33
- 40 56' 28".2
85 7
2
Les observations d'Eucharis faites en 1880 ont été comparées aux élé-
ments (II). Il résulte de ces observations
DATES.
Observ.-calc.
Aa cos 8 a8
Étoile.
1880 juin .
. . 10.5
- 0».04
- 0.26
- 0".5
+ 2.6
24
»
. . 14,5
»
D'après les éléments (II) on a pour (Équinoxe moyeu 1880.0) :
1880 juin 12.5 a = 286» 19* 24^'. 97 8 = — 4o58'22".10.
En ajoutant à celte posilion la moyenne des corrections données ci-dessus^
savoir :
Aa = - 2".26, AS = -*- 1".05
on trouve la position normale^ rapportée à Téquinoxe moyen 1880.0 :
1880 juin 12.5 a = 286o|9' 22".71 8 = — 4» 58' 21".05.
Tome LI.
18
NOUVEAUX ÉLÉMENTS DE L'ORBITE
OBSERVATIONS D EUCHARIS FAITES EN 1881.
Temps moyen de Berlin —
Temps de l'aberration.
Observatoire.
No
de rétoile.
a(181)obs.
S(181)obs.
Août 29.4611
Leipzig
Berlin ....
»
»
28
27
26
23
22»» 34m36>.97
22 19 38.92
22 19 8.83
- 14» 26' 24"!
» 31.4661
- 14 43 26.6
Septembre 23.3913
» 24.3332
- 17 34 23.8
- 17 40 4.3
POSITIONS DES ÉTOILES DE COMPARAISON.
No
de rétoile.
Autorité
a (1881.0)
8(1881.0)
Époque.
Nombre
dMobgenitioiu,
Poids.
AN.
H.
22»» 18" 26» 09
26.11
- 17» 40' 37".3
39.4
83.9
87.8
1
3
1
2
23
AN. •
H.
22 18 26.10
22 19 48.64
48.43
- 17 40 38.7
- 17 34 38.3
38.0
83.9
87.8
2.3
1
1
26
AN.
S.
22 19 48.43
22 32 13.83
13 83
- 17 34 38.1
- 14 41 3.4
7.4
87.8
4
4
1
1
27
28
S.
22 32 13.83
•
22 39 47.44
- 14 41 6.4
- 14 27 41.3
87.8
4
* L'étoile a été comparée an n* 25.
Les observalions d'Eucharis faites en 1881 onl été comparées aux
éléments (III); il résulte de ces observations :
DATES.
Observ.-calc.
Aa cos S I A^
Étoile.
1881 août 29.3
31.5
» »
))
»
septembre 23.4
» 24.3
- 0M2
- 0.03
- 0.09
- 3".7
+ 07
- 0,^
- 2 1
28
27
26
23
DE LA PLANÈTE (181) EVCHARIS. 19
En ajoutant la moyenne de ces corrections, savoir :
Aa = — r.28, A5 = — 1"50
à la position calculée pour 1881, septembre 17.5, à Taide des éléments (III)
(Équinoxe moyen 1880.0):
1881 septembre 17 .5 a = 335o 44' 14'M 1 S = - 16*56' 32".41 ,
on trouve la position normale rapportée à Féquinoxe moyen 1880.0 :
1881 septembre 17 .5 a = 335» 44' 12''.86 5 = — 16» »6' 33".91
4 observations faites à TObservaloire de Palerme au moyen d'un micro-
mètre circulaire ont été rejetées. (« Recherches », p. 35.)
OBSERVATIONS MÉRIDIENNES d'eUCHARIS FAITES EN 4883.
Temps moyen de Berlin —
Temps de l'aberration.
Observatoire.
a(181)obs.
S(181)obs.
Janvier 2.4443
Paris
4h 37«n29«.99
4 34 28.82
- 2o 33' 9".9
— 8.4236
- 1 39 36 6
En comparant ces observations aux éléments (11), on trouve :
DATES.
Observ.-calc.
Aa cos S I A^
1883 janvier 2.4
- 8.4
- 0«.04
- 0 03
+ 1".4
'+ 3.2
La moyenne de ces corrections : Aa = — 0".68, M= + 2". 3, ajoutée à
la position résultant des éléments (II), 1 883, janvier 5.5 : « = 73*'55'1 7".86,
d= — 2^27'49".03 donne la position normale, rapportée à Féquinoxe
moyen 1880.0:
1883janvier3.3a«:73o33'17".18 S = - 2o 27' 46".73
20
NOUVEAUX ÉLÉMENTS DE L'ORBITE
OBSERVATIONS D EUCHARIS FAITES EN I88S.
Temps moyen de Berlin —
Temps de Taberration.
Observatoire.
de l'étoile.
a[(181)obs.
S(18l)obs.
Juin 19.4i94
Nice
31
nh 5"» 6».98
+ 0» 17' ir'.2
» 20.4271
»
a>
17 4 24.43
+ 0 15 13.0
JuiUct 10.4743
»
30
16 52 13.37
- 0 49 10.0
» 15.4396
»
29
16 50 2 08
- 1 11 39.7
POSITIONS DES ÉTOILES OË COMPARAISON.
N»
de l'étoile.
Autorité.
a (1883.0).
0(1885.0).
Ëpoques.
Nombre
desobKmtioDs.
•
Poids.
Schj.
16»» 51" 0-.40
- lo 3' 38".9
63.4
2
0,1
Gôtt.
0.29
39.3
67.9
2
0,1
ZN.
0.38
38.0
83.5
2
1
R.
0.38
39.0
87.4
3.2
i.l
S.
0.49
38.0
87.5
4
2
Lb.
0.45
37.4
87 5
5.3
2
29
16 51 0 44
- 1 3 38.2
Peut-être existe-t-il un faible mouvement propre en ascension droite;
par ce molif^ j^ai rejeté les observations anciennes. L'AR observée par Bessel
est (1822.9)a=46>»51"0*.20; Lamont donne 0\25.
Gôtt.
16»» 52" 5'.90
- 0 57
53.7
67.9
2
1
ZN.
5.83
53.7
83.5
2
1
R.
5.73
55.1
87.4
3.2
i.l
s.
•
5.96 .
b4.0
87.5
6
2
30
16 52 5.89
- 0 57
54.1
2
Schj.
17 2 54.99
4 0 11
1.1
63.5
1
0.4
ZN.
m
54.46
4.8
83.5
2
1
R.
54.36
3.8
87.4
3
i.l
S.
54.57
3.7
87.5
6
2
Lb.
54.56
3.7
87.5
4.6
2
31
17 2 54.53
+ 0 11
3.7
DE LA PLANÈTE (181) EVCHARIS.
21
Les observations d^Eucharis faites en 1885 ont été comparées aux
éléments (II). En réunissant dans une moyenne les difTérences : observa-
tion-calcul^ qui résultent des deux premières observations^ on trouve :
DATES.
Observ.-calc.
Aot cos $. I AS.
1885 juin 19.9
» juillet 10.5
» .> 15 4
-0M35
- 0.11
4- 0.18
- 0".2
- 1.0
- 1.8
Étoile.
31
30
â9
Poids.
1 4
1
1
Diaprés les éléments (II) la position d'Eucharis rapportée à Péquinoxe
moyen 1890.0 est pour
1883 juillet. . . 3.5 a = 234o2'18".92 5 = — 0«22'6".48.
En ajoutant à cette position la moyenne des corrections données ci-dessus
Aa = — 0".56, tki= — 0".89, on trouve la position normale rapportée à
Téquinoxe moyen 1 890.0 :
1885 juillet. . . 3.5 a = 254o2'l8".36 8 = — .0o22T'.37.
OBSERVATIONS d'eUCHARIS FAITES EN 1886.
Temps moyqn de Berlin —
Temps de Taberration.
Juin 22.4676
j) 25.4711
» 25.5060
» 26.4884
» 27.4665
» 28.4783
» 28.5369
» 29.5530
Août 6.4562
» 20.3972
» 25.4468
» 28.4151
Observatoire.
N«
de l'étoile.
(x(181)obs.
$(181)obs.
Nice
»
Alger
Nice
»
Alger
Paris
»
»
Berlin
»
Nice .
42
43
40
43
41
40
40
39
38
36
37
35
20h 52»
20 51
20 51
20 51
20 50
20 50
20 50
20 49
20 24
20 15
20 12
20 11
43>.20
34.16
33.38
8.64
43.16
16.31
14.22
45.69
47.74
28.60
36.76
5.97
7ô 55'
8 3
8 3
8 6
8 9
8 12
8 12
8 15
11 27
12 55
13 26
13 44
16".9
15.6
21.1
10.5
4.0
12.1
24 2
38.9
47.3
31.2
33.1
22.2
23
INOUVEAUX ÉLÉMEINTS DE L'ORBITE
Temps moyen de Berlin —
Temps de Taberration.
Observatoire.
No
de l'étoile.
a(181)0bs.
S(l81)obs.
Août 29.3786
» 3i.3990
Sept i .3340
» 2.3259
Nice . .
Vienne .
»
»
a • ■
33
33
32
34
20>' 10" 38i.09
20 9 42.93
20 9 19.10
20 8 54.65
13 50 5.6
U 1 53.2*
14 7 17.4*
14 12 59.1*
* Observations faites an moyen d'un micromètre circulaire. — Le 2 septembre l'observation a été tronblée par une petite
étoile qui se trouvait dans le voisinage de la planète.
POSITIONS DES ÉTOILES DE COMPARAISON.
N»
de l'étoile.
Autorités.
0
t(l880.0).
5(1886.0).
Époques.
Nombre
deiobienratieitt.
Poids.
AN.
20b
6» 25*06
- 14» 7' 50".2
60.7
2
1
P.
24.91
51.7
67.2 65.0
2.3
1
Y.
25.00
52.7
71.9 66.2
8
2
T.
25.08
53.6
86.7
3
2
S.
24.93
52.8
87.7
1
1
32
20
6 25.01
- 14 7 52.5
Y.
20
6 57.72
- 14 1 16.4
69.3 56.4
3
T.
57.77
11.7
86.7
2
1
S.
57.70
14.9
87.7
5
2
33
20
6 57.72
- 14 1 14.5
Schj.
20
7 47.33
- 14 14 8.2
1
1
T.
47.14
10.2
86.7
3
2
S.
47.12
10.0
87.7
7
4
34
20
7 47.16
- 14 14 9.8
Schj.
20
8 45.95
. - 13 43 43.3
1
1
P.
45.86
43.4
64.4 65.7
4.3
2
Y.
45.68
42.0
68.8 61.2
2
1
Cord.
45.81
45.3
77.8
4
2
T.
45.88
43.6
86 7
3
2
S.
45.80
43.3
87 7
9
4
35
20
8 45.83
- 13 43 43.3
m
DE LA PLANÈTE (184) EVCHARIS.
33
de l'étoile.
36
Autorités.
«(1886.0).
3(1886.0).
Époques.
Nombre
detobienationi.
«a Capricorni (Berliner astron. Jahrbuch).
Poids.
37
Kr.
20»» 13»
20i.04
- 130 âO' i4".o
86.7
2
Kr.
âO 22
22.02
- 11 27 54.4
86.7
2
1
T.
22.02
54.8
86.7
5
1
38
.
20 32
22.02
- 11 27 54.6
M.
20 48
53.11
- 8 14 3.5
1
1
Bi»
53.22
2.5
1
Kr.
53.21
2.6
86.7
2
2
T.
53.22
2.0
86.7
3
2
39
20 48
53.20
- 8 14 2.5
Schj.
20 30
1.09
- 8 9 2.5
1
1
1
1.23
4.9
86.7
2
T.
1.15
4.7
86.7
4.3
3
S.
1.23
5.0
87.7
. 5.9
4,5
40
20 50
1.19
- 8 9 4.7
P.
20 51
34.35
- 8 9 6.2
65.2
2
2
Schj.
34.30
6.1
1
1
T.
34.40
7.0
86.7
4
3
41
20 51
34.37
-8 9 6.6
43
s
20 52
50.33
- 7 54 21.0
Schj.
20 53
21.61
- 8 3 58.0
1
1
T.
21.58
61.1
86.7
4
3
.
S.
21.52
61.1
87.7
5.9
4.5
43
20 53
21.55
- 8 4 0.8
< L'étoile a été comparée au o* 40. * L'étoile a été comparée aa n« 41. > L'étoile a été comparée au ii« 43.
Les observations d'Eucharis faites en 1886 ont été comparées aux
éléments (II). En réunissant dans une moyenne les différences : observa-
u
NOUVEAUX ELEMENTS DE L'ORBITE
lion-calcul^ qui se rapportent à une même étoile de comparaison^ on trouve :
DATES.
1886 juin 22.5
» » 25.5
» » 27.0
» » 27.5
I) » 29.5
D août 6.5
» » 20.4
» » 25. i
» » 28.9
» ....... 51.4
» sept 1 .3
n » 2.3
Observ.-calcul.
Aa cos 0. AS.
Étoile.
Nombre
des différ.
Poi
- 0».i8
[i- 7".7]
42
1
h
+ 0.015
f 0.8
43
2
1
* 0.06
4- 0.6
40
3
2
-OU
+ 0.5
41
- 0.37
+ 1.4
39
- 0.07
- 0.8
38
-0.15
- 2.2
36
- 0.08
- 0.4
37
- 0.095
- 0.65
35
2
- 0.10
-0.1
33
-1^ 0.16
- 0.6
32
+ 0.33
- 2.0
34
X
t
La moyenne des corrections résultant des observations faites au mois de
juin est A«= — 1".09, A(J= +0''.78.
Les autres observations donnent Aa = — 0".88, A(J= — 0".90. Diaprés
les éléments (11) les coordonnées d'Eucharis rapportées à Téquinoxe moyen
1890.0 sont pour
1886 juin 27.5 <x«312o43'29".67 5 = — 8» 8'26".73,
» août 26.5 a =r 303 3 50.46 5s — 13 32 20. 76.
m
En ajoutant à la première position les corrections résultant des observa-
tions faites au mois de juin et à la seconde les corrections déduites des
observations faites aux mois d'août et de septembre^ on trouve les positions
normales d'Eucharis^ rapportées à Péquinoxe moyen 1890.0:
1886 juin 27.5 a = 312o43'28".58 $=- 8«> 8'23".95,
» août 26.5 a == 303 3 49 . 58 S = — 13 32 21 . 66.
Par suite de renseignements donnés par M. Trépied, deux observations
faites à PObservatoire d'Alger au mois de septembre ont dû être rejetées.
DE LA PLANÈTE (i8l) ËUCHARIS.
25
OBSERVATIONS D EUCUARIS FAITES EN 1887.
TtMHps moyen de Berlin —
Temps (le l'aberration.
i
Observatoires.
Numéro
de rétoile.
a(l8l)0bs.
o(l81)obs.
Oct 21.4563
Berlin ....
47
1»» 32n. 3l».0i
- 16<> 21' 44"2
» âo.i605
» ....
i^
l 9 46.23
- 16 42 38.2
)» -26.5162
Vienne ....
))
1 9 5.51
- 16 47 17.4
Nov 5.3860
Ni(M'
15
1 5 10.73
- 17 17 31.4
» «.3157
»
))
1 1 15.40
- 17 22 5.6
>' 10.3397
»
»
1 0 47.93
- 17 22 52.3
» 11.3118
»
il
1 0 25.11
- 17 22 46.9
POSITIONS DES ÉTOILES DE COMPAHAISON.
>
<ie l'étoile.
Autorités.
a (1887.0).
0(1887
.0).
Époques.
Nombre
tlesobsenations.
Poids.
Bord. »
(>•• 57»» 57».88
- 17» ir
10".2
83.3
2
2
S.
57.99
8 7
87.9
1
1
14
0 57 57.92
- 17 11
9.7
Bord. *
1 0 5.06
- 17 12
24.9
82.8
r
1
S.
4.98
25.6
87.9
2.1
2.1
4:»
1 0 5.01
- 17 12
25.2
46
S.
1 H 58 21
- !0 45
46.7
87.9
1.2
Br. ^
1 14 24 53
- 16 24
16.2
70 6 67.9
3.2
1
Cord.
24.40
16.4
77.4
5
2
47
1 14 24.38
- 16 24
16.3
1 M. Rayeta bien voulu me faire connaitre les étoiles fondamentales, dont il s'est servi pour déterminer les positions des
deux étoiles. Afin que ces dernières se rapportent au système du ACCII je les ai corrigées de A« *■ -♦-O'.Oi, A^ — -— 0"5
- La moyenne des différences AGCII —Br pour les sept étoiles communes à ces deux catalogues entre 0^ et 3* est
\% = -f-OHK). a5 = --0".8; ces quantités ont été ajoutées aux positions prises du nouveau catalogue de Bruxelles.
Les observîjlioiis trEucharis faites en 1887 ont été comparées aux élé-
ToHE Ll. 4
26
r *
NOUVEAUX ELEMENTS DE L'ORBITE
menis (III). En réunissanl dans une moyenne les diiïérences : observation
calcul^ qui se rapportent à une même étoile^ on trouve :
DATES.
Obscrv.
A X cos 5.
-calcul.
A5.
Étoile.
Nombre
des diffêr.
1888 oct
. 21.5
- G». 50
- 0.30
- 0.45
- 0.57
- 2".6
- 4.4
- 3.0
- 3.7
i7
46
45
14
1
^> » ....
)) nov
» » . . . .
. 56.0
8.3
. 11.3
3
1
Poids.
1
1 i
5
1
D'après les éléments (III) la position d'Eucharis rapportée à Téquinoxe
moyen i 890.0 est pour
1887 nov. 5.5 3c = ICo I5'18'M7 o = — 17« I0'35".40.
En ajoutant à celte position la moyenne des corrections données ci-dessus
A« = — 7".38, A^« — 3". 70, on aura la position normale d'Eucliaris
rapportée à Téquinoxe moyen 1890.0.
IHH7 nov. 5.5 a = 10" 13' 10". 70 o « — 17" 10' 50 ".55.
CORRECTION DE8 KLÉNËNTS (lit).
Dans ce qui précède nous avons déterminé dix positions normales
d'Eucliaris^ les voici :
T(Mnps nioypn de Berlin.
1887 février 11.5
» mars 31). 3
1879 juin 1.5
1880 juin 12.5
1881 septembre 17.5
1883 janvier 5.5
Equinoxe moyen : 1880.0
2
1
i4ro
4'
55".24
+ 12o
35'
23" 85
143
39
58.25
+ 19
36
30.89
220
33
56.91
+ 7
42
9.83
286
19
22.71
- 4
58
21.03
335
44
12.86
- 16
56
33.91
73
17.18
- 2
27
46.73
DE LA PLANÈTE (ISl) EVCHARIS.
27
Temps moyen do Berlin.
l*)quinoxe moyen : 4890.0
a.
4885 juillet 3.3
1886 juin i7.5
» août i6.5
4887 novembre 2.5
234« 2'
312 43
503 3
16 43
18".36
28.58
49.58
10.70
0.
- 0"
22'
7".57
- 8
8
25.95
- 13
32
21.06
- 47
40
36.25
Ces positions normales dilTèrenl des positions d'Eucharis^ calculées à Paide
des éléments (III) el en tenant compte des perturbations exercées par
Jupiter, Saturne et Alars^ des quanlilés qui suivent :
DATES.
KLKNEillTS III.
Observ.-calcul.
acoso.
A-:.
ELEMENTS IV.
Ohserv.-caïcul.
Aotcesd. I Ao.
4878 février 11.5
» mars ' 2î).5
1879 juin 1.5
4880 juin 42.5
4881 septembre 47.5
1883 janvier 5.5
4885 juillet 3.5
4888 juin 27.5
» août 26.5
4887 novembre 2.5
+ 4".$«
+ 2.08
4 3.34
- 2.15
- 1.20
- 0.04
- 1.10
- 3.31
- 3.06
- 7.05
f 0".41
+ 0.16
- 4.31
+ 4.8?>
- 1.30
-I 0.68
+ 0.80
+ 0.79
+ 1.11
- 5.70
4 0".23
- 1.48
4 I 96
- 1.68
^ 0.42
1 1.68
4 0.66
+ 0.09
+ 0.24
- 0.97
- 0".22
- 0.80
- 1.95
4 4.53
- 0.57
4^ 1.77
- 0.22
4 0.85
- 4.08
- 1.63
Les coedlcients des équations de condition ont élé calculées au moyen
des formules déduites par iM. Sclionfeld.
Posons :
ilk = Um -h cos idU ,
(/Aj= dk ■+■ sec* ©«/Mo ,
iCa r= sin oxli — cos to sin idù ,
f/v = cos (tw/t -4- sin (0 sin idÙ ,
les équations de condition sont de la forme :
A « cos 0
ou . ^ J -f V
Ao
= Adki 4- B t^ç 'i(/Mo 4- VaIix -f- D</v -h KdA -4- Ft/v
28
.NOLVEALX ELEMENTS DE LORBITE
Voici les logarillimes des coeflicienls ainsi c|iie ceux des différoncos
^a cos<? et My ces diiïérences prises dans le sens : observalion-calcul :
Log A.
8 5884«,
9,4577„
8.77»9
».4<97„
9.0474.
1. Ascensions droites.
l^A.
UgB.
Loge.
Log D.
LogE.
Log F.
Ia^Axcoso
0.3069
0.3618
3.464i„
0.4360
8 4000
8.4742
0.6922
0.1282
0.2372 "
3.3797„
0.3688
7.2228
7.480i
0.42T9
o.i(m7
0.2426„
2.9248„
0.2382
9.3488.
9.3!83
0.5237
0.1128
0.3«>0^
2.. 5436.
«.3885„
9.2373.
8.0195.
0.3329.
U.1432
0.1340„
1.00I2„
0.3744.
8.4988
K.8018
0.077G.
0.1016
0.ri096
3.0271
0.0127.
9.3050.
8.8136
8.6017.
0.1005
0.3403„
3.0648
9.8806
0.4268.
8.8Î>28
0.0414.
0.1 (m?i
0 32?>4,.
3.2162
0.08IHI.
8 6802.
8.3767.
0.5193.
0.1172
0.3302^
3.2l:i0
O.OÎM)!.
8.95r>7„
8.76:i4„
0.4860.
0.1444
n. 7.^97
3..'i616
0.4612.
8.8238.
0.4018
0.8481.
Log B.
Log C.
2. Déclinaisons.
Log 1).
8.6372.
9 0694.
9.4676
9.5633
9.1503.
9.7542
9.6460
9.1940
9.2162
9.1813.
1.8190
1.1531
2.3791
1 9017
1 .3320.
2 19Ô0
2.3379.
1.6775.
2.1569.
2.6253
8.8r>92„
9.2010
9 6869.
8.8427.
8.7964.
9.6404.
9.3796.
8.2668.
9.0688
9.7296.
Poids.
9
6
1
1
4
4
4
Log E.
l-og F.
Log Ao.
Poids.
0.0162
0 0904
9.6128
18
9.8252
0.0828
9 2041
12
9 9727.
9.9421
0.1173.
4
0.1122,
8.8744.
0.2G72
j
9.7934.
0.0965.
0.1761.
4
0.1586
9.4672.
9.8323
4
0 0846.
9.3505
9.i)031
4
0.0648„
9.7614.
9.8976
8
0.0403.
9.8700.
0.0453.
8
9.rv4H8
0.1278.
O.Î^>752„
8
En Irailanl ces équations de condition d'après la méthode des moindres
carrés, on trouvera les corrections suivantes des éléments (111) :
rfMo=-t-0".62
erreur niovenne
=tr'.2o,
rfo) =-4-0.31
»
ztl.77,
rfû- 1.42
))
:t1.17,
di =-4-0.85
»
±0.38,
ih =^0.46
»
rb 0 . 58,
(/a = — 0.00126
»
zfc0.0(Mi:i:i
DE LA PLANETK (18i) EVCIIAIUS.
liln njoulaiU ces corrections aux cléments (III), on aura les
:29
> r
ELEMENTS (IV) DE LA PL4nETE EUCIIAUI8.
Osculation et époque : 1881 août 31.0 temps moyen de Berlin.
M = 264«38'3r'.7
(ossSIO 51 8.2
Û — 144 46 i . 8 ^ Équiiioxe moyen 1880.0.
î = 18 5:> 29.2
'^= 12 44 4".6,
ijL = Ca4".:i0158,
iog« = 0 . 4a">8ri?Ji .
(0 = r>io«îHMrr.37
11 = 144 54 17.43
;= 18 3:> 2i.m)
Équinoxo moyen 181)0.(».
J'ai déjà fin'l connaîlre pour les dix positions normales les erreurs : obser-
valion-calcul, correspondant aux élémenls (IV). Voici encore les conslanles
dont on a besoin pour calculer les coordonnées reclangulaires de la planéle
rapportées à Téqualeur (Oppoizer, /. c, p, 462).
Équinoxe moyen 1880.(1
.
Éqninoxe moyen 1890.0.
A = 230M2' 2"
M
A =2300 20' 7".94
B^-. 147 41 5;i.
02
B = 147 49 24.90
C= 93 54 17.
14
C = 94 2 54 57
logsina=9.9«2527l
sin 0 5= 9.5:925797
. logsin/; =0.9958029
sin h = 9.99B8279
log sine =9.3020224
sinr =9.3603938
logcosa =9.2046434
en 0=9.2631357
lo«[cos^ = 9.1410050„
en /;=9.1397159„
logcosf =9.9881815
en f= 9.9882612
• •
o
,:'II'J
DiiSTRAÏIi PRAÎ
l
DE
f
n DE U NIJTITION
PAR
L. NIESTEN,
ASTRONOME A L OBSERVATOnB KOYAL DB BRUXELLES.
( Présenté à la Classe des sciences dans la séance du 5 mars 1887. )
ToMi LI.
\
DÉMONSTRATION PRATlOll
DE
L'EXISTENCE DE LA NUTATION DITJEM.
Malgré la précision avec laquelle les observations méridiennes se font de
nos jours et malgré le soin avec lequel ces observations sont réduites, il
existe, dans les principaux catalogues d'étoiles, des différences considérables
pour les étoiles circompolaires, entre les positions observées et celles qu'in-
dique le calcul. La nutation diurne étant prouvée théoriquement dans le
savant mémoire de M. Folie : Théorie des mouvements diurne y annuel et
séculaire de l*axe du monde, il était du plus grand intérêt de rechercher si
ces différences, qui se montent à plusieurs secondes pour les étoiles voisines
du pôle, ne pouvaient s'expliquer par le fait de termes dépendant de la
nutation diurne et dont jusqu'ici les astronomes n'avaient pas tenu compte
dans la réduction de la position apparente des astres à leur position moyenne.
C'est dans ce but qu'a été entrepris le travail que j'ai l'honneur de
présenter à l'Académie.
Si la valeur obtenue pour le coefficient de la nutation diurne doit être
considérée comme une valeur approchée qu'une longue série d'observations,
faites dans le but spécial de la mettre en évidence, viendra améliorer,
toutefois la concordance des diverses valeurs trouvées pour ce coefiGcient,
par des séries d'observations faites dans différents observatoires^ doit
permettre de conclure avec une très grande probabilité à la réalité de
l'existence de la nutation diurne.
4 DÉMONSTRATION PRATIQUE
Daos le mémoire cité plus haut^ M. Folie est conduit aux formules sui-
vantes, pour les variations apparentes du lieu d^un astre produites par le
mouvement diurne de Taxe du monde :
(!) Ac^sssin aAoi -t- cosasiaaA^.
(3) àa='COS «Af H- tg (? (sin a sin caà^ — COS alto).
où a et (^sont Tascension droite et la déclinaison de Pastre^ àa et àâles
variations apparentes de ces coordonnées dues au mouvement de Taxe du
monde^ et dans lesquelles
rco8(A-4-2D-2f) cos(A-2D-2yn rcos(AV2P'-gy) cos(A'— 2D^~2y)1
^^^^"^^ L («.-P)(«.-i) ^ (r,-p\r,-i) J" 1 (,;-p)(,;-i) ~(rî~^,':rî) y
iL^ . ^r8in(A^2D-2f) 6in(A-2D~2^)l ^sîn(A^f.îD^-2^) sin(A'-.2D^-2?)1
Dans les formules (3) et (i)
A et D = ascension et déclinaison du Soleil.
A'etD'= ascension et déclinaison de la Lune.
f = Tangle que l'axe des x fait, dans le sens du mouvement de rotation de la
Terre, avec la ligne équinoxiale, ou réduit en temps, Theure sidérale du
premier méridien, en prenant pour premier méridien celui qui passe par
Taxe des x.
h
p=«-. = 0,0033 cl f^%{%.
A
/ a, rapport du mouvement en ascension droite du Soleil
n pendant 1 jour sidéral à 360*".
<r,
r, = a, — 2(1; — 1 [ <^, = - rapport du mouvement en déclinaison.
\ n
8f s= Of -i- 2^1 — i )
\ rapport pour les mouvements de la Lune.
La formule (2)^ que nous emploierons particulièrement dans cette étude^
DE L'EXISTEiNCE DE LA MUTATION DIURNE. {
devient en y remplaçant A&) et At// par leurs valeurs (3) et (4) et en rem
plaçant S par (s^ — jS) («â — i) et R par (r^ — /3) (r^ — 1 )
cos ^ ^ ( sîn (A -H 2D — 2?) sin (A — 2D — 2?)
9in » ( S R
cos (A -^ 2D — a — if) C08 (A — 2D — a — 2f )
(5) . . . .
KtgJ
pi col a
S R
sin (A' -^ 2D' — 2?)) sin (A' — 2D' — 2f )
flii^S
S' R'
cos(A^-h2D^ — g — 2y) cos(A' — iD' — 2^)
S' R^
Dans cette expression, outre Pinconnue K, il existe une autre inconnue
renfermée dans 9, c'est L, la longitude orientale du lieu d'observation par
rapport au premier méridien.
En effet, à Pheure y correspond Theure sidérale 9 + L = T, pour un
lieu d'observation dont la longitude orientale est L par rapport au premier
méridien. Remplaçant dans (5) y par T — L
i Tsin (A + 2D — 2T) sin (A — 2D - ST)!
A a = co l « K cos 2L 1
, ^ rcos(A 2D — 2T) cos(A — 21) — •âTnj
-H K sin 2L ^ )
[S K J»
. ( -, .., r^^os ( A H- 2D — a — 2T) cos (A — 2D — a — 2T)1
-4- iaê\K cos 2L ^ -' î^ ^
- .r . ^. rsi"(A-^2D — a-2T) C05(A— 2D — a — 2T)1 )
_ K «n 2L [^-i ^ 1 ^ ^^J j
. Fcos (A^ — 2D' — 2T) cos (A^ - 2D^ — 2T)1 )
. . 1 .r «. fcos (A' 4- 2D' — « — 2T) cos (A'— 2D'— a — 2Tn
4./-lg<ï JKco8 2L|^— i ^; L i « J
„ . ,rs«n(A'-^2D'— a— 2T) sin(A — 2D'— a — 2T)'| J
-.Ks.n2L[-l g; ^ /J(.
DÉMONSTRATION PRATIQUE
Si Ton pose j^ » K cos 2L et x^=^K sin 2L, on aura :
Aa = y U sin (A -+- 2D — 2T) — - sin (A — 2D— 2T) 1 col «
-4- X I R cos(A + 20 — 2T) — ^ sin (A — 2D — 2T) 1 col «|
^ y j ri sin (A' -«- 2D' — 2T) — 1 sin (A' — 2D' — 2T)1 fcoi « j
4- flp I jl cos (A' -h 2D' — 2T) — 1; sin (A' — 2D' — 2T)1 fcoi »
-^- y L cos ( A -♦- 2D — a — 2T) — - C08 (A — 2D — a — 2T) fg .J |
— X I [i sin (A -+- 2D — « — 2T) — g sin (A — 2D - a — 2T) 1 Ig cT |
-f. y j fi cos(A' + 2D' - « - 2Tj - 1 cos (A' - 2D' - « - 2T)1 fi^â\^
— X j [i sin (A' H- 2D' — « — 2T) — i sin (A' — 2D' - « - 2T)1 /"ig ^j
Si dans une série d'observations^ on compare Tobservation de Fascension
droite moyenne calculée A à Fascension droite observée Aq^ on pourra former
autant d'équations de condition de la forme
A -♦- (Aoe) y -♦- [àa] x — Aq =» 0,
qu'on aura d'observations^ d'où Fon pourra tirer la valeur de^^ = R cos 2L
et or » K sin SL^ et par suite les valeurs de K et de L.
DE L'EXISTENCE DE LA MUTATION DIURNE. 7
Si Tou applique les formules précédentes, on trouve :
l*» Par 38 obsen'ations de la Polarissime faites à K. l.
Kiew en 1870, on trouve —0*209 42«32' W. deGreenwich.
2® Par 63 observations de a Ursae majoris faites à
Pulkowa en 1861, 1862, 1868, 1869 et 1870. — 0,181 6« —
3® Par 73 observations de a Ursae majoris faites à
Greenwich en 1869 —0,124 28» —
4/^ Par 57 observations de a Ursae majoris faites à
Washington en 1870 —0,175 8« E. de Greenwich.
5® Par 16 observations de S Ursae majoris faites à
Pulkowa en 1869 -0,321 52« W. de Greenwich.
6« Par 22 observations de X Ursae minoris faites à
Bruxelles en 1861 et 1862 — 0,100 26* —
7<» Par 12 observations de a Octantis faites à Cor-
dobaenl874 —0,110 26« —
8<' Par les observations de R Cephei faites à Bonn
en 1863 et 1864 -0,136 17» —
La moyenne de ces déterminations donnerait :
K = — 0'M69 et L « 24" W. de Greenwich.
POLARISSIME (Kiew, 1870).
Dans le vol. II des Annales de l'Observatoire de Kiew se trouvent rensei-
gnées les observations de la Polarissime dont Tascension droite moyenne
au l*' janvier 1886 est 18**li"14' et dont la distance polaire est0^5'41",10.
Les différences entre les positions observées et celles calculées sont données
en coordonnées rectilignes. Nous avons donc dû, en premier lieu, convertir
en coordonnées polaires les valeurs observées et les valeurs calculées, données
en coordonnées rectilignes. Le détail des calculs se trouve renseigné au
tableau A.
8 DEMONSTRATION PRATIQUE
De toutes les observations qui ont été faites dans une même soirée, nous
n^avons utilisé que celles qui correspondaient au passage au méridien.
Le tableau B donne les détails du calcul des termes relatifs au Soleil et à
la Lune :
et
R==(..-0(r._i).
Le tableau C donne les valeurs des ascensions droites et des déclinaisons
du Soleil et de la Lune pour les instants des observations et celles des valeurs
des termes
sio (A -♦- 2D — 2T) sin (A — 2D — 2T)
cos (A' -♦- 2D' — 2T) ®^ cos (A' — 2D' — 2T)
sin (A -♦- 2D — « — 2T) sin (A — 2D — a — 2T)
cos(A'^-2D'— a — 2T) ^^ cos(A'— 2D' — a— 2T)
et aussi celles de
sin (A -♦- 2D — 2T) sin (A — 2D — 2T)
cotu
coto
s R
cos (A — 2D — 2T) cos (A — 2D — 2T)
S R
et
sin (A ^ 2D — « — 2T) sin (A — 2D — a— .2T)
Ig^
ig$
S R
^cos(A-*-2D — « — 2T) cos(A — 2D -a-2T)
i s R
et les termes analogues relatifs à la Lune.
Le tableau D donne enfin la formation des coefficients de or et de ^ dans
les équations de condition correspondantes aux observations.
N. B. — Nous avons donné en détail les calculs relatifs à la Polarissime ;
pour les autres étoiles^ nous n'avons transcrit que les éléments qui servent
de baseau calcul.
DE L'EXISTENCE DE LA NUTATION DIURNE.
Équation* de e*nditioii.
A+1118.006
y — 598.513
X -+- 63=0.
A+ 290.766
y —1311.921
X + 122=0.
771.237
—1057.142
+ 86
255.774
— 774.876
-+- 423
439.287
—1134.771
+ 318
570.307
— 763.996
+ 456
348.028
—1060.645
-H 199
453.781
— 549.034
-»- 434
1298.262
-h 270.495
-+- 173
674.328
-+- 30.670
-4- 357
1374.067
-*- 52.431
H- 417
896.050
-t- 7.573
-+- 50
1202.247
— 515.499
-+- 346
1060.770
+ 203.956
-+- 823
700.85S
—1935.064
•» 391
1358.928
+ 70.286
-»- 489
832.092
+ 167.490
- 49
842.000
-♦. 68.970
-*-1134
430.594
— 540.887
-t- 33
239.527
— 658.033
-*- 85
328.065
935.665
-4- 321
364.016
— 287.772
90
1272.918
'■*- 477.079
— 62
65.470
— 181.819
-t- 90
234.909
1591.973
■*- 362
617.774
420.511
-1- 402
1683.494
— 596.190
— 269
856.130
— 124.904
-♦- 470
480.363
— 0.182
+ 665
1093.660
— 452.930
+ 665
601.721
+ 384.753
+ 6
495.600
— 562.518
+ 575
821.161
-t- 417.250
-H 801
316.609
— 505.638
-4- 314
1027.975
H- 345.637
-f- 443
177.553
450.021
+1027
A+1312.707
•*- 162.174
■*- 449=0.
Ah 358.781
+ 223.233
-H 578=0.
Avec ces équations de condition on peut former les équations normales
suivantes :
38 A + 27325.75 y — 14120.40 x -t- 13079 = 0
27.32575 A -^ 24336 y — 6375 x + 9015 = 0
— 14.12040 A — 6375 y + 19351 x — 3951 = 0.
qui donneront les valeurs suivantes :
A = - 31 ',9
log x «= ï.0497451„ log y =. 1 .2465724,
d*où Ton déduit :
K = - 0",209 et L = 73o 46' 50" W. de Kiew.
= 42» 32' W. de Greenwich.
Tome LL
2
10
DÉMONSTRATION PRATIQUE
TABLEAV A.
Valeurs de ObservtUion — Ckileul en Ascension droite.
No
d'ordre.
1
1879. Mai
Juin
Juillet
•
•
Août
AIES.
91 . .
9
3
6 . .
14 . .
4
15 . .
•
5
17 . .
0
18 . .
7
8
90 . .
91 . .
0
99 . .
10
94 . .
11
95 . .
13
13
1 . .
9 . .
14
4 . .
15
7 . .
10
17
11 . .
19 . .
18
13 . .
19
15 . .
90
91
18 . .
19 . .
92
90 . .
93
94
91 . .
95 . .
95
99
97
96 . .
97 . .
30 . .
98
1 . .
99
3 . .
80
81
39
33
4 . .
6 . .
8 . .
9 . .
34
19 . .
85
10 . .
36
17 , .
37
88
18 . .
91 . .
OBSERVATION
- CALCUL.
Coordonnée
Coordonnée
rectiligne.
polaire.
- o;i9
- 65"
- 0,16
- 86
- 0,59
- 318
- 0,37
- 199
- 0,59
- 173
- 0,77
- 417
- 0,04
- 346
- 0,79
- 391
•1^ 0,09
* 49
- 0,06
- 33
- 0,S9
- 891
+ 0,09
•1- 69
- 0,66
- 369
+ 0,49
4- 969
- 1,21
- 665
- 0,01
6
- 1,45
- 801
- 0,80
- 445
- 0,81
- 449
- 0,92
- 199
- 0,76
- 493
- 0,89
- 456
- 0,78
- 434
- 0,04
- 357
- 0,09
- 50
- 1.47
- 893
- 0,87
- 480
- 1,98
- 1134
- 0,15
- 85
+ 0,16
+ 90
- 0,16
- 90
- 0,71
- 409
- 0,83
- 470
- 1,17
- 665
- 1,01
- 675
> 0,55
- 314
- 1,80
- 1027
- 1,01
. 578
DE L'EXISTENCE DE LA ^UTA^ION DIURNE. H
TABULAI! B.
d*ordre.
Valeurs de
R.= (r.^l)(r,-|)
DATES. di
1 1879. Mai 91 ^ 10;015
9 Juin 6 10,300
3 14 10,383
4 15 10,300
5 17 10,399
0 18 10,409
7 90 10,404
8 91 10,404
9 99 10,409
10 94 10,395
11 95 10,390
19 Juillet 1 10,340
13 9 10,399
14 4 10,504
15 7 10,969
16 11 10,197
17 19 10,179
18 13 10,161
19 15 10,191
90 18 10,058
91 19 10,030
99 90 10,013
93 91 9,989
94 95 9,890
95 96 9,864
96 97 9,839
97 30 9,769
98 Août 1 9,710
99 3 9,660
30 4 9,635
SI 5 9,610
89 8 9,538
33 9 9,515
34 19 9,445
35 16 9,357
36 17 9,335
37 18 9,314
38 91 ..... . 9,959
n
îrfi
2d|
n
0,00
0,00
977
^ 6i;i9
115
985
+ 31,98
058
987
+ 15,19
098
988
^ 13,06
094
988
+ 8,99
016
988
+ 6,86
013
988
+ 9,79
005
988
- 0,66
001
988
- l.«
003
988
- 3,54
007
988
- 7,60
014
986
- 19,84
037
986
- 91,86
040
985
- 95,86
048
984
- 31,80
059
989
- 39,54
075
989
- 41,44
076
989
- 43,39
080
980
-47,06
087
979
-59,50
007
978
- 54,98
100
977
- 56,09
103
977
- 57,74
107
974
- 64,46
119
975
- 66,08
199
973
- 67,68
195
970
- 79,39
133
969
- 75,39
159
968
- 78,99
144
967
- 79,64
147
966
-.81,04
149
964
- 85,08
157
964
- 86,38
159
969
- 90,19
166
959
- 94,79
174
959
- 95,89
177
958
- 96,88
179
956
- 09,86
184
12
DÉMONSTRATION PRATIQUE
TABUBAV B {suite).
Valeurs de
S. = (s, - 1) («. - ^)
R.=(r,-l)(r,-|)
No
d'ordre.
DATES.
5,-i
b
log.S,
r,-l
log. Rj
1
1879. Mai 31.
-1,90610
- 0,99938
•f 0,3999130
-1,99836
- 1,00164
+ 0,3013767
2
JuJu 6.
1,09657
0,99975
0,3001835
1,99773
1,00101
0,3009644
3
14.
1,90685
1,00013
0,3005997
1,99741
1 ,00069
7689
4
15.
1,99688
1,00016
0 3004432
1,99736
1,00064
7255
5
17.
1,99696
1,00024
0,3004650
1,99728
1,00056
7038
6
18.
1,99699
1,00027
0,3005984
1,99725
1,00053
6604
7
30.
1 ,99707
1,00035
0,3005735
1,99717
1,00045
6387
8
31.
1,99713
1,00041
0,3005735
1,99711
1,00039
5735
9
32.
1,99715
1,00043
0,3005953
1,99709
1,00037
5755
10
34.
1,90719
1,00047
0,3006387
1 ,99705
1,00033
5501
11
25.
1,99726
1,00054
0,3006604
1,99697
1,00035
5084
19
Juillet 1 .
1,99751
1,00079
0,3008341
1,99677
1,00005
3780
13
2.
1,99754
1,00082
0,3008341
1,99674
1,00002
5546
M
4.
1,99765
1,00091
0,3008993
1,99667
0,99995
2911
15
7.
1,99775
1,00102
0,5000861
1,99657
0,99985
2260
16
11.
1,99791
1,00119
0,3010945
1,99645
0,99973
1520
17
13.
1,99794
1,00122
0,3010945
1,99642
0,09970
0,3001175
18
13.
1,99798
1,00126
0,3011597
1,99638
0,99966
0999
10
15.
1,99807
1,00155
0,3013348
1,99633
0,99961
0564
30
18.
1,99818
1,00140
0,3013900
1,99624
0,99952
0,2099956
31
10.
1,99833
1,00150
0,3013900
1,99622
0,99950
9869
33
30.
1,99836
1,00154
0,3015117
1,90620
0,99948
9782
33
31.
1,99830
1,00158
0,3013550
1,00616
0,99944
9608
34
35.
1,99845
1,00172
0,3014419
1,00607
0,99935
8999
35
36.
1,99.S49
1,00177
0,3014852
1.00605
0,99935
8912
36
37.
1,99853
r,00180
0,3014852
1,00602
0,99930
8564
37
30.
1,99863
1,00191
0,3015303
1,00507
0,99925
8547
28
Août 1 .
1,99870
1,00198
0,3016155
1,09592
0,99920
7912
39
3.
1,99876
1,00204
0,3016370
1.99588
0,99916
7758
30
4.
1 ,99880
1,00208
0,3016804
1,99586
0,99914
7651
31
.5.
1,99883
1,00211
0,3016804
1,99585
0,99915
7608
83
8.
1,99893
1,00221
0,3017455
1,99579
0,99907
7550
33
0.
1,99895
1,00233
0,3017672
1,99577
0,99905
7042
84
12.
1 ,99904
1,00333
0,3018105
1,99572
0,99900
6608
35
U.
1,99915
1,00343
0,3018973
1 ,90567
0,99895
6301
30
17.
1,99918
1,00346
0,3019406
1,99564
0,99893
6042
37
18.
1,99931
1,00349
0,3019406
1,9(HS65
0,99891
5000
38
21.
-1,99938
- 1 ,00î56
+ 0,3020057
-1,99560
- 0,99888
^ 0,2005868
DE L'EXISTENCE DE LA NUTATION DIURNE. 13
TABUBAV B [suite).
R,«(r.-l)(r."-^)
Valeurs de
DATES. a\ -f
d'ordre. ^
+ 0,0
1 1S79. Mai 91 9,211 5675
9 Juin 6 9,485 4180
3 14 1,906 8168
4 15 9,009 8339
5 17 9,909 8660
6 18 9,964 5768
7 90 9,958 8753
8 91 9,903 8069
9 99 9,189 8544
10 94 9,049 8394
11 95 9,048 8404
19 Juillet 1 9,700 4505
13 9 9,694 4478
14 4 ' 9,450 4079
15 7 1,938 8991
16 11 1,900 8158
17 19 1,976 8984
18 18 9,071 8449
19 15 9,947 8735
90 16 9,955 3748
91 10 9,190 3040
99 90 9,196 3534
93 91 9,078 8454
94 95 9,957 8751
95 96 9,589 8971
96 97 9,595 4194
97 80 9,564 4969
98 Août 1 9,966 8766
99 3 . 9,004 3331
30 4 9,193 8599
81 5 1,879 8111
39 8 1,949 8998
33 9 9,095 3366
34 19 9,961 8758
85 16 9,180 3695
56 17 9J55 5549
57 18 9,115 5519
58 91 9,960 5756
2d',
n'
0,0
+ 5,86
+ 0649
-15,99
- 1764
+ 91,98
+ 9558
+ 17,94
+ 1910
+ 7,40
+ 0890
+ 1,54
+ 0148
-11,56
- 1959
- 17,04
- 1888
- 99,04
- 9449
-98,60
- 3169
- 50,04
- 8399
+ 5,86
+ 0498
- 5,44
- 0389
-17,90
- 1983
- 97,58
- 8056
+ 29,10
+ 9449
+ 18,66
+ 9068
+ 14,50
+ 1607
+ 5,60
+ 0399
- 15,04
- 1667
-9038
- 9314
- 95,96
- 9799
- 98,36
- 3149
+ 96,30
+ 9914
+ 91,68
+ 9409
+ 15,14
+ 1678
+ 9,74
+ 1079
- 99,39
- 2473
- 97,88
- 3034
- 25,54
- 2830
+ 97,3i
+ 3097
+ 90,50
+ 9279
+ 16,50
+ 1898
+ 0,16
+ 0018
- 93,78
- 9635
- 97,70
- 3069
-50,90
- 3346
+ 97,64
+ 3068
14
DÉMONSTRATION PRATIQUE
TABIiEAV B (suite).
Vtdeurs de
S,=(»,-l)(»,-|)
R.=(r«-l)(r.-^)
NO
d*ordr6«
DATES.
(*.-1)
{'-{)
log. S,
(r, - 1)
i'-i)
log. Ri
1
1879. Mai 91.
-1,95676
- 0,96004
+ 0,9738357
- 1,96974
- 0,97509
+ 0,9895919
2
Join 6.
1,97654
0,97969
0,9869105
1,94106
0,94454
0,9651765
3
14.
1,94474
0,94809
0,9656701
1,99190
0,99518
0,9971691
4
15.
1,94751
0,95079
0,9665691
1,99571
0,99899
0,9996564
5
17.
1,95590
0,95848
0,9797743
1,97150
0,97478
0,9857054
0
18.
1,96089
0,06417
0,9766090
4,96385
0,96715
0,9786045
7
90.
1,97506
0,97854
0,9860789
1,94988
0,95516
0,9691781
8
91.
1,98996
0,98554
0,9908437
1,94450
0,94778
0,9755154
9
99.
1,98898
0,99996
0,9959603
1,94014
0,94349
0,9695999
10
94.
1.99775
1,00103
0,3009496
1,93437
0,95765
0,9585871
11
95.
1,99995
1,00958
0,3019594
1,93967
0,95595
0,9564170
13
Jaillel 1 .
1,95069
0,95397
0,9697959
1,95995
0,96955
0,9755159
15
9.
1,95904
0,96959
0,9753584
1,95140
0,95468
0,9709041
14
4.
1,97911
0.98939
0,9887516
1,95945
0,94975
0,9620771
15
7.
1,99835
1,00165
0,8013767
],937i3
0,94151
0,9609994
16
11.
1,94393
0,94791
0,9651909
1,99991
0;90619
. 0,9978977
17
19.
1,94648
0,94976
0,9668688
1,98784
0,99119
0,9944989
18
18.
1,94951
0,95979
0,9689904
1,98165
0,98495
0,9904914
19
15.
1,95866
0,96194
0,9751 159
1,96664
0,96999
0,9804510
SO
18.
1,97919
0,98947
0,9888090
1,94585
0,94915
0,9664469
91
19.
1,98674
0,99009
0,9937763
1,94046
0,94574
0.9697060
99
90.
1,99965
0,99595
0,9976707
1,93667
0,93995
0,9601679
93
91.
1,99688
1,00016
0,3004439
1,93404
9,95759
0,9585444
94
95.
1,93335
0,93663
0,9578898
1,99163
0,99491
0,9969859
95
96.
1,93697
0,93955
0,9598995
1,98451
0,98759
0,9999140
96
97.
1,94198
0,94456
0,9636995
1,97484
0,97819
0,9859159
97
80.
1,94659
0,94987
0,9669409
1,96817
0,97145
0,9814897
98
Août 1 .
1,98707
0,99035
0,9940084
1,95761
0,94089
0,9608050
99
3.
1,99703
1,00031
0,8005084
1,95655
0,95965
0,9599590
80
4
1,99301
0,99699
0,9978931
1,95641
0,93969
0,9599797
81
5.
1,93869
0,94190
0,9614930
1,99916
1,00344
0,5018756
89
8.
1,94500
0,94898
0,9658569
1.99044
0,99379
0,9969044
83
9.
1,94806
* 0,95134
0,9679470
1,98469
0,98790
0,9995860
84
19.
1,96994
0,90559
0,9775046
1,96950
0,96578
0,9774665
85
16.
1,99019
0,99340
0,9959991
1,95749
0,94070
0,9606704
86
17.
1,99590
0,99848
0,9999958
1,95589
0,93710
0,9581075
87
18.
1,99834
1,00169
0,8013550
1,95149
0,95470
0.9565444
38
91.
-1,93181
-0,93509
0,9568156
-1,99507
0,99655
0,9979410
DE L'EXISTENCE DE LA NUTATION DIURNE.
IS
TABUBAV C.
1 sin (A
-f- 2D — 2T)
Sin (A ■
®' /A'
cos(A -
- 2D — 2T)
\ cos(A'
+ 2D — 2T)
- 2D' 2T)
Valeurs
de l
\
1 sin (A
-4-2D— a
— 2T)
sin (A -
^t /A f
cos(A -
2D a
2T)
( cos(A'
+ 20'-. a
— 2T)
-2D'— a-
■2T)
N»
DATES.
Temps sid.
Teaps Mjei
L
UNE
SOLEIL
d'ordre.
de Kiew.
4e fireeewicb.
Asc. dr. moy.
^
Asc. dr. moy.
^
a
1
1879. Mai 31.
18»i93-55;7
13ii34->49;8
4»'36-56«
485«38'18"
3>*53-86:68
+15» 9* 8 4^4
894*38' 0"
S
Juin 6.
18 40 48,3
11 88 46,4
19 21 16
-83 83 19
4 58 86,64
88 48 8,0
894 53 45
S
14.
16 17 30,1
8 44 84,4
1 37 6
+15 41 11
5 31 3.68
83 17 83,8
805 8 15
4
15.
19 48 51,3
18 11 15,1
2 30 53
+30 6 44
5 35 48,77
33 30 36,8
895 3 50
5
17,
19 51 54,8
18 6 36,3
4 11 56
+85 9 8
5 44 6,93
83 84 83,4
895 5 80
6
18.
19 53 58,0
18 3 33,4
5 5 80
426 1 55
5 48 16,00
33 85 46,5
895 6 15
7
30.
19 43 43,6
11 45 28,9
6 54 3
+34 0 57
5 56 58.18
33 87 16,8
895 7 15
8
31.
19 flO 8,4
11 8 57,1
7 46 16
+81 13 45
6 0 35,47
83 87 16,8
395 7 80
.9
33.
19 51 84,5
11 46 16,5
8 39 38
+17 11 85
6 4 51,63
83 87 7,6
895 7 45
10
34.
19 56 34,0
11 43 33.3
10 10 17
+ 6 53 87
6 13 10,83
85 85 80,1
895 8 45
11
85.
19 55 15,4
11 58 19.0
11 8 7
+ 1 1 14
6 i7 18,63
83 85 49,5
895 9 15
1S
Juillet 1 .
80 31 33,1
11 50 44,8
16 48 35
-35 54 45
6 43 18,90
83 6 6,8
895 13 0
15
5.
16 30 58,3
7 53 3,0
17 48 38
-35 55 48
6 45 39,84
83 8 88,0
895 11 45
14
4.
19 56 15,3
11 3 55.5
19 53 48
-30 43 38
6 54 37,50
38 51 58,5
895 11 0
15
7.
19 54 35,9
10 50 28,7
38 87 38
- 5 53 0
7 6 45,09
88 54 11,5
895 10 15
16
. 11.
19 55 44,3
10 35 53,2
1 36 54
+14 44 30
7 33 4,00
88 5 1,0
895 10 50
17
13.
19 51 53,7
10 88 7,4
8 18 37
+18 48 85
7 87 6,97
81 56 48,3
895 10 15
18
13.
19 53 57,2
10 85 14,7
S 1 8
+83 8 40
7 81 10,35
81 48 11,0
893 10 0
19
15.
30 13 13,3
10 37 34,7
4 45 86
+35 53 8
7 39 18,77
81 89 43,1
895 9 15
so
18.
18 33 0,4
8 35 53,1
7 85 3
+33 30 16
7 51 4,33
81 0 14,3
395 6 30
?1
19.
19 54 43,9
10 3 84,7
8 81 59
+18 40 14
7 55 19,88
80 48 46,6
895 5 15
SS
30.
19 61 45,4
9 56 31,7
0 13 10
+14 3 44
7 59 18,94
80 37 59,3
895 4 80
33
31.
30 10 47,7
10 11 35,1
10 4 6
+ 8 36 59
8 3 81,27
80 86 0,9
895 3 15
94
35.
19 9 19,5
8 54 33,2
13 84 83
-14 33 38
8 19 1,76
19 37 13,9
295 0 30
Î5
86.
19 18 31,3
8 53 48,7
14 80 14
-19 33 83
8 83 58,43
19 84 3,8
294 59 45
M
37.
19 51 1,8
9 88 16,9
15 80 88
-83 11 33
8 87 0,34
19 10 14,9
294 58 45
27
30.
30 48 33,8
10 13 4T,8
18 30 1
-34 54 45
8 38 53,61
18 87 85,1
294 54 0
58
Août 1 .
31 30 15,7
10 46 35,2
20 37 43
-18 10 54
8 46 44,75
17 57 17,8
294 50 15
39
8.
1987 33,6
8 37 11,3
38 5 16
- 8 28 38
8 54 8,80
17 87 45,4
294 47 30
SO
4.
30 35 34,1
9 31 10,3
88 53 58
- 8 44 14
8 58 8,35
17 11 14,5
294 46 0
31
5.
19 7 35,8
8 9 32,2
83 36 46
+ 8 89 5
9 1 45,93
16 55 58,7
294 44 30
33
8.
17 40 31,0
6 50 57,2
1 49 19
+16 50 6
9 18 59,05
16 7 1.4
294 40 50
33
0.
18 50 0,1
7 36 18,4
8 39 4
+30 42 47
9 16 57,94
15 49 1,3
294 89 0
34
13.
19 38 7.6
8 2 31,8
5 15 9
+36 3 10
9 88 84,15
14 55 39,5
294 33 30
35
10.
19 50 14,6
8 8 51,6
8 51 58
+16 7 11
0 43 87,08
13 41 7,3
294 24 15
3G
17.
30 8 4î,9
8 17 23,4
9 43 54
+10 53 16
9 47 18,53
13 81 53,6
294 22 0
37
18.
80 16 40,4
8 27 21,3
10 35 10
+ 5 1 43
9 50 57,64
13 8 83.8
294 19 30
28
81-
80 6 10,0
8 5 4,9
13 9 49
-13 0 53
10 8 8,18
+18 5 87,1
294 13 50
46
Valeurs de
DÉMONSTRATION PRATIQUE
TABUSAV C {mite).
I sin (A -t- 2D — 2T)
\ co8(A'-i-2D'— 2T)
sin (A -♦- 2D — a — 2T)
C08(A'-»-2D'— ac— 2T)
et
et
Bin (A — 2D — 2T)
cos(A'— 2D' — 2T)
8in(A — 2D— a — 2T)
cos(A'— 2D'— a — 2T)
No
d'ordre.
A+ÎJ-ÏT
A--i;-2T
A+2D-a-2T
A-2D-a-2T
A'+2D'-2T
A'-2D'-2T
A'+2D'-2T-a
A'-2D'-2T-a
1
-103» 10' 26"
-165054' 4"
-397 44 26
458 22 4
- 74» 16' 21"
-176» V 9"
- 8«44'21"
-110«37' 9"
3
- 80 23 13
171 11 47
375 15 58
466 4 32
316 51 38
223 18 22
251 44 23
158 11 7
3
+ 0 35 33
92 34 3
294 26 42
387 36 18
73 6 8
135 50 52
8 8 23
70 53 7
4
-103 47 38
197 9 22
398 51 8
492 12 52
156 29 17
236 56 13
351 52 47
171 59 43
5
-103 6 59
196 44 31
398 12 29
491 50 1
122 37 44
223 14 16
57 43 14
158 19 46
6
-109 33 28
196 16 3i
397 39 43
491 22 53
108 2 40
212 10 20
43 8 55
147 16 35
7
- 95 19 13
189 8 17
390 26 28
484 15 82
79 49 6
175 52 54
14 56 21
111 0 9
8
- 62 57 41
156 46 49
358 5 11
451 54 19
55 59 45
140 54 45
351 7 15
76 2 15
0
- 97 84 59
191 23 31
392 42 44
486 31 16
71 24 55
140 10 35
6 32 40
75 18 20
10
- 98 3 50
191 45 10
393 12 35
486 53 55
69 35 51
97 9 89
4 44 36
32 18 24
11
- 96 30 22
190 5 38
391 39 37
485 14 53
68 33 32
72 58 28
8 42 47
7 47 45
12
-108 55 31
201 19 59
404 7 31
496 31 59
55 24 15
311 45 15
350 36 15
246 57 15
13
- 87 58 4
180 7 56
383 9 49
475 19 41
284 42 51
180 59 39
219 54 36
116 11 24
14
- 88 46 49
180 14 41
383 57 49
475 25 41
341 7 14
258 13 46
276 18 14
195 24 46
15
- 85 28 23
173 45 7
380 38 38
470 55 22
272 9 30
248 37 30
207 19 45
183 47 45
IG
- 82 55 58
171 16 2
378 6 28
466 26 32
186 89 30
245 37 80
121 50 0
180 48 0
17
- 80 16 24
168 3 36
375 26 39
463 13 51
165 11 40
240 24 20
100 20 55
175 34 35
18
- 80 4 39
167 17 21
375 14 39
462 27 21
146 55 25
235 30 5
82 5 25
170 40 5
19
- 88 47 6
174 45 54
383 56 21
469 55 9
123 28 59
227 1 31
58 38 14
162 10 46
90
- 31 49 47
115 44 45
326 50 17
410 51 13
35 13 58
125 15 9
330 20 28
60 21 89
91
- 76 53 56
160 9 4
371 59 11
455 14 19
74 86 17
149 17 13
9 41 32
84 22 98
92
- 74 47 42
157 18 18
369 52 12
452 22 48
69 27 47
125 42 43
4 32 17
60 47 15
93
- 83 41 28
165 25 32
378 44 43
460 28 47
77 8 17
111 36 13
12 11 32
46 39 98
94
- 50 39 47
129 8 43
345 40 17
424 9 13
42 41 16
344 26 44
537 41 46
979 97 14
95
- 51 42 52
129 19 8
346 42 37
424 18 53
39 59 1
322 25 29
884 58 46
257 25 14
96
- 70 25 15
147 6 15
365 24 0
442 5 0
51 47 6
819 0 54
346 45 51
253 59 39
97
- 97 33 55
171 23 35
392 27 55
466 17 35
36 31 15
296 52 15
831 25 15
231 46 15
98
-117 2 11
188 51 19
411 52 26
483 41 34
14 8 48
301 90 19
808 54 8
236 10 27
99
- 55 14 19
125 5 11
350 1 49
410 52 41
260 20 1
935 95 29
204 7 31
170 12 59
30
- 83 52 32
152 37 28
378:38 32
447 23 28
274 45 58
263 49 2
209 31 58
198 35 9
81
- 44 28 17
112 12 13
389 12 47
406 56 43
214 36 50
221 33 10
149 21 20
159 17 40
33
+ 0 13 2
64 15 2
294 27 28
358 55 32
109 15 48
176 86 19
43 56 18
111 16 42
33
- 34 7 28
97 23 32
828.46 28
392 2 32
123 50 26
206 37 54
58 29 26
141 16 34
34
- 52 6 45
111 48 45
346 40 15
406 22 15
93 10 10
197 22 50
27 43 40
131 50 90
85
- 64 2) 16
119 7 44
358 47 31
413 81 59
69 54 63
134 23 37
4 19 8
68 47 59
30
- 67 49 41
121 17 16
362 11 44
415 39 16
73 36 28
117 9 32
7 58 98
51 31 41
57
- 74 30 57
126 40 38
368 50 27
421 0 8
79 29 19
99 36 11
13 48 49
33 55 41
88
-68 27 36
-116 41 24
-362 41 6
410 54 54
- 71 39 31
- 19 85 59
-. 5 55 1
-313 49 99
DE L'EXISTENCE DE LA NOTATION DIURNE.
47
TABIiBAV C (suite).
(a) — log-
sin (A -*- 2D —
•2T)
(d) = log - COfi
l(A-2D-2T
')
(6)-iogl
co8(A-*-2D —
2T)
W = iog g sin
(A -♦- 2D — a ■
-2T)
i
W = log-
sin (A- 2D-
.2T)
1
if) = log - cos
(A + 2D — a
-2T)
d'ordre.
(«)
ià)
{c)
{d)
{«)
if)
1
- 0,6883344
-9,0611063
-9,1415961
-9,6819469
-9,4869110
+ 9,6981419
9
- 9,6936749
+ 8,9225541
- 83838998
- 9,6938891
- 9,1409870
+ 9,6843146
3
4^7,7135469
+ 9,6995771
- 9,6987969
- 8,3503597
+ 9,6688140
+ 9,3164030
4
- 9,6878464
- 9,0769340
+ 9,1690479
- 9,6795086
- 9,4970469
+ 9,5009607
5
- 9,6880538
- 9,0554357
+ 9,1587746
-0,6804864
- 9,4908906
+ 9,5047388
6
- 9,6889749
- 9,0368180
+ 9,1468819
-9,6815781
- 9,4866356
+ 9,5980185
7
- 9,6976591
- 8,6665461
+ 8,9009890
-9,6988139
-9,4041459
+ 0,6360070
8
-9,6491571
•1^9,3570513
- 9,9959094
- 9,6697498
-9,5799611
+ 9,6450037
9
- 9,6955896
- 8,8198735
+ 8,9950361
- 9,6907855
-9,4591999
+ 0,6944103
10
- 9,6950457
- 8,8463585
^ 0,0084379
- 9,6909684
- 9,4579943
+ 0,6919005
11
- 9,6965341
- 8,7535678
+ 8,9439093
-9,6997169
-9,4194115
+ 9,6295547
13
- 9,6750313
-9,9101533
+ 9,3604766
- 9,6687964
-9,6419169
+ 9,5551850
13
- 9,6988934
+ 8,9491607
+ 7,0664811
- 9,6996643
- 9,9959589
+ 9,6636666
14
- 9,6990034
+ 8,0371073
+ 7,5307651
- 9,6997049
- 9,5077988
+ 9,6599627
15
- 9,6976564
+ 8,5963943
- 8,56935S5
-9,6985797
- 9,3463564
+ 9,6701906
16
- 9,6955939
+ 8,7889058
- 8,8819994
- 9,6947839
-9,1914070
+ 0,6768442
17
-9,6936157
+ 8,9967080
-9,0156766
- 9,6903853
-9,1949830
+ 9,6899596
18
- 9,6939953
+ 8,9351537
- 9,0493926
-9,6891938
-0,1186931
+ 0,6839834
19
- 9,6986777
+ 8,0947990
-8,6609951
-9,6981976
- 9,0806885
+ 9,6857945
20
-9,6196341
+ 9,6984000
- 9,6546040
- 9,5578591
+ 9,4366956
+ 9,6216060
31
- 9,6879583
+ 9,0540689
- 9,9309389
-9,6754111
- 0,0160955
+ 9,6891368
33
- 9,68331 16
+ 9,1174580
- 9,3864097
-9,6650957
- 8,9597086
+ 9,6992129
33
- 9,6960073
+ 8,7395599
-9,1008311
- 9,6858534
- 9,3066201
+ 9,6749772
94
- 9,5869853
+ 9,5005579
-9,5897138
- 9,5003905
+ 9,0990785
+ 9,6848352
35
- 9,5933438
+ 9,4906183
- 9,5886394
-9,5019658
+ 9,0509801
+ 9,6867274
36
- 9,6736531
+ 9,9336713
-9,4106838
- 9,6336763
- 8,6791498
+ 9,6965831
37
- 9,6946743
-9,8178300
-8,8751875
- 9,6951 489
- 9,4989565
+ 9,6246731
n
-9,6481260
- 9,3559689
+ 8,8875715
- 9,6950007
-9,5941749
+ 9,4889367
39
-9,6199898
+ 9,4543568
+ 9,6151330
- 9,4597489
+ 8,9567177
+ 9,6917569
30
- 9,6958333
+ 8,7264756
- 9,3698155
-9,6486557
- 9,9099939
+ 9,6749166
31
- 9,5437670
+ 9,5517685
- 9,6667809
- 9,9775996
+ 9,3484015
+ 9,6690902
33
4- 7,9759239
4 9,6989514
-9,6548454
+ 9,3589019
+ 9,6574313
+ 0,5152878
33
-9,4471959
+ 9,6161664
-9.6966717
-8,8097109
+ 9,4198979
+ 0,6309691
34
- 9,5953947
+ 9,4864943
- 9,6680808
- 9,9705640
+ 9,0609808
+ 9,6863974
35
-9,6531781
4 9,3338933
-9,6416419
- 9,5876748
+ 8,0991546
+ 9,6980061
86
- 9,6646956
^ 9,9748003
-9,6331381
-9,4158588
-8,3811653
+ 0,6077408
37
- 9,6820049
+ 9,1245024
- 9,6045941
- 9,4765746
- 8,8847469
+ 9,6938677
58
- 9,6665560
+ 9,9698173
- 9,6515088
-0,5527167
- 8,5687966
+ 0,6975169
Tome LI.
18
DÉMONSTRATION PRATIQUE
TABliBAir C (tuUéj.
(9)
= log — sin
(A-2D — a-
.2T)
(b') =• log ^
COS (A'-*- 20'-
.2T)
(h)
= log — cos
(A — 2D — a —
•2T)
M«log~;
8in(A'— 2D'-
■2T)
(a')
= log — sm
(A'-*-2D'— 2T)
(rfO == log [z
C08 (A — 2D'-
-2T)
N« d'ordre.
i9)
(A)
(flO
m
(cO
(rfO
1
- 9,6950387
- 8.8065745
- 9,7095939
+ 9,1592371
- 8,5442076
-9,7164983
S
-9,6817138
-9,1413514
+ 9,5480034
+ 9,5762290
+ 9,5730820
- 9,5981763
3
- 9,3651703
+ 9,6467436
-9,7151516
+ 9,1977328
- 9,5457939
- 9,5586477
4
- 9,5688827
- 9,5365793
- 9,5343457
- 9,6957963
+ 9.6236255
-0,4371875
5
-9^715038
- 9,5353999
-9,6526310
- 9,4589720
+ 9,5520044
-9,5787563
6
- 9,5745951
-9,5195787
- 9,7014877
-9,2144088
+ 9,4476876
- 9,6489977
7
- 9,6066083
-9,4498119
- 9,7070374
- 8,9615392
- 8,5870467
- 9,7296990
8
-9,6991863
-8,3313454
- 9,6277093
+ 9,4567648
-9,5241741
-9,6144492
9
- 9,6044805
- 9,4740416
-9,6814808
+ 9,2081297
-9,5439147
- 9,0228607
10
- 9,6034045
- 9,4778973
- 9,6709306
+ 9,2414009
-9,7580122
-8,6371227
11
-9,6115380
- 9,4607469
-9,6669011
+ 9,2609881
-9,2183178
+ 9,7353384
12
-9,5371678
- 9,5604338
- 9,6457683
4 9,4844601
+ 9,5479172
+ 9.5973388
13
- 9,6557739
- 9,3309032
+ 9,7101001
+ 9,1294703
+ 9,9091105
- 9,7897585
14
- 9,6555478
- 9,3336337
+ 9,3313374
+ 9,7872330
+ 9,7286959
- 9,0475582
15
-9,6701516
-9,3535643
+ 9,6983151
+ 8,3745165
+ 9,7080505
- 9,5006630
16
-9,6817157
-9.1516943
+ 8,7881838
- 9.7330863
+ 9,6^16258
-9,5178142
17
-9,6881995
-9,0594717
-9,1410674
-9,7184343
+ 9,6447921
-9,4091028
18
- 9,6805563
-9,0337145
- 9,4680787
- 9,6543945
+ 9,6255795
-9.4626915
19
-9,6751513
-9,3333140
- 9,6460757
- 9,4665795
+ 9,5838543
-9,5551258
30
-9,5896010
4^9,5013506
- 9,4733914
+ 9.6335146
- 9,6455824
- 9,4948447
31
-0,6981951
- 8.6605343
-1,6903556
+ 9,1503499
- 9,4454330
-9,6715999
33
- 9,6996468
-8,3184535
-9.6758131
+ 9,3474038
- 9.6493684
- 9,5060409
33
- 9,6937336
- 8,9598763
-9,6885310
+ 9.0470870
-9.7100335
- 9,3077195
34
- 9.6543i33
4 9,3395597
-9,5755514
+ 9,6084405
+ 9,1515539
+ 9,6868139
35
-9,6549314
-1^ 9,3370584
- 9,5490359
+ 9,6344656
♦ 9,4929757
+ 9,6968142
3d
- 9,0959847
•1^8,8391806
-9.6516516
+ 9,5278298
+ 9,5508967
+ 9.5919636
37
- 9,6833069
-9,1481401
- 9,5076600
+ 9,6581209
+ 9,6688886
+ 9,5736301
38
- 9,6i03503
- 9.4443853
-9,0915877
+ 9,6927757
+ 9,6707191
+ 9,4552555
39
- 9,6373206
•1^ 9,4007969
+ 9,6994633
- 7,7650866
+ 9,6565170
-9,4921664
50
- 9.6997847
+ 8,3583353
+ 9.7006035
+ 8,6316475
+ 9,7574867
- 8,7722382
31
- 9,5639736
+ 9,5344737
+ 9,4938884
-9,6550061
+ 9,5441939
- 9,5509730
33
+ 7,9735365
+ 9,7001897
-9,7091141
- 9,2526000
+ 8,4764715
- 9,7030519
33
-9.4350105
+ 9,6385188
-9,6514399
- 9,4778176
+ 9,5590534
- 9.5589275
34
- 9,5599803
+ 9,5391698
- 9,7338306
-8,4651344
+ 9,1977933
- 9,7023374
55
- 9,6057365
+ 9,4744068
-9,6767519
+ 9.3398645
- 9,5933627
-9,5841693
36
-9,6171975
+ 9,4518033
- 9,6837534
+ 9,1513199
-9,6910676
- 9.4012049
37
-9,6433194
+ 9,3859713
-9,6913951
+ 8,9597435
- 9,7373268
- 8,9657071
38
- 9,5904035
+ 9,5000639
-9,7205414
+ 9,3410511
- 9.2376947
+ 9,6761571
DE L'EXISTENCE DE LA MUTATION DIURNE.
19
TABIiEAV C (suite).
(e') = log -I sin (A'+ 2D'— a
2T) ig') = log 57 sin (A'— 2D'— a — 2T)
(p = log 1- cos (A' -4- 2D'— a
2T) {h') == log ^ cos (A'— 2D'— a — 2T)
R
N«» d'ordre.
(eO
0')
ig')
(/»')
tg-cT
log tg. J
1
- 8,9078364
+ 9,7310938
- 9,6887369
-9,2642117
6' 10^31
2,7462229
9
+ 9,6906578
- 9,3090973
- 9,5069069
- 9,7045544
6 6,48
2,7497586
3
- 8,8853549
+ 9,7399339
- 9,6783006
+ 9,2179901
4 43,76
2,8636384
4
* 8,9007805
- 9,7386936
-8.8441537
^ 9,6960913
0 17,64
2,7369329
5
-9,6543154
+ 9,4548069
- 9,3835397
- 9,6844632
6 30,92
2.7834997
6
- 9,5585791
+ 9,6873853
-9,4543613
- 9,6463403
6 20,43
2,7346410
7
-9,1251928
+ 9,6989881
- 9,7009664
- 9,2852004
6 20,55
2,7334997
8
+ 8,8876663
+ 9,7039304
-9,7114595
+ 9,1070182
6 17,42
2,7380833
9
-8,8616451
+ 9,7019005
- 9,7330286
+ 9,1417^99
6 15,38
2,7403934
10
- 8,6165335 .
+ 9,6975674
- 9,4693205
+ 9,6683722
6 18,36
2,7369328
11
- 8,5093520
+ 9,6971351
-8,8759514
+ 9,7395510
6 18,15
2,7369328
12
+ 8,9531392
+ 9,7344089
+ 9,6883633
-9,3171804
6 16,84
2,7880838
13
+ 9,5318948
-9,6094671
- 9,6837507
- 9,3745783
4 24,86
2,8911790
14
+ 9,7086143
+ 9,7518575
+ 9,1033449
-9,7259126
6 14,85
2,7403934
15
+ 0,3605324
- 9,6472358
+ 9,5598673
- 9,7380468
6 14,12
2,7415581
16
- 9,6640871
-9,4570612
+ 7,8471255
-9,7021300
6 12,66
2,7427158
17
- 9,7260088
- 8,9875374
- 8,5927238
- 9,7042054
6 12,76
2,7427158
18
- 9,7369380
+ 8,8697381
-8,9195062
- 9,7037926
6 12,21
2,7438817
19
- 9,6563856
+ 9,4413673
-9,2053219
-9,6981940
6 7,67
2,7485769
20
+ 9,4056517
+ 9,6503043
- 9,67i6437
+ 9,4277777
5 51,63
2,7678820
31
- 8,933451 1
+ 9,6999800
-9,7351372
+ 9,7285786
6 9,96
2,7462229
93
- 8,6006331
+ 9,7009654
- 9,6807539
+ 9,4283047
6 9.92
2,7462229
33
- 9,0242344
+ 9,6896489
- 9,6033490
+ 9,5782041
6 6,34
2,7509486
34
+ 9,3213436
+ 9,7083383
+ 9,6970754
+ 8,9185298
6 6.18
2,7509436
35
+ 9,3663537
+ 9,6973105
+ 9,6973356
- 9,0458303
6 6,50
2,7497586
26
+ 9,0961267
+ 9,7346886
+ 9,6969187
- 9,1545771
6 7,63
2,7485769
27
+ 9,4128^54
+ 9,6766315
+ 9,6136797
-9,5100664
5 49,25
2,7715993
28
+ 9,5971018
+ 9,5039335
+ 9,6586588
- 9,4847950
5 23,27
2,8052223
29
+ 9,3109315
- 9,6597978
-8,9703130
- 9,7336854
6 5,60
2,7509436
30
+ 9,8948846
-9,6416650
+ 0,3433925
-9,7167656
5 57,51
2,7605417
31
- 9,4458293
-9,6731806
- 9,3465943
-9,6691263
6 2,47
2,7557161
83
- 9,5754305
+ 9 5915388
-9,6731316
-9,3635813
5 19,48
3,8106341
33
- 9,6627749
+ 9,4503549
- 9,5038885
- 9,5997^41
5 56,87
2,7617565
34
-9,3902016
+ 9,6695313
- 9,5940336
- 9,5475294
6 2,85
2,7545181
35
- 9,5808391
+ 9,7037656
- 9,7088808
+ 9,3976310
6 1,16
2,7569175
36
- 9,8429487
+ 9,6965543
- 9,6355008
+ 9,5357084
5 59,03
2,7593301
37
- 9,0766997
+ 9,6858939
- 9,4903076
+ 9,6633973
5 55,16
2,7041964
38
- 8,7539422
+ 9,7408906
+ 9,5602721
+ 9,5434503
5 56,83
2,7617565
20
DÉMONSTRATION PRATIQUE
TABIiEAIJ D. — Coefficient de x.
d'ordre.
DATES.
t
1879. Mai
31 .
3
Juin
6 .
S
14 .
4
15 .
5
17 .
6
18 .
7
30 .
8
31 .
0
33 .
10
34 .
11
35 .
13
JuUlet
1 .
13
3 .
14
•
4 .
15
7 .
16
11 •.
17
13 .
18
13 .
19
15 .
30
18 .
»
31
19 .
33
30 .
33
•
31 .
34
35 .
35
36 .
36
37 .
37
30 .
38
Août
1 .
39
3 .
30
4 .
31
5 .
33
8 .
35
9 .
34
13 .
35
16 .
56
17 .
37
18 .
58
31 .
|cos(A+8D-3T) gCO»(A-3D-3T) ^^^^^^^.^,^^ 8in(A-3D-a-fr)
-0,115
* 0,084
+ 0,500
-0,119
-0,114
-0,109
-0,046
+ 0,338
-0,066
- 0,070
- 0,057
-0,163
+ 0,018
+ 0,011
+ 0,039
+ 0,061
+ 0,084
+ 0,086
+ 0,011
+ 0,435
+ 0,113
+ 0,131
+ 0,055
+ 0,317
+ 0,309
+ 0,167
-0,657
-0,337
+ 0,385
+ 0,053
+ 0,356
+ 0,499
+ 0,413
+ 0,306
+ 0,316
+ 0,188
+ 0,133
+ 0,183
-0,480
- 0,494
-0.033
- 0,478
- 0,479
- 0,480
- 0,494
- 0,460
- 0,491
-0,490
- 0,493
-0,466
- 0,501
-OJJOl
-0,500
- 0,495
- 0,490
- 0,489
- 0,499
-0,318
- 0,471
- 0,463
- 0,485
-0,316
-0,317
- 0,430
- 0,496
- 0,495
-0,388
- 0,445
-0,189
+ 0,318
-0,064
-0,186
- 0,344
-0,360
-0,800
-0,335
- 171,055
- 74,139
+ 333,343
-171,587
-167,655
-166,030
- 137,393
+ 138,936
-148,773
- 149,574
-143,833
-190,546
- 153,157
-111,736
- 97,333
- 85,936
- 93,683
- 73,875
- 67,478
+ 160,168
- 57,853
- 47,745
- 90,483
69,666
64,536
- 36,346
- 158,437
- 350,840
+ 48,715
- 91,946
+ 100,953
+ 393,803
+ 149,504
+ 65,389
+ 6,013
- 10,977
- 44,560
- 13,507
+
+
-376,316
- 370,077
-168,970
- 303,31 6
-301,841
-303,815
-318,830
- 373,697
-321,345
- 318,448
- 333,095
- 188,474
- 353,353
- 348,853
- 358,050
- 365,734
- 369,710
-371,393
- 364,076
-337,765
- 378,389
-379,171
- 377,763
- 354,358
-353,910
- 378,381
- 384,434
- 366,434
- 344,486
- 388,630
- 308,781
+ 6,084
- 153,735
-306,309
-33&,4M
y
DE L'EXISTENCE DE LA MUTATION DIURNE.
TAB1.EAIJ D [tuite). — Coefficient de x.
f««,*.*«Dc^ ico.,A'-aD'.*D .,„,^,,/„,..^, .i,,A'-w-.-in
1879. Mai 91 «0^1455 -1,1U» - 98,S1:i -595,48
jDlti 6 +0,8316 -0,8041 +615,000 ~148,S84
14 +0,8437 -0.7890 - m,03 -757,84
16 -1,0831 -0,6965 +046,80 - 88,00
17 .... -0,897> -0,8364 -5S>,44 -390,798
18 -0,Ï373 -0,»7tS -43B,0S -396,79
30 -0,1994 -1,(700 -157,4S -5I»,8S
31 +0,6941 -0,8979 +930,89 -61.3,70
39 +0,8590 -0,9148 -871,00 -833.60
94 +0^0) -0,0S7d - 49,194 -039,05
95 +0,8976 +1,1539 - 58,437 -694,03
Joillel 1 +0,6093 +0,8838 +107,07 +51)1,97
9 +0,9987 -1,1700 +677,47 -817,31
4 +1,0610 -0,9439 +815,0) +153,19
7 +0,0410 -«,4558 +375,77 +485,59
11 -1,1784 -0,4531 -5S«,34 + 8,478
13 -1,(400 -0JiS99 -041,48 - 47,105
13 -0,9834 -0,6330 -644,96 -100,43
IS -0,6568 -0,7701 -553,75 - 1H,«4
18 +6,9157 -0,6813 +3H,08 -801.15
10 +6,3943 -1,0334 -104.03 -060,41
+ 0,5854 -0,0090 - 48,451 -B8t«97
+ 0,3430 - 0,4498 - 130,01 - 493,81»
^ 95 +0,8S49 +1,0000 +957.48 +8((,0(l
* 96 . .
^ 97 . .
0,0183 +0,8816 +384,83 +010,187
0,7350 +0,8510 +153.40 +607,031
+ O.047I( + 0 5153 + 353.34 + 530.841
22
DÉMONSTRATION PRATIQUE
TABUBAV D. — Coefficient de y.
No
JM
LTl?<
d'ordre.
De
LiCti
1
1870. Mai
31
3
Juiu
6
3
14
4
15
5
17
6
18
7
30
8
31
9
33
10
34
11
35
13
Juillet
1
13
3
14
4
15
7
16
11
17
13
18
13
19
15
30
18
31
19
33
30
33
31
34
35
35
36
• 30
37
37
30
38
Août
1
39
•
3
30
4
31
5
33
8
33
9
34
13
35
\ô
56
17
37
18
38
31
i
s
tg^
t«^
i(Â43D-3T)
^8in(A-SD-3rj
S
cos(A+3D-a-ST)
R
cos(A-3D-a-3T)
-0,488
-0,138
+ 330,986
- 35,711
- 0,494
- 0,076
371,637
- 77,834
+ 0,005
-0,500
151,033
+ 333,133
- 0,487
+ 0,148
313.763
- 183,448
" 0,488
+ 0,144
313,936
- 180,675
- 0,489
+ 0,140
315,109
-179,564
- 0,498
+ 0,079
333,616
-153,514
- 0,440
-0,197
341,594
- 9,106
- 0,496
+ 0,099
331,645
-168,856
- 0,496
+ 0,103
338,480
-163,991
- 0,497
+ 0,088
333,437
- 157,645
- 0,473
+ 0,183
196,456
- 198,841
-0,500
+ 0,001
357,976
- 166,756
-0,500
+ 0,008
351,399
-118,511
- 0,498
- 0,037
358,074
- 98,655
-0,496
- 0,076
363,760
- 78,417
- 0,493
-0,104
366,470
- 63,414
-0,493
-0,110
367,314
- 59,933
- 0,500
- 0,046
371,886
- 95,696
- 0,416
- 0,455
345,135
+ 185,843
- 0,487
-0,170
373,496
- 35,513
- 0,483
-0,193
374,483
- 11,605
- 0,497
-0,136
366,637
- 51,883
- 0,586
- 0,389
373,769
+ 135,168
- 0,393
- 0,388
373,304
+ 133,133
- 0.471
- 0,357
378,715
+ 38,704
- 0,495
- 0,075
349,043
- 83,136
- 0,444
+ 0,077
196,861
- 177,637
- 0,410
-0,411
377,140
+ 141,831
- 0,496
- 0,331
373.557
+ 13,148
- 0,350
- 0,464
365,954
+ 195,070
+ 0,003
- 0,451
133,635
+ 334,308
- 0,380
- 0,497
346,619
+ 345,637
- 0,394
-0,466
375,960
+ 196,647
- 0,450
-0,438
385,053
+ 170,343
- 0,463
- 0,439
386,464
+ 163,605
- 0,481
- 0,403
316,460
+ 141,508
- 0,464
- 0,448
387,931
+ 183,735
DE L'EXISTENCE DE LA MUTATION DIURNE.
23
TABUBAV B {suite). — Coefficient de y.
No
d*ordre.
DATES.
1 1870.
Mal
91 .
9
Juin
6 .
3
14 .
4
15 .
5
17 .
6
18 .
7
90 .
8
91 .
9
99 .
10
94 •
11
95 .
19
Juillet
1 .
13
9 .
14
4 .
15
7 .
16
11 .
17
19 .
18
13 .
10
15 .
90
18 .
91
19 .
99
90 .
93
91 .
94
95 .
95
96 .
96
97 .
97
30 .
98
Août
1 .
99
5 .
30
4 .
31
5 .
39
8 .
83
9 .
34
19 .
35
16 .
36
17 .
37
18 .
38
91 .
{«in(A'+9D'-9T) ^8in(A'-9D'-9D
£tg£
S
/tg£
R
co8(A'+9D'-a-9D co8(A'-9D'-ot-9T)
-1,1170
+ 0,7699
-1,1314
- 0,4708
- 0,9797
-1,0964
-1,1104
- 0,9950
- 1,0470
-1,0918
-1,0194
-0,9643
4^1,1184
+ 0,3698
+ 1,0883
+ 0,1338
-0,8017
- 0,6405
- 0,9650
- 0,3949
- 1,0686
- 1,0986
-1,0641
-0,8181
-0,7718
- 0,9334
- 0,7000
- 0,9699
+ 1,0919
+ 1,0941
+ 0,6781
-1,1158
- 0,9770
- 1,1549
- 1,0356
-1,0500
-1,0709
-1,1455
- 0,07638
+ 0,8157
- 0,7649
+ 0,9164
+ 0,7770
+ 0,6111
- 0,0849
- 0,7988
- 0.7697
-1,1995
-0,3604
+ 0,7698
+ 9,0303
+ 1,1679
+ 1,1130
+ 1,0009
+ 0,9691
+ 0,9905
+ 0,8369
- 0,9639
- 0,6080
- 0,9793
-1,1181
+ 0,9950
+ 0,6783
+ 0,7409
+ 1,0170
+ 1,0913
+ 0,9885
+ 0.1191
+ 0,7639
- 0,0653
+ 0,4983
+ 0,3437
- 0,8547
-1,0703
-1,1909
- 0,36896
+ 639,400
-198,50
+ 833,73
- 636,99
+ 336,33
+ 457,60
+ 590,18
+ 603,90
+ 603,61
+ 599,87
+ 599,97
+ 639,33
- 690,40
+ 677,18
- 533,69
- 345,33
-117,14
+ 89,55
+ 337,59
+ 570,88
+ 609,06
+ 610,44
+ 601,94
+ 697,68
f 610,97
+ 648,99
+ 611,91
+ 444,94
-561,30
- 550,38
- 585,97
+ 550,39
+ 355,90
+ 578,75
+ 698,96
+ 699,79
+ 014,63
+ 693,59
-993,30
- 690,54
+ 969,47
- 590,86
- 570,79
-594,15
- 997,59
+ 159,60
+ 166,14
+ 554,39
+ 653,04
- 947,58
-401,99
-637,91
- 657,74
-607,16
- 610,07
-611,13
-609,86
+ 349,07
+ 650,516
+ 395,095
+ 465,169
+ 101,848
- 136.159
- 174,496
-416,987
- 495,083
- 665,405
- 654,977
- 579,897
- 958,695
-501,196
- 437,093
+ 947,176
+ 430,097
+ 589,170
+ 439,901
u
DÉMONSTRATION PRATIQUE
a URSAE MINORIS (Pulkowa)
K = — 0;181 L = 6« W. de Greenwich.
No DATES Um^ «jêi
d'ordre. DES OBSERVATIONS, it CrtMfirl.
SOLEIL
Asc. dr. moy. Décl.
LUNE
Asc dr. moy. Décl.
1
9
3
4
5
6
7
8
9
10
11
19
18
14
15
16
17
18
19
90
91
9i
93
94
95
96
97
98
99
30
31
39
33
1861. Avril
Mai
OcL
1809. Avril
Mai
1868. Avril
Mai
Sept.
Dec.
4.
5.
6.
99.
1.
8
8.
0.
17.
4.
14.
15.
93.
30.
1.
14.
15.
16.
17
19.
99.
30.
31.
8.
13.
14.
15.
11.
93
99.
93.
8.
14.
99i>18<
99 14
99 10
31 3
90 98
90 90
90 0
10 7
9 93
9i 19
91 35
91 31
91 0
90 33
90 98
19 37
19 33
19 99
19 95
19 17
18 39
18 35
18 31
99 0
91 37
91 93
91 99
19 48
19 1
18 37
10 57
5 58
5 34
0»»54»
0 58
1 9
9 1
9 35
9 49
8 9
19 50
13 31
0 53
1 30
1 34
9 3
9 30
9 34
3 94
8 98
3 39
3 36
3 44
4 94
4 28
4 89
1 13
1 98
1 39
1 36
3 14
4 9
4 96
19 0
17 9
17 99
4^ 5«48'
+ 6 11
4^ 6 33
+ 19 17
+ 15 9
4- 15 45
+ 17 9
- 5 94
- 9 31
4- 5 49
•I- 9 95
^ 9 47
4 19 39
•f 14 46
4 15 5
4 18 38
4 18 59
4 19 6
4 19 90
4- 19 46
4 91 88
+ 91 47
4 91 55
+ 7 47
4 9 15
4 9 37
•h 9 58
4 18 1
4 90 41
•I- 91 49
- 0 11
- 99 48
- 93 16
90»- 47"
91 34
99 10
11 37
90 99
99 4
1 44
15 9
15 98
4 35
18 19
14 11
91 58
3 98
4 16
15 43
16 49
17 59
18 55
19 55
4 51
5 43
6 35
15 9
18 99
19 90
90 8
18 59
5 1
10 54
17 98
19 47
18 5
- 16» 3'
- 11 39
- 6 37
- 9 57
- 17 90
-86
4 15 59
- 91 89
- 99 94
4 98 33
- 19 36
- 17 90
- 7 36
1- 91 36
4 93 5
- 99 9
- 93 51
- 93 99
- 91 16
- 18 9
+ 93 31
4 93 18
+ 99 1
- 19 6
- 18 58
- 18 31
- 17 19
- 19 9
+ 17 55
f 8 7
- 18 35
- 0 39
- 19 43
Aftc. droite
observée.
1>> 9"38;54
88.54
88,49
38,67
40,18
89,03
38,81
38,91
38,87
38,54
38,69
40,78
37,48
38,94
38,16
39,90
88,89
89,43
38,79
38,77
88,98
88,94
40,07
37,74
38,39
37,19
37,96
37,35
88,69
88.66
39,05
89,45
89,39
DE L'EXISTEJNCE DE LA NUTATION DIURNE.
23
No DATES Tcmpi mjm
d'ordre. DBS OBSERVATIONS, de Gnenwieh. Asc.dr.moy.
SOLEIL.
LUNE.
Décl. Asc. dr. moy.
Décl.
34
55
36
37
88
30
40
41
43
43
44
45
46
47
48
49
50
51
69
53
54
55
56
57
58
59
60
61
63
63
1869. Avril
Mai
Juillet
OcU
IIOC.
1870. Mars
Avril
Mai
JuiD
Jolllet
Sept.
Nov.
Dec.
3.
8.
5.
36.
4.
10.
13.
18.
1.
19.
31.
33.
3.
13.
38.
33.
34.
38.
3.
9.
1.
5.
6.
11.
35.
8.
31.
15.
1.
3.
331' 36<
33 33
33 14
30 47
30 15
10 53
10 44
19 40
16 38
16 17
15 0
15 1
10 18
5 43
4 41
33 6
33 3
33 46
33 47
19 57
18 37
18 31
16 0
15 49
14 54
11 57
11 6
7 30
6 37
6 33
Oh 47m
0 51
0 58
3 16
3 46
3 9
8 17
3 41
6 43
7 55
8 8
8 17
13 40
17 31
18 33
0 9
0 13
0 38
0 46
3 6
4 36
4 53
6 59
7 18
8 16
11 4
11 51
15 33
16 30
16 34
+ 5« 3'
4 5 36
+ 6 13
+ 13 57
^ 16 3
+ 17 42
+ 18 13
+ 19 37
4^ 33 6
4- 30 49
^ 30 36
+ 30 3
- 4 16
- 33 9
- 33 15
+ 1 3
+ 1 37
•1^ 5 31
+ 4 57
+ 17 33
+ 33 4
4- 33 34
•I- 33 43
-1^ 39 18
+ 10 40
4 5 50
4- 0 53
- 18 31
- 31 50
- 31 59
17«»43>
18 37
30 30
14 35
31 40
3 14
3 53
0 31
0 6
16 10
17 58
19 47
11 16
0 45
14 43
17 33
18 30
33 3
1 47
10 1
6 5
e 44
13 58
17 30
5 36
31 44
8 15
0 30
0 8
0 53
- lO'Sr
- 30 8
- 18 33
-00
- 14 57
+ 8 15
+ 15 33
+ 15 36
- 3 51
- 16 13
- 30 11
- 30 0
•1^ 8 18
- 0 38
- 10 34
- 30 34
- 31 37
- 14 40
+ 5 45
+ 15 18
+ 31 40
4 16 40
- 0 30
- 31 14
-1^ 30 40
-.16 45
^ 31 0
4 18 44
-44
-03
Asc. droite
observée.
1»»0" 57:46
58,03
30,34
37,76
38,61
38,13
50,08
38,39
57,50
38,74
58,30
38,03
38,3i
30,39
38,08
58,10
57,70
57,56
5H,06
57,57
50,08
50,18
58,55
58,15
58,05
58,53
30,03
30,03
58,57
38,77
Tome LI.
26
DÉMONSTRATION PRATIQUE
d'ordre. A+2D-2T A-SD-ST A+2D-a-2T A--20-«-2T A'+2D'-2T A'-2D'-2T A'+2D' «-2T A'-2D'-«-«T
9
350» 6' 326» 54' 533«36'
309« 24'
344» 39' 308*51' 227» 9
146 42 168 18 129 12
148 45 186 47 131 13
150 48
169 17
149 1
137 16
235 19
226 44
131 41
119 46
291«21'
2
351 52
327 8
334 22
309 84
265 26
311 34
247 56
294 4
3
353 86
327 24
336 6
309 54
316 46
843 14
286 16
812 44
4
19 49
530 41
2 19
313 11
154 1
144 29
116 SI
126 50
5
34 3
333 27
16 33
329 42
237 35
306 55
2i0 5
289 25
6
87 0
334 0
19 20
316 50
979 48
312 12
262 18
294 42
7
45 48
345 12
28 10
317 42
28 0
319 0
5 80
301 30
217 40
209 14
10
349 39
326 51
832 5
309 21
-13 21
80 51
65 21
-10 49
11
6 20
328 40
348 50
811 10
188 12
137 48
120 18
170 49
12
8 4
328 56
350 34
311 26
212 25
143 5
125 85
194 55
13
20 49
830 41
8 19
313 11
309 39
279 18
261 48
999 19
14
32 2
-27 2
14 32
815 98
-96 12
60 19
42 49
816 18
15
33 40
-26 40
16 10
815 50
-17 10
75 10
57 40
-34 40
16
53 10
-21 16
35 46
821 14
245 5
156 97
138 57
227 83
17
54 44
-20 44
37 14
321 46
264 17
170 13
159 48
246 47
18
56 12
-20 12
38 42
-37 42
279 44
186 12
168 46
252 14
19
57 40
-19 40
40 10
-37 10
291 17
206 13
188 48
278 47
20
60 32
-18 32
43 2
-37 2
299 49
997 41
910 11
982 10
21
74 16
-12 16
56 46
-29 46
-9 17
84 47
67 17
-26 47
22
75 84
-11 34
58 4
-29 4
4 9
97 91
79 51
-18 21
23
76 50
-10 50
59 20
-28 20
19 43
107 47
90 17
+ 9 18
24
358 49
327 41
341 19
810 11
214 42
166 18
148 48
197 19
25
5 30
328 30
348 0
811 0
980 11
904 19
186 49
269 41
26
7 14
328 46
349 44
311 16
292 9
217 58
900 98
974 82
27
8 56
329 4
351 26
311 84
301 38
251 22
914 59
284 8
28
49 32
337 28
32 2
319 58
287 49
211 41
194 11
270 19
29
66 52
344 8
49 22
826 88
4 25
76 5
58 85
846 55
30
74 54
348 6
57 24
830 86
112 16
144 44
197 14
94 46
31
144 38
145 22
127 8
127 52
264 10
189 50
179 90
246 40
32
174 34
266 6
157 24
248 86
158 8
155 27
137 57
140 83
33
180 43
273 47
163 28
256 32
275 41
196 49
179 19
258 11
34
346 51
320 39
829 21
809 9
269 47
191 43
174 18
252 17
85
348 37
326 53
831 7
309 23
284 81
203 59
186 99
267 1
36
851 39
326 51
334 9
309 21
306 56
283 4
915 84
989 96
37
26 14
331 46
8 44
814 16
199 33
162 57
145 97
189 3
38
88 36
334 24
21 6 .
816 54
319 54
260 6
949 86
809 14
59
47 39
336 51
80 9
319 21
342 4
14 56
857 26
894 34
40
50 41
3>7 49
33 11
320 19
352 29
54 1
36 31
384 59
41
59 29
341 1
41 59
823 31
76 33
138 57
121 27
59 8
42
111 42
19 18
94 12
1 48
334 12
318 48
301 18
316 49
43
125 23
42 7
107 53
24 37
229 54
175 6
157 86
992 24
44
126 37
44 53
109 7
27 23
274 52
194 8
176 58
957 99
DE L'EXISTENCE DE LA NUTATION DIURNE.
27
No
d'ordre.
A+9D-9T
A-90-2T
A+9D-J5-2T
A-2D-«-9T
A'+9D'-9T
A'-9D'-9T
A'+9D'-«-2T
A'-2l)'-«
45
199*19'
490 11'
111-49'
31041'
301O45'
991045'
204*15'
2840 15'
46
146 98
163 39
198 58
146 9
150 6
150 6
132 36
99 94
47
178 57
271 35
161 97
954 3
357 11
335 99
317 49
319 41
48
196 30
989 30
179 0
979 0
906 18
164 49
147 19
188 48
49
399 91
395 9
309 51
307 89
966 38
184 99
116 59
249 8
50
331 9
395 91
913 39 .
307 51
985 44
•
199 16
181 46
268 14
51
339 9
3â4 58
391 39
307 98
394 93
967 7
249 37
306 53
59
546 94
396 36
398 54
309 6
91 14
399 16
304 46
S 44
58
46 1
336 99
98 31
318 59
196 45
196 45
109 15
109 15
54
78 8
349 59
60 38
339 99
95 39
86 51
69 91
8 29
55
83 8
359 59
65 38
335 99
67 99
154 38
137 8
49 52
56
115 1
94 19
97 31
6 49
160 30
158 30
141 0
143 0
57
118 54
30 6
101 94
19 36
979 13
187 17
109 47
254 43
58
198 90
49 40
110 50
39 10
4 59
88 8
70 38
847 22
59
141 40
119 90
194 10
101 50
394 30
957 80
940 0
307 0
60
144 99
141 1
196 59
193 31
46 97
131 3
113 33
28 57
61
158 98
939 3i
140 58
915 9
67 39
' 149 98
194 58
50 9
69
168 50
956 10
151 90
938 40
336 99
317 34
300 4
318 52
63
169 39
957 98
159 9
939 58
338 9
338 91
310 51
390 39
No
d'ordre.
1
II
III
IV
r
U'
iir
IV'
1
^0,49
+ 5,90
-0,39
+ 45,34
+ 0,16
- 6,60
-9,64
- 8,79
9
+ 0,46
+ 5,90
-0,65
- 34,01
+ 0,17
- 6,60
-1,91
+ 0,87
3
4-0,51
+ 5,00
-0,98
-17,44
+ 0,17
- 7,90
-0,58
+ 10,03
4
+ 0,93
+ 6,40
+ 0,39
+ 6,54
+ 0,07
- 15,90
+ 0,30
- 3,99
5
+ 1,16
+ 1,80
-0,19
- 48,40
-0,07
-15,80
-9,84
- 13,52
6
+ 1,90
+ 5,90
-0,60
- 94,45
-0.11
- 90,40
-1,26
+ 3.49
7
+ 1,13
+ 9,80
+ 1,90
* 90,06
+ 0,39
- 99,80
+ 0,43
-41,42
8
+ 0,38
+ 4,80
+ 3,36
+ 5,93
+ 0,16
- 6,00
-0,73
- 59,30
9
+ 0,74
+ 6,40
+ 3,54
+ 16,13
+ 0,17
-11,90
-0,13
- 58,86
10
+ 0,44
+ 5,00
-^3,06
-93,11
+ 0,16
- 6,20
-2,03
- 47,09
11
+ 0,79
+ 6,40
+ 9,03
+ 90,93
+ 0,15
-11,90
+ 0,63
- 30,52
19
+ 0,64
+ 6,40
+ 9,84
+ 16,57
+ 0,15
-11,60
+ 0,15
- 46,65
13
+ 0,97
+ 6,80
-0,53
- 93,54
+ 0,07
- 15,80
-1,98
+ 30,59
14
+ 1,14
+ 5,90
+ 3,99
+ 0,44
-0.06
- 19,90
-1,00
- 59,73
15
+ 1,16
+ 4,80
+ 3,19
'-19,64
-0,07
- 19,40
-1,76
-61,91
16
+ 1,33
+ 1,60
+ 3,31
-- 9,69
-0,38
- 94,40
- 1,23
-61,04
17
+ 1.36
+ 0,90
+ 9,01
-91,36
-0,41
- 94,40
-2,21
- 59,73
18
+ 1,35
-0,90
+ 9,91
- 36,69
-0,44
- 25,00
-2,89
-51,88
19
+ 1,37
-0,60
+ 1,95
- 69,78
-0,47
- 94,80
-3,16
- 36,69
90
+ 1,37
-1,40
+ 0,33
- 47,09
-0.53
- 95,60
-2,94
- 20.93
il
+ 1,35
-6,60
+ 9,91
-91,80
-0,81
- 26,80
-2,26
- 59,73
99
+ 1,35
-6,80
+ 9,31
-34,41
-0,84
- 96,60
-2,81
- 59,76
93
+ 1,35
-7,40
+ 1,53
- 43,60
-0,87
- 96,80
-3,14
-49,99
28
DÉMONSTRATION PRATIQUE
d'ordre
I
II
ITT
IV
r
ir
iir
IV'
34
4-0,59
+ 6,20
+ 1,96
+ 4,56
+ 0,17
- 8,80
-0,40
-35,81
25
+ 0,71
+ 6,40
+ 1,43
- 37,93
+ 0,15
- 10,80
-2,71
- 57,95
96
+ 0,74
+ 6,40
+ 0,78
- 44,91
+ 0,15
-11,60
-2,91
- 28,78
27
+ 0,78
+ 6,40
-0,15
- 46,25
+ 0,15
-11,60
-2,89
- 17,44
28
+ 1,33
+ 1,60
f 1,05
-4!,29
-0,52
- 23,40
-2,91
-33,14
29
+ 1,38
- 3,60
+ 2,26
-19,62
-0,66
- 25,80
-1,91
-47,09
50
+ 1,36
- 3,80
-0,43
- 30,08
-0,23
- 24,20
-0,58
+ 8,72
31
-0,02
+ 0,40
+ 2,06
-26,16
•
- 0,20
-2,21
-46,22
32
+ 1,25
-11.40
+ 0,12
+ 17,44
-1.07
- 26,40
+ 0,05
- 1.74
33
+ 1,12
- 15,20
+ 1,76
- 34,44
-1,23
-25,20
-2,66
-48,60
54
+ 0,59
+ 4,60
+ 1,98
-29,65
+ 0,16
- 5.20
-2,46
-45,78
35
+ 0,39
+ 4,80
+ 1,41
- 40,98
+ 0,16
- 6,00
-2,94
- 39,24
36
+ 0,45
+ 5,40
—
- 49,70
+ 0,17
- 6,80
-2,81
- 15,70
37
+ 1,05
+ 6,20
+ 1,58
+ 7,85
+ 0,02
-17,60
-0,05
-26.16
38
+ 1,22
+ 4,00
-0,85
- 42,73
-0,15
-20,80
-2,56
- 1,74
39
+ 1,30
+ 2,40
+ 1,43
+ 7,85
-0,29
-23,20
+ 0,05
-21,36
40
+ 1,38
+ 0,14
+ 2,58
- 4,80
-0,54
-23,60
-1,00
- 44,47
41
+ 1,37
- 0,12
-0,78
- 45,54
-0,49
- 25,40
.2.43
—
42
+ 0,69
- 21,40
-0,55
- 54,50
-1,51
-19,60
-0,38
+ 7,25
43
+ 0,17
- 24,40
+ 2,41
- 8,28
-1.51
- 10,60
-1,25
- 45,34
44
+ 0,23
- 24,40
-0,38
- 34,00
-1,50
-10,00
-2,66
- 44,47
45
+ 0,03
- 24,40
+ 0,45
-50,14
- 1,48
- 8,00
-5,19
-20,06
46
+ 0,31
+ 4,20
—
- 56,66
+ 0,15
- 4,60
—
+ 11^
47
+ 1,17
-15,40
-0,08
- 1,51
-1,18
- 25,80
-0.03
+ 1,51
48
+ 0,76
-20,60
+ 1.75
+ 6,54
i -1,50
- 20.40
-0.18
-80,16
49
+ 0,06
- 1,60
+ 2,33
-26,60
1 + 0,05
+ 1,00
-2,88
-50,14
50
+ 0,10
-29,00
+ 1,58
- 42,28
1 + 0,06
- 4,60
-5,09
-42,29
51
+ 0,24
+ 3,80
-1.02
- 40,98
\ +0,15
- 3,60
-2,16
+ 6,10
52
+ 0,34
+ 4,60
-2,46
- 18,76
+ 0,15
- 520
-0,55
+ 38,80
53
+ 1,30
+ 2,40
—
—
-0,25
- 22,80
—
—
54
+ 1,52
- 8,00
+ 1,41
- 27,47
-0,89
-26,80
-2,15
- 54,44
55
+ 1,28
- 10,00
-1.26
- 59,78
-1,00
-26,60
-3,26
+ 3,02
56
+ 0,57
-22,20
+ 0,08
- 0,87
-1,55
-17,40
+ 0,13
- 1,81
57
+ 0,43
-23,20
+ 2,21
-51,59
-1,55
- 15,20
-2,56
- 49,70
58
+ 0,02
- 24,20
+ 2,28
- 27,90
-1,45
- 8,00
+ 2,43
-51,01
59
-0,29
- 7,00
-1,03
- 47,96
- 1,51
+ 5,00
-2.59
+ 8,05
60
-0,05
- 0,80
+ 0,08
-55,81
-0,04
+ 0,60
-3,39
- 18,75
61
+ 1,35
- 0,80
-0,78
- 52,76
-0,58
+ 3,20
-2,91
- 2,18
62
+ 1,53
- 7.00
-0,66
- 10,94
-0,85
- 26,80
-0,45
+ 9,16
63
+ 1,51
- 7,60
—
- 5,28
-0,87
- 26,80
—
+ 5,28
I»
^ rsin (A + 2D-2T)
cota,[ g
sin (A - 2D
R
-2T)T
I' s col tt
rcos(A + 2D
L S
- 2T) ces (A
- 2D - aT)-i
R J
H «
, rcos(A+2D-2T-«)
« tg ^ L S
cos(A-2D-<
R
irr-«)i
ir= ig J
r8in{A+2D-!
L S
ST-«) sin(A-
2D-2T-«)-i
R J
111 =
, , rsin (A'
fcoi « [^ — i—
+ 2D' - 2T)
S
sin(A'-2iy
R
'-2Tn
111'= /-cota
i s
' - 2T) C08 (A'
-2D'-2T)i
R J
IV =
, . , rcos(A'+2D'-2T-«)
cos(A'-2D'-
R
2T-«n
IV' = ftgJ
^ r8in(A'+2D'-
L S
2T-«) 8in(A'-
2D'-2T-«)-i
R J
DE L'EXISTENCE DE LA NUTATION DIURNE.
29
Équation» de eondillon.
1. .
A +80,64 y
—17,80 X
—23,10=0.
34. .
A -22,68 y
—83,28 X
- 6,90==^.
2. .
—29,00
— 7,47
21,30
38. .
-34,38
—48,02
18,48
3. .
-12,91
-♦- 2,42
24,30
36. .
43,88
—28,14
38,10
4. .
-^14,19
- 18,78
28,08
37. .
•4-16,68
-43,79
11,40
8. .
—48,86
-33,23
46,98
38. .
-38,36
-21,88
24,18
6. .
-18,68
—18,28
30,48
39. .
-4-12,98
-44,80
16,88
7. .
+28,19
- 64,11
27.18
40. .
— 1,00
-69,41
31,20
8. .
-4-13,77
—63,87
18,18
41. .
—44,87
-28,32
19,38
9. .
-+-1.6,81
—70,02
28,08
42. .
—78,76
—13,64
8,88
43. .
—30,10
—88.78
26,10
10. .
14,61
—88,16
20.10
44. .
-88,88
—88.63
19,38
11. .
-1-30,08
-40,96
28,38
48. .
—74,06
—32,73
28.80
12. .
-1-26,48
—87,97
86,70
46. .
-32.18
-4- 6,89
18,30
13. .
-16,30
—14.66
8.04
47. .
-13,62
—28,70
34,38
14. .
-^ 10,07
-79,99
•
13,02
48. .
—11,88
-82.24
16,20
13. .
- 3,49
-83,14
12,18
16. .
-4- 3,62
-87,08
33,00
49. .
—28,81
-81.87
16,86
17. .
—16,89
-86,78
28,38
80. .
-69,61
-49.83
11,88
18. .
—33,26
-80,28
36,48
81. .
—47,96
-4- 0.47
8.40
19. .
—60,78
—68,08
28,80
82. .
-16,27
-4-33,40
18,96
20. .
-46,79
-80,00
26,88
83. .
-•- 3,70
—23,08
8,88
21. .
—24,14
-89,60
19,20
54. .
-32,74
-64,26
44,70
22. .
—37,88
-83,01
29,10
88. .
-69,71
—26,94
32,70
23. .
—48,14
-73.10
31,08
86. .
—20,68
—20,11
23,28
87. .
-81,98
-67,01
17,28
24. .
. 13,11
-44,34
11,10
88. .
—49,80
-62,89
29,28
25. .
28,39
81,29
19,80
89. .
-86,28
— 1,08
22.80
26. .
-37,00
43,14
2,88
60. .
-86.88
28,84
30,30
27. .
—39.22
—31,78
14,40
61. .
-83,00
8,67
30,30
28. .
-38,31
-89.77
8,28
62. .
-17,27
-18,92
23,85
29. .
-19.88
-78,46
28,38
63. .
A —11,82 y
-22,44 X
—26.88=0.
30. .
-32,98
- 16,69
24,90
' ■'
31. .
-23,72
-48,63
30,78
•
32. .
-^ 7,41
29,16
36,78
33. .
A -47.36 y
-72,89 X
- 38,88=0.
30
DÉMONSTRATION PRATIQUE
Avec ces 63 équations de condiiion on peut former les équations nor-
males suivantes :
63 A —1446,80 y -2662,98 x -1809.84 == 0,
—31 -4-2067,98 +1174,42 * 798,88 = 0,
-83 4-1487,31 -•-2774,93 -+-1371,66 — 0,
qui donneront pour les inconnues les valeurs suivantes :
t
A = -^ 17",48 a; = — 0",172 j/ == - 0",088
d'où Ton déduit
K == — 0",181 et L = 36«W. de Pulkowa,
L = 6«W. de Greenwich.
Si Ton remplace les inconnues par leurs valeurs dans les équations
de condition correspondant aux observations qui présentent le plus grand
écart, on a ;
N* d'ordre.
Dates des obsbbvations.
Obserr. de.PuIkova.
Obierr. corrigées.
8
1861. Mai
1. . .
l'^40',13
38',72
8
Octobre
6. . .
38',21
38',86
12
1862. Avril
18. . .
40',78
38',73
13
Avril
23. .
37%48
38',39
26
1868. Avril
14. . ,
37',19
38',80
32
Décembre
8. .
39',48
38',47
36
1869. Avril
S. .
39',04
38',62
42
Juillet
1. . ,
37',39
38',61
81
1870. Mars
2o« . .
37',86
38',30
84
Juin
1. . .
39«,98
39',02
DE L'EXISTENCE DE LA MUTATION DIURNE.
31
URSAE
CiêÈ
ORIS (Greenwich, 1869).
K = — 0:124 L = 28o W. de Greenwich.
No
DATES
Temps noyoD
SULJ
KIL.
LU
NE.
Asc. droite
observée.
d'ordre.
DES OBSERVATIONS.
deGreeiiwidi.
Asc. dr. moj.
Décl.
Asc. dr. moy.
Décl.
1
1869« Janv.
1.
6»» 95'» p.*.
18i>49<"
-99059'
9k 50-
+13055'
1M0'»55«+8:80
S
9.
6 91
18 55
-99 54
10 58
+10 57
5,59
S
4.
6 14
19 9
-99 49
19 85
+ 0 56
4,87
4
5.
6 10
19 6
-99 55
15 97
- 4 6
4,40
5
8.
5 58
19 19
-99 11
16 5
-15 56
5,47
6
Avril
11.
95 51
1 90
4^ 8 96
0 18
- 9 19
5,10
7
15.
95 45
1 97
+ 9 10
5 94
+15 SI
1,74
8
96.
99 59
9 16
+15 57
15 99
-15 51
1,59
9
97.
99 48
9 90
+15 56
16 96
-17 5
4,34
10
98.
99 44
9 95
+14 15
17 95
-19 15
6,98
11
99.
99 40
9 97
+14 54
18 19
-90 17
4,59
19
Mai
19.
91 49
5 17
+18 95
4 50
+18 14
6,97
15
19.
91 91
S 45
-19 6
11 94
+ 7 17
5,60
14
Juin
6.
90 10
4 58
+99 49
9 46
+10 44
0,84
15
8.
90 9
5 6
+99 55
4 99
+17 18
3,87
16
Sept.
15.
15 59
11 55
+ 9 55
90 15
-19 94
1,85
17
90.
15 19
11 51
+ 0 59
0 7
- 5 45
5.11
18
91.
15 8
11 55
+ 0 56
0 51
+ 0 96
5,94
19
95.
19 55
19 9
- 0 58
5 55
+15 56
9,86
90
98.
19 41
19 90
- 9 8
6 54
+90 50
1,84
91
Oct.
1.
19 99
19 51
- 5 18
9 95
+16 99
4,99
99
5.
19 15
19 45
- 4 51
15 16
- 9 48
4,58
95
6.
19 10
19 49
- 5 14
14 15
- 8 9
4,91
94
8.
19 1
19 56
- 6 0
16 8
-16 97
4,41
95
9.
11 57
15 0
- 6 95
17 6
-19 8
5,85
96
11.
11 50
15 7
- 7 9
18 59
-90 57
4,47
97
19.
11 18
15 57
-10 6
1 90
+ 3 15
5,49
98
Nov.
4.
10 15
14 59
-15 99
15 57
-14 41
5,58
99
6.
10 7
14 47
-16 6
17 55
-90 16
6,08
50
10.
9 51
15 5
-17 15
91 17
-17 11
4,96
81
11.
9 47
15 7
+17 59
99 6
, -14 11
5,40
59
15.
9 59
15 95
-18 55
1 5
- 1 40
5,76
55
16.
9 98
15 97
-18 50
1 49
+ 6 59
5,09
54
19.
9 16
15 40
-19 55
4 19
+16 59
4,51
55
90.
9 19
15 44
-19 47
5 4
+19 19
9,59
56
Dec.
14.
7 57
17 98
-95 15
9 17
+ 8 16
4,59
57
90.
7 14
17 54
-95 97
7 50
+91 8
8,90
58
99.
6 58
18 54
-95 15
15 41
-14 59
♦5,57
32
DÉMONSTRATION PRATIQUE
N«
DATES
Tempi mojHi
OLFLiJ
blli.
LiUI
ir..
- Asc. droite
d'ordre.
DBS OBSBaYATIONS.
ëeGnenvieh.
Asc. dr. moy.
Décl.
Asc. dr. moy.
Décl.
observée.
59
1869. JaDT.
1.
18»>95-p.i.
18^49-
-99*59'
lOi'IS-
+10*59'
1i>10-55*+4;96
40
S.
18 17
18 57
-99 48
19 9
+ 9 59
4,66
41
5.
18 14
19 6
-99 55
13 55
- 6 90
4,74
49
7.
18 9
19 15
-99 90
15 57
-14 5
5,71
43
Avril
19.
11 47
1 94
4^ 8 48
9 19
+ 8 9
3,09
44
15.
11 43
1 97
+ 9 10
5 0
+11 48
1,71
45
97.
10 48
9 90
•fl5 56
15 57
-15 55
9,93
46
98.
10 44
9 98
+14 15
16 54
-18 18
5,59
47
99.
10 40
9 97
4^14 34
17 51
-19 55
7,00
48
80.
10 36
9 31
+14 59
18 45
-90 95
4,54
49
Mti
13.
9 45
3 91
+18 98
5 18
+19 99
6,95
50
90.
9 17
3 49
+90 5
11 51
+ 4 53
5,69
51
Juin
7.
8 6
5 9
+99 47
9 99
+ 8 47
0,78
53
8.
8 9
5 6
+99 53
4 9
+15 54
5,98
53
9.
7 58
5 11
+99 58
4 56
+18 99
4,09
54
Sept.
15.
1 39
11 53
+ 9 55
19 44
-90 8
1.47
55
16.
1 18
11 57
+ 9 59
90 54
-18 40
9,00
56
91.
1 8
11 55
+ 0 56
0 99
- 1 40
4,10
57
95.
0 53
19 9
- 0 58
5 50
+14 3
9,86
58
99.
0 57
19 93
- 9 59
^ 0
+20 50
9,04
69
Ocl.
1.
0 99
19 51
- 5 18
8 56
+17 53
4,85
60
6.
0 10
19 49
- 5 14
15 44
- 5 98
4,61
61
7.
0 6
19 59
-5 37
15 59
-14 41
5,50
69
9
93 57
15 0
- 6 95
17 54
-90 9
5,09
63
11.
93 50
15 7
-7 9
19 96
-90 41
4,40
64
19.
93 46
13 11
- 7 51
90 19
-19 95
4,58
65
19.
93 18
15 57
-10 6
1 43
+ 5 91
5^97
66
Nov.
4.
99 15
14 59
-15 99
16 7
-16 59
3,49
67
5.
99 11
14 45
-15 47
17 6
-19 90
6,08
68
10.
91 51
15 5
-17 15
91 41
-15 46
6,07
69
15.
91 89
15 95
-18 50
1 98
+ 5 55
5,43
70
19.
91 16
15 40
-19 55
4 58
+18 11
4;S8
71
Dec
15.
19 51
17 95
-95 11
1 54
+ 6 18
4,50
79
19.
19 18
17 50
-93 96
7 1
+91 94
4^1
73
99.
18 58
18 54
-93 15
16 10
-16 40
+ 5,58
DE L'EXISTENCE DE LA NUTAÏION DIURNE. 33
d'ordre.
A+2D-2T
A-2D-2T
A+2D-«-2T
A-2D-«-2T
A'+2D'-2T
A'-2D'-2T A'+2D'-«-2T
A'-2D'-«-
1
201«17'
2930 15'
183047'
2750 43'
140O20'
840 40'
1^2030'
670 10
2
202 17
294 3
184 47
276 33
145 54
103 16
128 14
85 46
3
205 G
295 54
187 36
278 24
154 47
152 33
137 17
135 3
4
206 20
296 40
188 50
279 10
158 33
174 57
141 3
157 27
5
210 23
299 7
192 53
281 37
174 43
236 57
157 13
219 27
6
1 52
328 8
344 22
310 38
325 6
333 54
307 36
316 24
7
5 5
3^8 25
347 35
300 55
33 2
348 58
15 32
351 28
8
26 14
331 40
8 44
314 16
169 33
224 57
153 3
207 27
9
27 62
332 8
10 22
314 38
177 20
245 40
159 50
228 10
10
29 15
332 15
11 45
314 45
187 15
264 15
169 45
246 45
11
30 53
332 37
13 23
315 7
199 11
280 19
181 41
262 49
13
51 1
337 '29
33 31
319 59
73 58
1 2
56 28
343 52
13
60 55
341 35
43 25
324 5
150 34
121 26
153 4
105 56
14
85 14
354 6
67 44
336 36
27 58
345 2
10 28
527 52
15
87 16
355 44
69 46
338 14
66 51
357 39
49 21
340 9
16
144 5
132 15
126 35
114 45
229 27
307 3
211 57
289 53
17
144 43
140 47
127 13
123 17
319 15
334 15
301 45
516 45
18
144 57
142 33
127 27
125 3
338 37
330 53
321 7
519 25
19
145 59
148 11
128 29
130 41
54 57
352 53
37 27
535 3
30
145 44
154 16
128 14
136 46
105 10
21 50
87 40
4 20
21
146 9
159 21
128 30
141 51
138 59
73 31
121 29
56 1
2i
146 33
165 57
129 3
148 27
158*24
169 36
140 54
152 6
23 '
146 47
167 43
129 17
150 13
162 9
194 19
144 39
170 49
24
147 0
171 0
129 30
153 30
174 6
239 54
150 36
222 34
25
147 14
172 46
129 34
155 16
183 14
239 46
165 44
242 16
26
147 27
176 3
129 57
158 35
207 51
291 39
190 21
274 9
27
149 3
189 27
131 33
171 57
331 30
338 30
334 0
321 0
28
153 47
215 43
136 17
198 13
169 53
228 37
152 23
211 7
2»
153 33
219 57
136 3
202 27
188 13
269 17
170 43
251 47
50
156 15
225 15
158 45
207 45
249 53
318 37
232 23
301 7
51
156 41
226 49
139 11
209 19
268 8
324 52
350 38
307 22
32
158 35
252 55
141 5
215 25
537 55
344 35
320 25
527 5
33
158 55
234 35
141 25
217 5
5 59
340 31
346 29
525 1
34
160 54
239 6
143 24
221 36
61 44
554 16
44 14
336 46
35
163 56
243 4
146 26
225 34
79 58
3 22
62 8
545 52
36
180 30
273 30
163 0
256 0
15 47
542 43
358 17
525 15
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153 1
212 29
39 201O15' 293015' 183o45' 275o45' 135oâ8' 95o52' 115o58' 78o 2'
40 203 39 294 51 186 9 277 21 153 13 141 17 155 45 125 47
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45
5 36
528 24
546 6
300 54
14 4
341 50
356 54
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44
5 5
528 25.
548 55
310 55
35 56
346 24
16 6
528 54
45
27 52
552 8
10 22
314 38
173 5
^35 25
155 55
217 55
46
29 15
552 15
11 45
514 45
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47
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15 23
515 7
112 55
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255 5
48
32 39
553 1
14 59
315 51
205 35
287 1
188 5
269 51
49
52 11
358 29
34 41
520 59
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6 6
65 24
549 36
ToHE LL
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DÉMONSTRATION PRATIQUE
d'ordre.
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132» 59*
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115» 99'
51
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4
14 56
48 34
357 26
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849 56
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395 96
52
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15 44
49 46
358 14
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357 39
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53
68 41
16 49
51 11
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58 98
344 49
54
144
5
132 95
126 35
114 55
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800 46
202 44
983 16
55
144
19
134 11
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116 41
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56
144 57
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125 3
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57
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148 11
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391 54
58
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155 49
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98 90
94 10
10 50
59
146
9
159 91
128 39
141 51
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117 16
45 44
60
146 47
167 43
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150 13
160 4
181 56
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61
146 48
169 14
129 18
151 44
170 93
229 7
159 53
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69
147 94
172 46
129 54
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147 97
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129 67
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197 88
980 99
64
147 43
177 47
130 13
160 17
•
230 55
308 85
913 95
991 5
65
149
3
189 97
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66
153 47
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67
154 11
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68
156 15
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60
158
5
233 25
140 85
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70
160 54
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145 24
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558 8
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71
179 93
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953 87
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197
4
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N» d'ordre.
I
11
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1
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- 152
-18,40
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- 90
- 916
•H 3,49
- 40,55
9
+
63
- 154
- 18,00
- 92,40
- 87
- 143
4 9,16
- 30,08
3
+
55
- 155
- 17,00
- 92,60
- 8
- 5
4 1,31
- 0,87
4
+
51
- 155
- 16.60
-23,00
^ 68
4 17
- 10,46
4 6,10
5
+
49
- 155
- 15,20
-23,60
4 233
- 115
- 44,47
- 6,10
6
4-
64
+ 17
- 9,40
4 6,00
- 32
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4 4,36
- 4,36
7
+
71
4 17
-13,00
4 9,20
4^ 183
- 35
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■1
105
4 2
- 17,60
4 6,00
4 226
- 68
- 40,1 1
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4
108
—
- 17,60
•1 4,20
4 241
- 148
- 47,09
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10
+
109
- 1
- 18,40
4 4,20
4 918
- 293
- 47.59
- 25,72
11
-»
111
. 3
-18,60
4 4,00
4 163
- 981
-41,86
-38,87
19
4
135
- 33
- 24,00
4 1,20
4 936
- 181
- 48,40
-17.44
15
+
136
- 54
- 25,40
- 1,60
- 95
- 88
4 10,46
- 19,18
14
+
127
- 103
-26,40
-11,00
4 183
- 93
-30,59
+ 5.67
15
4
123
- 109
-26,20
-11,80
4 938
- 158
-47,59
-12,91
16
-
17
- 16
4 2,20
- 3,60
4 1»
- 316
- 17,88
-51,88
17
-
6
- 4
4 0,80
- 1.20
- 55
- 414
* 7,41
- 8;r9
18
-
3
- 2
4 0,40
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- 464
- 1,51
4 1,51
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+
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- 0,80
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4 936
- 105
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- 430
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+
14
4 8
- 2,20
4 9,90
4 155
- 168
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+
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4 11
- 3.60
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-47,09
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•f
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4 4,40
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- 19
- 6,98
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+
88
4 16
- 5,60
4 4.80
+ 138
- 5
- 99,67
+ 7,85
DE L'EXISTENCE DE I.A NUTATION DIURNE. 3S
K* d'orirc
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+ 243
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•»• 233
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- 48,83
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4^ 54
+
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+
5,80
+ 115
- 314
- 36,19
- 45,78
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+
15
-19,00
+
6,40
* 85
4^ 30
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-
10
- 90,00
+
4,60
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99
^ 194
-
15
-91,90
+
4,90
4- 216
- 243
- 48,40
-29 65
30
+ 199
-
95
- 99,60
+
9,60
- 70
- 274
- 3,05
- 49,70
31
^ 199
-
98
-99,80
+
9,40
- 108
- 913
4- 0,54
-40,55
39
+ 135
-
33
- 94,00
+
0,80
- 28
- 10
4* 4,36
- 3,05
33
+ 155
-
41
- 94,60
+
0,40
+ 100
4- 19
-15,70
4. 7,41
34
♦ 137
-
49
- 95,40
-
1,90
4^ 246
- 131
- 47,09
- 8,72
35
^ 134
-
59
- 95,60
-
9,80
4^ 233
- 908
-48,83
-21,80
36
* 113
-
193
- 95,90
-
14,40
4^ 143
—
- 93,54
4- 7,85
37
^ 99
-
133
- 93,60
-
17,90
+ 75
- 80
-99,91
- 50,58
38
+ 75
-
159
- 90,00
-
90,60
4- 208
4- 409
- 49,73
- 1,74
39
^ 64
-
159
-18,40
-
99,00
- 65
- 196
4- 3,48
-98,31
40
♦ 57
-
153
-17,80
-
99,90
- 45
- 98
4- 6,09
- 6,47
41
f 51
-
155
-16,60
-
93,00
+ 107
4^ 10
- 16,96
+ 7,28
49
+ 44
-
154
- 14,80
26,90
f 143
- 78
- 40,89
- 1.39
43
^ 69
+
17
- 19,40
4-
9,00
4- 18
4- 5
- 93,49
4- 8,95
44
+ 71
■I-
17
-11,90
+
6,40
4^ 201
- 35
- 34,80
+ 4,33
45
+ 108
—
- 17,60
+
4,90
4- 171
- 105
-44,80
- 5,94
46
* 109
-
1
- 18,40
+
4,90
4- 236
- 186
-49,15
-18,75
47
•f 119
-
3
-18,60
+
5,20
+ 196
- 956
- 46,1 1
-89,90
48
+ 113
-
4
-19,00
+
5,00
4^ 131
- 999
-37,41
-43,19
49
4- 133
-
36
-94,00
+
0,80
•f 293
- 918
- 46,98
- 94,42
50
•I- 139
-
55
- 96,00
-
9,00
- 65
- 50
4^ 8.96
-11.77
51
+ 75
-
64
-16,00
-
6,80
4^ 150
- 9
- 95,66
4- 7,85
59
+ 74
-
66
- 16,00
-
7,90
4- 226
- 125
- 44,37
- 9,10
53
+ 74
-
69
-16,00
-
7,40
+ 235
- 191
- 48,98
-19,18
54
- 17
-
10
+ 9,90
-
3,60
+ 55
- 324
- 95,95
-40,70
55
•
- 15
-
U
+ 9,90
-
3,60
- 20
- 306
- 19,61
-51,01
56
- 3
+
9
+ 1,60
•
2,60
4- 20
- 25
- 4,35
- 3,05
57
+ 4
4-
3
+ 0,60
-
1,00
* 228
- 75
-47,41
+ 3.92
58
+ 17
+
9
* 1,40
-
9,00
+ 115
- 314
- 35,93
- 45,78
59
f 93
+
11
- 9,90
+
2,90
- 20
- 291
- 7,56
- 49,70
60
^ 38
+
16
- 5,60
+
4,80
4- 5
+ 15
- 13,92
4- 6,98
61
+ 43
+
17
- 6,90
+
5,00
+ 146
- 331
-42,63
- 1,74
69
^ 54
+
17
- 7,00
+
5,40
^ 216
- 943
- 48,28
- 28.78
63
■t- 58
-1-
18
- 8,90
+
5,80
4- 78
- 396
-29,14
- 48,83
64
+ 78
-l-
17
- 8,60
4
6,00
—
- 319
-16.96
- 52,37
65
* 118
+
15
- 19,00
+
6,40
4- 89
4^ 980
-11,74
+ 10,42
66
^ 190
-
10
- 90,00
+
4,60
4- 195
- 193
- 46,98
- 7,49
67
t- 199
-
11
-90,40
+
4,20
4- 933
- 908
- 50,02
- 29,67
68
i- 135
-
95
-99,90
+
9,90
4- 65
- 439
- 63,51
-58,49
69
i- 137
-
38
- 94,40
+
0,60
4- 68
4^ 18
-15,22
4^10,90
70
+ 117
-
49
- 95,40
-
1,90
+ 946
- 168
-55,68
-11,77
71
+ 117
-
117
-95,40
-
13,40
+ 68
+ 10
-16,53
4- 7,41
79
^ 109
-
130
-94,00
-
16,40
+ 118
- 391
- 35,67
-47,09
73
+ 74
-
152
-20,00
-
90,60
+ 193
- 123
- 46,54
- 8,98
36
DÉMONSTRATION PRATIQUE
Êqvatlolifli de eandltlan.
i .
. A - 62,81 y
—18,88 X
- 3,30= 0.
39. .
A -81,34 y
—18,40 X
-4,26 --
2 . .
— S2,73
11,81
3,32
40. .
29,a8
-13,82
4,66
3 .
- 23,00
- 17,29
4,87
41. .
13,37
-38,01
4,74
4 .
1S,71
-28,44
4,40
42. .
—23,64
-38,01
8,71
8 .
- 26,9o
- «2,37
8,47
43. .
-»^ 18,13
—38,67
3,09
6 .
-V 2,26
— 3,07
3,10
44. .
-♦13,48
—46,18
1,71
7 .
. 18,86
-46,32
1.74
43. .
.- 1,76
-63,45
2,93
8 .
■»- 9,74
—38,37
1,89
46. .
-11,10
—69.42
8,39
9 .
— 4,08
66,17
4,34
47. .
—23,98
- 67,30
7,00
10 .
18,23
-68,16
6,28
48. .
- 33,72
- 89,44
4,34
U .
- 31,63
- 63.30
4,39
49. .
-20,06
73,82
6,23
ii .
—12.33
—74,34
6,27
30. .
-13,03
-18,79
3.62
13 .
-20,37
-16,36
3.60
51. .
-»- 3.30
- 42,32
0,78
14 .
— 2,23
38,18
o.ai
82. .
■*■ 13,36
-62,28
3,98
13 .
—20,40
—76,34
3,87
33. .
—22,49
—66,88
4,09
16 . ,
— oo,oz
—19,00
1,83
34. .
—82,92
-26,43
1.47
17 . .
-10,83
■*■ 4,03
8,11
83. .
-84,96
-13,61
2,00
18 .
-+- 0,76
- 4,37
3,24
86. .
— 8,48
- 3,02
4,10
19 .
— 1,61
-46,30
2,86
87. .
-+- 3,24
—47,33
2,86
20 .
—38,40
-44,33
1,84
88. .
-46,46
—36,88
2,04
21 .
—44,41
- 7,39
4,99
89. .
—47,47
—12,36
4,83
22 .
-t- 9,60
-11,71
4,38
60. .
+12,08
- 19,21
4,61
23 . .
- 14,41
—28,06
4,21
61. .
-♦- 3,13
-31,97
3,50
24 .
-V 0,01
-33,68
4.41
62. .
—20,68
87,84
8.02
25 .
—13,89
-37,74
8,83
63. .
-41,67
-40,40
4,40
26 .
—38,29
47,33
4,47
64. .
—43,84
-28,88
4,38
27 .
■«13,26
- 19,83
8,49
63. .
-4 18,86
- 30,70
5,27
28 .
-H 7,22
64,06
3,38
66. .
^ 0,23
- 67,31
3,42
29 .
22,03
72,18
6,08
67. .
14,83
-72,61
6,08
30 .
46,81
- 28,62
4,96
68. .
34,22
—90,26
5,07
31 . .
- 37,94
-18,67
3,40
69. .
H 13,83
—39.82
8,43
32 .
— 1,20
—20,12
3,78
70. .
9,34
83.28
4,88
33 .
H 10,16
40,89
3.09
71. .
— 2,84
-43,00
4,80
34 . .
— 6,09
-74,29
4,31
72. .
-61,29
-64,18
4,81
3o .
-20,93
-77,10
2,39
73. .
A -26,21 y
—69,34 X
-3,88=
36 . .
— 6,83
-49,97
4,39
37 .
—66,04
80,94
3,90
38 . .
, A— 19,81 y
-60,16 X
-3,87=0.
0.
—3.88=0.
DE L'EXISTENCE DE LA NUTATIOiN DIURNE.
37
Ces équations de condition conduisent aux équations normales suivantes :
73 A — 1262 y — 3192 x — 4342 = 0
— 1262 A -*- 60063 y -t- 80760 x + 80650 == 0 ,
— 3192 A + S0760 y -h 178190 x -«- 202829 = 0, )
qui donnent pour k, y ei x les valeurs :
A = + 3s768 log y = 5,8301347, log a; = 1,014S20S„ ,
d'où Pon déduit
K = - 0",1236 et L = 28«,24',25".
Appliquant la nulalion diurne aux observations qui s'écartent le plus de
la moyenne.
ObserratioiM corrigées.
DATES.
Observ.
Greenwicb.
Nuutioii diurne.
de la nulalion.
1869. Avril. .
. 13 p. s.
140»S4,74
0,249
54',491
Avril . . .
. 26
54,59
0,359
54,231
Avril . . .
. 28
59,28
0,563
58,727
Mai
12
59,27
0,570
58,700
Juin . . . .
. 6
53,84
0,412
53,428
Novembre ,
6
59,08
0,597
58,293.
Si Ton prend les écarts les plus grands entre les observations
59',08 — 54',76 = 4',34
89.27 - 54,89 = 4,68
89.28 — 83,84 = 8,44
et pour les passages inférieurs :
88',293 — 54,491 = 3',802
58,700 - 54,231 = 4,469
58,727 — 63,428 == 5,299
1869. Avril ... 13
Avril ... 29
Mai .... 13
Juin. ... 7
lMO-64,71
60,00
59,23
63,78
0,258
0,572
0,597
0,278
64',482
59,428
58,633
53,502
et pour les plus grands écarts :
69,23 — 54,71 = 4,62
60,00 — 53,78 =. 6,22
58',633 - 54,452 =- 4,181
89,428 — 83,602 = 5,926
38
DÉMONSTRATION PRATIQUE
a URSAE
Ciii
ORIS ^Washington, 1870).
K = — OMS L = S*» E. de Greenwîch.
No
DATES
SOLEIL
d'ordre. DES OBSERVATIONS. I» CriMvick. Asc dr. moy. DécL
Teifi Bijci
LUNE
Asc dr. moy. DécL
1
2
3
4
5
0
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
2t
22
25
24
25
26
27
28
29
30
81
32
33
34
1870. Février 25,
Mare 3.
10.
16.
18.
19.
23.
24.
25.
8.
12,
Avril
25.
29.
Mai 1.
8.
11.
13.
15.
19.
Jain 6.
17.
20.
22.
24.
29.
JaUlet 14.
17.
19.
Mars 16.
18.
19.
24.
Avril 8.
8»' 0'
7 35
6 57
6 43
0 85
6 82
6 15
6 11
6 8
5 18
4 57
4 17
4 5
8 50
8 41
3 14
8 8
2 55
2 47
2 31
1 20
0 87
0 25
0 17
0 9
25 49
2i 49
22 38
22 80
18 43
18 85
18 81
18 4
17 4
2ii>34«
22 56
23 22
28 44
23 52
23 55
0 10
0 18
0 17
1 8
1 20
2 3
2 15
2 80
2 88
3 0
3 16
8 24
8 32
3 48
5 1
5 46
5 59
6 8
6 16
6 88
7 38
7 50
7 58
25 46
23 55
28 58
0 18
1 11
+
+
+
•I-
9« 3'
6 47
4 4
1 42
0 54
0 81
1 4
1 27
1 51
7 14
9 4
^ 12 33
+ 18 32
+ 14 48
^ 15 26
+ 17 6
+ 18 9
+ 18 58
+ 19 7
4^ 20 0
* 22 46
^ 23 25
+ 28 27
^ 28 27
4 23 24
4 23 15
+ 21 3i
^ 21 2
4^ 20 40
- 1 25
- 0 81
-07
+ 1 27
+ 7 ^Q
191. 4.
0 4
5 29
11 10
18 4
14 0
17 48
18 46
19 42
6 56
11 87
21 11
23 85
2 32
4 6
10 17
13 0
14 54
16 55
20 61
11 45
22 18
0 32
2 0
3 31
7 54
21 50
0 15
1 42
11 89
13 30
14 26
19 14
7 24
- 21*27'
- 4 28
-I- 20 28
^ 9 25
- 1 26
- 6 54
- 21 0
- 21 41
- 21 10
^ 21 50
+ 78
- 18 12
- 7 22
+ 9 55
+ 17 0
+ 14 9
- ,1 0
- 11 48
- 19 36
- 19 24
+ 6 42
- 14 38
-27
+ 6 45
+ 14 88
+ 21 82
- 16 20
- 8 52
+ 4 58
+ 6 51
- 8 58
- 9 16
- 21 34
+ 21 38
Obs. - cale.
4-i;86p.«.
+ 1,55
+ 0,55
+ 0^7
+ 0,08
-0^
+ 0.84
+ 0,25
+ 0.23
-2,75
-0.27
+ 0,27
+ 1,46
+ 4,8^
+ 0,79
+ 1,87
+ 2,89
+ 0,89
+ 2,29
+ 1,61
+ 0,05
+ 0,93
-1,07
-1.77
-6,18
+ 1,98
-4,99
+ 0,46
+ 2,99
+ 0,29 p. t.
-1,40
+ 1,20
+ 0,75
-0,74
DE L'EXISTENCE DE LA NUTATION DIURNE.
39
No
DATES
DBS OBSERVATIONS.
Tempi moyen
de Gnenwidi.
SOI
Asc. dr. moy.
LEIL.
LUNE.
Asc. dr. moy. Décl.
)rdre.
Décl.
Obs.-Calc.
35
1870. Avril
19.
16*56-
1»»96'»
+ 9» 4'
llh Om
+ 9^49'
- 0:94 p. i.
56
93.
16 19
9 7
^ 19 58
91 37
- 16 45
+ 0,94
57
96.
16 9
9 14
i- 13 89
93 57
- 5 14
+ 1,36
58
k
30.
15 46
9 30
* 14 48
9 55
^ 11 59
+ 5,40
50
Mai
9.
15 37
9 40
^ 15 49
4 30
+ 18 94
+ 0,63
40
0.
15 11
3 8
^ 17 38
10 44
^ 19 1
+ 9,70
41
19.
14 59
3 90
f 18 94
13 98
- 8 49
+ 8,99
49
14.
14 51
3 98
4 18 53
15 91
- 14 9
+ 0,63
43
16.
14 43
3 39
+ 19 7
17 96
- 90 47
+ 9,94
44
19.
14 31
3 44
* 19 47
90 95
- 90 99
-1,46
45
90.
14 97
5 59
+ 90 19
91 17
- 18 8
+ 1.56
46
Juin
1.
13 16
5 3
^ 99 48
13 19
*- 4 1
-0,49
47
18.
19 33
5 47
+ 93 97
99 39
- 19 43
-9,69
48
91.
19 91
5 59
+ 98 97
0 54
4^ 0 8
-9,36
40
99.
19 17
6 5
+ 93 97
1 88
4^ 4 85
-1,89
50
93.
19 13
6 10
+ 99 97
9 99
4^ 8 59
-0,89
51
94.
19 9
6 19
^ 93 94
5 8
•f 19 49
-3,76
59
80.
11 46
6 38
* 93 10
8 99
* 90 44
-9,79
55
Juillet
98.
10 15
9 10
+ 90 5
4 94
+ 18 8
-0,97
54
Août
9.
9 35
8 49
^ 17 46
18 96
- 3 91
-9,85
55
6.
9 93
9 1
■¥ 16 59
16 7
- 17 5
-0,41
56
8.
9 11
9 13
+ 16 9
19 4
- 99 15
+ 0,09
57
19.
8 55
9 98
+ 14 58
99 44
- 19 18
-9,16
« •
40
DÉMONSTRATION PRATIQUE
No
d'ordre.
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
19
13
14
15
ia
17
18
10
^
31
Si
33
34
35
36
37
38
39
30
31
82
33
34
35
30
37
38
3'J
40
41
43
43
44
45
40
47
48
49
50
51
59
53
54
55
50
57
DATES DES OBSERVATIONS.
1870. Février 35
Mars
Avril
Mal
Juin
Juillet
Mars
Avril
Mai
JuIq
Juillet
Août
3
10
16
18
19
33
34
35
8
13
33
35
39
1
8
11
13
15
19
6
17
SO
33
34
39
14
17
19
10
18
10
34
8
13
33
30
30
3
9
13
14
10
19
30
1
18
31
9i
33
34
30
33
3
5
8
13
80LEIL
I
II
m
IV
cos(A-3T42D)
8in(A-3T4 3D)
cos(A-3T- a+3D}
sin(A-iT-ii2Dl
cos{A-ST-2D)
-8in(A-2T-ÎDj
-cos(A-2T-a-3D)
-dmA-2T-a-iD|
4 0,519
- 0,355
4 0,599
-0,161
4 0,398
- 0,383
+ 0.173
- 0,455
^ 0,197
- 0,197
+ 0.350
-0,145
4 0,088
-0,107
+ 0,077
-0,114
1 0,043
- 0,055
H 0,056
- 0,040
H 0.031
- 0,037
4 0,037
- 0.041
- 0,039
+ 0,057
- 0,055
♦ 0,044
- 0,053
■i 0,088
- 0,064
+ 0,080
- 0,069
4 0,131
- 0,093
i 0,t04
-0,149
i 0,465
- 0,383
4 0.39i
- 0,149
■* 0,599
. 0,539
4 0.5Î5
- 0,074
4 0,846
-0,313
H 0.787
- 0,033
1 0,908
- 0,300
iOjm
4 0,034
i 0,970
4 0,373
i 0,»41
4 0,073
4 1,030
+ 0,347
< 0,9ÎW
4 0,189
+ 1,109
4 0.155
4 1,109
4 0,370
4 1,156
4 0,083
+ 1,176
i 0,330
4 1,164
4 0,043
+ 1,404
1 0,381
4 1,181
+ 0,000
4 1,432
+ 0,477
4- 1,314
+ 0,139
4 1.286
^ 0,903
4 1,086
+ 0,533
4 1,311
4 1,139
4 0,W30
+ 0.788
4 1,496
+ 1,183
< 0,M01
+ 0,876
+ l.îiw
+ 1,3i0
4 0,788
+ 0,940
+ 1,139
+ 1,356
+ 0.745
+ 0,944
+ 1,<K«
+ 1,396
+ 0,648
+ 1,077
+ 1,044
^ 1,333
4 0,tô8
+ 1,297
+ 0,653
+ 1.336
+ 0,188
+ 1,319
♦ 0.5W
+ 1^13
4 0,131
+ 1,305
+ 0.537
+ 0,063
- 0,081
+ 0,087
-0,054
+ 0,0<1
- 0,037
+ 0,047
- 0,041
4 0,000
- 0,000
+ 0,000
- 0,0(>0
- 0,053
+ 0,088
- 0,080
4 0,064
-0.161
. 0,4j7
-0,396
+ (►,444
-0,150
4 0.631
- 0.545
+ 0,55i
-0,061
+ 0,876
-0,315
4 0.845
- 0,033
+ 0,908
- 0,309
4 0.863
+ 0,035
+ 1,000
- 0,480
+ 0,970
4 0,073
+ 1,030
-0,337
+ 1,009
+ 0,941
4 1.137
-0,115
+ 1,148
+ 0,«H3
+ 1,144
-0.061
+ 1,176
+ 0,357
+ 1,181
- 0,031
+ 1.432
4 0,381
+ 1,181
- 0,000
+ l,23i
4 0,477
+ 1,313
+ 0,090
+ 1.486
+ 0.5i9
+ 1,199
+ 0,139
+ 1.2(<6
+ 0,933
+ 1,109
+ 0,564
+ i;359
+ 1,139
+ 0,940
+ 0,818
+ I,ïl2
+ 1,183
4 0,861
+ 0,876
4 1,16:$
+ 1,197
+ 0,834
+ 0,905
+ 1,153
+ I,3i0
i 0,788
+ 0,930
+ 1,159
+ 1,334
+ 0,765
4 0,943
+ 1.109
+ 1,310
+ 0,634
4 1.037
4 0.094
+ 1,380
+ 0,090
* 1,313
+ 0,4/7
+ 1,168
-0,141
+ 1,156
4 0,4§4
+ 1,109
- 0,189
+ 1.109
4 0,155.
+ 1,039
-0,333
+ 1,000
4 0,09i
+ 0,960
-0,390
+ 1,000
+ 0,017
DE L'EXISTENCE DE LA NUTATION DIURNE.
41
LunE
cos/A>iTi30)
CM(A-ST-SD)
+ 1,ï9î
^0,156
f 0,941
+ 0^35
- 0.099
+ 0,049
^1,058
+ t,*5l
+ ]^3â6
+ 1,307
+ 0^17
f 1,050
+ 0.548
4 0^8
+ 0,488
+ 0,8S5
- 0,034
♦ 0,114
* 0,781
+ 1,247
+ 0,302
+ 0,863
+ 0,063
-0,04i
+ 0,281
+ 1,346
+ 1,014
+ 0,147
- 0,059
+ 0,317
•0,061
+ 0,010
+ 1^6
+ 1,319
+ 0,435
+ 1,035
+ 0405
+ 0,114
+ 0,656
+ 0,659
- 0,061
+ 0,344
+ 0,964
+ ],3]9
+ 1,144
♦ 0,147
+ 0,474
0,000
- 0,059
0,000
+ 0,184
+ l,31i
+ 0,613
- 0.059
+ 0,489
+ 1«320
+ 0,685
VI
8iD:A-2T42D)
siii(A-ST-SD)
+ 0,449
-0,231
+ 0,896
- 0,481
+ 0,046
+ 0,484
+ 0,831
+ 0,558
+ 0,228
+ 0,500
-0,363
+ 0,554
- 0,383
+ 0,684
+-1,019
- 0,450
+^0,066
+ 0,806
•i- 0,995
- 0,176
- 0,378
-0,456
-0,124
♦ 0,484
+ 0,931
+ 0,163
- 0,403
-0,236
+ 0,344
- 0,363
+ 0,272
+ 0,618
+ 0,163
+•0,326
- 0,481
-0,360
-0,282
+-0,806
•1-1,020
- 0,480
+ 0,272
+ 0,910
+ 0,925
- 0,022
- 0,283
-0,236
. 0,702
0,000
+. 0,306
+^0,618
♦ 0,858
♦ 0,000
♦ 1,014
+ 0,237
+ 1,019
+ 0,459
-0,499
VU
cos(A-2T-K42D)
cos(À-2T-«-3D)
♦ 1,088
+ 0,246
+ 0,645
♦ 0,266
-0,060
-0,187
♦ 0,750
+ 1,006
♦ 1,192
♦ 1,084
♦ 0,250
♦ 1,176
♦ 0,451
-0,163
♦ 0,155
♦ 0,919
- 0,043
-0,138
+ 0,454
+ 1,197
♦ 0,407
+ 0,960
+ 0,098
-0,187
0,000
+ 1,238
-1,090
+ 0,208
-0,164
+ 0,411
-0,142
-0,180
+ 1,115
+ 1,156
+ 0,266
+ 1,090
+ 0,282
- 0,130
+ 0,288
+ 0,781
- 0,142
-0,033
+ 0,630
+ 1,258
+ 1,176
+ 0,214
+ 0,245
0,000
- 0,150
-0,192
- 0,086
+ 1,258
+ 0,259
-0,129
+ 0,155
+ 1,112
+ 0,812
vni
sin(A-ST-a^2D)
sin(A-2T-«-2D)
+ 0,816
-0,193
+ 1,155
- 0,598
+ 0,083
+ 0,450
+ 1,112
+ 0,911
+ 0,650
+ 0,876
-0,416
+ 0,103
-0,260
+ 0,663
+ 1,100
-0,178
+ 0,054
+ 0,805
+ 1,184
+ 0,438
-0,264
-0,165
- 0,098
+ 0,450
+ 0,970
+ 0,571
- 0,076
-0,183
+ 0,309
- 0,254
+ 0,239
+ 0,593
+ 0,775
+ 0,721
- 0,598
-0,018
-0,205
+ 0,800
+ 1,164
- 0,252
+ 0,239
+ 0,958
+ 1,192
+ 0,380
+ 0,083
-0,178
+ 0,812
0,000
+ 0,275
+ 0,593
♦ 0,876
+ 0,406
+ 1,156
+ 0,205
+ 1,109
+ 0,834
- 0,262
DATES DES OBSERVATIONS.
1870. Février 25
Mars 3
10
16
18
19
23
24
25
Avril 8
12
22
25
29
MSI 1 . • • • ■ •
8
11
13
15 • a • ■ • •
19
JuJu 6
17
20
22
24
29
JulUel 14
17
19
1870. Mars 16
18
19
24
Avril 8
12
25
26
50
Mai 2
9
M m 0 m a a ' •
14
16
19
20
Juin 1
10 ••••••
21
22
25
24
30 a • . • ■ •
Juillet 23
Août 2
5
8
12
N*
d'ordre,
1
2
8
4
5
6
7
8
9
10
11
12
15
14
15
16
17
18
19
20
21
22
25
24
25
20
27
28
29
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
40
41
42
45
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
Tome LI.
AU
DÉMONSTRATIOIN PRATIQUE
»•
. cot»
IV ^/
cot«
mî|î
fcol«
VIII ^*f ^
^/eot«
YII^Ï^
d'ordre.
8
S
S
s
R
R
R
R
f
4^1,194
- 6,44
- 0,770
-97,96
4 6,476
4 71,155
4 9,955
- 95,048
9
4 0,685
-18,90
- 0,879
- 6,99
+ 0,788
4 16,830
-1,160
- 91,451
8
4 0,453
- 5,00
- 0,455
-10,00
+ 4,798
4 99,408
4 4,498
- 56,944
4
+ 0,909
- 4,56
- 0,946
- 5,08
+ 9.185
- 59,145
- 9,415
- 93,195
5
4 0,097
- 1,60
-0,196
- 8.94
- 0,497
4 7,938
4 0,931
+ 5,939
6
4 0,048
- 0,84
-0,069
- 1,08
-0,911
4 39,940
4 9,430
+ 16,306
7
-0,090
4 1,76
4 0,151
+ 9.19
+ 5,391
4 96,799
4 4,179
- 65,400
8
-0,199
4 3,90
4 0,909
+ 9,56
+ 6,975
4 79,439
4 9,801
- 88,079
0
-0,159
4 4,16
4 0,978
+ 5,68
+ 6,677
4 54,936
+ 1,145
- 103,768
10
- 0.343
4 15,68
4 1,069
4 11,59
+ 6,576
4 76,587
4 9,510
- 04,176
11
- 0,343
4 91,00
4 1.378
4 13,16
4 1,591
- 36,975
-1,899
- 91300
12
-0,170
4 31,48
4 1,946
+ 19,59
+ 5,971
4 8,989
*■ 9,781
- 109,896
13
- 0,074
4 34^9
4 9.088
4 19,00
+ 1,747
- 99,679
-1,993
- 59,597
14
4 0,078
437,64
+ 9,931
- 10,H8
+ 1,194
4 57,814
4 3,434
+ 14,911
15
4 0,166
4 39,96
4 9^69
- 9,88
+ 9,450
4 96,799
4 5,190
- 15,516
16
4 0,435
4 44,40
4 9,553
- 6,90
+ 4,141
- 15,599
- 9,959
- 80,157
17
4 0,691
4 47,90
4 9,668
- 3,39
-0,190
4 4,709
4 0,331
+ 5,749
18
4 0.736
4 48,00
4 9,668
- 1,68
+ 0,579
4 70,985
4 4,046
4 19,053
10
4 0,H76
4 49.90
4 9,714
- 0,00
+ 5,091
4 109,896
4 4,995
- 39,589
so
4 1,097
4 51,60
4 9,783
- 5,16
+ 6,975
4 57.599
- 0,884
- 104,640
91
4 9,075
4 59,40
4 9,507
-90,88
+ 1,516
- 93,091
-1,898
- 35,490
99
4 9,699
4 49,90
4 9,116
-31,59
+ 4,359
- 14,388
-9,989
- 83,719
93
4 9,714
4 46,80
4 1,078
-35,90
+ 0,516
- 8.545
-0.699
- 85,450
94
4 9,899
4 45,60
4 1,817
-o6,>*0
-0,911
4 39.940
4 9,430
4 16,306
95
4^,898
4 44,40
4 1,713
- 38,56
+ 1,416
4 84,584
4 4,674
-909,980
96
4 9,967
4 40,80
4 1,400
- 40,80
4 0,678
4 49,791
4 0,818
4 95,048
97
4 3,059
4 96,19
4 0,593
- 48,00
+ 0,507
- 6,697
- 9,095
0,000
98
4 3,036
4 93,60
4 0,459
- 48,80
4 0,738
- 15,957
- 0,683
- 18,138
99
4 5,013
4 91,48
4 0,301
- 48,00
-0,996
4 96,945
+ 1,797
4 14,501
30
4 0,145
- 9,16
-0,186
- 5,48
4 1,595
- 99,149
- 1,815
- 55.839
51
4 0,048
- 1,08
-0.069
- 1,08
- 0,305
4 90,841
+ 1,360
4 19,589
39
4 0,000
- 0,00
-0,000
- 0,00
4 0,050
4 51.710
+ 3,090
4 15,696
33
-0,199
4 956
40,909
4 3.90
4 6,730
4 67,580
+ 0,815
- 96,799
34
- 0,570
4 16,96
4 1,145
4 11,84
4 6,585
4 69,871
+ 1.650
- 100,980
35
-0,559
4 99,08
4 1.451
4 15,80
4 9,175
- 59,146
- 9,405
- 91,195
36
-0,140
4 3i,99
4 9,015
4 19,60
4 5,175
- 1,569
-1,800
- 95,048
37
- 0,074
4 54,59
4 9,088
4 19,36
4 1,095
- 17.876
-1,410
- 94,590
58
4 0,080
+ 58,80
4 9,500
+ 11,90
4 0,570
4 70,985
+ 4,030
4 11,386
30
4 0,166
4 49,56
4 9,369
+ 9,08
4 3,180
4 101,159
+ 5.100
- 95,115
40
4 0,554
4 45,99
4 9.599
+ 4,60
+ 5,995
- 91,974
-9,400
- 68,105
41
4 0,651
4 46,04
+ 9,699
4 9.44
- 0,305
4 90,841
4 1,860
4 19.589
49
4 0,891
4 49,98
+ 9,714
4 0,84
+ 1,9i0
4 81,794
4 4,550
+ 9,880
43
4 0,876
4 49,98
+ 9,714
4 0.00
+ 4,890
4 103,768
+ 4,695
- 54,956
44
4 1,097
4 51,44
4 9,785
- 3,60
+ 60(60
4 55,156
-0,110
- 109,879
45
4 1,917
+ 51,44
+ 9,760
- 5,16
+ 5,790
4 7,957
-1,415
- 109.806
46
4 9,191
4 55,56
+ 9,553
-99,48
+ 0,735
- 15,599
-1,180
- 18,661
47
4 9,699
+ 48,48
+ 9,116
-40,90
+ 9,370
4 70,806
- 5.510
- 91,364
48
4 9,714
4 46,79
+ 1,980
-55,04
0,000
0,000
0,000
0,000
49
4 9,760
+ 46,19
+ 1,914
-56,90
-0,995
4 95.980
+ 1,530
4 18,080
50
4 9,890
4 45,56
+ 1^19
- 50,80
0,000
4 51,710
+ 5,090
+ 16,749
51
4 9,806
4 44,56
+ 1,755
-56,88
+ 0,990
4 76,387
+ 4,090
- 7,409
59
4 5,015
4 39,76
+ 1,458
-41,48
+ 6,560
+ 35,405
0,000
- 109,875
53
4 9,967
4 19,08
+ 0,907
- 48,48
4 5,065
4 100,980
+ 5,070
- 99,585
54
4 9,691
4 8,96
- 0,394
-46,94
-0,995
4 17,876
+ 1,185
+ 11,949
55
4 9,553
4 6,90
- 0,435
-44,56
4 9,445
4 96,799
+ 5,005
- 18.516
56
4 9,399
4 5,68
-0,556
- 49,40
4 6,600
4 79,795
+ 9,995
- 96,799
57
+ 9,908
4 5,68
-0,667
-40,00
4 5,425
- 99,846
-9,495
- 70,806
DE L'EXISTENCE DE LA NUTATION DICRNE.
43
i'qa»U*B« de ««ndltl*!!.
-0.29=0.
1.
A -121,828 y
1 -1- 72,388 a
; —1,86=0.
30.
A- 41,32 î<
< - 22,88 X -0,29=
2.
— 30,410
— 33,862
-1,33
31.
+ 12,60
+ 19,46
+1,40
3.
— 62,199
-4- 99,884
-0,38
32.
+ 18,79
+ 81,76
+1,20
4.
— 28,926
- 84,320
-0,87
33.
92,88
+ 76,87
-0,78
5.
-*- 3,097
* 8,238
-0,03
34.
— 88,67
+ 86,06
+0,74
6.
-»- 17,896
-+- 38,237
+ 0,80
38.
— 11,38
28,28
+0,24
1.
— 88,977
+103,783
-0,84
36.
— 82,24
+ 36,39
-0,94
S'
— 82,809
■*■ 88,792
—0,28
37.
- 11,83
- 17,60
-1,36
9-
— 98,668
+ 68,613
—0,23
38.
+ 28,87
+109,73
-8,40
\0'
— 79,277
■*■ 88,300
+2,78
39.
— 8,86
+144,83
—0,63
44-
— 9,084
— 14,027
+ 0,27
40.
— 63,30
+ 27,79
—2,70
13-
— 88,649
-1- 48,863
-0,27
41.
+ 18,80
+ 67,23
^-3,29
^9.
— 27,162
■*■ 33,821
—1,46
42.
+ 10,98
+133,11
-0,63
U.
-«- 8,996
-♦- 96,726
4,82
43.
— 47,60
+ 188,78
—2,94
iS.
18,907
+139,368
-0,79
44.
-110,80
+ 92.24
+1,46
ie
•
86,043
+ 33,484
—1,87
48.
—106,71
+ 68,62
—1,86
il
«
-♦ 3,428
+ 82,410
—2,89
46.
— 39,77
+ 40,89
+ 0,42
18.
-^ 17,067
+119,891
-0,39
47.
— 63,65
+124,28
+2,69
19.
31,880
+186,893
—3,29
48.
— 33,06
+ 49,43
+2,36
20.
108,901
+ 96,294
—1,61
49.
19,68
+ 72,87
+1,89
21.
88,761
+ 82,970
-0,08
80.
- 18,16
+100,10
+0,82
88.
-118,408
+ 41,766
-0,93
81.
38,74
+124,48
+3,76
23.
42,389
+ 41,288
+1,07
82.
149.89
+ 84,73
+2,79
24.
16,242
1 87,488
+1,77
83.
— 68,79
+126,39
+0,27
25.
32,173
+133,298
+ 6,13
84.
— 34,13
+ 29,23
+2,88
26.
147,772
-f 94,236
-1,98
88.
— 83,21
+107,99
+0,41
27.
-*- 48,618
+ 23,089
+4,99
86.
—137,43
+ 88,39
—0,02
28.
67,189
+ 11,417
-0,46
87.
A— 113,97 y
- 16,83 a
; -^2,16
29.
V -
31,671 j
r + 81,142 X —2,99=0.
=0.
44 DÉMONSTRATION PRATIQUE
De ces 57 équations de condition^ on peut former les 3 équations à
inconnues suivantes :
87 A — 2679,5S y —3723.98 x — 402,48 = 0
3S -I- 3031 ,27 -♦ 2245,80 - 1 783,50 = 0
43 -♦-2186,37 -♦- 4052,56 -♦- 11,25 «0.
qui donneront les valeurs suivantes :
0^,794 log X = ï,48477 log y = T,24343
et par conséquent
Asc. dr. moy. = l''ll«°18%464 ; K = - 0%175, L « 8« à l'Est de Greenwich.
Introduisant ces valeurs dans les équations de condition correspondantes
aux observations qui présentent le plus grand écart^ on aura :
Avril. . . 29 p. s. 1»»11»22«,49 1M1«22,58
Août. . . 2 1M1'»14%92 1M1»15,97
Écart 7%57 6»,61
Avril. . . 30 p. t. lMl»23-,07 1M1»22,97
Août. . . 2 1M1»14%82 1M1»15,25
Écart 8»,25 7s72
L'introduction de la nutation diurne dans les observations les plus discor-
dantes reserre donc les limites des variations.
DE L'EXISTENCE DE LA NOTATION DIURNE.
të
a URSAE MINORIS (Pulkowa).
K
= — 0
i'";32l
L = 52«30' W. de Greenwich.
No
DATES
DES OBSERVATIONS.
Temps mojTfn
dcGrNDwieh.
SOLEIL.
Asc. dr. moy. Décl. A
LUN
E.
DécL
Asc. droite
d'ordre.
se. dr.moy.
observée.
Passage supér.
-
1
1869. Fév.
16.
18»»25-
22"» 0-
.
12*12'
IhhSO»
+ 2*52'
12»»15"53;50
2
21.
12 5
2i 20
-
10 26
81 0
+ 18 50
53,37
S
Mars
10.
17 85
23 45
-
1 36
26 45
4^ 5 59
52,63
4
17.
16 32
23 48
-
1 12
15 0
+ 1 40
53,01
5
Sept.
2.
5 27
10 46
+
7 19
113 13
+ 20 17
5^,53
6
4.
5 19
10 53
•1-
7 5
143 15
^ 15 48
53,11
7
6.
5 12
11 1
+
6 20
172 45
+ 7 1
53,17
8
18.
4 24
11 44
+
1 45
334 30
- 12 51
52,66
Passage infér.
0
1869. Fév.
20.
6 12
22 16
.
10 47
4 56
+ 17 57
6M5"i5S,35
10
25.
5 52
22 36
—
8 57
9 54
4^ 13 41
52,90
11
Mars
16.
4 88
23 45
—
1 36
0 37
- 0 22
53,50
12
Sept.
2.
17 24
10 46
+
7 49
7 3
+ 20 38
53,08
13
4.
17 16
10 53
+
7 5
9 3
+ 17 24
53,05
14
8.
17 9
11 0
+
6 20
11 2
^ 9 30
53,24
15
9.
16 57
11 11
+
5 12
13 53
- 6 6
53,09
16
12.
16 45
11 21
+
4 6
16 40
+ 17 51
*
53,27
A
B
G
D
E
F
G
H
1
11 7» 36'
166*24'
203*36'
252*24'
196*14
184*46'
282*14'
270*46'
2
126 2
167 52
21i 8
253 52
290 40
215 20
16 40
301 20
3
165 3
171 27
251 3
257 27
210 45
186 47
296 43
272 47
4
166 36
171 24
252 36
257 24
190 20
183 40
276 20
269 40
3
549 8
317 52
75 8
43 52
325 49
244 41
51 49
330 41
6
349 25
321 5
75 25
47 5
346 51
283 59
72 51
9 39
7
349 55
3«4 25
75 55
51 35
358 47
330 43
84 47
56 43
8
351 30
344 30
77 30
70 30
120 48
172 12
206 48
258 12
9
124 26
167 34
240 26
253 34
281 54
210 6
7 54
296 6
10
133 6
168 54
219 6
254 54
347 37
292 53
73 37
18 53
11
165 3
171 27
251 5
237 27
180 31
181 59
266 31
267 59
12
349 8
317 52
75 8
43 52
318 1
237 29
44 1
323 29
13
349 25
321 5
73 25
47 5
342 33
272 57
68 33
858 57
14
350 10
ZiA 50
76 10
50 50
318 30
318 0
44 30
44 0
15
550 9
319 21
76 9
55 21
18 5
32 27
94 3
118 27
10
350 27
334 3
76 27
60 3
26 18
97 42
112 18
183 42
A«scot«r-cos(AH-2D — 21)— -<»s(A — 2D- 2t)l E = colfc r-cos(A'-*-2I>'- 2t) — -cos(A'--2D'— 2l) 1
B«col«r-sin(AH-2D — 2t) — -sin(A — 2D — 2l) | F^coiwj- sin ( A'-i- 2D'— 2l) — - sin (A' — 2D' — 21)1
C = — lg^[-sin(A + 2D-«-2t)--sîn(A-2D-«-2t)| G= - lg<y | î-siD(A'4-2D'.a-2l)--sin(A'-2D'-a-2t)
D = lg^ricos(Ai-2D-a-2l).-sin(A-2D-«-2t)l H ==lg^r-cos(A'+2D'-a-2l)--sin(A'-2D'-«-2l) |
On a de plus tg ^ = 10,83, cot » = 2,30, /"s: 2,18.
46
DEMONSTRATION PRATIQUE
N» d'ordre.
A'
B*
C
D'
E'
F'
G'
H'
1
+ 7S
+ 88
- 454
- 505
- 48
+ 10
- 57
+ 548
t
+ 69
+ 45
- S69
- 479
- 90
+ 906
- 9104
+ 8fô
S
+ 11
+ 9
- 17
- 95
- 10
+ 59
- 901
+ 759
4
+ 7
+ 9
- 8
- 50
- 95
+ 5
- 18
+ 185
5
-1- 55
+ 99
- 955
- 587
+ 88
+ 514
- 9594
- 457
6
* 51
+ 95
- 909
- 555
+ 191
+ 191
- 1445
- 1969
7
+ 48
+ 90
- 151
- 590
+ 115
+ 55
- 995
- 893
8
-f 14
+ 9
+ 95
- 101
+ 181
+ 118
- 860
- 959
0
+ 71
+ 48
- 587
- 406
- 190
+ 166
- 1905
+ 1006
10
* 62
4 54
- 985
- 457
+ 178
+ 148
- 1153
+ 1996
11
•h 1S
+ 9
- 17
- 95
+ 5
—
—
- 56
12
•1- 55
+ 98
- 955
- 587
+ 45
+ 591
- 9361
- 146
15
+ 51
+ 95 -
-901
- 555
+ 185
+ 998
- 1757
- 1171
14
+ 46
+ 18
- 160
- 598
+ 5
+ 9
- 56
- 18
15
+ 40
+ 14
- 196
- 978
- 55
+ 95
- 990
+ 739
16
+ 90
+ 8
- 84
- 919
- 138
+ 961
- 1850
+ il5S
Avec ces données, on forme les équations de condition suivantes :
A— 1,32 y — 4,23 x — l',î50 = 0
A+ 3,05
— 21,31
— 1',57 = 0
A+ 6,40
1,84
— 0',63=»0
A+ 1,15
— 0,19
— 1',01 c= 0
A- 7,01
-22,17
— 1',33 = 0
A — 13,73
— 14,33
— l',ll=-0
A— 9,80
— 3,29
— 1',17 = 0
A— 8,58
— 7,66
— 0»,66 = 0
A-»- 4,61
— 20,76
— 1',35 = 0
A — 14,23
— 12,56
— 0",90 =- 0
A- 1,14
— 0,15
— 1',50 = 0
A— 4.35
— 22,47
— 1S08 = 0
A — 12,90
— 16,87
— 1',05 = 0
A— 2,97
— 1,76
— 1',24 «. 0
A-^ 4,39
— 3,07
- 1',09 -= 0
A-t- 8,25
— 16,45
— 1',27 =. 0
DE L'EXISTENCE DE LA NUTATION DIURNE. 47
Les équations normales qai s'en déduisent sont :
46 A — 48,18 y — 169,10 x - 18,46 = 0,
— 48,18 -♦-968,48 ■*- 632,1» *■ 48,44 = 0,
— 169,10 -♦- 632.18 +2901,40 -1-199,90 — 0,
Leur résolution fournit pour les inconnues les valeurs suivantes :
A = 1',1S9 log X = 5,7289808 logj/ =1,3170181.
a; = — 0',0084 y = 0',021
qui donneront pour
^(1868) = ISHK'-SS-^Se; K = - 0".321 ; L = 82«4S' W. de Pulkowa,
ou 52»30' W. de Greenwich.
Si Ton prend les observations qui présentent le plus grand écarts et si
on les corrige de la nutation diurne^ on aura :
iA (Palkowa). i4R corrigées.
2) 1848-83',87 18''18"'S3',39
3) ISMS-SCeS S0',7S
Écart. . . . 2',94 Écart. . . . 2>,64
48
DÉMONSTRATION PRATIQUE
\ URSAE MINORIS (Bruxelles).
K = — 0"100
L = 26<> W. de Greenwich.
SOLEIL.
LUNE.
N<* Dates lempi moyen
d'ordre. DES OBSEEVATIONS. deGmovieh. Ascdr.moy. Décl. Asc.dr.moy. Décl.
Asc. droite
obser?ée. calculée.
1
9
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1801 « Janv.
Mars
Avril
Août
Sept
20.
4.
14.
33.
30.
1.
4.
10.
13.
3.
11.
tlh 8"
8 55
8 16
7 40
7 14
7 5
6 53
0 39
10 33
8 57
8 33
30i>50-
33 3
33 38
0 11
0 36
0 45
0 54
1 16
9 30
10 47
11 19
-17042'
- 6 10
- 3 16
+ 1 14
4^ 3 58
^ 4 44
+ 5 54
+ 89
+14 46
+ 7 43
+ 4 30
11»"30"
17 49
1 44
9 43
16 36
13 37
31 5
1 39
13 53
8 59
17 37
- IMO*
-35 SI
♦16 5
+10 39
-34 59
-34 35
-14 35
+14 40
*11 13
+14 33
-34 53
8M "33:38
31,03
43,60
53,50
3» 0,05
1,31
7.56
10,35
30>>3» 3,50
3 46,93
3 38,47
30;86
35,66
43,93
53,40
0,51
1,57
4,79
11,33
3,65
48,70
39,15
13
13
14
15
16
17
18
19
20
31
33
1863. Février 35.
Mans 1.
14.
Juillet 35.
Août 18.
Sept.
Oct
30.
4.
11.
18.
30.
34.
9 80
0 8
8 17
11 31
10 16
9 10
8 51
9 33
7 55
7 8
5 33
33 35
33 49
33 16
8 30
9 33
10 35
10 53
11 18
11 43
13 36
13 55
- 8 56
- 7 36
- 4 44
+19 34
+14 33
+ 8 53
+ 7 11
+ 4 37
+ 1 46
- 3 56
-11 46
30 16
33 34
10 33
7 33
0 34
14 54
19 55
1 53
7 45
18 38
18 59
-17 9
+ 3 43
+ 5 10
+19 30
+ 8 56
-19 39
-17 49
+15 36
+18 33
-21 26
-30 16
8»0>-34,76
36,35
50,80
30»'3«18,98
8,93
0.50
0,06
1B46,19
41,85
37,13
0»56,33
37,93
40,46
51,15
19,81
11,40
58,97
54,40
47,63
40,87
36,57
55,49
DE L'EXISTENCE DE LA NUTATION DIURNE.
49
SOLEIL
LUNE
d'ordre.
A«-2T42D
A<r2T-2D .
A-2T-a+2D
A-2T-«-2D
A'+2T-2D'
A'-2T-2D'
A'-2T-«42D'
A'-2T-«ï-2U'
1
18* 6'
88» 54'
95-36'
166'>24'
2870 52'
295«» 8'
347» 22'
554» 38'
2
92 10
116 50
151 40
176 20
335 13
77 17
34 43
136 47
3
109 8
118 2
168 28
177 32
177 10
112 50
330 40
172 20
4
123 58
119 2
183 43
178 47
'286 3
243 27
345 33
302 57
5
135 56
120 4
195 26
179 34
315 32
55 28
15 2
114 58
6
139 13
120 17
198 43
179 47
345 55
85 30
45 25
145 5
7
144 18
120 42
203 48
180 12
46 25
104 5
105 55
163 35
8
154 18
121 42
213 48
181 12
170 35
111 55
230 5
171 25
9
279 9
243 58
338 32
303 28 '
289 36
334 24
349 6
33 54
10
296 5
265 21
355 39
3i4 51
282 29
225 1
341 59
284 31
11
297 26
280 5
356 55
339 35
341 1
70 29
30 31
129 59
13
79 53
115 37
139 23
175 7
28 42
97 18
88 12
156 48
15
86 23
116 7
145 53
175 37
117 56
107 4
177 26
166 34
14
98 32
117 38
158 2
176 58
285 5
264 25
194 35
173 55
15
283 8
204 52
342 38
264 22
270 55
193 35
530 25
353 5
16
291 19
233 11
350 49
292 41
145 22
109 38
904 52
169 8
17
295 31
359 59
355 1
319 29
303 12
21 48
2 42
81 18
18
296 22
267 38
355 52
3^7 .8
22 17
93 23
81 37
152 53
10
297 24
279 36
356 54
339 6
178 12
115 48
28 12
325 48
20
298 17
291 13
357 47
350 43
272 1
198 29
331 31
257 50
31
299 38
311 22
359 8
10 52
355 38
81 22
55 8
140 52
22
304 13
351 17
3 43
50 47
3 13
84 17
62 43
143 47
No
d'ordre.
I
II
III
IV
r
ir
iir
IV
1
- 7»
4 23,14
+ 5
- 1,74
+ 107
- 19,95
+ 13
+ 7,54
2
+ 13
+ 3,19
- 349
4- 89,90
•f 48
- 10,64
+ 173
^ 6,38
3
+ 8
+ 0,53
- 218
-^ 24,94
+ 16
- 4,79
- 153
+ 56,26
4
- 5
- 17
+ 24,94
- 9
+ 2,39
+ 185
- 34,80
5
-21
i- 0,80
- 379
4 80,62
- 25
+ 6,92
4 38
+ 37,70
6
- 24
+ 1,33
- 311
4 88,74
> 29
+ 8.25
+ 225
- 8,12
7
- 31
+ 2,13
- 63
+ 39,44
- 33
+ 10,04
4 233
- 39.44
8
- 47
+ 4,26
- 193
+ 20,30
- 43
^ 13,83
- 156
+ 53,94
9
- 12
+ 10,37
- 125
+ 8,70
+ 70
- 12,77
- 141
♦ 45,50
10
+ 12
+ 4,79
- 68
+ 40,62
+ 61
- 13,50
4 231
- 38,28
11
■¥ 13
+ 1,60
- 319
4 87,58
4 41
- 7.71
H 153
4 25,08
12
+ 9
+ 6,65
- 126
i- 55,10
+ 70
- 15,16
-1^ 248
* 36,54
18
+ 12
^ 4,52
- 20
- 1.74
^ 59
- 13,03
- 45
+ 9,86
14
^ 12
+ 1,86
+ 5
+ 1.16
-i- 33
- 8,51
+ 90
4 20,88
15
- 63
4 28,02
- 188
+ 67,28
^ 130
- 18,62
+ 248
- 26,68
16
- 15
•h 15,96
- 92
+ 109,62
+ 112
- 20,22
- 120
1 35,38
17
+ 9
4^ 6,65
. 300
+ 48,72
+ 70
- 15,16
- 98
4 54,52
18
+ 12
+ 4,26
- 156
+ 59,74
4 54
- 12,50
^ 246
-31.32
19
+ 10
+ 1,86
- 216
-i- 0,58
+ 32
- 82,46
- 141
- 59,74
20
+ 8
f 2,66
- 171
+ 63,22
+ 17
- 34,52
+ 246
- 29,58
21
- 14
4 5,32
- 263
+ 78,30
- 18
1 5,59
+ 211
-11.02
2i
- 75
4 9,84
- 236
+ 73,08
- 46
4 18,89
+ 226
- 17,40
Tome L1.
50
DÉMONSTRATION PRATIQUE
Avec CCS données on peut former les équations de condition
i.
+ 24,66 y
11.21 X
— 2,42 == 0
12.
-»- 60,58 y
— 48,52 X
-.- 3,16 = 0
2.
. 89,73
2,03
. 4,64 = 0
13.
. 2,70
— 3,03
■»- 4,21 = 0
3.
■^r 23,37
-4 30,10
-► 1,33-0
14.
-. 3,19
H- 13,61
-4- 0,38 = 0
4.
-.- 24,71
30,67
0,10 = 0
15.
-V 92,97
— 41,52
-•- 0,83 - 0
5.
-.- 77,42
+ 44,78
. 0,46 ^ 0
16.
» 124,51
•H 15,08
-4- 2,48 - 0
6.
M 86,72
->- 2,07
-I 0,26 = 0
17.
■^• 52,46
H 39,08
1,53 - 0
7.
♦ 40,63
- 27,40
2,77 = 0
18.
* 62,56
-40,82
8,86 0
8.
-. 22,16
-t 65,78
■^■ 0,89 — 0
19.
+ 0,38
-69,08
-H 1,44 = 0
9.
-. 17,70
. 30,02
-> 0,13-0
20.
-4- 64,25
30,41
— 1,48 " 0
iO.
•< 44,2a
- 48,66
^ 1,77=^0
21.
-f- 80,85
3,50
- 0,88 -- 0
a.
- 86,12
-<- 9,61
-♦0,58=0
22.
-♦- 79,43
H- 3,29
■V 0,27 =- 0
Ces équations de condition donneront pour équations normales :
^ 86267 1/ 1- o379 x h- 844,49 = 0
{ 5379 y ♦ 27397 x h- 487,67 = 0
qui sont satisfaites par
log a: «=^, 7543705,, et \o%y =^75,77818„ (en seoondes de temps)
ou log X =-= 2,9304618,, et log // ---- 5,95424„
d'où Ton déduit
R - — 0",124 (H L -= 22'» VV. de Bruxelles,
ou L ^^ 18** W. de Greenwich.
En introduisant^ une troisième inconnue^ A, représentant Terreur com-
mise sur Pascension droite moyenne adoptée dans les réductions^ on aurait
pour équations normales :
22 A -♦- H87 y i- 63 x -+- 8,51 =- 0
1157 A M 86267 y -f- 5379 x -4- 644,49 = 0
63 A H- 5379 y h 27397 x ^ 187,67 = 0
qui donneraient pour les inconnues les valeurs suivantes :
A == — 0%196 log x^ = B,7593557„ log j/- -= 3,5237465„
log x"^ 5,9354470„ log »"= î,6998378„
d'où Ton déduirait
K = — 0",100 et L = 30» W\ de Bruxelles.
ou L = 26« W. de Greenwich.
valeurs qui concordent avec les précédentes.
DE L'EXISTENCE DE LA NUTATION DIURNE.
51
T OCTANTIS (Cordoba, 1874)
K = — 0;4 1 L = 26« W. de Greenwich.
No DATES twft Hojei
<l*ordr6. DES OBSERVATIONS. 4c fircMtieh.
1
3
S
4
5
6
7
8
9
10
11
19
1874. Sept
10.
11.
19.
15.
14.
15.
16.
17.
18.
19.'
93.
94.
110 14<
11 10
11 6
11 9
10 58
10 54
10 50
10 46
10 49
10 34
10 99
10 18
SOLEIL
Abc. dr. moy. DécL
11"»16« + 4»43'
11 90 ^ 4 90
1! 93 -^ Z 57
11 96 4^ 3 34
11 30 1^ 3 10
11 33 4^ 9 48
Il 37 +9 94
11 41 4^ 9 3
11 44 +1 38
U48 +1 13
19 9 - 0 18
19 6 - 0 49
LUNE
Asc. dr. moy. DécL
19 19
19 54
13 40
14 90
15 14
15 55
16 46
17 41
18 36
99 95
93 19
+ 6«43'
+ 1 6
- 4 31
- 10 93
- 15 1
- 90 15
- 93 91
- 96 19
- 97 59
- 98 0
- 14 27
- 7 59
Asc. droite
. observée.
18»»13'°38;68
38,84
58,99
37,98
38,60
38.97
30,68
37,11
38,77
38,75
39.19
38,87
d'ordre.
II
III
IV
II'
III'
IV'
1
i- 0,097
4-0,300
+ 15,04
- 5,00»
+ 0,950
+ 0,958
+ 40,09
- 15,18
9
+ 0,081
+ 0.967
+ 11,84
-4.24
+ 0,010
+ 0,140
+ 6,09
- 0,87
S
+ 0,078
+ 0,970
+ 10,56
-3,96
+ 0,069
+ 0,694
- 1.74
+ 96,97
4
+ 0,068
+ 0,934
+ 9,98
-5,94
+ 0,448
+ 1,300
- 67,49
+ 15,66
5
+ 0,059
+ 0,909
+ 7,99
-9,48
+ 0,940
+ 1,780
-79.17
+ 56,54
6
^ 0,048
- +0,909
+ 6,68
-9,00
. +I,7i8
+ 1,814
-88,74
+ 70,47
7
+ 0,040
+ 0,169
+ 5,36
-1,56
+ 9,946
+ 1,590
- 84,59
+ 93,09
8
4- 0,099
+ 0,137
+ 5,56
-1,44
+ 9,876
+ 0,698
-60,12
+ 190,95
9
4- 0,019
+ 0,109
+ 4,04
-0,96
+ 5,959
-0,116
-57,11
+ 140,07
10
+ 0,019
+ 0,069
+ 9,79
-0,64
+ 5,516
-1,614
- 9,61
+ 144,49
11
- 0,004
+ 0.034
- 1,60
+ 0,40
+ 0,956
+ 1,954
+ 67,86
+ 159,95
19
-0,003
+ 0,034
- 1,36
+ 0,90
+ 0,349
-1,058
+ 18,97
+ 45,94
A 4,70
11,14
2,84 = 0
A ^- 23,90
— 10,89
2,92 - 0
A -»- 13,93
-66,18
- 1,28 - 0
A ■^- 36,04
— 86,10
— 2,60 = 0
A H- 70,60
~ 93,64
— 2,97- 0
A -»- 93,81
87,46
- 0,68 - 0
A ^ 121,02
— 68,87
-1,11 = 0
A -+- 139,91
38,18
- 2,77 = 0
A -H 143,73
- 2,00
— 2,78 =.- 0
A .- 131,06
-H 70,42
3,12 = 0
A -t- 44,41
» 19,97
— 2,87 = 0.
52 DÉMONSTRATION PRATIQUE
Les équalions de condition sont :
«
I. A — 16,94 y ^- 27,33 x — 2,68 = 0
2.
3.
i.
S.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
D'où Ton peut former les trois équalions suivantes, ou k,yeix ont les
coefliclents les plus grands :
12 A - 796,49 y — 346,14 x - 28,89 = 0
8 A H- 839,77 y — 378,82 x — 17,88 - 0
- 6 A — 479,43 y + 881,88 x + 11,28 = 0.
Ces équations donnent les valeurs suivantes :
A ^ f 2«,69 log X = î,8{{340 log y =• 5,19890„
X — -i- O',007 tf = - 0',0018
et par conséquent :
.«, (1874) =. 18''13'»38',69; K -= - 0",il et L - 141»W. de Cordoba.
ou L =! 26«W. de Greenwich.
Si Ton remplace x el y par leurs valeurs dans les équations 1 1 et 7 qui
présentent le plus grand écart par rapport à la valeur à^JR„y on aura :
Asrensïiuns droites Ascensions droites
de Cordoba. corrigées.
II. 18''13»39',12 18''13»38',83
7. 18''13»36',68 18M3"'37',43
Écart. . . 2',44 Écart. . . l',40
DE L'EXISTENCE DE LA NUTAÏION DIURNE.
53
D. M. -H 88%117 (R. Cephei).
K = — 0'M36
K -- 17«W. de Greenwich.
N» DATES Temps moyen _
d'ordre. DES OBSERVATIONS, de Greenwicb. Âsc. dr. moy.
S0I<ËIL.
1
9
3
4
5
6
7
1863. Février 20.
27.
Mars
Oct
Nov.
1.
27.
28.
1.
14.
8 1864. Avril 8.
10«»5«
9 38
9 30
5 45
5 41
5 95
4 34
6 58
22»» 15'»
22 42
22 49
U 0
14 10
14 26
15 18
1 8
D6cl.
- 10*50'
- 8 16
- 7 30
- 12 48
- 13 8
- 14 26
- 18 15
4- 7 12
LUNE.
Âsc. dr. moy. Décl.
0b24>u
6 19
7 58
2 52
3 46
7 7
18 25
3 3
Asc. droite
observée.
+ 7*29' 20>»34'»42î3î p. i.
^ 21 26
+ 16 57
4- 17 41
+ 19 51
^ 18 86
- 20 2
+ 17 17
42,75 p. t.
39,89 p. î.
59;97
4i;S3
.41.31
40,53
40,28 p. t.
d'ordre.
A42D-2T
A-
.2D-2T
A+2D-«-2T
A-2D-a-2T
A'+2D'-2T
A'-2D'-2T
A'i2D'-«-2T
A'-2D'-«-S
I
II
m
IV
V
VI
VII
VIII
1
+
56«35'
+
97» 55'
+ 105» 50'
+ 127» 30'
- 236<»32'
- 266» 28'
- 1850 17'
- 2150 13'
2
+
26 28
+
99 32
4 117 44
i- 131 16
- 1 19 53
- 205 37
' 68 38
- 154 22
3
+
69 45
+
99 45
+ 121 0
+ 136 0
- 104 6
- 171 54
- 25 46
- 120 34
4
-
71 36
-
20 32
- 20 21
* 5 15
- 119 8
- U9 52
- 127 53
- 198 37
5
-
89 16
-
18 44
- 20 1
* 6 15
- 161 18
- 240 42
- 110 3
- 189 27
6
-
70 7
-
12 23
- 18 52
i- 10 0
- 113 33
- 187^57
- 62 18
- 136 42
7
—
64 30
+
8 30
- 23 15
4- 13 15
- 21 19
4- 18 45
+ 20 56
^ 110 2
8
- 226 6 - 254 54 - 174 51 - 189 15 - 177 11 - 246 19 - 125 56 - 195 4
No sinl-sinll cosl-cosll coslll-cosiv sinIV-sinlII siuV-sinVI cosV-cosVi cosVU-cosVIlI sinVlI-siDYIU
fdre.
a
b
c
d
e
/
9
h
1
-0,1744
+ 0,7174
+ 0,3359
- 0,1687
-0,1642
- 0,4909
-0,1781
1^0,4810
2
- 0,5401
+ 1,0599
+ 0,2345
- 0,1703
- 1,3000
+ 0,4038
+ 1,2651
+ 0.4982
3
- 0,0466
+ 0,5155
+ 0,2043
-0,1625
- 0,8276
+ 0,7451
+ 1,1116
+ 0,0647
4
- 0,5990
-0,6211
- 0,0579
+ 0,4404
-1,8119
-0,1426
+ 0,3541
+ 1,0098
5
- 0,6795
- 0,9358
- 0.0542
+ 0,4523
-1,1918
- 0,4575
+ 0,6438
+ 1,1047
6
- 0.7271
- 0,6370
- 0.0384
+ 0,4964
- 1,0561
+ 0,5915
+ 1,1916
+ 0,1994
7
- 1,0504
- 0,5585
- 0,0548
i 0,6267
- 0,6866
-.0,0149
+ 1,2080
+ 0,4397
8 -0,1858 -0,2673 -0,0092 +0,2522 -0,9653 -0,5974 +0,3781
+ 1,0678
=1,15, ' =2,51; — = 21,7, '-^
X r s r
= 24,955.
54
DÉMONSTRATION PRATIQUE
N-
cottf
cot«
a.
•«'.
/cot«
/cot«.
ftg^
f^'k
d'ordre.
f
i
«
9
r
r ■'
r ^
r
1
- 0,1955
4 0,8280
+ 7,378
- 8,689
- 0,4105
-1,927
- 4,452
+ 12,025
9
- 0,6210
+ 1,9190
4 4,991
- 3,689
- 3,2500
+ 1,009
+ 31,630
+ 12,455
S
- 0,0575
4 0,5980
+ 4,540
- 3,472
- 9,0690
+ 1,863
+ 27,790
+ 1,618
4
- 0,6000
- 0,7150
- 1,302
ir 9,548
-4,5300
- 0,454
+ 8,352
4 25,145
5
- 0,7830
- 1,0810
- 1,085
4 9,765
- 2,9800
-1,144
+ 16,095
4 27,620
6
-0,8395
- 0,7360
-0,868
4 1,050
- 2,6402
+ 1,480
+ 29,790
+ 4,985
7
- 1,Î075
- 0,6440
- 1,085
4 13,671
- 1,7140
-0,037
+ 30,200
4 1,099
8
-0.2070 -0,3105 -0,195 + 5,495 -2,4130 -1,404 + 9,452 4 26,695
Avec ces données^ on formera les équations de condition :
1.
A -♦- 2,320 y
. 14,487 - 49" ,98 = 0
2.
A + 32,730
-♦-14,766 — 86 — 0
3.
A + 30,004
+ 4,349 — 13 =0
4.
A-»- 1,830
+ 33,037 - 14 = 0
5.
A ■*- 11,248
-t- 38,186 - 37,98 =0
6.
A -H 28,442
-4- 6,647 34,68 =0
7.
A -♦- 26,194
-H 13,648 — 22,98 =0
8.
A+ 6,637
-h 30,431 — 19,20 =0
et les équalioQS normales :
8 A -^ 136,428 y -*■ 182,821 x — 248,88 = 0
136,42 A -» 3478,42 y -^ 1818,78 * — 4409,36 -= 0
182,82 A + 1818,78 y -♦- 3928,80 x —4848,86-0,
qui donneront :
A = 0',096 « = — 0",102 y -= 0",090
d'où
ifL •= 20''34»41',096 K = — 0",13 L = 17«W. de Greenwich,
DE L'EXISTENCE DE LA MUTATION DIURNE.
55
Si Ton remplace les ioconnues par leurs valeurs dans les équations de
condition, on a
DATES.
\
Asc. droite BB TI
Obsemiionii eorrigée*
1863. Février . . .
. se
20h34-42',33
41,01
Février . . .
. 27
42',75
41,19
Mars . . . .
1
SG-.SO
41,28
Octobre. . .
. 27
39',97
40,89
Octobre. . .
. 28
41',53
40,93
Novembre.
1
41',31
41,20
Novembre.
. . 14
40',S3
41,16
1864. Avril . . .
8
40',28
40,93.
V
/V.j
MÉMOIRE
SUR QUELQUES FOEMULES
DE
CALCUL INTÉGRAL,
PAR
J. BEAUPAIN,
DOCTEUR ÈS-SCIBNCKS, INGENIEUR AU CORPS DES MINES.
(Préseoié à la Classe des sciences, dans la séance dii 2 Jain 1888.)
Tome LI. 1
MÉMOIRE
SUR QUELQUES FORMULES
DE
CALCUL INTEGRAL.
Jusqu'ici^ on n'a pas remarqué suffisamment^ je pense, Tulililé des
développemenlSy en série Irigonomélrique^ des fonctions
cos'fcosgr, cos'fsiuçf, sin'fcosff, sia^rsinçf,
pour Tétude de certaines intégrales définies.
Dans le tome VIII du Journal de Liouville, Â. Serrel détermine la
valeur des intégrales des fonctions précédentes et de quelques autres fonc-
tions analogues prises entre les limites 0 et j. Le procédé d'intégration,
fondé sur le développement de ces fonctions, en série trigonométrique,
conduit à plusieurs formules que je crois nouvelles, à la simplification et à
la généralisation de certains résultats obtenus par Â. Serret, Schlomiich et
d'autres géomètres. Dans ce mémoire, je n'ai fait qu'appliquer une méthode
bien connue, appartenant à la théorie des intégrales définies. Cependant,
il n'est pas inutile de présenter certains résultats qui me paraissent nouveaux.
SUR QUELQUES FORMULES
CHAPITRE PREMIER.
Développements, en série, des fonctions cos^cf cos q(f, co^<f sin Çf, elc.
1 . Problème. — Sommer les séries :
Psacosa •♦-
( j cos (a -f- 2y) -♦- - -♦- f n COS (« -♦- ^k'f)
Qs^sina H- ( j sin (a -h 2^) -*- •• -»^ ( j sin («-♦- 2*f) -♦- —
si p est plus grand que — 1^ ces deux séries sonl convergentes. [Voir une
Note de M. Catalan, sur le développement rfe (1 -j- x)", insérée dans les
Comptes rendus de l'Académie des sciences, 26 octobre 1857.]
On trouve facilement :
p = 2''cos''f cos (p? -♦- a),
Qs= 2''co6''f sin (pf H- a).
En observant que cos^^ peut élre écrit sous la forme cos(p + q — p)j,
on a immédiatement les deux égalités :
(I) VcosJ^fCosqf = \ (i.)^^*(9 — P*"2/r)v,
Ces équations subsistent pour toutes les valeurs de <f comprises entre 0
et '^, inclusivement. Quand ? = f , les deux membres des égalités (1) et (2)
deviennent infinis^ si p est négatif.
Si nous multiplions (1) et (2) respectivement par sin q^el cos ^^et que
* Nous ne considérons que la valeur réelle et positive de (2 cos^)'.
DE CALCUL INTÉGRAL. * 5
nous relranchioDS, il vient :
2'cos''? sinq \^^ ^j ^ smq^ J u)^*(' ~ P "*" ^*^^ "" ^®^' l 2 (J) 8in(9 — A+ 2*)?
Remplaçons 9 par | — 9) :
On obtiendra^ de la même manière^ le développement de sin'')) cos 99.
Nous aurons ainsi :
(a) 2' cos'^f cos ç? = 2 (j) ^®® (? — P -*- 2t) f,
AkQD
(6) 2'cos''f sinçf «2 (^)8in(9 — p -i-Silf.
(c)2'sin'ycos9y=cosp^2(-i)»(j)cos{î-p + 2i)f— sinp^2(-l)*(j^)'''*n(?-P+2Jt)
.As
(d)2'6ii»'ysin9? = smp^2(-*^*(j)^^s(9-p + 2A)f + cosp^2
2. Ces développements^ qui subsistent pour toutes les valeurs de 9 com-
prises entre 0 et ^inclusivement, forment des cas particuliers des quatre
développements plus généraux, parmi lesquels je citerai celui-ci :
2*i+«r»- ••+•« cos'^riX cos'TtX . . . cos'«r^x cos qx = cos [q — «ir, — «,r, . . . s^r^] x
-4--—— y Ui(«i — 1)...(8| — a, ^ t)...«^(«^— I)...
(«-—«« + 0 cos [9 — «.r, . . . 8jr^ + 2 («^n -*-... ^ a^r J] x
pour toutes les valeurs entières et positives, y compris zéro, satisfaisant à
Fégalité :
6C1 -♦• flCf *f> • « • "♦• ct^ ^" n.
6' SUR QUELQUES FORMULES
On le déduit du développement^ suivant la série de Taylor^ de la fonction
OÙ Ton suppose :
0| + «t =• • • = O^ = 6, Œ 6, = •• • «as 6^ = i.
CHAPITRE II.
Calcul des intégrales J^ cos^(fCosq<fd<f, etc.
3. Soient
A^.,=» / cos''x cos qxdxf
0
^p»i •=■ / cos'x sin qxdx.
0
En vertu des formules (a), (b) nous aurons, par intégration :
sin (g — p) - ^
g — p-i- 2**
cos (9 - p) ^ ,^
<*) "-. — 5^-i'-"'(flï37T«-^ï(:),-3îb«-
Si nous supposons g— p > 0, rien n'esl plus facile que d'exprimer, par
DE CALCUL INTÉGRAL.
des intégrales définies, les sommes de ces séries convergentes. Posons :
-l-Hlï^
t-H-»
d'où
dx
Nous aurons donc,
|(-"'(l-:r?TU-5./"'"^"'"-"'^-
et semblablement^
Kl-^^-l/'*^^'-'^-
Ainsi :
sin(9— p)-
(»)
A.. — ¥^''ihr>p^^)^
(G) B^,
2H^
B (^, p + i) -*- é^ij'^'^''^^ -^ ^)'^^-
M. Bierens de Haan donne la formule (5)^ dans le huitième tome des
Mémoires de l'Académie des sciences d'Amsterdam. [3* partie^ méthode 17,
n"^ 18-20.] Le procédé de détermination est fondé sur le développement
d'une fonction, suivant la série de Taylor. Kummer [tome XX du Journal
de Crelle^ emploie également cette méthode pour arriver au même résultat.
Au fond, le procédé que nous avons suivi ne diffère pas de celui de ces
deux géomètres.
a:'«"-*(l -^xydx, nous ferons
8 SUR QUELQUES FORMULES
d'abord la transformation^ x ^ i — xr^ qui nous donnera :
0 0
Les ternies de celte série convergeDte sont d'abord alternativement posi-
tifs et négatifs; mais, à partir d'un certain rang, ils deviennent tous positifs
ou tous négatifs.
Nous aurons en conséquence les deux formules :
(7) A,., ^ B(*-^,p + i),
2H^
0. Remarque L — Ces formules (7) el (8) subsistent pour les valeurs
de p satisfaisant aux conditions :
Généralement^ les fonctions cos''^ cos çrip , cos^'^sin^f deviennent infinies
quand y «- ^, si p est négatif; mais les valeurs des intégrales A^^^^ B^,, n'en
* Pour le calcul numérique de l'intégrale B^, ,. il est préférable de recourir à la formule :
co8(g-p)j
CssOD
kxs9i / «1 i 4
2 1 ^)-z — 5ï ^^^^^^ ^"® série à termes alternativement positifs et négatifs.
DE CALCUL INTÉGRAL. 9
reslenl pas moins finies. EfTecUvement^ considérons Téqualion
2' / cos'f iiosqfdf = ^ { . ) / cos (ç — p -h 2A) fdf.
Les deux membres de celte égalilé sont des fonctions de 9, constamment
égales entre elles pour les valeurs de 7 comprises entre 0 el| — e;e désignant^
suivant Tusage, une quantité positive et infiniment petite. A la limite, ces
fonctions, finies ou infinies^ seront encore égales.
En second lieu/ pour 0 >/> > — i, nous avons la relation
COSOf p' V {p* -^ i)
^j;^^ = cos(ç-^p>-J-cos(9 + p'-4-2)7 + i-^^ — cos(9-+-p'+4)^. , («)
où Ton suppose
1 > p' > 0.
Si q est un nombre impair, -g;;?^?^ s'annule pour 9=5, tandis que le
second membre de Tégalité («) devient infiniment grand.
Mais nous aurons toujours
»?-€ __ ^î-C
/«"■ cosçf) . r^ Y p' p'(p'-*-i) 1
0 0
{q-*-p') 1 q-*-q'-t-i 1.2 7+p'h-4
]im / ^^— dv =sia la +p')- h— \.l-L. : i-. . .
J 2''cos'V^ ^^ ^'^Iq + p' i q+p'+i f.2 q+p+A J
0
Or, la quantité entre crochets est égale à
Tome LL
iO SUR QUELQUES FORMULES
Donc^ finalemenl
J €08^008^?^?= — B ^-y-,p -4- ij,
0
9 et /? satisfaisant aux inégalités :
6. Remarque II. — Dans les formules (7) et (8), il est permis de sup-
poser q égal à zéro, pourvu que 'p reste compris entre 0 et — 1. Par le
changement de /? en — p^j^ étant maintenant une quantité essentiellement
positive, < i, les équations (7) et (8) deviennent
A sinp^r(|)r(i-p)
1>P>0, J cos- V/? = -2i"7 7- — , (?)
J x« (i H- x)-''dx = cosp — — (r)
Pour vérifier la formule (y), posons
X = ig V.
On trouve la suite d'égalités :
/ x' (i-*-x)*''rfx==2 / cos'-'f sin^'V'^î»
0
Faisons sio^) — V^o;, il vient
0
DE CALCUL INTÉGRAL. H
On a donc, idenliquement,
cosp- — ie=:8in(4 — p)-
T
m ' ^{'-îi ^-(-1)
. '(î)
T(i-p)
Ce qui est exaci^ en vertu de la formule de Legendre :
7. Pour déterminer les valeurs des intégrales
r TT
j sin'^f cosçf(/f», / sin^f sin 9f dp,
il suffit d'observer qu'on a identiquement
£ T ?r
/ sîn'ycosçfdyŒïCOsç- / cos'f cos^^/f -t-sinç- / cos''f sin f ]>(/f ,
(9) / •
» î 51 *C
0 0 0
On voit donc que ces quatre intégrales sont généralement exprimables^
au moyen d'intégrales eulériennes^ et de la série convergente
T = f°f _ K V p(p-1)...(p-fc-*-<)
iâ^ M?-p + 2*)..(7-p)'
cas particulier de la série de Gauss *. i
* Voir : Sur quelques intigraks définies, par M. Catalan, octobre 188S.
12 SUR QUELQUES FORMULES
8. Si g — p esl impair,
(n A,.,=o
En particulier^ si q ^^^ Py le développement des (^o^^xco^px donne
immédiatement
TT
(9'*') p> — i, / cos'j zospxdx
2P+1
intégrale due à Poisson.
9. Pour ramener la transcendante/' cos^'â!? si n/?â?rfâ? à une transcendante
ô
algébrique^ il faut encore remonter au développement de o^os^xûïiqx.
En posant
\1/ 3\3/ 2*-l\2i- — i/
Considérons les deux développements :
(,_a:). = l_Qx-,-g)x'_...
On en conclut
ji t^ se
0
et par conséquent,
(*0) ^"'==2^' y
— dx ,
DE CALCUL INTÉGRAL. 43
10. Remarque. — Â. Serret, dans le tome VIII du Journal de Liouville,
donne la formule suivante :
(H) . . / cos'xsinpxdx = — 2-H- -♦- -+ . . -f.— . (p
entier).
En comparant (10) et (11), on obtient Pidentité, à peu près évidente :
/ i ax = 2-*-—-4----4-.H (p entier).
t/ X 2 3»
0
On peut récrire ainsi :
i i 2 4 8 2*-*
Par exemple :
, 1^^ 1 . 2 4 8 16 52
ii. y =-/) + 2 donne
/ cos'x sin (p -♦- 2)xdx «= .
c/ P -^ ^
0
Généralement, si çr — p est pair, B^,, sera exprimable sous forme flnie,
attendu que les intégrales contenues dans le second membre de Téquation (6)
sont connues.
Transformons cette équation : elle devient, pour q — p = 2A,
0 0
dans la seconde intégrale, changeons a? en — x :
— i
14 SUR QUELQUES FORMULES
A. Serret trouve la formule [Jownal de Liouville, lome VIII]
/
* cos'x s\n(p -h ^k)xdx
L^P+*KP+2) (p+1) ... (p+4) (p -H 1) (p H- 2) . . (p + 2t) J '
d'où, si A: est un nombre entier, résulte Tidenlité :
(^ \y+\p (i — xf-'x'dx
2^+'
i 2. Toutes les formules précédentes ne sont vraies que pour q — p > 0 ;
il s^agit mainlenanl de reconnaître ce qu'elles deviennent dans le cas de
 cette fin^ nous emploierons la formule de réduction suivante :
£ £• r
A^,, s=3 / cos^fcosqfdf^ip-i) / cos'*"Vcos9fdy.sin'î»-i-ç / cos''"*f sîn f sin Çf rff .
pAw = (? — *) A,-t., •*- q y *cos'-«f sin, sinqifrff.
Or,
p / cos'~*fsiafsmqfdf'=q/ cos'fcosqfdf,
0
C'esl-à-dire :
M2) A pfp-l)...(p-2fc^<)
DE CALCUL INTÉGRAL. 15
2A* élanl le plus grand nombre entier contenu dans p^ ou ^k = ^p)f
suivant la notation de Legendre. Si p — 2A: est encore plus grand que q,
on devra procéder de la façon suivante :
/ cos'f Qosqfdf = A^ + ,,,+; -♦- / cos'j» sin y sin (ç -♦• 1 ) f . rff ,
0 0
(p -*- i) / cos'y siny sin(qr -f- l)î>rf? ==(?-*- ^) / cos'^ cos(9 -i- \)fdf;
d'où
p -*- 7 -4- 2
(^3) A,,,«= — ITTI A,i+i,f+i«
p H- 1
Maintenant^ au moyen de la formule de réduction précédente^ on peut
ramener le nombre p + i k une quantité comprise entre — 4 et + !•
13. On trouve, aussi facilement, la formule de réduction
/« pip — i q
cos^'f sin qfdf = J B,^,., - ,
El cette autre
p -♦- 1
14. Reprenons la formule
A _ P(P— «)-.(p — 2fc•^-0 .
'" (p' - g') ... [(p — 2fc + 2)» - 7'] '""•'"
D'autre part, nous avons la formule bien connue
(i6) A.,
(p+l)2H-'B(^+l,?-^+i)
46 SUR QUELQUES FORMULES
Comparanl les égalités (12) et (46), nous obtenons la relation
1
(17)
k satisfaisant aux conditions :
;) — 2*<7, p— 2fc> — 1.
/) et g^ étant donnés^ s'il est impossible de satisfaire à ces inégalités^ il
faudra faire subir^ à cette formule^ la modification indiquée plus haut. Si p
est un nombre pair, nous obtenons, sous forme d'un produit limité, la
valeur de Tin verse de l'intégrale eulérienne de première espèce; chose, qui
ne doit pas nous surprendre, attendu que la différentielle binôme
est intégrable.
X • (i— x) • dx
i5. Remarque L — Quand p ^{ q vérifient les conditions
9-P>o, ^>^-2-^.
on a directement
sin (9 — p) ~
^f.f — 2H-*
b(V'P"*)'
I
Posons
7 — p=2m, qf-i-p = 2n.
DE CALCUL INTEGRAL. 17
en comparant ces deux équalionS; on a
B(iii,n — m-*-i)B(l — m,m-t-l)» ; ---: ;
(il — m -«- 4) sinfiiir
et^ si l'on fait n =» m^ on obtient la formule d'Euler
r(m)r(i— m)«
sinfiiir
Remarque II. — Il est clair que, connaissant le développement de Ap,^
en série convergente, on pourra, en vertu de la relation (16), développer
jrj en série convergente.
En effet,
posons
d^OÙ
(18)
i (a+p— l)sinarr i a^p — 2 1 («-1-^— 2)(a-f-p— 5) i
-l)sinarr i a^p — 2 1 («-1-^— 2)(a-»-p— 5) i 1
^i^ [i— « î Î2 — a"*" 1.2 5-a J
Par exemple, si /3= 1,
.^^. _l_^_î «--1 i ^ (a~i)(a^2) 1 («-i)(:c-2)(«-5) 1
^ ' sin«T i—a. i 2 — a"*" 4.2. 5 — a i.2.3 4— a
On peut donner au développement de ^^^ une infinité de formes diffé-
rentes.
Ainsi pour i3= 2,
,na i a \ «(a — 4) 1 «(«-4)(a — 2) 4
^ ' Billots 4-^ a 4 2 — a 4.2 3 -- a 4.2.3 4-«
L'équation (i9), pour «= ^, donne le développement de tt, bien connu ^
T , 4 4 4.34 4.5.5 4
- =1 H- -.-
â 2 3 â.4 5 2.4. G 7
Tome LL
18
SUR QUELQUES FORMULES
CHAPITRE IH.
jr .
Calcul des intégrales nsiiff cos'y cos qfd(f, yTsin**y cos'9 sin yyrfy,
16. Nous allons considérer mainlenant deux inlégrales un peu plus
générales :
A^,,,,= / siVf cos'y cosçfdf, Br, .,,= / sin'ycos'î^sînçjc/f.
0 0
Il est permis de supposer q — s — r > 0, parce qu'il est toujours pos-
sible de ramener tous les cas à celui-ci. Eiïeclivement^ on pourra réduire
les exposanls ^ et r entre les limites — 1 et + i^ sans que celle opération
altère la valeur de q.
Nous supposons ainsi 5> — 1, r> — 1.
Au moyen de Tinlégralion par parties, on a
^ . .^
/^ \ / « *
./ r -4- i /
0 0
A^,^^ = / sirr+*y cos' '5» rosçff/f H / sin*^*?» cos'~*f singj>rfs);
c'est-à-dire
(21)
(« + r) A^, ,,, « (« — 1) A,,._,., -4- 9. Br + ,,,-,.,;
et semblablemeni,
(22)
(« -^ »•) Br..,, = (« — 1) Br.,-f., — 7 A, + ,...|.,
D'abord, on peut réduFre un seul exposant, celui de cos 9, par exemple^
DE CALCUL INTÉGRAL. 19
celui de sin (f ne variant pas ou n'étant augmenté que d'une unité. Les
formules (1) et (2) donnent respeclivemenl :
s — t q
5 "t" I S -T- T
jA ^__^ 9 ^M ^M
(24) . . . B,+ ,,,.,.,.= -— B,^, . ,.,., — -— A,.,_,., 4--—
d'oû^ par substitution de cette valeur dans Téqualion (23),
On obtient, de la même manière,
L'application judicieuse des formules (21), (22), (25) et (26) et des identités
permettra, dans chaque cas particulier, de ramener Texposant s entre les
limites — 1 et + 1.
En outre, si r + 1 est une quantité comprise entre 1 et 2, on pourra,
en vertu des identilés précédentes, diminuer de deux unités l'exposant de
sin 9 dans les intégrales A^^, «^,, B^^,,.,,. Les exposants de sin 9 et de cosy
seront ainsi ramenés entre les limites — 1 et + 4.
17. Application. — Soit s compris entre 4 et 5.
Par application de la formule (25),
Ar, .. , se décompose en A^, . - 1.,» B^,+j , _ 5 , ,
Ar,...»,vSe décompose en A,,, _4,,,B^+i,,_5,,.
20 SUR QUELQUES FORMULES
Par application de la formule (2)^
B^,,,_5 ,8e décompose en B,+,,,_,., el A,^.i,,_4,,,
Finalement,
Ar,#,î «e décompose en A^,._4,, cl B^+i,, .8.» •
Si r + 1 est compris entre 1 et % il vient
Par application de la formule (2),
Br-i,, -5,, se décompose en B^ . i.,«j,, cl A^,, _ 4,,.
18. S'il faut réduire les deux exposants s et r, on peut, d'après ce qui
précède, les ramener successivement entre les limites — 1 et + ^* ^^îs
il est préférable d'opérer simultanément la réduction des deux exposants
s et r.
Reprenons Péquation (21) :
(8 ^ r) A,..., = (« — i) A,,..,., + q. B^ + ,.._ ,.„
(27) . . . (« •^r)A,,.., =(« — J)A„..,,,-*-9B,^,,.^,.,— çB,_,.,4.,,,,
Substituons cette valeur dans l'équation (7) ; on a
as o*
(«^r)A,..., — («—1)A,.,, ,.,-*- 7. B,-,,..,., -— — ï^r-i.. -i.,H. - — A,...,,
8 -*~ r 8 •♦-r
c'est-à-dire
(28) .... K.,- (,^,)._,, ^— '•'•^{T^rTjïTr^"-'-''*-
r = 0 donne la formule de réduction trouvée précédemment.
Notre but n'est pas encore atteint; il faut réduire l'exposant de r dans
DE CALCUL INTÉGRAL 31
Par le changement de « en « — 2, Téqualion (21) donne
r — i q
En reportant celte valeur dans Téqualion (28), on obtient
(g^i)(r^t)(#-4-r) (r-.g)(r>f-5— i)
et semblablement^
II pourrait arriver que les valeurs de « et de r fussent telles que les
formules (29) et (30) devinssent inapplicables. Il en serait ainsi si^ par
Tapplicalion répétée de ces formules^ Pexposant r était ramené entre — 1
et + 1 ^ « étant toujours supérieur à Punité; mais alors l'application des
formules (21 ), (22)^(25)^ (26)^ permettra de ramener Pexposant ^ entre
les mêmes limites.
Maintenant si> après la réduction poussée aussi loin que possible^ q est
encore plus petit que la somme des exposants s et r ainsi réduits, il suffira
d'employer Partifice qui consiste: I"" à augmenter la valeur de q; 2"" à
réduire les exposants « et r sans altérer la nouvelle valeur de q.
19. Remarque. — Ces formules de réduction deviennent illusoires, si les
exposants s et r et le paramètre q satisfont à Pune des équations
(31) . «-f-r — 2=s0, «-*-r— 4 = 0...,
(32) «-f-raarqf, «H-r — 2 = qr, «-f-r — 4=3f...
Si les valeurs de ^ et de r vérifient Pune des équations de la suite (31),
on procédera de la manière suivante :
n SUR QUELQUES FORMULES
on a, identiquemenl^
I sin^f cos'f cosçfrff = / sin^y cos*+*f cos(^ -♦- i)fd? -4- / sinf>''+* cos'3»sin(f -*- i)frff,
0 0 0
/ sin'*5ï cos*f sinçfdf = / sîn''f cos*"*"'f sin(9 -♦- l)fdy — / sîn'^f cos'f cos(9 -♦- 1)frff ;
0 0 0
maintenant les formules de réduction permettront de ramener^ entre les
limites — 1 et + i^ l^s exposants de sin^ et de cos^) dans ces intégrales
auxiliaires.
Pour résoudre le second cas^ nous observons que, dans la série des
équations de réduction, nous obtiendrons certainement les intégrales A^^^^g
et B«, ;b, g, où les indices a, /3 satisfont à Péquation
a + j3 = s + r — 2i? = 7.
Dés lors, il sera impossible d'aller plus loin dans la voie des réductions.
Mais la détermination des intégrales Ar,«,g et Br,«,g n'en serait pas moins
chose faite, si Ton pouvait calculer directement les intégrales A., ;3, g ^ B^./?,?»
a et )3 satisfaisant à la condition
jt -h (3 = 7.
Nous examinerons bientôt ce cas-limite; et nous verrons qu'on peut
exprimer les transcendantes trigonométriques A.^^^g, B«,/3,g au moyen d'une
quantité finie et d'une transcendante de la forme
/
---._^_^-___^_— ^^_ ax.
X
20. Gela posé, on a immédiatement ,
(52) A,..., = i2"(3y'"'"'f'"'(«-*-*"^*)f'''''
0
(33) B,...,=|. f (*)y'8in'psin(7-s + 2i),rfy.
DE CALCUL INTÉGRAL. 23
Mais- on a les deux identités :
/sin"*xco8iixc/x=co8M- / co8'"xco8nxrfx-4- sinn- / cos'x si a nxc/x»
2c/ 2./
0 0 0
5 T sr
/àiTx si n nxdx — sin n - / cos*x cos wxdx — cos n - / cos^x sin nxdx ;
nous en déduisons :
(34)
4 *=• /^\ jr xj
^r,>.f '=^j,Z \ J ^^® (fl' — « -^ 2t) - / cos> cos(ç — 5 -^ 2fc) ?c/?
0
-<-2;2 y "11(9 — «+ 2i)-y co«'?8in(ç-s-4-2A:)ydf, .
0
(35)
0
Or,
/sîn(ûf — »— rH-2i)- ,
a 2 (q—s — r \
C08> cos(7— s ^- ik)fdf = — B ^ H- 1, r -^ 1 j ,
9r
cos(9 — 8 — r-«-2t)-
y^*co8>8in(ç-8 + 2i)^d5,^ .^;^:j Îb(?— i— ^ +fc,r^l)
-y X « ^ (l^-x^dx;
0
substituons ces valeurs dans les équations (34) et (3S), nous obtenons
24
SUR QUELQUES FORMULES
finalement les deux formules générales :
(36) .
*^r*9,q
8inr-
2 ^« f-^-'
2 /^» TIZÏLIl-l
-^^/ ' • («-«ni
xydx
tin (flf — «) -
- / « « (1 H-xr(l— X)*rfx,
g'-H+i
^...t
cosr-
x)' (I H- i^dx
(37) . . .
M-
cosfg — »)- _.
2 /^* *"*"'' I
(! ■*- x)' H — x)'rfx,
vraies pour toutes les valeurs de s, r et q^ satisfaisant aux conditions
q — s — r>0, r> — 1, s> — !.
GénéralemeDl^ les transcendantes contenues dans les seconds membres
des équations (36) et (37) ne sont pas réduclibles aux intégrales eulériennes.
La forme que nous leur avons donnée va nous permettre de les développer
en séries convergentes.
Examinons les transcendantes
M,
/ X ■ "(!—«)•' (t -♦-x)'rfx,
X « (1 ^x/ll— xydx.
Développons (1 + xj et (1 + xj parla formule du binôme^ et faisons
usage de la propriété v{p) ^ (p — 4) T{p — 4), nous trouvons sans
DE CALCUL 11NTÉ6RAL. 28
aucune difficulté
M,
(38) \
Il est permis de développer (1 + a?)** el (i + a?)', par la formule du
binôme^ attendu que la variable x est constamment comprise entre 0 et 1
inclusivement. [Voir la Note de M. Catalan^ citée plus haul.]
Les séries (38) sont convergentes j chacun des facteurs ^~^l!^\,^f^ etc.,
est plus petit que Punilé et tend vers cette valeur, si k augmente indéfini-
ment. En outre, on voit que les termes de ces deux séries deviendront, à
partir d'un certain rang, alternativement positifs et négatifs.
Si q est très grand, r et ^ très petits, Mi et M, tendent respectivement vers
les valeurs
2T (iHim:] r(r ^ i) 2'r (LZlZ^j r(« + 0
Nous aurons amsi
T 1t
sinr- sin (g — «)-
cos r - cos {q — «) -
2 ^^ 2
21 . — Examen du cas limite. Soient donc
0
(42) B,...,+,==l2 (j^jy'Sin'fsinlrH-âA)?*;?.
Tome L1.
26 SUR QUELQUES FORMULES
ou
0
i |[ (t) "" (»■ -^ 2fc) ^ y cos> »n (r ... 2*)rrff ,
AsO
0
Br. ...+r= ^ 2 (J) "" ('■ * 2t) ^ y 'cos', cos (r + âfc) f rfy
fcsoo
2* fc^ \Ki 2 ,/
Mais, nous avons donné, n~ 8 et i 1 , les formules suivantes :
TT
0
I cos> cos (r -♦■ 2k) y df = 0, fc = 1, 2, 3...
0
en conséquence,
/"* sin> cos'f cos (« -i- r)fdf = ^;^, cosr -
0
TT
sinr-
2
Cesl-à-dire
^ K'- ">• Q/' •^'<' * "-^-I (»)/'•■"'" - H'
sin'fcos'f cos(« -Kr)3.d7= —
r«8 r ~
0
fiin f* —
2 /*(< -♦-xrO— x)'-(i— x)-(i -f-x)'
0
2 / « (! -4- x)*" (\ — x)' — (t — x)'^ (f -♦- X)'
\/ X
sin^cos'y sin (« + r)fdy »= ^^^^ sin r -
0
r
cosr-
dx.
X
r
2 /» « (1 -♦- xr (1 — X)' — (I — xr (i ^ x)'.
DE CALCUL INTÉGRAL. 11
22. Pour développer, en série convergente, Pinlégrale
/- * (1 -4- xY (i — i)' — (1 —xY(\ -f-xy .
./ i '''^'
0
nous procéderons de la manière suivante.
Soit^ pour fixer les idées^ r plus grand que s.
0 0
Posons a? = V/a? • d'où «te = -i^ , il vient
Or,
V"*" ' "^2/" / 3\ (2«4-2*+4)(2» + 2* — <)...(2»-»-3)'
donc.
^'*'^^"° / 3\ ê,\2JkH-l/(2«-+-2it-*-l)(2«-+-2Jk — 1) — (2»+ 3)'
V^jT^8+_i)r r — g (r — «)(r — « — i)(r— »— 2) i 1
28 SUR QUELQUES FORMULES
Nous aurons donc ainsi
«inr-
T r 2
/t T r z
8in> cos'ç. co8(« -4- r)fdf = ^^^^;^ cosr- -♦- -^^^^ T, ,
cosr-
(46) . . . .y *«in>co8V«in(» + r)^ft= ^|;;J:^
0
en posant
_l/^.r(< 4- 0^/r-a\ {2Jt — 4)(îfc — 3)...3.1
' '' ^'^àU-f- J(27
, _ (2«-4-2t-t-1)(2«^.2Jfc—1) ...(««-♦- 3)
('
23. La transcendante b(s,r) sera réductible aux intégrales eulériennes
dans les cas suivants :
4 o r^s-^ayù entier^
y «0*+-^ cos'f C08 (2« -h a)fdf = ^^j;;:^^ co« {s + «)--*- y^.,^, T„
0
y 8in'+*, co«V sin (2» + a),(^= ^^, sin (» + o) y,^^ T„
0
' / sTa \2t ^ ij (2« H- 2Ar -♦. «)(2« -♦- 2* — 1) ... {2« -4- 3)'
(•■^D
En particulier, a » 1 :
r
T w 2l/nr(«-*-1)
sin « - -♦-
Sm'+'y COS'f 8in (2« + l),d, = ^^ COS» - -»- -^;55- y-
• rl« -♦-
DE CALCUL INTÉGRAL. 29
2° 5 = r 4- fr, 6 =■ entier,
sinr-
2
y sin'f co8'+V cos (2r + 6) y rff = ^^^^ cos r - + ^j;;^:, T,
ir
cosr-
2
y 8În> coB'^* siD (2r + 6)fd^ == ^^^J^ «« *• ^ - ^;:^i T, ,
0
V^^r{r-t-i)^/ 6 \ (2ik — 4)(2Jt-3)...5.3.1
(■
2( ' )-
â\2ifc+ iy(2r-»-2ik -Hl)(2r + 2* — l)...(îr-t- 5)
Pour 6=2:
y ' sin'y cos'+V cos 2(r ■*■ i)fdf =-I^cosr ^ -♦- -^
» ""'*2l/;r(rH-<)
(
r r +
/ sin'f C08''**f sin 2 (r -♦- 1 ) fdf =
n
sinr
0 r Ir
24. Remarque. — s ^r donne deux intégrales connues :
8in> cos rfdf = - cos r - ,
0
sin^f sin rfdf = — gin r - •
2 >Z
25. Si l'exposant r est un entier pair ou impair, les intégrales Xia,,,,-k-9a ^^
Bta+i,«,«+sa+i sont immédialement déterminées.
* Les équations (43) et (44) paraissent assez remarquables ; j'espère de faire un jour une
étDide plus complète de la transcendante,
0(«, r)=s: /
J «
dx.
30 SUR QUELQUES FORMULES
Soilr = 2a, « = 4,2, 3...
(49)
/ sin*»ç» cos'f» cos(2a -4- s) fdf ■= ( — i )•-
t.'
TT
i4-fa*»>l
r = 2(ï + 4, a- 4, 2, 3,...
T
(50) ... . ^\in'^fC0i'fsiD{8^ia-^i)tdr = {-iY^^^.'
0
26. Nous avons dit, plus haut, que généralement les intégrales M| et M,
ne sont pas réductibles aux fonctions eulériennes. Il existe plusieurs cas où
cette réduction s'opère immédiatement.
Premier cas. s ^ r, q — 2r > 0,
^•r„ -^sqr / * Ml - *')'«to + ^^ J '' (« - *Trfx.
C'est- à-dire
cosr- — cosio — r)- ,
B-. jSîi B l^V"''""*' V*
* Ces formules (49) et (80) résultent encore de celles-ci :
0
/ * COfi'f C08 {p -4- 2*) fdf « 0,
0
sia^ cosi'f siDÇfdfs / coat^^f cosqfdf.
DE CALCUL INTEGRAL. 51
ou^ plus simplement encore,
co9^ - sin {q — 2r) -
{M) . . I (8iDfC08f)'cos7frfy=- -^^ B^— y— ,r-t-ij,
sinç- %\n{q — âr)-
/« . "^ 4 '^ ♦ « /^ — 2r \
Faisons dans ces formules (51) et (52), y = |el| — w, on a
I cosn-sinfn — r)-r l — ^ — r(r -*- 1)
8în''f cosftfrff « ^p-
(53) .
un
jnn-8in(it — r)- r 1 r(r -«- 1)
/^ . . , 2 '2 \ 2 y ^ ^
/ sin> sm nf df = — :: : — .
Ces formules supposent^ n — r >0, r > -^ 1 .
27. Remarque. — Dans les Tables d'intégrales définies de M. Bierens
de Haan [Table 78], nous trouvons les formules suivantes données par
Serret et Kummer. [Journal de Liouville, tome VI U. — Journal de Crelle,
tome XVIL]
fr — fi\ /r ■♦- n\
/•' T \~~2 / \ 2 /
8in'""*x cosfixrfx == 2^' cos n r (r),
2 r(r — n)r(r -h n) ^ ^
0
/^ t\2/\2/
sin*^*!: sinnxdx «= 2^* 8in n ; : — ; —'^ (r).
2 r r — n r(r 4- n) ^ '
0
Les formules (53) complètent les formules (a) et (/3).
Quand on a r > ;i > r — 1, les formules (53) doivent coïncider avec les
j
32 SUR QUELQUES FORMULES
formules («) el ()S), d'où ridenlité :
cos
T T In — r -4- 1\ Ir — n\ /r -♦- n\
„-s.„(n-r-.i)-r(_^_)r(r) ^ r (_^) r (^
= 2" 'C0S«- ; r^W'
â'-' /n-*- r H- i\ 2 r(r — n)r(r-+-fi)
L 2 J /n-»-r-*-i\ r(r — iî)r(rH-»)
SIQ I 1 I T — *'**'"•
/n -♦- r -*- i\
\ 2 y
Mais^
""l' 2 J
d'où
Ir — ii-4-i\ /r-*-n-i-i\
= 2*'-'
Ir — fi\ lr-^n\
M-2-)M-2-)
r(r — n)r(r -+- n)
Ed verlu de la relation,
i/;
on a
r(p)r(p-*-^) = ^J(2p),
el ridenlité est vérifiée.
Remarque 11. — Si, après avoir multiplié les deux membres des équa-
tions (53) par ^cosn^, ^sin n|, nous ajoutons les résultats, nous aurons
- siii (n'-r)-
-y 8in>C08»(^-,)dy —-lli\^^^r^\],
0
î sin(n— r)-
J COS> COSnyrf? = ^;;j^ B [^-^. T -♦- I j .
i
DE CALCUL IINTÉGRAL 33
Remarque III. — Dans le t. VIII du Journal de Liouvitle, A.Serret donne :
Jp i]
(a) j (sinatcosi)» 003(7 — p)jdj = -cos(y-p)- ^. ^ \~2~' 2^/'
0
(6) y (sinxcosx) 8,n(9^p)a:rfx=-sin(ç--p)-— — B^--y--,--^j.
« La première de ces formules sera en défaut^ dit Serret^ si ^^ est égal
» ou supérieur à i ; mais la seconde exige seulement que^^ soit moindre
» que 2. »
Changeons r en r — 1 dans les formules (51) et (52) :
r CQsq 7 9in (a - 2r -4- 2) 7 . ^ ^ .
/*«, . X . . * *o/7 — 2r^2 \
/ (sin X C09 x/"* C08 çxax = ^^^ B I , r I ,
jr sinûr-sin(ûf — 2r -t- 2) - ,
/^« . . . j - ^ ♦«/? — 2r-^2 \
/ (sinx cosxp' sin^xdx «■ -^^r;; -B I 7 , r I.
Pour comparer la formule (6) à cette dernière^ il faut supposer
q — p > ;) + q — 2, c'est-à-dire 1 > /) > 0.
Si Ton a simultanément 2 > ^^ > 0, 1 >/? > 0, on doit avoir, identi-
quement,
b(-,-1 , sin(o — p)-sin(l — p)- ,,
r(p)r{9)* ?+ï=î j/l +?\'
Tome LI. S
34 SUR QUELQUES FORMULES
Faisant usage des relations :
r(m)r(l -m) = -r-^,
sin mx
r(p)r(p-Hl)=^,r(2p),
nous trouvons
(l)'(l)
et ridentité est vérifiée.
28. Deuxième cas. Soit q — s — r «« 2m, m =* i, 2, 3, . . .
Les formules (36) et (37) devieDoent
sinr- 8in(r-*-2m) - ^
A,..., ^ f x-« (i -«)' (1 +xy«/x -K y^.^, y" X— (i +«)'(! - x)*./*,
0
T . . ir
cosr - co8(r -♦- 2m) -
0 i
DaDS la seconde intégrale, changeons or en — x\
(— i"sinr- ^^ sinr- _^
0
d^où
«inr- ^ sinr- ^
2 /^-H 2 yoO
^.. * , — -^^^f *""' (* -')'(* ■*■ *^''^ = 2^y ^* ~ *^"'' *' ^'^ ~ *^*''''
-A 1
DE CALCUL INTÉGRAL. 3S
puis, en posaot x = 2^,
A,..., nnr^y\l -2zr-'z'(4 - z)'dz.
Nous obtenons ainsi les deux formules :
(5*)
y *8in'{.co8'j.cos(r+«4.2m)j.dy=8inr^ 2 ("~*J*^'f"*i ]BKr + Jl-hl,« + l)2*,
0
sîn>C08>8in(r-t-«-+-2m)fdf=c08r- 2 (-'•)*{ - ) B(rV-t-^i, «-*-!) 2*.
Ces formules sont vraies pour r> — 1,5> — i.
Il est à peu près inutile de dire que, pour A: — 0, l^^^) représente
Tunité.
On transforme les formules (54) de la façon suivante :
r(r-^k-4-i)r(«-*- i) r(r4-i)r(< -^ i) (r + Jt)(r-t- i — i)...(r ^ 1)
r(r + «-♦-*-*- 2) r(r 4-5 -t-S) (r-t-« -♦-jt^ <)...(r ^ « -t-2)'
donc,
/ sin^f cos'f cos (« -*- r -♦- 2m)fdf
(55). ^ ' '
«nr-
/ sin'f cos'f «in {s •*- r -*- 2ffl]f(/f
,rr(r-<-i)r(« + l)*^^ i J*"-*^ (r + k){r + k — i)...(r+l)_^
1 '~*^***''i r(r + « + 2) â. ^ M * I (r*s + k+i).:{r + s-i-t)
36 SUR QUELQUES FORMULES
29. Remarque I. — Dans les Tables d'intégrales définies de M. Biereos
de Haao [Table 57], dous trouvons
r\in--'x cos— .cos26xrf. = (- 1 )• (2«-1)(2a-2). .5.2.1 (26-2a-i)...5.a.i
•/ (26 — 1) (26 — 2). ..3. 2.1
a el b entiers, 26 == 2a + d .
La première formule (35) est applicable :
r = 2o — 1 , s = 26 — 2o — 1 , » + r = 26 — 2, f = 26;
donc m = 1 , et
/ Sin--x ces— X cos26xe/x-cosa. lM£(±Z^).
i r (26)
Remarque II. — Faisons dans les formules (S5) m = l el changeons ^ en
s — 1 el r en r — 1 .
Nous aurons
r
sin*^ *x cos' *x C08 (s -4- r) xdx == cos r — — — —
2r(« + r)'
(56) ... ■ "
/ * 8in'-*« cos-'x sin (« -*- r,xdx ==. gin r - £iîl£ifî
2 r (s + r)
Ces formules supposent r> 0, s > 0.
Serrel, dans le tome VIII du Journal de Liouvitte; Schlômilch, dans ses
Analytischen Studien, ,\)age 455; Kummerj dans le Journal de Crelte,
tomes XVII et XX, donnent les formules (o6) pour 2 > r > 0. [Voir égale-
ment les Tables d'intégrales définies de M. Bierens de Haan, table 571.
Les formules (55) et (56) constituent une extension el une généralisation
des résultats trouvés par ces géomètres.
30. Troisième cas. r = 2a, « = 1 , 2, 3 . . .
A^,, , est réductible aux intégrales eulériennes; effectivement sin"* s'ex-
DE CALCUL INTÉGRAL.
57
prime rationnellement en fonctions des puissances de C0S9:
J Sin-y COS'y COI Çprf, = • ^.^.^7—. 2 ^ ) « l"^ "^ -.- t, » -+- 1 j.
(57)
/ sin^'f cos'f C08 (/f df
0
sin
2*i+«fi
'9 — «--2a \ [il, U/(9 + «— 2a+2^-).. (ç-f-^— 2a^^J-
31. Quatrième cas. r=t2a + 1 ; 8^^^, , ,, est exprimable au moyen des
fonctions r ; il doit en être ainsi, puisqu'on a la relation
sin ^ cos'f sin q^i^
8
■J / cos*+'f C08 qfdf
/ sin'^'f cos'f sinçfc(j7 = —
— ^
2«M^+t
*=aO >
2
sin*^"f C08*f> sin qfdf
(58)
cos
(9-«)^r(
2i«+t+-
-s~2a — 1\
2 • j'^^^"*"*) r*^"72a-h1\ (y-g-2o^2fc~3) ..(y-s-'
7-^g— 2o — 1 \ L i^-o \ * / (74-«-2a-i-2t-4-i)...(y-i-«—
)
2«+1)J'
32. Cinquième cas. s = ^y%S,... q — s^^by 6 = 1,2,3,... 6> 5.
â
T
7T sin r -
/\ 2
8in> cos*f cos (a ^ 26)î»rfy = — ^^^^^
0
T
/ sin'^f cos*f cos (a + 26)fdp
©«(V-*-*'--^*)'
(59)
inr-r r(r-f-<) ^^__
/26_4j- \ Lc) \*M2* + r + 2*) . . (26
2""+' /26
r
— 2) ...(26
r
2)j*
38
SUR QUELQUES FORMULES
33. Sixième cas, « — 0—1,2,3,... ^—« = 26 + 1, 6 = 1, 2, 3
26— r+4>0.
^rZ^
/i 2 *** la\ /26 r -*- i \
;r
/ sin'j» cos'f 8in (o •♦- 26 + 1 )f rff
(60)
fr+l)
- r-+-2t-l)..(26—
r -<- i* + 1 ) ... (46
34. Septième cas. r= « + «,««• 1, 2, 3, . ..
ir
sin(o^-«)- ,., ^_..^
2>+SN-
__ / X » (1— x)-+'(l +x)'dx
0
sin (? — «)- ^, ^_^
^H-tc-M
X « (1 + x)-+' (i — xYdx,
0 0
Puis, par le changement de x en V^,
/
2
= 2
HsO
^^ ^2 ^ ^ ^ /a\ /ç — 2s - a -*- 2fc
2^«^« / U/ \ 4
, « -♦- i
)
Nous avons deux cas à distinguer : supposons d'abord que a est un nombre
DE CALCUL INTÉGRAL. 39
pair 26 ; nous partageons la somme en deux parties :
«
[ 1 Htll -+- i I
[q^ts — ^ i\ ,
'p-^^^-i— )
\ (26 1 ^ * '
r^ j -i-m + lj
/y — 2« — 26\
\ ♦ jr(<H- ) /26 \ (7 — 2« — 26 H-im — *)..(y— 2» — Î6)1
/çf-^2» — 26 ~\~ [A Umj (ç H- 2« — 26 + 4mj ... (g -t- 2» — 26 + 4)J
/g ^2,-26 ^ \
Pour A: « 0, 2, i, 6, ... , le facteur Irigonométrique a constamment la
forme
^ yr ir ?r
sin {q — «)- — sin (26 -♦- «)- cos (26 •«- ç)-; sin {q — 26 — 2«) -
z 2 4 4
et^ pour A:^^' 1^ 3^ 5, .. .y ce même facteur est égal à
sin (26 + ç) - cos (ç — 26 — 2») -
4 4
Nous aurons^ finalement
I 8În^**f cos'f cos 9f> rff
(6«) ! ^ ,. „ ^
cos (26 -♦- q) ^sin (7 — 26 — «) - sin (26 -*- 7) ^ cos (</ — 26 — 25) -
40 SUR QUELQUES FORMULES
j 8in*+**9> cos'f sîo q^ff
(62) \ ' ^ ^ ^ ' \
sin (26 -4- 9) 7 sin (9 — 26 — 2«) - cos (26 -♦- 9) - sin (q — 26 — 2«) -
4 4 __ 4 4
/a-2«-26\
_ \ 4 y ^ ^ r-S^p \(y- 2.^26 ■4-4m-~4)..,(y-2.-- 26)1
^ ^^ * /ç^25-26 \ [^o\2w/(9->-2«-26 + 4m)...(9 4.2«— 26-4-4)J'
\ 4 /
^_ l 4 "*'2/^^'"*' Y"^-'/ !26 \(y -2.S -<ib-^-im-<i) ... (q -2»-26->-2)1
^ ' * (q + ^»-ib 5\ Là. \2m-».|j(7+5Js-26+4m+2) ..(9+2«-2fc+6)J
Si a est un nombre impair 26+1) nous aurons, semblablemenl
/ gj n»+**+i ç, cos'f cos qfdf
(65)
rr . rr
(66) (
cos(26+l +q) - sin (9— 26— 1—2») - sin(26+g+l)-(cosî-26-2»— <)-
4 v 44
/ sin****+*f cos'f sin çydf
0
sîn{26+7-4-l)-6in{9— 26~2«--î)7 008(26-4-9-^1)78111(9-26— 2«~J)-
^^ :^m, _ _: 1 i«
• /^— 26— 2«— 1\
\ 4 / ^'"^ ' r^/26.i-<\(y— 26— 2«+4m— S)...(y-26-2j»— in
(67) M,— /ç_2j,^.2,_i 1" [^2^\ 2m j (9— 26+2«-i-4m— 1)...(9— 26— 2«+5)J'
/£— 26— 2«j*J\
. ^l 4 j^^*-^ ) riK*/26 + i\(9— 26— 2<i+4m-5)...(ç-26— 2«-4.i)''l
(68) M«= /^^_2é+2^ \ I ^\im+il (9— i6-»-28-*-4m-t-l)..,(ç— 26+2»+5)J
DE CALCUL INTÉGRAL. 41
35. Si s =r + a, les intégrales A^,,^, et B^ .^^ sont également réduc-
tibles aux intégrales eulériennes. Il est inutile d'entrer dans de plus amples
détails; les calculs précédents indiquent suffisamment la marche à suivre.
36. Sir = 2a, a«=i,2, 3, ... y=5 + 26, 6= 4,2,3,...
(69) . . . •. A * 8m> cos'f co8(« -♦- 26)frff = 0 6>a,«> — «. *
0
*37. Si r = 2o 4- 1, 9 = s + 26 + 1, o et 6 eoliers,
T
f'
(70) . . . / 6in'-+*fCOs'f8in(« + 26-4- l)fdf = 0, 6>o,»>— <.
38. Remarque. — Cauchy, dans le 28"« cahier du Journal de l'École
polytechnique, donne :
/ 8in*'~*x cos*"'*~*x sin 6xrfx= 0, 6 > 2a,
0
I sivL^x cos*"'*"*x C08 6xrfx «5 0, 6 > 2a -«- i .
0
a et 6 étant des nombres entiers.
Ces formules s'accordent avec les formules (69) et (70), qui sont une
généralisation des premières. Je trouve ces formules de Cauchy dans les
Tables d'intégrales définies de M. Bierens de Haan, Table 57.
* Les formules (69) et (70) sont une conséquence des équations :
f * cOS'f C08 (p H- 2A)f rff = 0
u
* sIn *» cosi'f sin qfdf = — — / * cos'+V cos gp dp.
Tome L1. 6
42 SUR QUELQUES FORMULES
CHAPITRE IV.
39. Nous allons chercher^ actuellement^ les valeurs des intégrales :
Ar. '. f =" / «"0> ^«'f cosçf df , B^. •. f "= / "n> cos> sin qfdf.
0 0
Il est visible que des restrictions doivent être apportées à Tanalyse précé-
dente : pour que ces intégrales soient réelles^ il faut que la fonction à inté
grer ne devienne jamais imaginaire entre les limites de l'intégration. Ainsi^
s ne peut pas être quelconque ; s doit nécessairement être de la forme a,
p
—, 26^» a et 6 étant entiers^ p quelconque.
Nous supposons toujours
q — « — r>0, «> — 1, r> — 1.
Ramenons ces intégrales entre les limites 0 et | :
Ar,t,f= / "^ / SlVfOOS'f COSÇfrff.
0 î
Changeons^ dans la seconde intégrale^ (p en ^ + 7 :
Ar, •» « "^ / 8in> cos'f cos qfdf -h { — 1 )'
0
cos 9 ^ / co8*'f sîn'f conqfdf — sio f - / cos^'f sio'f sin qfdf 1 •
D£ CALCUL INTEGRAL.
43
C'est-à-dire
(70 . [*'....][= [^•']l ■*■(-*)' [«""^ i(*-0' - "" ?i(^''')J]'
(72) . k..,]]= \^-]l -^ (- O' ["»« i(*'-0*
CO89
i(B...03-
sinr-
L ''*'Io ^^^ ^
sin(7 — «)-
M.
(— i)*COsqr-
sins - 8in(a — r) -
Ml H- ^riirn — M<
2*-H4-l
gH-'H^
(— i)'sin9-
C08»^ C08(9 — r)^
2.+r+l
2«-t-r+l
Nous avons deux cas à distinguer, suivant que ( — i)' >» ^ i*
40. (— 1)« = +1.
(73) . .
T T T . r
C08 0 - 8in (a — r)- co8 7 - sm 9 r
^2 2 -2 2
• • ' ^r.#,f^^ ^m; M|— ^^^z; M].
2H-.
2^
(74) . .
sinç ^sin(g — r)^ sinç ^sin«^
2«+r
2H^
41. (- !)•
1.
sinç-cos(7— r)- "nç-cos*^
(75) A^,..»= s^iz: M, H- ;^:::: M,.
2^-1
2*+^
(76)
• •
cosq-eos{q — r)-
C08g -C088 -
2 '^ ' 2 . ^2 2
2^
2#+r
H,
44 SUR QUELQUES FORMULES
ExamiDons quelques cas particuliers :
42. 9 = r + 26, « = 2a, 6 > a, r > — 1, a el 6 enliers,
/ sin^ cos^'f cos (r 4- 26)ydf = 0,
(77)
0
/ sin'f cos^'f sin (r -f- â6)>df = 0.
0
43. <y = r + 26 + 1, 5 = 2a + 1, 6> a, r>— 4, a el 6 entiers,
/ sin> cos^'+'f co8(r -+- 26 -+- i) frff = 0,
I sîn'y cos*^f sin(r -*- 26 -♦- t)f(if = 0.
0
44. Les intégrales, f^ sin'^f cos'y cose^^e/^, /'^ sin^'y cos'y sin g^^rfy, sont
0 «
exprimables, au moyen des intégrales eulériennes, dans les mêmes cas
que les intégrales de ces fonctions prises entre 0 et ^.
Premier cas. ( — 4)' = 1, « = r.
sin (q — r) sin r -
A u ^ 2 2
"r r • ■= «"I CÛS Ûf r ^ . .. .
« . ir
COS q - sin (9 — 2r) -
(79) A,.,,,«M,cosç- .-^;^;^ T.
cos 9 - sin (q — 2r) -
(80) ....... . B.,.., = M,8inç^ — ^.
Deuxième cas. ( — i)'= — i, s = r.
sinqr-sin?-sin(y — 2r)-
m A,..,«M. ^^^ •
cosç-smç -sin(ç — 2r)-
(^2) . • B^,^.,«a — M, — -j
DE CALCUL INTÉGRAL. 45
Or,
nous aurons ainsi les quatre formules :
(-1)'= + !
T ir . , . TT
cos ûf - C08 f - sin la — 2r) -
(siof co8f)'co89fdî»= ^5^ B [~Y^^r h- 1 j,
JT ir
sin ûf - cos 9 - sin (g — 2r) -
(sin r cos y)' sin^frff = — B \^—^ — , r -^ i j,
(-ir=-i
sm ? - sin qf - sin {q — 2r) -
(sin r cos^y zosqfdf « ^j;; B \Ç ^ > r -f- i j ,
cos 9 -sin 9 -sin (a — 2r)- ,
/r 24 ^ (q 2r \
(siny cosri- sinçfdy « — B (^^-j— , r + i J.
0
Changeons maintenant 9 en | et (^ en Se^, nous obtenons quatre nouvelles
formules :
^««'
.. içrcosy - sin (? - r) - r [2_-j r (r -♦- i)
(87) . . / sin*"© cosqodf = — ; ■ —
smi
imqf>rco8g^8in{9 — f)^r^2L_J!jr(rH-<)
(88) . . / Sin'a cos OMi«=: — ■ — -; 7 -. — ,
46 SUR QUELQUES FORMULES
(_iy. 1
.n,,si„,^.M.-r)ir(iz::)r(..,)
(89) . . / sîn> cosqfdf —
r
c-^-) ■
COS(
(90) . . y «n'fsinçfyd,^ ^^^j /y .^ ^ ^ i '
Ces formules subsistent pour toutes les valeurs de r et de ^ satisfaisant
aux conditions
r étant de la forme a, ^.||^> a et 6 entiers et p quelconque.
45. Deuxième cas. ( — 1)'= + i,yc=5 + r + 2m, m entier.
co8(r-*-« ^ 2m) - sin (« -♦- 2m) - M| — cos(r-+- i -4- 2m) - sin « ~ M,
. 2 2 2 2
2.+r
= co8(«-4.r)-8in- —
Changeons dans M, or en — x:
M,= (— i)-+*/\-*(«-.x)'(i 4- «)'(fe.
0
co8(« -♦- r)-8in«-
2 2 '^'•^
S 2 Z»"^
Ar.,.. + r 4.f « ^ J «-- • (i — XY (I + xYdX.
-I
Les deux transformations x = l — a?', a:' = 2a:", faites successivement,
nous donneront :
A,....+.+,««2co8(«4.r)-8in8- \ (_^)*^ ^ j B(r ^. * ^. i,« ^. 4) 2*.
DE CALCUL INTÉGRAL. 47
Nous aurons finalemeut : ( — 1 )' "» + 4
siD>cos>cos(«4-r4-2m)frff=2cos(«-i-r)-sin«- J M)* i. )B(r+t-hi,«H-l)2*,
3b 2 tfsso \ K J
' 0
(92) r 8in>co8>8iu(«4-r-*-2m)fdf=2sin(«-4-r)^8m«^ ^'("^^('"r )^('^*-»-^«"*"^)2*-
0
(_1). — 1
(93) / sin> cos'f cos («•fT-*-2m)f»rff = -2 sin («-<-r) ^ cos « 5 2 (~ ^ )*(*'* l ) B(r-4-*-4-i , «-*-i ) 2*,
8in>cos'f8in(«-+-r-i-2m)fdf = 2cos(«-4-r)-coss- J ("-^)*( l )B(r4-fc-i-l,«+1)2*.
Nous connaissons d^ailleurs la Iransformalion à faire subir à
*
46; Si«= 2a, a— 1,2,3, ...
COS
a- sÎD (a — r) - q^u-r
siii> cos^'f cosqfdf^ ^^^^ / * ^* ""*)' (* "*" *)"*'*•
sm
in9-8iD(g— r)- ^^ r:*!zr^,
dx.
sin'f co8*'f 8in qfdf= ^^ / * (^ — ^)' (* "^ ^^^^
47. Si*«2a + 1, a = 4, 2, 3, ...
jin a - cos (0 — r) - , ^ .
(97) y 8iii> coif^f cos gy df ^ ^5^:^;:^^ 7 * ' ^^ ^*^'^^ +«)*^*dx,
0
cos
q-eo8(q — r) -
AS SUR QUELQUES FORMULES
48. r=2a, y = r+26, (— i)'= + l
«"'§ ^, «-.
(99) J sin*-? cos'p co82(o -t- 6) fd, = (—!)•+♦+* -— ^-r /" « « "* (1 -*- «)»• (i — xYdx.
0
r = 2a + i, 9 - r + 26, (— !)• = — 1
"*"i /»« »=;
(iOO) /"sin'^Vc<»*fC08(2o+26-t-<)fdy-=(— l)^-;:j5;^ /* x' ' H-t-xf^'H—xydx.
r=.2a + 4, 9 = r +26,(— i)'« +4
""'i />• sbf-,
{iOi) r sin^+V «>s'}.siii(2a+26+i)yf/f =(4 —)•+*+«— ^ Z' « »"'(l+i)«^(l— !)•<(«.
0 0
Les intégrales (95), (96), (97), (98), (99), (100), (101) sont donc
réductibles aux fonctions eulériennes.
49. Si nous avons « «= r + a ou r '=^ s -{-a, a désignant toujours un
nombre entier, les intégrales
sin> cosV cos ff df, / . 810**^ cos'f sin qffdf
0 0
■
sont encore exprimables au moyen des intégrales eulériennes. Nous n'entre-
rons dans aucun détail; le calcul de ces intégrales se fera d'après la méthode
indiquée plusieurs fois.
DE CALCUL INTEGRAL 49
CHAPITRE V.
50. S'il fâilail chercher les valeurs des intégrales
►«jr •»«r
Ar, •. ç = / sin'i» cos'f C08 Çfd^. B^, t,%^=^ 1 **''^*'f cos'f» sin Çfrff ,
il serait nécessaire de faire une nouvelle restriction.
L'intégrale A^ . , se décompose ainsi :
r-r-f-i:
Dans la seconde intégrale, faisons ^ = tt + ?^
8T
/ = ( — \ )•■+• / sin'f cos'ç» cos q[ic — y) rfj?
(- «)'+• [cos ît(A,.,,)« - sinçr (B,...,)«J.
Semblablemenl,
fj=-(r- 0' [cos 3ç ^(A,...,)j8in 3ç^(B..,.,)»1,
par conséquent,
- 1)' [cos57^(A..,.,)ï-8in37^(B..,.,)sl.
(
Ainsi donc, pour que l'inlégraley"sin'"9>cos*ycosq'yrf9) soil réelle, il faut
0
Tome LL 7
50 SUR QUELQUES FORMULES
les trois conditions suivantes :
(— t)'==ifci, (— iy+' = zfc.i, (-i)'=dbi.
dont Tune est la conséquenco des deux autres.
En suivant pas à pas la méthode que nous avons suiïisammcnt indiquée,
on calculerait, sans aucune difficulté, les valeurs de ces intégrales
['-•'lo- ['-'lo''
lesquelles dépendent des transcendantes M,, Al,. On distinguera sans peine
dans quels cas ces intégrales s'annulent ou se réduisent aux fonctions
eulériennes.
Enfin, plus généralement, ce procédé permettra de ramener les transcen-
dantes trigonométriques
sin*'fi cos'f co$7f{i',>, / sin''^cos'f sin f fdf
aux Iranscendanles algébriques :
X « (i - x)' (i ^ x)'rfx.
X • (i -f- x)' (1 — x)'dx ;
c'esl-à-dire qu'on aura
I sin^f cos'f cos q^d^ c= A|M| -*- A,M,,
0
sin^f €Os*s» sin q^i^ = B,M, -♦- BjMj ,
A,, Aj, B,^ Bj étant des fadeurs trigonométriques.
DE CALCUL INTÉGRAL. 54
CHAPITRE VL
51 . Les développements^ en série lrigononf)étriqiie des fonctions 005^97 cos^tp,
cos^'^sin^f^ etc., peuvent encore servir à Télude de certaines intégrales
définies plus générales.
Soit, par exemple, à rechercher l'intégrale
I cos''^ cos q^ f(f) df .
Si Tinlégrale y* cosmy/*(9)6/9) est connue, on pourra, dans certains cas,
exprimer, sous forme finie, la valeur de I intégrale
/ cos''î» cos qf ((f) (if.
0
52. Application. — Dans le tome VIII du Journal de Liouville, Serret
donne la formule suivante :
/f . sin {p -^ q)? , r
0
Or,
d'où
2'^' n»\ k I J
rr .
p -^ q — 1 \ /• ï sin (2A -♦- i ) f
5o V '* ' -^ ®'^ ?
e/f>.
k étant fini, mais quelconque, nous avons la relation
sin (2/: -4- \)9 . ^ ^ ^ . « «I
(A = enlicr) ^— : ^ = i -♦- 2cos2f -*- 2co84f> -♦- ••• -f- âcosât?.
sinf
52
SUR QUELQUES FORMULES
D'autre part, Dirichlel a démonlré la formule
/
tes 00
en conséquence, nous obtenons
')=i
La formule de Serret peut être généralisée. Si q — p esl impair ^ on
obtient^ par le même procédé,
(i03)
/
f sin (p -»• 2w -»- Qy^ T
53. En second lieu ; supposons q — p
Partageons la série
2a — 1 {a = enlier).
-1©-;/'-
(9-p+2fc)î>
sm 9
df.
en deux parties :
/•i sin Ofl? .
= / cos'f ._ df
sinf>
— p ■*- 2ii()f
'2^à\klJ sin y ^"^"l'Ju^klJ sin y
rff,
^ 2'^\lU"*"2^J,,U""i 2^ly'
(104) .
• • •
i=0
)•
En particulier, a = 0 :
(105)
/
* ^ sin Çf »■
sin?» '^ 2
2«+»
DE CALCUL INTÉGRAL. 53
«
54. Dans le tome VIII des Mémoires de l'Académie des sciences d'Am-
sterdam, M. Bierens de Haan considère des intégrales de la forme :
cos'x 6* ** *" cos [s -^ q sin px] f(x)dx.
0
Son procédé de détermination est fondé sur le développement de
cos'j? e'CMp» cQs [5 + 7 s\npx]y en série trigonomélrique.
Différenlions par rapport à q sous le signe intégral et faisant ensuite 9«=0,
il obtient la valeur de Tintégrale^
cos'x cos {8-¥-p)x f{x) dx.
Cette méthode ne parait pas irréprochable. Ces développements^ en série
trigonométrique^ ne subsistent que pour les valeurs de x comprises entre
0 et I inclusivement. Enfin^ le savant géomètre ne fait aucune restriction^
quant à la forme de s; et l'exposant de cos or est simplement supposé positif.
Liège, le 5 mai 1888.
ADDITION".
Dans ce mémoire, présenté à TAcadémie des sciences de Belgique, nous
avons démontré la formule
« (I ^xY — (\ —xY ,
ax.
(I) . . . . J cos^'f sinpfdf =^ — J
X
(2)
Dans le lome VIII du Journal de LiouviUe, Serrel trouve
/*'^^'^""''^''^='/'(r--aV(i-^V'''''
et, si p est entier,
/•f . ^ 1 r 2' 2» 2'!
/ ^''^'f sinpydy =— 1^2 + - H- - -4- ... + -J.
0
Ce savant géomètre ajoute ensuite : « Cette valeur, qui n'est pas réduc-
» tible à une forme plus simple, ne donne pas lieu de croire que les inté-
» grales de Téquation (2) puissent être exprimées généralement au moyen
» des transcendantes connues. »
Nous allons montrer que, si p est commensurable, ces intégrales sont
toujours exprimables par les fonctions algébriques, les fonctions logarith-
miques et les fonctions circulaires.
* Présentée à la Classe des sciences, dans la séance du 3 novembre 1888.
56 SUR QUELQUES FORMULES
i. Soil d^abord p positif et égal à ^, m el n élanl entiers ; cherchons
Fintégrale indéGnie
/
* {\ -4- X)^ — (i — X)»
dx.
X
En parlageanl en deux celle intégrale et en posant ensuite
(I ^x)î = Z, (I — x)- = M,
on trouve
m m
(^) / ^ —r -dx=-{z--u-) + n / -—dz-n / -;;—
,/ X m J ^ — i J u* — i
Si p est négatif,
du
N-M—l x'. a<«— M— <
^ * J X J «•— « y U-— 1
Gomme /? est^ en valeur absolue, inférieur à Tunité, la différence
n — m — 1 est nulle ou positive. iMaintenant les intégrales, contenues dans
les seconds membres des équations (3) et (4), sont exprimables par les
fonctions algébriques, les fonctions logarithmiques el les fonctions circulaires.
2. Applications. — L m = 1 et n = 2.
/ dx=f'2Vi -^x — vi — x-t-lg — Ig hconsl.,
d'où
- constante.
1/2 -H 1
En conséquence,
"" i K2 — 1
ri . i 1 K2
(6) / \/cosç>sin -,^d?===i 4- — — Jg---z:
îk'â Vl-hi
formule qu'on vérifie aisément.
DE CALCUL INTÉGRAL.
K7
11. tn«l etn— 3
/
}!/{{ ^x) — V? i—x
f* dz ^ r du
Posons
OU
5 r^^ f-^- P-^di,
3 1 -X—- = 'g 0- ^^) 'g{^ -♦- 0 — 1/3 arctgl + coostaoto.
Ainsi
1/
^yXVx-^K-x
<fx»3
(7)
[i>T;:i- lî T=i] -f- ig rÇl:î:fjil]
1,.
1^3 arc tg
1/3
1/3 arc ig
PI
constante.
Donc
/
dt^SW 2 + lg —— -—KSarctg — ,
et
(8)
/
W''2-<
1/3
3 ■ 2 21^-2 h + 3 W'^i + \J^4 2»î^2 ^^Vk
l/çosy sin ; trf?^ ; -^ — ^ 'g . ^ irrwctg
Tome L1.
8
88 SUR QUELQUES FORMULES
III. m— — i, n= i.
/
(!^Xr*-(l-x)-* ^ .-, ^ ^^Hrl
rf«=:2arctgz-4-lg — 2arctgti~]g -t- constante.
OU
ri^i. ri
dx^ig^^ — —-\ej
Ki— X — i \7i— x-*-i
-♦• 2arctg W t -f- x— 2arc tg IM — x -4- constante.
Par suile^
0
et
.«.—
(10) / •x==^ = X9>8:7:^ :-|/2arctg»/2.
lî^coa, 1^8 V/i— i
IV. /)=-|.
d*où
d»eM— : — Iff ;; ». -arctg
2-hi^4
Ajoutons, membre à membre, les équations (8) et (1 1 \ il viendra
/¥co8f sin^f — «inl? 3
K cos
3. Remarque. — En comparant les équations (1) et (2) on trouve la
DE CALCUL INTÉGRAL. 89
relation
^ ^ J (i— «)(l ^a:)^* Î'^V X
0 •
Si p est commensurable^ la première intégrale est exprimable^ sous forme
finie; ce qui n*est pas évident^ à priori.
4. Nous avons encore démontré les formules suivantes :
r
(43)
y * 8În> C08'f cos (s ^. r) f,df = ^^ cos r ^
""*"§ /*(* -*-x)'(1— x)*— (1— xr(l-^x)'
0
/*(« H-X)'(1— «)• — (1— Xr(l-t-X)'
Jj rfx,
sin''^» cos'f sin (s -4- r) f rff
—--77 sin r -
(U)
cosr-
* (lH-x)-(1~x)'-(4— a?)MI-«-x) ^
IfX.
2 >^
Si Fun des exposants ^ et r est entier^ Faulre étant commensurable^ les
intégrales A^,,,,^^ et B^ , ,+ ^ sont exprimables^ sous forme finie,
5. Application. — Soient «-=1 elr = ^;ona
l^sin s cos» cos - pdf = — cos -
0
-:^"°^/"'""'7"~"'^-/'t"-''-"-''jH.
T
sin-r
/ l/sîn f cosf sin - f rfç)
•^ô 6
4r2
60 SUR QUELQUES FORiMULES DE CALCUL INTEGRAL.
ou
K 8in f cosf cos -: fdf
3
1
ig
i^i-i
-v^ï
arc
"rrpr]
r
/W^sin f C08 f sin _ fdf
5
3 1/3 V/5
8 1^2
i6
81^1
iS
1^2-1
rîTWT?'*
— k'Sarc
"rr^ïj
Liège, le 31 octobre 4 888.
C.Y. j3
O
IvIiiCHjERCHES
SUR
LES JEUNES PALMIERS
PAR
HENRI MICHEELS
DOCTEUR EN SCIENCES NATURELLES
(Mémoire préseolé à la Classe des scieDces, dans la séance du 8 msH 1888.)
ToMB LL i
INTRODUCTION
Ce travail a pour objet de faire conoaitre les premiers résultais de mes
recherches sur la structure des jeunes Palmiers^ qu'on trouve le plus ordinai-
rement dans les cultures du commerce horticole. Je me propose^ dans cet
essaie de montrer qu'on peut tirer de Torganisalion de ces jeunes plantes
des caractères qui permettent de les déterminer, alors que les autres moyens
de détermination font défaut. Cette donnée, qui n'avait pu être obtenue
jusqu'ici, a par elle-même un grand intérêt, et, dans nos centres horticoles
belges, elle est certainement appelée à rendre des services. On sait, en effet,
la difficulté qu'éprouvent les botanistes et les horticulteurs^ même les plus
exercés, quand il s'agit de déterminer^ avec quelque précision, des Palmiers
qui n ont encore que leur livrée de jeunesse; cela tient à ce que le groupe
des Palmiers est un groupe remarquablement homogène ; tous les jeunes
Palmiers se ressemblent, les quelques variantes que l'on voit de l'un à l'autre
semblent surtout dépendre de l'habitat, bien plus que des rapports laxino-
miques. On retrouve les mêmes variétés dans le mode de germination chez
les tribus les plus différentes. De là, on le comprend, des difficultés très
sérieuses, presque insurmontables, quand il s'agit de déterminer de très
jeunes Palmiers. De là aussi, dans la pratique, des confusions de tous genres,
sur lesquelles je ne crois pas devoir insister. Ce travail est donc une applica*
tion de la méthode anatomique à la distinction d'espèces monocotylédonées,
alors que des caractères morphologigues suffisants font défaut. Cette méthode
4 INTRODUCTION.
anatomique a déjà rendu de très grands services. Sans exclure^ en aucune
façon^ les procédés en usage pour la détermination des plantes, elle peut y
suppléer dans des cas comme celui dont je m^occupe. En toute circon-
stance, elle ajoute d'utiles indications complémentaires aux diagnoses
nK)rphologiques, lorsqu'on choisit convenablement ses caractères.
Les caractères anatomiques auxquels j'aurai recours pour distinguer les
jeunes Palmiers, sont tirés :
l'^ De la structure de leur racine principale ;
2"" De la structure de la partie libre de leur cotylédon ;
3"^ De la section moyenne de leurs premières feuilles gemmulaires.
En général, ces organes se retrouvent sans peine chez les très jeunes
sujets; on les retrouve même d'autant plus facilement, que les sujets sont
plus jeunes et moins caractérisés morphologiquement. C'est donc précisément
au moment où la détermination générique et spécifique offre le plus de
difficultés au botaniste et à Thorticulleur, que ma méthode de détermination
est le plus aisément applicable. En effet, malgré la grande ressemblance des
jeunes Palmiers, j'ai pu relever, dans la structure des organes ci-dessus,
des particularités anatomiques constantes, qui permettent de définir tous les
genres que j'ai étudiés. Dans presque tous ces genres, il m'a même été possible
de différencier anatomiquement les espèces. Pour un genre seulement, cette
détermination spécifique n'a pu être faite. Il eût fallu recourir à de nouveaux
organes ou étendre beaucoup les régions étudiées : ce qui compliquait le
procédé de détermination, que je voulais laisser très simple, pour le rendre
facilement accessible aux praticiens. Aucune des trois régions que j'ai consi-
dérées ne peut, à elle seule, permettre une détermination générique des
Palmiers. L'homogénéité du groupe est trop grande, les variations possibles
dans la structure d'organes bâtis sur un plan uniforme sont trop peu nom-
breuses et trop peu étendues, pour donner un nombre suffisant d'éléments de
INTRODUCTION. 5
déterminatioD dans un groupe si nombreux. Il faut nécessairement combiner
les variations de plusieurs organes^ pour accroître le nombre des différences
possibles. Dans les limites de mon travail^ ceux que j'ai choisis sufiBsent pour
déterminer les Palmiers que j'ai étudiés. Si^ comme je Tespère^ je puis étendre
ces recherches à d'autres espèces^ il est probable qu'il me faudra faire inter-
venir d'autres parties^ pour obtenir un plus grand nombre de combinaisons
de caractères^ en rapport avec le nombre des genres et des espèces à
déterminer.
Pour établir les résultats que je résume dans ce travail^ j'ai dû nécessai-
rement étudier les jeunes Palmiers dans presque toute leur étendue. Au cours
de ces recherches, j'ai rencontré certaines questions d'anatomie et de
morphologie^ que j'ai dû résoudre pour apprécier plus exactement les
rapports des parties de la jeune plante^ et pour déterminer la nature des
tissus rencontrés sur les sections moyennes dont j'avais à me servir. J'ai
consigné quelques-uns des résultats de ces recherches générales dans cet
ouvrage^ me limitant toutefois à ceux qui étaient indispensables pour le sujet
spécial que j'avais en vue^ et renvoyant les autres à un travail ultérieur.
Il ne m'était pas possible de procéder autrement^ sans allonger outre mesure
le mémoire que j'ai l'honneur de présenter à l'Académie, ou sans risquer de
laisser incompréhensibles certains points importants, par lesquels mes résul-
tats diffèrent de ceux de G. Firtsch S d^ Otto Gehrke ^, etc. Contrairement
à ces deux auteurs, j'ai laissé, au second plan, les rapports que j'ai cru
remarquer entre les particularités anatomiques et les conditions physiolo-
< Firtsch, G., AiuttomUch-physiologische Utiiersuchungen ûber die Keimpflanze der Dalteir
palme. Sitzb. d. kais. Akad. d. Wissensgh. zu Wien, 1886, Bd. XCIII, I. Abth., April-Heft,
pp. 342-354.
^ Gehrke, 0., BeUràgezur Kenntniss der Anatomie von Palmenkeimlingeii. Inaugural-
Dissertation. Berlin, 1887.
« BNTRODUCTIOPT,
giques spéciales de chaque espèce. Ces ootioDS me semblent^ en effe^
beaucoup trop incomplètes encore pour procurer^ aux conclusions formulées,
une valeur sérieuse.
Mes recherches ont porté sur trente-trois espèces et variétés, a ppartenant
à vingt et un genres pris dans les principales tribus des Palmiers :
•
Archontophœnix Alexandrœ Wendl. et Dr, ;
— Cunninghamiana Wendl. et Dr. ;
Caljfptronoma Levautzi;
Caryota sobolifera Wall. ;
Chamœropx humilié, var. arborescens M. et Pers. ;
— — — flexuoza;
— — — tomentosa;
Cocos flexuosa M. ;
Destnoncus sp.?
Dictyosperma aureum Wendl. et Dr. ;
Euterpe edulis M. ;
Geonoma gracilis André ;
Howea Belmoreana Becc. ;
— Forsteriana Becc. ;
Hyophorbe amaricaulis M. ;
— Verschaffelti Wendl. ;
Kentia exorhiza Wendl. ;
Latania Loddigesii M. ;
Liviêtona australis M.;
— ehineiuis R. Br. ;
Nephrosperma Van Houtteanutn Balf. ;
Phcenix canariensis ;
— dactylifera L.;
— farinifera Roxb. ;
— reclinata Jacq. ;
-- spinosa Thon. ;
INTRODUCTION. 7
Priichardia tnacrocarpa Lind. ;
— pacifica Seem. el Wendl.;
Sabal Àdansoni Guerns ;
— umbraculifera M. ;
Thrinax excelsa Lodd. ;
Trachyrarpus exceUus Wendl. ;
Washingtonia filifera Wendl.
J'ai apporté un soin tout particulier à la détermination générique et
spécifique des échantillons que j'ai étudiés. Cette donnée est, en effet, fonda-
mentale pour un travail de ce genre, qui, sans cette base première, perd
presque toute son utilité. Je crois être arrivé à des déterminations exactes^
en me servant de tous les caractères que j'ai pu me procurer : graines,
plantes plus âgées et déjà caractérisées, etc. Cette partie de mon travail m'a
coûté de très grands efforts.
J'ai divisé mon travail en cinq chapitres.
Le premier contient la distinction des trois types de germination que j'ai
rencontrés.
Le second est consacré à la description du type Phœnix et des plantes
qui s'y rapportent.
Le troisième est relatif au type Sabal et à la description des plantes
voisines.
Le quatrième comprend le type Dictyosperma et les plantes qui y
ressemblent.
Le dernier chapitre résume les conclusions qu'on peut tirer des trois
chapitres précédents.
Ces recherches ont été faites sous la haute direction de M. le professeur
Bertrand, qui a mis à ma disposition les germinations de Palmiers rassem-
8 INTRODUCTION,
blées dans les colleclioDS du Laboratoire de Botanique de la Faculté des
sciences de Lille. Je le prie de recevoir l'expression de ma vive gratitude^
pour les matériaux qu'il a mis à ma disposition et pour les conseils qu'il m'a
donnés. Je prie aussi M. le professeur Gravis^ de l'Université de Liége^ d'agréer
mes remerciements pour les échantillons qu'il m'a procurés et pour toutes
les indications que j'ai reçues de lui.
RECHERCHES
SUR
LES JEUNES PALMIERS
HISTORIQUE
Sur mon sujet spécial, la bibliographie botanique est excessivement
réduite. Je ne puis guère y rattacher que trois mémoires tout récents, celui
de E. Pfitzer \ qui se borne principalement à des indications basées sur
Tobservation des caractères extérieurs, celui de Georg Firlsch ^, qui est une
monographie spéciale du dattier, et enfin celui de Otto Gehrke ^, qui
complète le travail de Firtsch, en comparant au dattier onze espèces
communes.
Antérieurement, je relève quelques particularités, qui tiennent aux points
que j^ai traités, dans les travaux plus généraux de MohI ^, de Marlius, de
* PnTZER, E., Ueber Fruchte, Keimung und Jugendzustànde einiger Palmen. Berechte d.
DEUTSGU. BOTAN. Gesellscu., Bd. III, 1885, Heft I, pp. 33-52.
s FiRTSGHy G., Anatomischrfhysiologische Untersuchungeti ûber die Keimpflanze der Dattel-
palme. Sitzb. d. kais. Akad. d. Wissensgh. zu Wien.
3 Gehrke, 0., Beitràge zur Kenntniss der Anatomie von Palmenkeimlingen.
4 L'œuvre la plus considérable qui ait été faite sur les palmiers, est VHistoria naturalis
Palmarum de Martius, à laquelle collaborèrent Hugo Mohl et Unger. Hugo Mohl en rédigea
le premier chapitre, intitulé : De Palmarum striLCturâ, Le deuxième chapitre, De Palmis
fossUibus, est dû à Unger^ le troisième chapitre, Getiera et species palmarum, à Martius.
Tome L1. 2
iO RECHERCHES
Karslen ^ el aussi\ quoique d'une façon incidente^ dans le mémoire de
Mirbel ^ sur le Cambium.
En 1831^ MohI, dans son De structura palmarum, après avoir donné la
description générale de Tembryon de Palmier^ d'après le Mauritia flexuosa,
le Phœnix daclylifera, le Chamœrops humilis el le Sagus tœdigera, expose,
d'une manière générale aussi, la germination des Palmiers, en prenant
comme types : le Corypha frigida (Brahea dulcis M.) et le Phœnix dactyli-
fera. Dans le texte, il fait connaître les transformations morphologiques de
l'embryon pendant la germination, et sa structure durant cette période vitale,
chez les deux Palmiers pris comme types. Cette portion du travail de MohI,
ne constitue qu'un exposé extrêmement abrégé. Les figures qui accompagnent
ce texte représentent :
Une vue d'ensemble d'une germination de Corypha frigida, dans laquelle
la seconde feuille gemmulaire, encore plissée, fait saillie hors de la gaine
formée par la première ^ ;
Une section transversale de la gemmule de cette plante, au niveau de la
partie supérieure de la première feuille et beaucoup au-dessus du point
végétatif -*;
Une section radiale passant par le plan principal de son cotylédon ^;
Une section longitudinale radiale rencontrant son point végétatif ®;
Une section transversale de sa racine principale ^
Pour le Phœnix daclylifera, l'auteur montre :
Une germination dans laquelle le limbe, encore plissé, de la seconde
« Karsten, Die Vegetationsorgafie der Palmen. Schriften der berlin£r Akademie der
WissENscH., 1847; voy. aussi : Gesammelte Beitràge zur AncUomie und Physiologie der
Pflanzen, Bd. I, pp. 81-193. Berlin, 186S. (PI. IV-XII.)
Karsten, Die Bewurzelnng der Palmen, Linnaea, 1886.
s Mirbel, Nouvelles notes sur le Cambium^ lues dans la séance du 39 avril 1839 de TÂca-
démie des sciences de Paris.
3 MoHL, De Palmarum structura, tab. I, fig. 1.
4 MoHL, Ibid., fig. 3.
^ MoHL, Ibid.j fig. 4.
6 MoHL, Ibid.f fig. 5.
t MoHL, iMd.,fig. 13.
SUR LES JEUNES PALMIERS. il
feuille gemmulaire fait saillie hors de la gaine^ formée par la première ^ ;
Une section transversale du bord de celte seconde feuille, encore plissée^;
Une seclion transversale d'ensemble rencontrant la première feuille gem-
mulaire, réduite à Fétat de gaine, et le limbe de la seconde ^ ;
Et enfin, une section transversale de la région cylindrique du cotylédon
(petiohis colyledonis) du dattier ^.
Certaines de ces figures sont plus particulièrement intéressantes pour nous.
La comparaison des figures 1 et 2 montre la diiïérence qui existe entre
le mode de germination du Corypha frigidael celui du Phœnix daclylifera.
Chez le premier, le cylindre cotylédonaire est inséré à la partie inférieure de
la région basilaire embrassante du cotylédon {pagina cofytedonis)] chez le
second, cette région cylindrique fait suite à la région basilaire.
La figure 3 représente les divers ordres de faisceaux des deux premières
feuilles gemmulaires, les croissants scléreux qui les abritent. L'auteur diffé-
rencie très nettement le croissant extérieur du croissant intérieur {annulm
proserichymatosus posterior). La masse ligneuse et la masse libérienne sont
aussi très nettement délimitées. Il en est de même des deux épidermesde la
gaine. Cette figure montre, enfin, le tissu fondamental avec ses éléments
plus grêles, dans sa partie externe.
La figure 10 donne les caractères histologiques des mêmes organes chez
le dattier, à un niveau inférieur, et signale certaines particularités qui ne
s'observaient pas sur la section précédente. C'est ainsi qu'on voit des cordons
hypodermiques (fasciculi fibrosi sub epidermide jacentes)^ dans la seconde
feuille gemmulaire, et des vaisseaux à diamètre prédominant, dans le bois de
ses faisceaux principaux.
On remarque sur la section transversale du cylindre cotylédonaire du
dattier, que reproduit la figure 13, la présence dans les faisceaux de vaisseaux
à section polygonale et à diamètre étroit.
* MoHL, De Palmarum stmcturây tab. I, flg. 2.
s HoHL, Ibid.y fig. 6.
3 HoHL, Ibid., fig. 10.
4 MoHL, Ibid.j fig. 13.
i2 RECHERCHES
iMartius * a égalemenl étudié Tembryon et la germination des Palmiers,
mais en se 1 imitant à des observations d'ordre purement morphologique. Il a
pu distinguer chez ces plantes deux modes de germination^ quil a dénom-
més : germinatio admoliva et germinalio remotiva.
Dans le premier^ la jeune plante reste accolée à la graine dont elle est
issue, dans le second, elle en est plus ou moins longuement écartée.
L'illustre botaniste de Munich a montré, de plus, qu'il y avait une distinc-
tion à établir entre les Palmiers à germinatio remotiva, tels que les
Phœnix et les Arenga {germinatio remotiva tubulosa), et les Palmiers
qui germent comme les Brahea et les Chamaerops (germinatio remotiva
ocreata).
Dans son travail sur le Cambium, xMirbel donne une élude du jeune dat-
tier, dans laquelle je relève certains résultats intéressants. C'est surtout dans
les figures qui accompagnent le mémoire qu'ils sont mis en relief.
Après avoir décrit et figuré très exactement les premiers stades de la
germination de celte plante, avec les principales sections radiales correspon-
dantes, Mirbel a (iguré la section moyenne de la racine principale du dattier^
à différents âges.
Karslen, en 1847, consacra quelques pages à la germination des Pal-
miers, dans son ouvrage inlitulé : Vegetationsorgane der Palmen. Kars-
len a pris comme types : VIriartaea praemorsa Kllz ^ et le Klopstockia ceri-
fera Krst *. Il figure deux germinations de VIriartaea praemorsa. Dans la
plus avancée, la première feuille normale avait étaléson limbe et la seconde
feuille normale, encore plissée, commençait à sorlir de l'élui formé par les
premières feuilles gemmulaires, réduites à leur gaine. Dans l'autre, la pre*
mière feuille normale n'est pas encore visible. La figure relative au Klopstockia
cerifera est donnée d'après un échantillon dont la première feuille normale
étalait son limbe.
* Martius, Historia naturalis Palmarum^ caput III, CLIII.
2 Mirbel, Nouvelles notes sur le Cambium.
3 Catoblastuspraemor sus Vf endl. y Oreodoxa praemorsa Wûld,
Ceivo'ylon Klopstockia M.
2
3
4
SUR LES JEUNES PALMIERS. 43
Karsien a bien remarqué que les germinations de ces deux Palmiers
différaient enlre elles par Télongation du cylindre colylédonaire, mais il n^a
pas observé la différence capitale qu'il y avait entre le Klopstockia cerifera,
qui germe à la manière des $abal, ^ et le Phœnix dactylifera.
L'auteur a décrit et figuré la section moyenne de la racine principale
d'un jeune Iriartaea praemorsa. Il a donné aussi quelques indications sur la
structure du cylindre cotylédonaire du dattier, d'après une section moyenne
de la portion inférieure de cet organe. Il relève l'existence de lacunes dans
le tissu fondamental de ce cylindre.
Plus lard ^, le même auteur, s'occupant de l'enracinement des Palmiers,
dislingue quatre types chez ces plantes :
1^ Le type Iriarlaea, qui se distingue des trois autres par l'allongement
des premiers entre-nœuds de la jeune plante. Il se rattache au quatrième
type par l'intermédiaire de V Iriarlaea pubescens et de VL praemorsa.
2"^ Le type Copernicia, remarquable par l'allongement de la portion libre
du cotylédon de la plante en germination. Il se rapproche de la quatrième
forme d'enracinement par les Phœnix, Scheelea et Allatea.
3^ Le type Sabal^ caractérisé par la croissance oblique, stoloniforme, des
jeunes plantes. Par les Elaeis, il vient rejoindre les Palmiers à rhizomes du
quatrième type.
4^ Le type CocoSy où la jeune plante sort simplement de la portion libre
du cotylédon non allongée. Elle a d'abord des entre-nœuds courts, plus tard,
des entre-nœuds allongés. On peut considérer comme sous-division de ce type,
les formes Baclris, qui possèdent un rhizome.
Dans la partie de son travail consacrée à la morphologie des jeunes Pal-
miers, déjà sortis de la graine, mais encore reliés à celle-ci, Pfitzer ^ ajoute les
noms de trois nouvelles espèces à la liste des Palmiers, qui présentent le mode
de germinatioi> désigné par Martius sous le nom de germinalio admotiva *.
• Voy. chapitre premier.
2 Karsten, Die Bettmrzelung der Palmen, p. 608.
3 Pfitzer, UberFrûchte, Keimung und Jugmdzuslànde einiger Palmen. Berïchte d. deutsch.
BOTAN. GeSELLSCU.
4 Calamm marginatus Bl. , C. Lewisianus Griff. et Howea Forsteriana Becc.
14 RECHERCHE
Le savant professeur de Heidelberg examine ensuite la forme qu^affecle la
première feuille normale, ce qui lui permet de répartir les jeunes Palmiers,
qu'il a eus à sa disposition, en diverses catégories. Il constate, cette élude faite,
que la forme de la première feuille normale, n'a point de rapport avec la
classiGcation et qu'elle semble n'avoir que peu de relation avec la forme
définitive de la feuille adulte.
G. Firtsch ', dans un mémoire paru en 1886, décrit les particularités
anatomiques que présente la germination du dattier, et recherche leur inter-
prétation physiologique. Celte étude du dattier est pleine d'aperçus ingénieux
sur le rôle que l'on doit attribuer aux caractères histologiques de sa germi*
nation. Il y a cependant lieu de faire des réserves sur certains points.
D'après Firtsch, l'épiderme se détacherait, par lambeaux, à la partie infé-
rieure du cylindre cotylédonaire, et l'assise cellulaire sous-jacente formerait
des poils radicaux. Sur la partie supérieure de ce cylindre cotylédonaire et
au niveau de son renflement, l'auteur constate l'existence de stomates. Il
observe que le système mécanique de cet organe est constitué par un mince
anneau scléreux, périphérique, et le fourreau scléreux des faisceaux. Il
remarque que le bois de ces faisceaux est creusé d'un canal aérifère (lacune
antérieure de Bertrand), et que le tissu fondamental est abondamment pourvu
de canaux aérifères.
Examinant la racine principale, l'auteur écrit que le tissu d'absorption de
cet organe ne possède, en général, pas de poils radicaux, que ce tissu est
rapidement détruit, et que, pour celle raison, les cellules sous-jacentes se
subérisent. Il constate l'existence de grandes lacunes dans ce liège interne et
d'un anneau scléreux à la périphérie de l'organe.
La première feuille gemmulaire, pour Firtsch, est construite d'une manière
ferme pour résister à la flexion, car elle doit servir d'organe de percement.
La pointe conique de cette feuille posséderait une structure en rapport avec
le rôle qu'il lui attribue. La pointe de la seconde feuille gemmulaire aurait
la même structure.
* Firtsch, G., Anatomisch-physiologische Vntersuchungen ûber die Keimpflanze der Daltel-
palme. Sitzb. d. kais. Akao. d. Wissensch. zu Wien.
SUR LES JEUNES PALMIERS. IS
11 relève, enfin, dans certains organes, diverses particularités anatomiques
qui indiquent, pour le dattier en germination, la nécessité d'un sol très
humide.
Otto Gehrke ^ a recherché si la structure de quelques autres Palmiers en
germination est la même que celle que Firtsch a observée chez le dattier, et
jusqu'à quel point les particularités anatomiques constatées sont liées aux
conditions climatériques. Ses recherches ont porté sur les espèces suivantes ^ c
1 . Phœnix canariensis,
2. Livistona chinensis M. = Latania borbonica Hort.,
3. Corypha Canna,
i. Oreodoxa regia,
5. Chamcerops humilis L.,
6. Chamcerops elegans,
7. Chamcerops excelsa = Trachycarpus excelsus Thunb.,
8. Pritchardia filamentosa )
t% n -* L j' /-i-r l Scem. et Wendl.,
9. Prttchardta fihfera ] '
10. Sabal umbraculifera Adans.,
11. Âreca sapida <= RkopalostyUs sapida D. et W.
Elles Pont conduit à conclure que la structure est, en principe, la même
chez tous les Palmiers en germination. Les différences qu'il a pu établir
entre les palmiers qu'il a examinés et le Phœnix dactylifera, sont de peu
d'importance; elles comprennent :
1. L'absence d'espaces intercellulaires (lacune antérieure) dans le bois
des faisceaux de la portion libre du cotylédon de ses Palmiers, alors qu'il en
existe chez le Phœnix dactylifera.
2. L'existence de canaux aérifères dans le parenchyme cortical de la
portion libre du cotylédon et de la racine, ainsi que dans la zone des fais-
' Gehrke, 0. Beitràge zur Kenntniss der Anatomie von Palmenkeimlingen.
2 D'après l'auteur, il faut ajouter à la liste des palmiers à germituUio admotiva, YOreodoxa
regia, et, à celle des palmiers à germinatio remotiua : Phœnix canariensis^ Livistona chinensis,
Corypha Canna ^ Chamœrops elegans^ Trachycarpus excelsus ^ Pritchardia filamentosa ^
P. fUifera et Sabal umbraculifera.
46 RECHERCHES SUR LES JEUNES PALMIERS.
ceaux du premier de ces organes chez les Phœnix et Livistona, ce qui n^est
point le cas pour la plupart des autres Palmiers examinés.
3. L'apparition^ chez le Phœnix dactylifera, autour des productions
scléreuses des faisceaux de la portion libre du cotylédon^ d'une gaine protec-
trice qui fait défaut chez les Palmiers examinés.
4. La formation de diverses espèces d'épaississements de la gaine de la
racine^ où^ comme termes extrêmes, on a le Phœnix dactylifera avec une
gaine non épaissie, les Corypha et les Areca, qui ont une gaine complète^
en forme de C.
5. La présence de sclérites isolées ou de massifs scléreux, dans le paren-
chyme cortical de la racine des Areca et des Phœnix, ce qui n'existe pas
chez les autres Palmiers.
6. La présence de poils radicaux sur la portion libre du cotylédon ainsi
que sur la racine chez le Trachycarpus excelsus et sur la racine chez le
Corypha, alors que chez la plupart des autres Palmiers ces poils sont
éparpillés.
Certains caractères, qui permettent de considérer le jeune dattier
comme une plante réclamant un sol très humide, se rencontrent chez les
Palmiers examinés par Gehrke. Cet auteur en donne Ténumération.
Pour terminer, Gerhke constate que ses Palmiers appartiennent à trois des
quatre types d^enracinement, créés par Karsten.
i
l
CHAPITRE PREMIER.
Types de germination,
Martius a distingué deux modes de germination chez les Palmiers ^
La distinction établie par cet illustre botaniste n^esl pas suffisante pour
rendre compte des difl*érences que Ton peut observer dans les germinations
de ces plantes. Il suffit, pour s'en convaincre, d'examiner la germination d'un*
Diciyosperma (pi. I, fig. 3), d'un Phœhix (pi. I, fig. 1) et d'un Sa6a/ (pi. I^
fig.2).
Le premier de ces Palmiers offre un exemple de germinaiio admoliva,
suivant la définition qu'en donne Marins; les deux autres, de germiiiatio
remotiva.
La forme et la structure de la portion libre du cotylédon, le mode
d'attache de la jeune plante à la graine, présentent, chez les deux derniers
Palmiers, des variations assez considérables. A la région cotylédonaire qui
enveloppe la base de la gemmule, fait suite, chez les Phœnix, une région
cylindrique qui pénètre dans la graine. Chez les Sabal^ cette région cylin*
drique s'insère près de la base de la région embrassante du cotylédon.
Les Palmiers qui montrent le genre d'attache constaté chez les Sabal ne
diffèrent des espèces à germinatio admotiva que par la présence de la région
cylindrique.
Il existe, par conséquent, une différence plus grande entre les espèces qui
i Voy. p. 12.
Tome LL 3
18 ^ RECHERCHES
germent à la façon des Phœnix et celles qui germent comme les Sabaly qu'il
n'en existe enire ces dernières et les Palmiers à germinatio admotiva.
Je crois avoir ainsi démontré que la dislinclion faite par Marlius avait
un caractère de généralité trop grande et qu'il y a lieu de distinguer les rap-
ports suivants, entre la jeune plante et la graine :
i"* La graine ou, si Ton préfère, le suçoir est uni à la région embras-
sante du cotylédon par une région cylindrique qui fait suite à la première
(Phœnix);
S"" Le suçoir est uni à la base de la région cotyiédonaire embrassante :
a) Par une région cylindrique (Sabal) ;
b) Directement (Diciyosperma).
Les nombreux Palmiers dont j'ai étudié la germination peuvent être
groupés autour des trois formes prises pour exemples et qui semblent con-^
^tituer dés types.
J'ajouterai qu'il existe des plantes qui établissent des transitions entre les
types dont j'ai fait choix, et que, chez les Palmiers examinés, toutes les espèces
d'un même genre ont un mode de germination analogue.
Au début de la germination, chez les Palmiers qui appartiennent au type
Phœnix, la portion de l'embryon qui sort de la graine affecte la forme d'un
cylindre qui se termine en pointe. L'élongation de ce cylindre a pour effet
de rendre verticale toute sa région inférieure, qui est comme renflée. La
portion libre du cotylédon forme alors un tube, vertical dans sa partie infé-
rieure, courbé dans sa région supérieure. La portion libre du cotylédon peut
s'allonger beaucoup. La fente gemiiiulairë se trouve sur la face convexe de
la partie infléchie. Le point végétatif de l'axe hypocotylé est au niveau du
renflement.
Les feuilles extérieures de la gemmule grandissent rapidement. Elles
forment un cône qui sort par la fente genimulaire en la déchirant, chez les
genres : PhœniXy Caryola, Latania.... Les jeunes Chamœrops, Livislona,
Trachycarpus... présentent une légère variante. Chez ceux-ci il ne se produit
SUR LES JËUiNES PALMIERS^ 19
poiDt de déchirure du bord de la fente gemmulaire. Il y a un léger exhaus*
sèment du bord de celte fente le long de la gemmule (pK 11^ fig. S).
Malgré la déchirure qui s'observe au niveau de la fente gemmulaire, dans
les germinations de Phœnix, Caryota, Latania, je ne crois pas qu'on puisse
attribuer exclusivement au grand développement du système mécanique des
pièces de la gemmule les perforations qui se produisent che2 ces Palmiers,
au moment de la sortie par la fente gemmulaire. La première feuille gemiinu-
lairè des Palmiers chez lesquels il n'y a point eu de déchirure au niveau
de la fente, devrait présenter un système mécanique moins développé que
chez ceux où le cotylédon possède une région déchirée; ce qui n'est point
le cas ^
Dans toutes les germinations du type Phœnix, la première racine, très
grosse et qui jouera le rôle de racine principale, sort de la base de Taxe
hypocotylé en trouant sa surface. Celte première racine est insérée profon-
dément.
Sur les germinations plus avancées, la première racine est caractérisée
comme racine principale. Des racines latérales grêles partent de la partie
inférieure de Taxe hypocotylé et la gemmule est sortie par la fente gemmu-
laire. La partie du cotylédon qui sort de la graine montre : une région
embrassante, attachée inférieu rement sur Taxe hypocotylé, terminée supé-
rieurement par un bord déchiré (chez les Phœnix, Caryota, Lalania,
pi. III, fig. 1), ou pourvue, à sa partie supérieure, d'un léger exhaussement
en forme d'anneau ; une région cylindrique différenciée en une partie infé-
rieure creuse, qui fait suite à la région basiiaire embrassante, et une partie
supérieure pleine qui est proche du micropyle.
Dans les germinations du type Sabal, la portion embrassante du cotylédon
se développe d'abord fort peu. L'élongation principale porte sur la partie
cylindrique. Plus tard, l'orifice gemmulaire restant suffisamment grand pour
que la gemmule puisse en sortir sans déchirure, il y a croissance du bord
de la gaine, de sorte que sur les germinations assez avancées, la portion
cylindrique semble insérée à la base de cette gaine, presque à sa région
^ Voy. Liviskma australis (pi. II, fig. 6).
90 RECHERCHES SUR LES JEUNES PALMIERS.
d'allàche, au lieu de partir^ comme chez les Phœnix, du bord même de la
gaine^ là où sort la gemmule. 1^ portion cylindrique du type Sabal ne
présente pas de partie creuse comme chez le type Phœnix, et, de plus, on
trouve à la base de la gaine cotylédonaire, sur la face opposée à Tinsertion
du cylindre cotylédonaire, un grand vide^ comme si le point végétatif avait
du se redresser verticalemeni pour pouvoir sortir.
Lorsque la région cylindrique reste fort courte, la gaine cotylédonaire
est contiguë à la graine. C^est ce que Ton rencontre chez les Palmiers du type
Diclyasperma (pi. 1, fig. 3).
CHAPITRE II.
du type Phœnix.
On doit ranger ici les genres suivants :
Caryota L.,
Phœnix L.,
Chamœrops L^
Livistona R. Br.,
Trachycarpîis Wendl.,
Thrinax Sw.,
Latania Commers.»
Cocos L.
La germination de VHyphœne crinila Gaertn. {Coccifera Thebaxca L.),
figurée par J.-F.-J. Scbmidl ^y doil aussi être rapportée au type Phœnix.
Le genre Phœnix sera éludié en premier lieu; les autres genres seront
examinés suivant Tordre adopté par Benlham et Hooker -.
Phœnix dactytifera '.
Je prendrai comme type un jeune P. daclylifera dont la seconde feuille
gemmulaîre^ déjà saillante hors de la gaine formée par la première^ montre
son limbe encore plissé.
* ScHMiDT, Der Kdmungsprocess beider Dumpalm, Botan. Centralbl., 1880, p. 1662.
^ Bentham et Hooker, Getieraplantanm.
3 Le P. dactylifera L., a pour synonyme: P. excelsior Cav. (De Kerchove ue Denter-
GHEM, Les Palmiers, p. 3S2.)
Les espèces du genre Phœnix présentent de grandes analogies. Les autres espèces que
j'ai étudiées ne se différencient du dattier que par certains caractères, qui seront énumârés
pour chacune d'elles.
22 RECHERCHES
[min
L'dxe hypocolylé, légèrement renflé^ est haut de 1 à 3'
La région basilaire du cotylédon (pi. I^ fig. 1) forme une gaine embras-
sante autour de la gemmule. Cette gaine est ouverte dans sa partie supé-
rieure; il s'y est produit une large déchirure antérieurement. Le bord apparent
de celle gaine se prolonge par une gouttière^ forlement plissée^ qui se forme
et se continue par un cylindre. La portion ouverte de la gaine présente
plusieurs plis profonds^ qui se réunissent en un sillon unique en arrivant
dans le cylindre cotylédonaire. La face externe de la gaine est parfois velue
sur toute sa surface^ dans sa portion élargie et dans sa partie embrassanle.
Le cotylédon est Usse dans sa région cylindrique ^
La première feuille gemmulaire est réduite à sa gaine^ qui est légère-
ment ouverte dans sa partie supérieure et non déchirée. Sur le coté du bord
de celte gaine, en avant, une pointe médiaire indique le sommet de la pre-
mière feuille. Cette feuille présente une quarantaine de nervures parallèles.
Les cordons horizontaux, qui les relient, ne sont pas visibles par transparence.
La surface de cette première feuille est dépourvue de poils.
La seconde feuille possède un limbe allongé, entier ^, plissé suivant sa
longueur et terminé aussi par une pointe. Les nervures de cette feuille sont
également parallèles et, à peu près, en même nombre que dans la précédente.
Cette feuille présente des poils. Ces poils sont caducs; ils tombent dès que
la feuille s'étale. Le pétiole n'existe pas encore, le limbe repose directement
sur une gaine et celle-ci embrasse le point végétatif.
L'appareil radical ne comprend alors qu'une racine principale portant de
petites radicelles sur trois rangées. Au sommet de la racine. principale^ on
vùitune coiffe nettement accusée. La racine principale est accompagnée de
deux ou trois racines latérales, très grêles^ insérées sur la base de Taxe
hypocotylé.
« Dans le Botanisches Centralblatt (1881, vol. VIII, p. 386), le D' J.-F.-Jul. Schmidt a
signalé, œpendant, chez le dattier, des poils radicaux sur la première feuille gemmulaire.
Malgré mes recherches spéciales, je n'ai rien observé de semblable dans les nombreux
échantillons que j'ai étudiés.
s On rencontre un limbe semblable chez les P. sylvestris Roxb., et p. tennis Loddw
(PriTZER, E., Vber Frûehte, Kdmwtg und Jugendzustànde einiger Palmen, p.* 46).
SUR LES JEUNES PALMIERS. 23
Section (ransversâle de la racine principale^ vers la moitié de sa
longueur.
. Faisceau (pi. I^ fig. i) à onze pôles :
Lames ligneuses formant massifs cunéiformes; vaisseaux disposés en
séries radiales qui n'aboutissent pas au centre de figure; ils vont en
augmentant graduellement de diamètre de la périphérie vers le centre ;
certains grands vaisseaux ont des contours arrondis, des parois couvertes de
ponctuations scalariformes et sont séparés les uns des autres par des éléments
plats.
Massifs grillagés comprenant chacun cinq ou six éléments grillagés; les
cellules les plus volumineuses du liber mou sont intérieures.
Fibres primitives complètement sclérifiéeSy allongées dans le sens du
rayon, sauf, cependant, dans la partie centrale; les fibres primitives recloi-
sonnées, isodiamétriques, qui occupent le centre, ont des parois très
épaisses'.
Péricambium : éléments disposés sur une ou deux rangées, élargis tangen-
tiellement. Quelques éléments péricambiaux ont des parois épaissies, les
autres, des parois minces, mais on n'observe pas ici ralternance régulière
que Ton trouve dans la racine du Chamœrops humilis.
Endoderme : épaississements en U sur les faces latérales et profondes,
analogues à ceux du Smilax.
Liège interne: éléments à parois minces, arrondis, dont la sériation
radiale reste visible; vers Textérieur, grandes et nombreuses lacunes étirées
radialement, formées par dissociation de cellules^; les cellules entrant
i Dans la partie basilaire, comme d'ailleurs aussi vers la pointe, les fibres primitives cen-
trales possèdent des parois minces. La forme des éléments que l'on rencontre dans la
région centrale du faisceau polyarche varie donc avec le niveau. La phrase suivante du
travail de Firtsch, sur le dattier {Anatomisch-physiologische Uniersuchungeii iiber die Kern-
pflanze der Dattelpalme, p. 350), n'est donc exacte qu'en partie : « Die Mitte des Bûndels
» wird von einem ganz diinnen, auf dem Querschnitt nur wenigzellîgen, parenchymatischen
» Markstrange durchzogen. »
* On remarque, sur une section transversale pratiquée vers l'extrémité inférieure de cette
racine, que les lacunes du liège interne sont fort réduites. Sur une telle section, les parois
des grands vaisseaux ne sont pas encore épaissies.
24 RECHERCHES
dans les séries sont inégalemeni développées^ ce qui tend à troubler la
disposilion^ en séries radiales, primitive ; quelques massifs scléreux, formés
par un petit nombre d'éléments, parmi lesquels il s'en trouve qui ne sont
pas épaissis (ces massifs scléreux ne sont pas mentionnés dans le travail de
G. Firtsch «).
Tissu foiidam. second. : les cellules extérieures sont recloisonnées tan*
gentiëllement let radialemeni, en petits éléments, qui sont sclérifiés dans la
zone médiane du tissu, les intérieurs et les extérieurs ont des parois minces;
les régions exlerne et moyenne du tissu fondamental secondaire sont le siège
d'un liège diffus ^.
Assise subéreuse : une rangée de grandes cellules, à parois minces, alter-
nant avec les éléments de l'assise piiifère.
Assise pilifère : vestiges; éléments tabulaires, affaissés et dissociés.
J'ai distingué, dans la portion libre du cotylédon :
a) Une région basilaire embrassante ;
b) Une région élargie
Et c) une région cylindrique.
Section transversale de la région basilaire embrassante, vers la moitié de
sa longueur : Anneau fermé.
tpiderme extérieur : cellules prolongées en poils, affaissées '.
Êpiderme intérieur : éléments carrés, à parois latérales et profondes,
minces, à paroi extérieure légèrement épaissie.
Tissu fondamental : deux régions. Région intérieure, où sont localisés les
faisceaux, et région extérieure, contiguë à l'épiderme, dans laquelle est
localisé un liège diffus. Dans la région intérieure : cellules ovales, à parois
minces; grandes et nombreuses lacunes disposées radialement; cellules cris-
* FiRTSGH, G., ÀfuUomiach'physiologisehe Untersuchwigen uber die Keimpflanze der DaUel-
palme.
^ C'est à M. le professeur Bertrand que je dois la notion du liège diffus. Elle se trouve
dans le cours professé par Féminent botaniste de Lille qui, jusqu'à présent, n'a encore rien
publié au sujet de ce tissu.
3 II n'y a donc pas de chute d'épiderme, comme le prétend Firtsch (Anaiomisch-physiolO'
gische Untersuchungen uber die KeimpfUmze der Dattdpalme^ p. 345).
SUR LES JEUINES PALMIERS. 25
lalligènes contenant des raphides courles. Dans la région extérieure : cellules
polygonales ; vers le milieu de celte région^ des éléments à parois épaissies^
disposés sur une ou deux rangées, forment une couronne scléreuse fréquem-
ment interrompue.
Faisceaux de deux ordres. Faisceau impair (médian) dans le plan de
symétrie de la gemmule et en avant. — Petits faisceaux : iibres primitives
entourées de cellules scléreuses. — Grands faisceaux : section circulaire; double
fourreau scléreux ; enveloppe scléreuse externe formée par des éléments
ovales à parois peu épaisses; enveloppe scléreuse interne présentant à con-
sidérer deux croissants * dont les éléments diffèrent peu ; ceux qui constituent
le croissant extérieur sont petits, à parois fortement épaissies, a section poly-
gonale; la plus grande épaisseur de ce croissant est fournie par une Ole de
trois ou quatre éléments ; les cellules que Ton rencontre dans le croissant
intérieur sont légèrement plus grandes, un peu moins épaissies ; il y a deux
ou trois rangées de cellules dans la plus grande épaisseur de ce croissant
intérieur; bois moins développé que le liber; vaisseaux arrondis; à la partie
antérieure, lacune allongée radialement.
Section transversale de la région élargie du cotylédon.
Réni forme.
Faisceaux : au nombre de six ; à section ovale; enveloppés par un double
fourreau scléreux; Textérieur composé d'une ou deux rangées d'éléments
ovales, à parois légèrement épaissies; Pintérieur formé de petites cellules à
section polygonale, à parois fortement épaissies; on en compte quatre ou
cinq rangées dans la plus grande épaisseur de ce fourreau, c'est-à-dire vis-à-
vis du liber; autour du bois, il ne s'en trouve que deux ou trois rangées; il
n'y a lieu de distinguer ni un croissant extérieur ni un croissant intérieur.
Une section transversale pratiquée vers la base du cylindre cotylédonaire
ne diffère pas sensiblement de la section qui vient d'être décrite.
On observe ici la présence d'un sillon profond, dirigé suivant le plan de
^ J'appellerai croissant extérieur celui qui est appliqué contre le liber, et croissant inté<
rieur celui qui limite intérieurement le bois.
Tome LL 4
26 RECHERCHES
symétrie de l'organe, et d'une cavité intérieure. Çelle-ci esl ovale, centrale, et
délimitée par un épiderme. Les éléments épidermiques intérieurs ont une
section ovale. Leurs parois externes et latérales sont un peu épaissies. II y a
cependant des cellules qui ne sont pas sclérifiées.
Si Ton examine une section transversale pratiquée vers Textrémité supé-
rieure du cylindre cotylédonaire, on est frappé, tout d'abord, par Fimpor-
tance des tissus sclérifiés que Ton y observe. (PI. I. fig. 5.)
Cette section, de forme circulaire, possède de légers plis et un profond sillon
médian antérieur.
Épiderme : cellules ovales ; le grand axe de Povale est perpendiculaire à la
surface de l'organe; cuticule très épaisse; les cellules épidermiques sont
allongées également dans le sens de la longueur de l'organe; vues de face^
leurs parois sont rectilignes; stomates à section circulaire, à ostiole allongée
suivant le diamètre vertical; ces stomates, sur la section considérée, sont
au niveau de la surface ^
CoUenchyme : trois ou quatre rangées d'éléments ovales à parois gonflées,
allongés perpendiculairement à la surface de l'organe.
Tissu fondamental : cellules à parois minces, affaissées soit contre les
massifs scléreux des faisceaux, soit contre le collenchy me; un grand nombre
de cellules contiennent du tanin.
Faisceaux de deux ou trois ordres définis d'après leur situation et leurs
dimensions, disposés suivant deux arcs ouverts antérieurement. Arc inté-
rieur formé par les plus grands faisceaux, qui sont au nombre de onze; sauf
le médian, ces faisceaux sont symétriques deux à deux; le médian est situé,
comme le sillon, dans le plan de symétrie. — Faisceaux de premier ordre :
fourreau scléreux formé par deux croissants; croissant extérieur composé
de cellules à section polygonale, à parois légèrement épaissies et de diamètre
beaucoup plus petit que celui des cellules du croissant intérieur; les cellules
»
■ Le cylindre cotylédonaire ne posséderait des stomates, d'après Firtsch (AfuUomisch"
pliysiologische Untersuchungm ûber die Kdmpflanze der Datlelpalme, p. 346), que sur une
zone ayant au maximum 3 millimètres de largeur. Cet auteur a constaté, de plus, que les
stomates sont généralement fort élevés au-dessus de la surface de Torgane dans la partie
supérieure de cette zone, et qu'ils sont au niveau de Tépiderme dans sa partie inférieure.
SUR LES JEUNES PALMIERS. 27
de ce dernier croissant ont de mémo des parois peu épaissies; liber en
général assez réduit; bois très volumineux; parfois séparation du liber mou
en deux îlots; la lacune antérieure, chez la plupart, a disparu; petits vais--
seaux, à section polygonale. — Faisceaux de second et de troisième ordre :
constituent Tare extérieur; parfois réduits à des fibres primitives entourées
d'une gaine scléreuse ou même simplement à cette gaine scléreuse; d'autres
fois, productions libéro-ligneuses assez développées; il arrive qu'il y ait
fusion entre les gaines scléreuses de deux faisceaux voisins.
Section transversale de la première feuille gemmulaire pratiquée vers la
moitié de sa longueur. (PI. I, fig. 6.)
Couronne annulaire plus épaisse dans son plan de symétrie et en avant
(par rapport à Tobservateur).
Faisceaux de quatre ou cinq ordres. Neuf gros faisceaux principaux
sont placés dans la région médiane du tissu fondamental. Sauf le médian,
ces faisceaux sont symétriques deux à deux. Ce sont les plus rapprochés
du centre de figure. Ces premiers faisceaux présentent des productions
ligneuses et libériennes très développées. Entre ces faisceaux et un peu
en dehors, on trouve les faisceaux de la seconde série, généralement au
nombre de trois entre deux faisceaux de la première série. De-ces trois fais-
ceaux, le médian est le plus gros, les deux qui l'accompagnent sont très
grêles. Ces faisceaux n'existent pas sur toute l'étendue de la section. Près de
la face externe de l'organe, on trouve des faisceaux, les uns plus gros, les
autres très grêles. Il y a un ou deux faisceaux grêles entre deux faisceaux
plus importants. Les gros faisceaux de second ordre et les faisceaux de qua-
trième ordre ont leurs éléments ligneux et libériens bien caractérisés^ les
faisceaux de troisième ordre et les faisceaux grêles de second ordre sont
parfois réduits à des masses scléreuses. — Les faisceaux de premier ordre sont
entièrement entourés par un fourreau scléreux, qui est formé par deux crois-
sants dont les pointes se rejoignent à la limite du bois et du liber. Celui qui
entoure le liber présente cinq ou six rangées de cellules dans sa plus grande
épaisseur. Les éléments qui le constituent sont relativement petits. Ils possè-
dent une section polygonale à angles arrondis et offrent des parois forte-
ment épaissies. Ceux qui composent la portion du fourreau scléreux qui
28 RECHERCHES
contourne le bois sont beaucoup plus grands (plus de deux fois)^ à seclion
neltement polygonale et à parois bien moins épaisses. Dans la plus grande
épaisseur de ce croissant, il y a sept ou huit rangées de cellules. Le bois des
faisceaux principaux comprend des vaisseaux h section arrondie, à diamètre
relativement petil. lis sont séparés soit par des fibres primitives sclérifiées, a
section polygonale, soit par des cellules aplaties. Les éléments ligneux ne
se distinguent que très difficilement des fibres primitives sclérifiées sur une
section transversale. — Les plus gros faisceaux de second ordre sont enve-
loppés par un fourreau scléreux qui présente les mêmes caractères que celui
des faisceaux de premier ordre. Seulement, l'épaisseur du croissant appliqué
contre le liber est plus grande que celle du croissant qui embrasse le bois.
Ce dernier croissant n'est formé que par une ou deux rangées d'éléments. Le
bois et le liber sont beaucoup réduits. On remarque que certains vaisseaux
présentent une section polygonale. Les plus grêles des faisceaux de second
ordre possèdent, entre le faisceau médian et les deux faisceaux de premier
ordre voisins, quelques éléments libériens et ligneux caractérisés, plongés
au milieu d'une masse sriéreuse. Parmi les éléments ligneux, il se trouve un
vaisseau relativement gros, à section polygonale ou arrondie. Entre les deux
premiers faisceaux de premier ordre, les faisceaux grêles de second ordre
sont réduits à des masses scléreuses. — La gaine des faisceaux de troisième
ordre est surtout épaisse dans sa région postérieure. En avant, elle se réduit
à une rangée d'éléments. Il se pourrait que dans ces faisceaux certains
éléments scléreux appartinssent au liber. — La structure des faisceaux de
quatrième ordre rappelle celle des faisceaux de troisième ordre ou celle des
faisceaux grêles de second ordre, suivant qu'ils sont eux-mêmes i^ros ou grêles.
Nombreux cordons scléreux localisés dans la région moyenne et près de
la face postérieure de l'organe. Les plus minces sont pleins, uniquement
composés de fibres scléreuses. Les plus volumineux renferment un faisceau.
Tous les faisceaux sont ainsi renfermés dans des gaines sclérifiées. On trouve
toutes les transitions entre les cordons scléreux sans faisceau et les cordons qui
renferment les plus gros faisceaux. Dans les minces, le faisceau n'est parfois
représenté que par quelques fibres primitives.
Tissu fondamental : cellules ovoïdes à parois minces. Celles qui sont
SUR LES JEUNES PALMIERS. i9
voisines de la face postérieure sont étirées horizontalement. Il n'y a pas de
cellules à raphidos. Presque tous les élément sont gorgés de grains d'amidon.
Épidémies. Les éléments des deux lames épidermiques sont semblables.
Ce sont des cellules étroites, allongées dans le sens de la longueur de Porgane,
à section carrée, à paroi externe fortement épaissie et lisse, à parois radiales
minces. Vues de face, leurs parois sonlreclilignes. L'épiderme externe porte
des stomates, disposés en files longitudinales. Ils sont allongés dans le sens
de la longueur de la feuille. Les cellules latérales du stomate sont très grandes,
bombées vers Pextérieur. Aux extrémités du grand axe du stomate vu de face,
se trouvent deux cellules pentagonaies. Parfois les cellules latérales sont divisées
parallèlement à Postiole. Le stomate présente, à sa partie antérieure, une petite
antichambre, limitée par deux crêtes et où arrive une arrière-chambre. .
Section transversale de la seconde feuille gemmulaire vers la moitié de
sa longueur.
Lame plissée à faces parallèles (PI. I, fîg. 7).
Épidémies à peu près semblables entre eux et ne différant pas sensible-
ment des épidermes de la première feuille gemmulaire. Les stomates sont ici
plus nombreux. Les cellules épidermiques restent fort petites en face des grands
faisceaux et des cordons hypodermiques. Remarquons encore que les cellules
épidermiques sont moins longues que dans la première feuille gemmulaire ^
Tissu fondamental : éléments arrondis à parois minces, dont le diamètre
va en augmentant des faces de Torgane vers la région moyenne du tissu. Les
petits éléments sont allongés perpendiculairement aux lames épidermiques;
les grands, parallèlement. Les uns et les autres renferment des grains de
chlorophylle. Les cellules qui forment le tissu de charnière, qui s'aperçoit
dans les coins exposés aux déchirures, ont une section polygonale, des parois
plus épaisses. Elles sont pliées presque parallèlement à la surface de l'organe
et dépourvues de chlorophylle.
Faisceaux de trois ordres. Les faisceaux de premier ordre * sont au
' J'ai eu fréquemment roccasion d'observer un recloisonnement d'épiderme à peu de
distance des plis.
2 Les faisceaux de premier ordre me paraissent homologues des faisceaux du même ordre
de la première feuille gemmulaire, mais je ne puis me prononcer sur l'homologie des fais-
ceaux de deuxième et de troisième ordre.
30 RECHERCHES
Dombre de oDze. Dix de ces faisceaux sont disposés symétriquement par
rapport au plan médian. Il y a un faisceau médian. Entre deux faisceaux de
premier ordre^ se trouvent deux faisceaux de second ordre accompagnés
généralement par deux faisceaux de troisième ordre. Ceux-ci sont parfois
réduits à Tétat de masses scléreuses. Ces différents faisceaux sont également
distants des deux faces de Torgane et non rapprochés de la face extérieure,
comme dans la première feuille gemmulaire vers le milieu de sa longueur.
— Les faisceaux principaux possèdent une gaine scléreuse formée par deux
croissants dont les pointes se rejoignent à la limite du bois el du liber. Le
croissant extérieur est constitué par des cellules fortement épaissies. En son
milieu, il comprend une Gle de six ou sept cellules d'épaisseur. Le croissant
intérieur diffère beaucoup moins du croissant extérieur que dans les faisceaux
principaux de la feuille précédente. Les cellules de la face concave de ce
croissant sont plus grandes et ont des parois moins épaisses que les cellules
du croissant extérieur. Le croissant intérieur compte cinq ou six rangées de
cellules en son milieu. Le bois est constitué par des vaisseaux à section
arrondie, à ponctuations scalariformes, séparés soit par des éléments aplatis,
soit par des fibres primitives sclérifiées. Un de ces vaisseaux, généralement
le plus externe, est beaucoup plus grand que les autres. Le liber présente
quelques éléments grillagés. Ceux de ces éléments qui occupent la région
médiane sont sclérifiés. Ce sont des fibres primitives qui se sont durcies. On
trouve, de plus, des fibres primitives sclérifiées à la limite interne du liber
et à la limite externe du bois. Celte disposition spéciale des éléments sclérifiés
divise le liber mou en deux ilôts. — Les faisceaux de second ordre sont aussi
entourés par deux croissants scléreux. Le croissant extérieur est plus épais que
Pintérieur. Il compte trois ou quatre rangées de cellules dans sa partie la plus
épaisse. Le croissant intérieur n'a qu'une rangée d'éléments sclérifiés. Le bois et
le liber possèdent les mêmes caractères que dans les faisceaux précédents. On
remarque seulement qu'il n'y a pas de grand vaisseau et que les fibres primi-
tives sclérifiées sont plus nombreuses dans la région externe du liber. — Les
faisceaux de troisième ordre sont très grêles. Leur croissant extérieur est encore
plus épais. Certaines cellules de la gaine ne sont pas encore sclérifiées. Le liber
et le bois de ces faisceaux sont réduits a quelques éléments étroits.
SUR LES JEUNES PALMIERS. 31
Cordons hypodermiques : éléments à section polygonale, à parois fort
épaisses ^ ; forment de larges plages triangulaires au dos des plis convexes
et aux bords de la feuille.
Phœnix canariensis ^.
La section transversale moyenne de la première feuille rencontre le
pétiole de la seconde. Ce pétiole affecte la forme d^un prisme triangulaire à
angles mousses dont la face antérieure est déprimée. Dans le P. daclylifera,
la section homologue ne montre pas de pétiole^ alors même que Téchan-
tillon a trois feuilles étalant leur limbe.
La première feuille du P. Canariensis est sillonnée.
Le limbe de la seconde feuille n'est pas denté sur ses bords.
Section transversale de la racine principale vers la moitié de sa longueur.
Faisceau à treize pôles. Lames ligneuses divisées en deux ilols; Tun,
extérieur, appuyé contre le péricambium et formé par des petits vaisseaux et
trachées à section ovale ou polygonale; Tautre, intérieur, constitué par un
ou deux grands vaisseaux à section ovale ; ces deux ilôts sont séparés par
trois ou quatre rangées de fibres primitives à section polygonale; Tilot
intérieur est d'ordinaire sur lé rayon qui passe par Tilol extérieur, mais par-
fois ces deux genres d'itots alternent par suite de Tincurvation de la lame
ligneuse à laquelle ils appartiennent. Le Lalania Loddigesii offre les mêmes
particularités ^.
Massifs libériens généralement allongés radialement. '
Péricambium. Les éléments ne sont épaissis que lorsqu'ils se trouvent vis-
à-vis des fibres primitives, qui séparent les lames ligneuses des massifs libé-
riens.
' On remarque, sur une section transversale pratiquée vers la base de cette feuille, que
les cordons hypodermiques ne sont pas épaissis. A ce niveau, le tissu de charnière est déjà
différencié.
2 Dans les germinations que j'ai étudiées, la seconde feuille gemmulaire dépassait la
première de plus de 26 centimètres. II ne m'a pas été possible d'étudier la structure de la
portion libre du cotylédon, qui était flétrie.
3 V. inf.
32 RECHERCHES
Tissu fondam. second. : élémenls extérieurs sclérîfiés.
Les sections transversales à mi-longueur de la première et de la seconde
feuilles gemmulaires^ varient peu, chez le genre Phœnix, d'une espèce à
Tautre. Je m'en tiendrai donc aux descriptions que j'en donne pour le dattier.
Remarquons cependant que le tissu fondamental du liufibe de la seconde
feuille gemmulaire ne se différencie en tissu de charnière, au voisinage des
plis, que chez le P. dactylifera.
Phœnix farinifera '.
Échantillons examinés, à peu près au même stade d'avancement que les
P. dactylifera décrits.
Portion libre du cotylédon très courte (moitié moins longue que chez le
dattier).
Racine principale accompagnée de deux racines latérales; radicelles sur
trois ou quatre rangées.
Section transversale de la racine principale vers la moitié de sa longueur.
Faisceau à dix pôles. Certaines lames ligneuses sont dirigées radialement;
d'autres, incurvées ; toutes sont terminées intérieurement par un vaisseau
ovale à diamètre prédominant, séparé du reste de la lame par des fibres
primitives aplaties ou par une ou deux rangées de fibres primitives sclérifiées;
on observe de grandes variations dans la longueur des lames ligueuses.
Massifs libériens très développés.
Péricambium : éléments à parois épaissies en face du liber; partout ailleurs,
cellules à parois minces.
Tissu fondam. second. : siège d'un liège diffus; ne comprend que deux
anneaux; l'extérieur seul est sclérifié.
Liège interne : grandes lacunes.
Le bois des faisceaux de la portion libre du cotylédon ne montre pas de
lacune antérieure.
» Le P. farinifera Roxb. a pour synonymie : P. Lourdrii Kth. et P. pusilla Gaertn.
(De Kerchove de Denterghëm, Les Palmiers, p. âS2.)
SUR LES JEUNES PALMIERS. 33
Phœnix reclinata *.
Exemplaires assez avancés; la troisième feuille gemmulaire avait étalé son
limbe et la quatrième avait sorti le sien^ encore plissé^ de la gaine formée
par la première.
Une section transversale pratiquée vers le milieu de la longueur de la
première feuille^ ne rencontre pas le pétiole de la seconde.
Section transversale de la racine principale vers la moitié de sa longueur.
Faisceau à onze pôles : Lames ligneuses formant files^ composées de
vaisseaux à section ovale ou circulaire^ terminées intérieurement par un
vaisseau à diamètre prédominant, séparé du reste de la lame par une rangée
de fibres primitives à parois minces ou à parois épaissies. La différence qui
existe entre le diamètre du vaisseau terminal et de celui qui le précède
immédiatement, n^est pas aussi grande que chez le P. spinosa. La longueur
«
des lames ligneuses est assez variable. La plupart de ces lames sont dirigées
radialement. Il y a moins de lames confluentes que chez le IK spinosa.
Pericambium : une ou deux rangées d'éléments, épaissis en face des
massifs libériens.
Tissu fondam. second. : à peu près les mêmes caractères que chez le
dattier.
Phœnix spinosa ^.
Les P. spinosa examinés étaient également dans un état de développement
assez avancé. La seconde feuille gemmulaire mesurait plus de 3 décimètres
et la troisième avait sorti son limbe, encore plissé, de la gaine formée par la
première.
' La portion libre du cotylédon était flétrie. Il ne m'a pas été possible d'étudier sa
structure.
9 Le P. spiiiosa Thonn. a pour synonymie : FtUchironia senegalensis Lesch.,
P. konensis Lodd. (De Kerghove de Denterghem, Les Palmiers^ p. 283.)
Je n'ai pu observer la structure de la portion libre du cotylédon qui était flétrie ; il m'a
cependant été donné de reconnaître que le cylindre cotylédonaire restait très court.
Tome LL S
34 RECHERCHES
Section transversale de la racine principale vers la moitié de sa longueur.
Faisceau à douze pôles : Fiâmes ligneuses à peu près d^égale longueur^
généralement terminées par un grand vaisseau ovale^ aHongé suivant le sens
du rayon^ et dont le diamètre est considérablement plus grand que celui des
autres éléments de la lame. Il arrive que ces lames se rejoignent deux à deux
et aboutissent à un grand vaisseau. Les grands vaisseaux sont toujours séparés
des lames ligneuses^ auxquelles ils appartiennent, par une ou deux rangées
de fibres primitives épaissies.
lUassifs libériens assez allongés radialement.
Perkambium. Les éléments^ disposés sur une ou deux rangées^ ne sont
épaissis que vis-à-vis des massifs libériens.
Liège interne : lacunes souvent très larges.
Tissu fondam. second. : peu développé; trois zones à peu près de même
largeur.
Caryota sobolifera *.
Seconde feuille gemmulaire complète. Limbe d'une forme tout à fait
remarquable; une profonde échaucrure médiane le divise presque entière-
ment en deux parties triangulaires^ réunies à la partie supérieure du pétiole
par un ilhsme étroit^ au milieu duquel se dresse un filament blanchâtre qui
représente, d'après Pfilzer ^ le faisceau médian; les divisions du limbe sont
des triangles scalènes; le petit côté, à peu près horizontal, est situé à la base
du limbe; le grand côté est intérieur; le côté de grandeur intermédiaire est
doublement denté; les nervures, très nombreuses, vont aboutir aux dents.
Pétiole très allongé, à section triangulaire, à face antérieure déprimée. La gaine
^ Le Caryota sobolifera Wall, a pour synonymie : C. urejis Jcq. et Drymophkeus Zippeliif
(De Kerchove de Denterghem, Les Palmiers, p. 238.)
Le limbe de la seconde feuille gemmulaire était complètement étalé. A cet état de déve-
loppement, la région basilaire embrassante du cotylédon était complètement ouverte dans
le plan médian et en avant. Toute la portion libre du cotylédon était dans un état de flétris-
sure qui ne permettait point d'examiner sa structure d'une manière convenable.
2 Pfitzer {Ueber Friichte, Keimung und Jugendzustàiide einiger Palmen, p. 49) signale
Texistence d'un limbe semblable chez le C. urens L. et le C furfurascea Bl.
SUR LES JEUNES PALMIERS. 35
s^aperçoit sur les sections transversales de la première feuille; elle entoure
la troisième feuille qui montre la préfoliation si compliquée des Caryota ^ :
Première feuille gemmulaire réduite à sa gaine.
Racine principale : radicelles sur trois ou quatre rangées; parfois trois
racines latérales.
Section transversale de la racine principale vers la moitié de sa longueur.
Faisceau à douze pôles : Lames ligneuses comprenant des vaisseaux circu-
laires ou ovales, à parois épaissies, alignés radialementou à peu près^ séparés
par des cellules aplaties. Le vaisseau intérieur, à diamètre prédominant,
peut être séparé du reste de la lame par des fibres primitives sclérifîées,
comme M. 0. Reinhardt ^ Ta constaté chez le C. furfurascea.
Massifs libériens : les éléments les plus grands sont les plus intérieurs.
Fibres primitives à parois sclérifîées ; plus épaissies dans la région cen-
trale que partout ailleurs et presque isodiamétriques ; plutôt allongées
radialement^ entre les massifs ligneux et libériens.
Pericambium : une ou deux rangées d'éléments ovales ou tabulaires
légèrement épaissis '.
Endoderme : cellules généralement pentagonales à épaississements en U
fort prononcés.
1 C'est précisément le C. sobolifera qui a fourni à A. Naumann (Beitrâge zur Entwicke-
hmgsgeschichle der Palmenblàlter^ p. 239), son troisième type de plissement. La préfoliation ,
que j'ai observée dans la gemmule de cette plante, diffère de la préfoliation du C. ureiis L.,
si j'en juge par les dessins qui accompagnent le travail de Eichler (Zur Entioickelungs-
geschichte der Pdmenblàtter. âbh. der Konigl. Preuss. âkademie der wissensch. zu
Berlin, 1888, pi. V, fig. 61-66).
s M. 0. Reinhardt, Dos leitetide Gewebe einiger anomal gebauten Monocotyleiiwurzeln.
Prifigsheim 's Jahrb. fnr wissemch. Botanik, Bd. XVI, H. 3, p. 350.
3 M. 0. Reinhardt [Bas leitende Gewebe einiger anormal gebauten Monocotylenwurzeln.
Pringsheim 's Jahrb. fur wissemch. Botanik^ p. 362), qui a étudié la racine du C. furfu-
rascea, a trouvé chez ce Palmier un pericambium à parois minces. Il semble en inférer que
les Caryota présenteraient ce caractère générique. Cela ne se vérifie point pour le C. soboli-
fera, comme on vient de le voir. Remarquons, de plus, que chez ce dernier Palmier le
pericambium ne possède, en certaines places, qu'une rangée de cellules, quoique Reinhardt
(/. c. ibid.) ait écrit que les Caryota avaient un pericambium composé de deux assises cellu-
laires.
36 RECHERCHES
Liège interne : peu développé ; quelques petites lacunes ; faisceaux scié-
reux comme chez le Phœnix daclylifera.
Tissu fondam. second. : très large; deux anneaux concentriques. L^inté-
rieur est formé d'éléments à parois minces; la plupart sont polygonaux;
les autres, arrondis, de plus grand diamètre, sont crislalligènes (raphides
longues). L'extérieur, siège d'un liège diffus, se compose de cellules poly-
gonales sclérifiées.
Assise subéreuse : cellules plus grandes ; quelques-unes sont tannifères.
Assise pilifère : grands éléments tabulaires affaissés.
Section transversale de la première feuille gemmulaire, vers la moitié de
sa longueur.
Anneau sillonné plus épais suivant le plan de symétrie et en avant
(PI. Il, fig. 1).
Êpidermes : comme chez le dattier.
Tissu fondam. : cellules ovales, à parois minces ; beaucoup de cellules
sont fripées ; certaines cellules contiennent des grains d'amidon en général
pyriformes; cellules crislalligènes (raphides longues), dans le voisinage des
faces de Torgane.
Faisceaux de trois ou quatre ordres. Les principaux sont enveloppés par
un fourreau scléreux à deux croissants ; pas de vaisseau à diamètre prédomi-
nant. Les autres faisceaux sont des masses scléreuses entourant, ou non, des
fibres primitives. Dans la partie étroite de Fanneau, tous les Taisceaux, de
n'importe quel ordre, sont réduits à leur enveloppe scléreuse.
La même section rencontre une seconde gaine, très épaisse dans son plan
médian et en arrière.
Faisceaux rangés, dans la partie épaisse de la gaine, sur trois arcs qui se
réunissent dans la partie étroite, où tous les faisceaux sont à l'état de masses
scléreuses. — Arc extérieur, appliqué contre la face extérieure de l'organe:
faisceaux de trois ordres. Les principaux possèdent un vaisseau à diamètre
prédominant. Tous les faisceaux sont remarquables par le grand développe-
ment du croissant extérieur, très nettement différencié du croissant intérieur. —
Arc moyen, dans la partie médiane du tissu fondamental : quatre Taisceaux dont
SUR LES JEUNES PALMIERS. 37
rorientation est singulière, placés de pari et d^aulre du plan médian; les deux
faisceaux les plus rapprochés du plan de symétrie de Torgane sont presque
perpendiculaires à ce plan et leurs massifs libériens sont en regard ; les deux
autres dirigent, au contraire, leur pointe ligneuse vers le centre de figure de
lorgane ; chez ces derniers, le croissant intérieur est plus large que Textérieur.
Productions libéro-Iigneuses assez développées. — Arc intérieur, appliqué
contre la face intérieure de la gaine : petits faisceaux réduits à Tétai de
masses scléreuses présentant parfois des fibres primitives-
Dans la cavité de Panneau, formé par la section transversale de la seconde
gaine pratiquée vers le milieu de la longueur de la première, on aperçoit
le limbe de la troisième feuille^ dont le tissu fondamental montre de nom-
breuses cellules cristalligènes (raphides longues).
Chamœrops humilis var. lomenlosa.
Même état d^avancement que les jeunes dattiers.
Les bords de la fente gcmmulaire, non déchirée, subissent un léger
exhaussement; plis nombreux et assez profonds, dans la portion libre du
cotylédon.
Première feuille gemmulaire réduite à sa gaine.
Limbe de la seconde feuille gemmulaire allongé, entier^ terminé en pointe,
plissé longitudinalement, à bords épineux; des poils dans la région enve-
loppée par la gaine cotylédonaire.
Appareil radical à peu près semblable à celui du dattier. Racines latérales
grêles.
Section transversale de la racine principale vers la moitié de sa longueur.
Faisceau à huit pôles : Lames ligneuses à grands vaisseaux arrondis,
terminées intérieurement par un vaisseau à diamètre légèrement prédominant,
séparé du reste de la lame par une ou deux rangées de fibres épaissies ou
par des éléments plats.
Massifs libériens à éléments grillagés peu nombreux.
Pericambium : une ou deux rangées de grands éléments tabulaires à parois
minces.
38 RECHERCHES
Endoderme : alternance régulière d'arcs scléreux appliqués contre les
massifs libériens el formés d éléments polygonaux^ à épaississements en U;
— et d'arcs à éléments non épaissis^ tabulaires^ appliqués contre les massifs
ligneux '.
Liège interne : pas d'éléments scléreux; dans sa zone superficielle, beau-
coup de cellules écrasées, surtout au voisinage du tissu fondamental secondaire
sclérifié.
Tissu fondam. second., siège d'un liège diffus : deux anneaux concen-
triques, savoir : trois ou quatre rangées internes de cellules polygonales, peu
épaissies et qualre ou cinq rangées internes de cellules polygonales fortement
épaissies.
Assise subéreuse : cellules tabulaires, tannifères, à parois minces.
Assise pilifère : éléments tabulaires affaissés.
Section transversale de la région basilaire embrassante du cotylédon, vers
la moitié de sa longueur.
Anneau présentant de nombreux sillons.
Èpiderme extérieur : cellules à parois minces affaissées.
Èpiderme intérieur : cellules rectangulaires, à parois minces, légèrement
allongées tangentiellement.
Tissu fondamental : dans sa zone superficielle, siège d'un liège diffus;
éléments polygonaux à parois légèrement épaissies (six ou sept rangées) ;
dans sa zone profonde, éléments à parois minces affaissés contre le liège
diffus et les faisceaux.
Faisceaux : au nombre de six; de forme arrondie; entourés par deux
croissants scléreux se rejoignant à la limite du bois et du liber; les éléments
du croissant intérieur ne diffèrent de ceux de l'extérieur que parce qu'ils
sont un peu plus épais; petits vaisseaux à section polygonale; pas de lacune
antérieure; liber très développé.
^ Ces deux sortes d'arcs ont sensiblement la même largeur chez le C. humilis var. arbo-
rescens; chez les C. humilis var. tomentosa et fiexuosa, les arcs scléreux sont les plus larges.
Des endodermes présentant des particularités analogues se rencontrent, d'une part, chez
les Epidendrum et les Philodetidrum, oh les arcs scléreux sont plus larges que les arcs à
parois minces ; d'autre part, chez les Dendrobium et les Anthurium, où ils sont plus étroits.
(Van Tieghbii, Traité de botanique, p. 692.)
SUR LES JEUNES PALMIERS. 39
Section transversale de la région cylindrique du cotylédon, vers la moitié
de sa longueur.
Polygone à angles mousses et à faces déprimées.
Faisceaux: au nombre de huit; disposés sur un arc ouvert antérieurement ;
enveloppés par un double fourreau scléreux ; fourreau extérieur à grandes
cellules ovales, à parois épaissies; fourreau intérieur : deux croissants;
croissant appliqué contre le liber plus développé que celui qui protège le bois;
les éléments de ce dernier croissant sont moins épaissis que ceux du premier;
vaisseaux de petit diamètre à section polygonale ; pas de lacune antérieure ;
liber très développé.
Tissu fondamental : absence de lacunes et de cavité centrale.
Section transversale de la première feuille gemmulaire, vers la moitié de
sa longueur.
Même forme que chez le dattier.
Épidermes : stomates, un peu différents de ceux qui ont été observés chez
le dattier, à cellules latérales légèrement bombées vers Pexlérieur, beaucoup
plus grandes que les cellules stomatiques (PI. II, fig. 3); aux extrémités de
la fente, cellule quadrangulaire assez petite, au-dessous de laquelle s'étendent
les cellules stomatiques.
Tissu fondamental : cellules ovales, dont le grand axe est parallèle aux
faces de Porgane; considérablement étirées près de la face intérieure de
la gaine; légèrement plissées et épaissies; dans la zone profonde, cellules
gorgées d'amidon.
Faisceaux de quatre ordres. Le médian est situé dans le plan de syméirie
et en avant. Les principaux sont pourvus d'un fourreau scléreux composé
de deux croissants; dans certains faisceaux principaux, séparation du liber
mou en deux ilôts; dans d'autres, la division est incomplète; peu d'éléments
grillagés; vaisseaux circulaires ou elliptiques; le plus intérieur, en général
sensiblement plus grand que les autres. — Faisceaux de second ordre, quel-
quefois réduits à des masses scléreuses; les plus développés ne diffèrent guère
des principaux les plus écartés du médian; croissant extérieur constitué par
une rangée unique d'éléments scléreux. — Faisceaux de troisième ordre :
masses scléreuses; leurs éléments offrent les mêmes caractères que les
40 RECHERCHES
cellules du croissant extérieur des faisceaux précédents. — Parfois un ou
plusieurs faisceaux de quatrième ordre : masses scléreuses.
Section transversale du même organe pratiquée plus haut.
Les massifs libériens des faisceaux principaux ne contiennent plus qu'un
petit nombre d'éléments à parois minces.
La sclérification du tissu fondamental a augmenté. Plus d^amidon.
Section transversale de la seconde feuille gemmulaire^ vers la moitié de sa
longueur.
Éventail à six branches.
Êpidei^me intérieur : les éléments situés au fond des plis possèdent une
forme penlagonale^ allongée perpendiculairement à la surface de Torgane;
les faces externes en regard offrent Taspect de dents de crémaillères qui
s'engrènent (PI. II, fig. 4).
Tissu fondamental : nombreux méats, parfois assez grands ; pas de tissu
de charnière.
Faisceaux de trois ordres. Dans le fourreau scléreux des faisceaux princi-
paux, il n'est guère possible d'établir une distinction entre croissant extérieur
et croissant intérieur; liber séparé en deux ilots chez certains faisceaux
principaux; à la limite extérieure du bois, à vaisseau circulaire, diamètre
prédominant ; les autres sont ovales et séparés les uns des autres par des
cellules plates. — Faisceaux de deuxième ordre : réduction des précédents;
un grand vaisseau circulaire. — Faisceau de troisième ordre : masses sclé-
reuses enveloppant des fibres primitives.
Cordons hypodermiques : éléments légèrement arrondis ; à parois épais-
sies; formant de larges plages triangulaires aux bords de la feuille et aux
extrémités des branches de l'évenlàil.
Chammvps humilis, var. flexuosa.
Aspect extérieur des germinations à peu près le même que dans la variété
précédente.
Gaine cotylédonaire relativement moins longue ; bords de la fente gemmu-
laire très légèrement relevés autour de la gemmule.
SUR LES JEUNES PALMIERS. 4i
Section transversale de la racine principale vers la moitié de sa longueur.
Faisceau à neuf pôles : Lames ligneuses rayonnantes ou confluentes ; dans
certaines lames^ le diamètre des vaisseaux va en augmentant régulièrement
de la périphérie vers le centre; dans d'autres^ il y a un groupe intérieur de
trois ou quatre vaisseaux^ séparé du reste de la lame par des fibres primi-
tives minces ou sclériGées; groupe trachéen séparé du péricambium par une
ou deux rangées de petits éléments.
Fibres primitives de grand diamètre, tabulaires; à parois minces^ entre les
massifs libériens et le péricambium.
Péricambium : éléments tabulaires à parois minces.
Endoderme : cellules à épaississemenis en U très considérables (au point
que la cellule est quelquefois presque obstruée); alternance d^arcs scléreux et
d^arcs à parois minces ; en certains endroits^ vis-à-vis des lames ligneuses^ il
arrive qu'il n^y a pas d'arc à parois minces.
Liège interne : pas d'éléments écrasés, contre le tissu fondam. second.
sclériGé.
Section transversale de la gaine cotylédonaire vers la moitié de sa
longueur.
Faisceaux ;au nombre de huit ; section ovale; liber très développé; pas de
lacune antérieure; nombreux vaisseaux de petit diamètre, à section polygonale.
Section transversale de la région cylindrique du cotylédon, vers la moitié
*
de sa longueur.
Tissu fondameiital : nombreuses lacunes.
Faisceaux : liber très développé ; le bois n'est plus constitué que par
quelques vaisseaux à section polygonale.
Section transversale de la première feuille gemmulaire, vers la moitié de
sa longueur.
Faisceaux de quatre ordres. Dans les faisceaux principaux : massif libérien
très développé et vaisseau circulaire, à diamètre prédominant. — Les autres
faisceaux : masses scléreuses enveloppant des fibres primitives.
Cette coupe rencontre le pétiole de la seconde feuille gemmulaire qui, sur
une section transversale, esl à peu près circulaire.
TouE Ll. 6
42 RECHERCHES
Chamœrops humilis var. arborescens.
Germinations un peu plus avancées : la seconde feuille gemmulaire a étalé
son limbe; la gaine et le cylindre cotylédonaires sont presque flétris.
Section transversale de la racine principale vers la moitié de sa longueur.
Faisceau à neuf pôles.
Péricambium : épaissi^ en face des massifs libériens.
Endoderme : alternance d'arcs scléreux et d'arcs à parois minces, de même
largeur.
Première feuille gemmulaire : faisceaux de trois ordres.
Seconde feuille gemmulaire : faisceaux de quatre ordres.
Livislona auslralis ^
Région embrassante du cotylédon assez courte (sa longueur est inférieure
à la moitié de la hauteur de la première feuille gemmulaire) ; bord de la fente
gemmulaire légèrement exhaussé^ comme chez les Chamœrops (pi. Il, fig. b);
gaine et cylindre cotylédonaires sillonnés de plis nombreux et profonds.
Première feuille gemmulaire réduite à sa gaine, légèrement ouverte dans
sa partie supérieure.
Seconde feuille gemmulaire complète. Limbe allongé, entier, terminé en
. pointe ^ (élalé dans les échantillons examinés); nervure médiane ne se
distinguant pas des autres grosses nervures. Pétiole : prisme triangulaire
à aréles mousses et à face antérieure concave. Gaine : ombrasse la troisième
feuille; rencontrée par une section transversale à mi-hauteur de la gaine
cotylédonairé.
Section transversale de la racine principale vers la moitié de la longueur.
Faisceau à dix pôles : Lames ligneuses courtes; vaisseaux disposés en files
1 Le L. australis M. a pour synonymie : Ck>rypha auslralis R. B. (de Kerchove de Dender-
GHEH, Les Palmiers, p. 2o0).
^ Pfitzer {Ueber FrOchte, Keimung und Jugendzustànde einiger Palmen, p. 47) signale un
limbe semblable chez d'autres espèces encore : L. altissima ZoU., L. Hoogendorpii Teysm.
et Binn., L. subglobosa H.
I
j
SUR LES JEUNES PALMIERS. 45
radiales; vaisseau inlérienr à diamèlre prédominant^ séparé du reste du
massif par une rangée d'éléments aplatis ou sclénTiés.
Massifs libériens peu développés; petit nombre d'éléments grillagés.
Fibres primitives : isodiamétriques dans la région centrale.
Péricambium : une ou deux rangées de cellules à parois minces, vis-à-vis
du bois; à parois épaissies, en face du liber.
Endodefme : cellules à épaississements, n'affectant pas la forme d'un U,
sur les faces profonde et latérales.
Liège interne : nombreuses lacunes; les plus grandes, étirées radîalement;
pas de massifs scléreux.
Tissu fondam. second. : trois anneaux. L'intérieur : cellules polygonales à
parois minces. Le moyen et l'externe : éléments à section polygonale égale-
ment, mais à parois épaissies; un plus grand épaississement des parois
caractérise le moyen. Ce tissu est le siège d'un liège diffus.
Assise pilifère : certains éléments sont prolongés en poils.
Section transversale de la région engainante du cotylédon, vers la moitié de
Ba longueur.
Anneau légèrement épaissi suivant le plan médian et en arrière; sillonné,
sur sa face externe, de larges plis.
Tissu fondamental, siège d'un liège diffus : éléments sclérifiés, dans sa
zone superficielle; éléments à parois minces, dans sa zone profonde, affaissés
contre le liège diffus, les faisceaux et l'épiderme intérieur.
Faisceaux : au nombre de neuf; ne se distinguent entre eux que par leur
forme et leur situation; ovales; allongés radialement dans la partie large de
l'anneau, tangcntiellement dans sa partie étroite: les divers faisceaux présen-
tent le même degré de développement ; double fourreau scléreux ; l'externe
comprend une ou deux rangées de cellules ovales à parois un peu épaissies;
l'interne est formé par deux croissants; le croissant extérieur est plus épais
que l'intérieur; les parois des éléments du premier sont plus épaisses que
celles du second; nombreux vaisseaux de petit diamètre à section polygonale;
liber très développé; nombreux éléments grillagés.
Epidémie extérieur : certains éléments sont prolongés en poils ^
^ Gerhke (Beitràge %ur Kenntiiiss der Anatomie von Palmenkeimlingen, p. 26) constate
44 RECHERCHES
Section transversale à mi-longueur du cylindre coiylédonaire.
Octogone à angles arrondis el à face^ déprimées.
Tissu fondamenkd : cellules à parois minces^ la plupart^ fripées et affais-
sées; nombreux éléments à section nettement arrondie et a parois légèrement
épaissies^ analogues à ceux que Firisch a signalés dans le cylindre cotylédo-
naire du dattier * ; le liège diffus sclérifié forme un anneau plus étroit que
dans la gaine.
Faisceaux : au nombre de huit; tous au même degré de développement ;
tendance à se bifurquer.
Section transversale^ pratiquée à mi-hauteur environ^ de la première feuille
gemmuiaire.
Anneau légèrement aplati perpendiculairement au plan de symétrie, et dont
la plus grande épaisseur se trouve dans ce plan et en avant (pi. Il, fig. 6).
Tissu fondamental : éléments ovales, à parois minces, allongés radiale-
ment, dans la région médiane de la portion épaisse; partout ailleurs, éléments
allongés tangentiellement ; grands et nombreux méats; certaines cellules de
la zone profonde de la portion épaisse sont gorgées d'amidon.
Faisceaux de six ou sept ordres. Un médian. Faisceaux de premier
ordre : dans la région moyenne de tissu fondamental; ce sont les plus
rapprochés du centre de figure de Torgane; ceux de second ordre, entre les
précédents et un peu en dehors, n'existent qu'entre les faisceaux de premier
ordre les plus rapprochés du médian. Les autres séries de faisceaux : de plus
en plus rapprochés de la face extérieure. — Faisceaux de premier ordre :
entourés par un fourreau scléreux ; croissant extérieur à cellules polygonales
fort épaissies (il y en a parfois qui pénètrent comme un coin dans le liber);
cellules du croissant intérieur peu épaissies, trois ou quatre fois plus grandes
que celles de l'autre croissant ; le croissant intérieur est le plus épais; fibres
primitives sclérifiées, à la limite du bois el du liber; gros vaisseaux arrondis
l'existence de poils radicaux sur la portion libre du cotylédon du Chamasrops exctisa (7Va-
chycarpus excelsus) et des Corypha.
* FiRTSCH, Anatomisch-physiologische Untersuchungeù ûber die Keimpflame der Daîtel-
palme, p. 348, fig. 7.
I
J
SUR LES JEUNES PALMIERS. 45
séparés par des éléments minces; vaisseau à diamètre prédominant ; nombreux
éléments grillagés. — Faisceaux de second ordre : croissant extérieur
beaucoup plus épais que Tintérieur; à part celte différence, les faisceaux de
second ordre ne sont que la réduction des précédents; vaivSseau à diamètre
prédominant. — Dans les faisceaux de troisième ordre, le croissant extérieur
est plus épais que dans les faisceaux de second ordre; croissant intérieur
formé par une rangée d'éléments scléreux ; vaisseau à diamètre prédominant.
— Faisceaux d'ordre plus élevé : souvent simples masses scléreuses, envelop-
pant, ou non, des fibres primitives.
Nombreux cordons scléreux : dans le voisinage de Pépiderme intérieur;
cellules polygonales à parois- moins épaissies que celles qui composent les
faisceaux, réduits à des masses scléreuses, que Ton rencontre dans le voisi-
nage de la face extérieure de Forgane.
La section transversale de la première feuille gemmulaire vers le milieu
de sa longueur, montre, dans la cavité formée par Panneau décrit, le pétiole
de la seconde feuille et le limbe de la troisième (pi. Il, fig. 6).
Pétiole : triangle à angles mousses et à face antérieure déprimée.
Tissu fondamental : éléments arrondis à parois minces.
Faisceaux disposés sur trois arcs ouverts antérieurement, dont les extré-
mités se rejoignent aux angles antérieurs. Les faisceaux de Parc extérieur
sont disposés le long des faces postérieures de Porgane. Ils sont répartis sur
trois ou quatre ordres. Les faisceaux de Parc intérieur sont alignés le long de
la face antérieure de Porgane. — Faisceaux de Parc moyen : productions
libéro-Iigneuses très développées ; liber mou divisé en deux îlots; un ou
plusieurs vaisseaux arrondis de très grand diamètre; deux croissants très
nettement différenciés. — Faisceaux principaux de Parc externe : en général
fort développés ; le médian appartient à cet arc, il est opposé au médian de
la première feuille; fusion entre les fourreaux scléreux des faisceaux situés
aux extrémités des arcs extérieur et moyen. — Faisceaux de Parc intérieur :
presque toujours réduits à Pétat de masses scléreuses enveloppant des fibres
primitives; vers le milieu de Parc intérieur, faisceau qui tourne son bois vers
le faisceau médian.
46 RECHERCHES
Limbe de la troisième feuille : nombreux cordons sclérifîés; cellules
crislalligènes, au voisinage des faces de Porgane; amidon dans la plupart des
cellules du lissu fondamental.
Livistona chine tisis ^
L'aspecI extérieur et la structure de la racine principale, de la portion
libre du colylédgp et des premières feuilles gemmulaires des germinations de
L. chimmis, ne présentent pas^ parvenues au même étal d'avancement,
de différences saillantes avec les jeunes L. auslralis décrits. Il n'existe
point, par conséquent, à Télat considéré, de caractéristique permettant la
détermination facile de ces deux espèces.
D'après Â. Naumann ^, le développement des feuilles serait même essen-
tiellement identique chez ces deux espèces. Cet auteur a trouvé que le
L. auslralis ne se dislingue, à ce point de vue, du L. chinensis que par une
ligule plus longue et plus forte. Chez la première espèce, les poils qui se
trouvent à l'extrémité de la ligule des jeunes feuilles, s'ajoutent à la pubes-
cence de la pointe, tandis que, chez la seconde, on n'observerait pas cette
particularité.
 l'étal très jeune, où je l'ai étudié, le L. chinensis ne présente absolument
pas d'affinité avec les Lalania. La grande similitude de structure qui existe
entre notre Palmier et le L. ausiraliSy légitime le rapprochement, fait par
R. Brown, de ces deux plantes.
Trachycarpus excelsus^.
La seconde feuille gemmulaire a sorti son limbe, encore plissé, de la
gaine formée par la première. Limbe allongé, entier, terminé en pointe ^. Le
^ Le L. chinensis R. Br., a pour synonymie : Latania chinetisis Jcq., L. borbonica l^am.,
Livistona mauriiiana Wall., Saribus chinefisis Bl. (De Kerchove de Uenterghen, Les Pal-
miers, p. 2Î50).
9 A. Naumann, Beitràge zur Entwickelungsgeschichte der Palmenblàlter, p. 228.
3 Le T. excekus Wendl. a pour synonyme : Chamœrops Thnbg. (De Kerchove de
Denterghem, Les Palmiers, p. 258.) Les échantillons, mis à ma disposition, ne mk)nt guère
permis l'étude de la portion libre du cotylédon. Notons cependant que le bord de la fente
gemmulaire est légèrement exhaussé.
4 II en est de même chez les T. Fortutiei Wendl. et Martianus Wendl. (PnrzER, C/eber
Frûchle, Keimung und Jtigendzustànde einiger Palmen, p. 47.)
j
SUR LKS JEUNES PALMIERS. 47
pétiole est rencontré par la section transversale^ pratiquée à mi-hauteur^ de
la première jfeuille gemmulaire.
Première feuille gemmulaire semblable extérieurement au même organe
chez le dattier.
Racine principale assez grêle et trois ou quatre racines latérales plus
grêles encore ; radicelles disposées sur trois rangées.
Section transversale de la racine principale vers la moitié de sa longueur.
Faisceau à six pôles : Lames ligneuses très longues; vaisseau terminal à
diamètre prédominant^ séparé du reste de la lame soit par des éléments
plals^ soit par deux ou trois rangées de fibres primitives sclérifiées.
Massifs libériens assez volumineux.
Péricambium : en face du liber, éléments épaissis.
Endoderme : cellules à épaississement en U; ces épaississements sont plus
accentués en face du liber que vis-à-vis du bois.
Assise pilifère : certains éléments prolongés en poils, très développés.
Section transversale de la première feuille gemmulaire, vers la moitié de
sa longueur.
Faisceaux de quatre ordres. Ceux de premier ordre possèdent des pro-
ductions libéro- ligneuses développées, un vaisseau à diamètre légèrement
prédominant.
Section transversale de la seconde feuille gemmulaire, vers la moitié de
sa longueur.
Faisceaux de quatre ordres. Faisceaux principaux : entourés par un four-
reau scléreux composé de deux croissants bien différenciés; nombreux
vaisseaux circulaires; division, nettement accusée, du liber mou en deux Ilots.
Cordons scléreux : le long des lames épidermiques.
Tissu fondamental : différenciation en tissu de charnière dans le prolon-
gement de certains plis; raphides courtes.
48 RECHERCHES
Thrinax excelsa ^
Première feuille gemmulaire réduite à Télat de gaine.
Seconde feuille gemmulaire romplèle : Limbe allongé, enlier et terminé en
pointe ^; fort épais (complètement élalé dans les échantillons examinés), à
nervure médiane fort peu prédominante. Pétiole en forme de prisme trian-
gulaire à face antérieure concave.
Le limbe de la troisième feuille gemmulaire montre un plissement en
éventail, sur une section transversale, à mi-hauteur de la première feuille.
Cette même section laisse encore apercevoir Textrémité supérieure du limbe
de la quatrième. A part la première, toutes les feuilles rencontrées sont
velues.
Racine principale : radicelles sur deux ou trois rangées.
Région embrassante du cotylédon assez courte. La portion libre du coty-
lédon était dans un état de flétrissement trop avancé pour qu'il me fût pos-
sible d'étudier sa structure.
Section transversale de la racine principale vers la moitié de sa longueur.
Faisceau à six pôles : Certaines lames ligneuses se réunissent deux à
deux ; vaisseau intérieur circulaire à diamètre prédominant, séparé du reste
de la lame par des éléments plats ou sclérinés.
Les éléments les plus volumineux du liber sont les plus intérieurs;
éléments grillagés, près du péricambium.
Péricambium : une rangée de cellules tabulaires à parois en général
minces ; parfois légèrement épaissies, vis-à-vis des massifs libériens.
Endoderme : cellules carrées; épaississemenl en U; il arrive que toutes
les parois sont épaissies; en face du liber, on rencontre souvent une cellule
plus petite et plus fortement épaissie.
4 Karstem, Ueber die Betvurzelung der Palmen, p. 608, range le genre Thrinax parmi ceux
qui offrent le mode de germination, désigné, par Martius, sous le nom de germinatio'
admotiva.
^ Pfitzer, Ueber Fruchie, Keimung und Jugendzustànde einiger Palmen, p. 47, signale un
limbe de ce genre chez d'autres espèces : T. argentea Lodd., T. parviflora Sw., T, radiata
Lodd.
SUR LES JEUNES PALMIERS. 4U
Liège interne : pas d'éléments scléreux; quelques lacunes peu étendues.
Double anneau de lissu fondant, second, scléritié; les éléments de Tanneau
extérieur sont plus épaissis que ceux de Panneau intérieur.
Assise pitifèrc : cellules tabulaires, en partie affaissées, à parois minces.
Section transversale de la première feuille gemmulaire, vers la moitié de
sa longueur.
Tissu fondamental : cellules ovales à parois légèrement épaissies, en
partie affaissées, allongées tangentiellement, quelquefois tannifères. Dans le
voisinage de la face extérieure de rorgane« on rencontre quelques éléments
cristalligènes (raphides courtes).
Faisceaux de trois ordres. Faisceaux principaux : enveloppés par deux
croissants qui diffèrent peu Fun de Tautre; les cellules du croissant intérieur
sont un peu moins épaisses que celles du croissant extérieur; bois et liber
peu volumineux. — Dans les plus gros faisceaux de deuxième et de troisième
ordres : croissant exiérieur à parois très épaissies; croissant intérieur très
réduit.
Dans la cavité délimitée par Panneau formé par la première feuille :
gaine de la seconde feuille, représentée par un anneau plus épais en arrière.
Tissu fondamental: éléments non épaissis; cellules cristalligènes (raphides
courtes).
Faisceaux de trois ordres. Faisceaux principaux : bois et liber plus déve-
loppés; pas de vaisseau à diamètre prédominant; cellules grillagées plus
nombreuses. — Dans les faisceaux de second ordre : bois et liber peu
différenciés. — Faisceaux de troisième ordre réduits d'ordinaire à des
masses scléreuses.
Cordons scléreux : dans la région épaisse de Panneau^ près de la face
intérieure.
Celle seconde gaine entoure le limbe de la troisième et de la quatrième
feuilles.
Tome LI
50 RECHERCHES
Latania Loddigesii K
La germination du L. Loddigesii présente le même caractère que celle du
dattier (pK Hl, fig. i).
Première feuille gemmulaire réduite à sa gaine.
Seconde feuille gemmulaire complète : Limbe déjà penné ^ quoique encore
caché; en général^ cinq lobes. Pétiole très court : prisme triangulaire à
angles mousses, sillonné à sa face antérieure.
Troisième feuille gemmulaire : Limbe entier; cinq plis suivant sa longueur.
La seconde et la troisième feuilles sont velues.
Racine principale très forte; trois rangées de radicelles; coiffe très
accusée; trois racines latérales.
Section transversale de la racine principale vers la moitié de sa longueur.
Faisceau à trente et un pôles : Lames ligneuses très inégales; elles ont
une tendance à s'unir deux à deux; grands vaisseaux arrondis, non épaissis;
les autres, elliptiques ou polygonaux; entre les grands vaisseaux et les pelits^
nombreuses rangées de fibres primitives sclérifiées divisant la lame ligneuse
en deux ilols.
Massifs libériens présentant une particularité intéressante: ils se com-
posent de deux ilôts grillagés séparés par des fibres primitives ^ et situés sur
* Le L. Loddigesii H. a pour synonymie : L. glaucophylla Hort., Cleophora dendriformis
Lodd. (De Kerchove de Denterghen, Les Palmiers, p. 249.)
Les descriptions qui suivent s'appliquent à un embryon dont la première feuille gemmu-
laire était seule visible extérieurement.
2 Pfitzer, Ueber Frikhte, Keimung und Jugeiidzmtàfide einiger Palmen, p. 49, avait
signalé rexislence d'un limbe penné chez le L. Commersofiii L.
3 Nâgeli * a observé cette même disposition des massifs grillagés dans le faisceau de la
racine du Chamœdorea Schiedeana; mais l'illustre professeur bavarois Ta interprété
comme une intercalation d'ilôts grillagés entre les groupes trachéens et les grands vais-
seaux ligneux.
P. Falkenberg ** a établi, depuis lors, que les îlots internes du C Schiedeana se trouvent
* NÂGELI, Beitr&ge zur Wissenschaftl, Bolanik. Heft I, p. 20.
** Falkenberg, P., Vergleichende tntersuch. ûber den Bau der Vegelationsorgane der Monokotyledonen.
Stuttgart, 1876, p. 96 et pi. DI, fig. 7.
SUR LES JEUNES PALMIERS. Si
un même rayon; le groupe grillagé externe est constitué par des éléments à
parois plus épaisses que les fibres primitives qui Tenveloppent ; les éléments
du groupe grillagé interne possèdent, au contraire^ des parois plus minces
que les fibres environnantes; Pun et Taulre montrent généralement un gros
tube cribreux, à section arrondie, entouré par des éléments plus petits à
section polygonale; Tilot externe est le plus volumineux; les deux ilôts ne
renferment que peu d'éléments grillagés.
Fibres primitives à section polygonale, sauf dans la partie centrale où
Ton rencontre des éléments arrondis laissant entre eux de très larges méats
formant lacunes; celles qui entourent cette région centrale ont une section
polygonale, des parois épaissies; cette zone, que délimite extérieurement la
région des grands vaisseaux, présente des groupes de trois ou quatre élé-
ments à parois complètement sclérifiées; les cellules de cette zone sont légè-
rement allongées suivant le sens du rayon; les fibres primitives, à parois
minces, qui séparent les massifs libériens des massifs ligneux, ont une
section polygonale; elles sont allongées radialement, surtout celles que Ton
rencontre entre les ilôts grillagés externes et les vaisseaux épaissis.
Péricambium : une ou deux rangées de grands éléments polygonaux^ à
parois minces.
Endoderme : cellules polygonales, parfois recloisonnées; leurs parois
radiales seules se montrent épaissies.
Liège interne : cellules à parois minces, ovales ou arrondies; nombreux
toujours sur les rayons qui rencontrent les îlots externes. J'ai pu reconnaître qu'il en est
de même pour le Palmier qui nous occupe.
L'observation de Falkenberg a été reconnue pouvoir être appliquée à diverses espèces de
Chamœdorea, au Cocos reflexa et au C. flexmsa * par M. Reinhardt **.
Notons, pour terminer, que des faits du même genre se rencontrent chez des plantes
d'autres familles ***. Telles sont : Torndia fragrans^ Pothos repetis, les Monstera et les
Raphidophora de la famille des Âroïdées, Musa rosacea de la famille des Musacées.
* V. p. 57.
** Reinhardt, M., 0., Dos leitende Gewebe einiger anormal gebauten Monokolylenwurzeln. Prinsheim's
Jahrb Bd. XVI, Heft UI, p 350.
*** V. Reinhardt, M , 0., ibid, et Van Tieghem, Sur la structure des Aroïdées. Ann. des se nat , bota-
raQfJX, sér. 5, t. VI.
82 RECHERCHES
méats^ quelquefois très grands^ dans la région médiane; nombreuses lacunes
assez étendues et disposées en général suivant le sens du rayon; grains de
fécule.
Double couronne de tissu fondam. second., siège d^un liège diffus; les
éléments de la couronne extérieure onl des parois fort épaissies; ceux de la
couronne intérieure^ des parois minces ; quelques groupes de cette dernière
couronne peuvent aussi être sclérifiés.
Assise subéreuse : une rangée de grandes cellules à parois minces alter-
nant avec les éléments de l'assise pilifère.
Assise pilif ère : une rangée de cellules tabulaires aplaties.
Section transversale pratiquée vers la moitié de la longueur de la région
basilaire embrassante du cotylédon.
Anneau plus épais dans la partie antérieure du plan de syméirie.
Épidémie intérieur : éléments à section rectangulaire; paroi externe peu
épaissie; faces radiales et profonde moins épaissies encore.
Tissu fondamental .\ Cellules les plus profondes, c'est-à-dire quatre ou
cinq rangées appliquées contre Pépiderme interne, très étirées tangenlielle-
ment, à parois légèrement épaissies. Éléments de la partie médiane du tissu :
parois minces, fripées; section arrondie; dans cette zone du tissu, nom-
breuses lacunes; le diamètre des éléments de cette zone va en augmentant
des surfaces vers le milieu du tissu. La portion extérieure du tissu fonda-
mental est le siège d'un liège diffus; trois régions : la région intérieure,
formée par trois ou quatre rangées de cellules polygonales à parois épaissies;
la région moyenne, comportant deux ou trois rangées de cellules polygonales
à parois complètement épaissies (les éléments de la rangée externe, ou par-
fois même des deux rangées externes de celle région, renfermant du lanin) ;
la région externe, constituée par deux ou trois rangées de cellules polygonales
beaucoup plus grandes, à parois minces.
Faisceaux : Quinze, dont huit plus grands. Pas de faisceau médian prédo-
minant. Le plus gros faisceau fait un angle de 45^ environ avec le plan de
symétrie de la gemmule. La porlion élargie du cotylédon correspond à la
région de la gaine où les faisceaux sont les plus faibles. Les faisceaux
SUR LES JEUNES PALMIERS. 53
sont entourés par deux croissants. Croissant extérieur : cellules à sec-
lion polygonale, à parois assez épaissies; sa plus grande épaisseur est
produite par une file de trois ou quatre cellules; dans la concavité de ce
croissant, un élément ou deux font parfois saillie vers Finlérieur. Croissant
intérieur : éléments de même dimension ou un peu plus grands que les
précédents et à parois un peu moins épaissies ; trois ou quatre rangées de
cellules dans sa plus grande épaisseur. Liber très développé; nombreux
éléments grillagés. Petits vaisseaux à section polygonale, à parois épaissies,
séparés par des éléments affaissés. Le liber et le bois sont séparés par des
fibres primitives sclérifiées. Fourreau scléreux entouré par une gaine, formée
par des éléments ovales, à parois épaissies, portant des ponctualions. — Les
faisceaux les plus grêles ne diffèrent de ceux que je viens de décrire que par
la prédominance du croissant extérieur sur le croissant intérieur ; les élé-
ments du premier sont deux fois plus grands que ceux du second et ils sont
aussi plus épais.
Cordons scléreux : arrondis; cellules polygonales à parois épaissies.
Épiderme externe : certains éléments se prolongent en poils.
Section transversale pratiquée dans la région élargie.
Fragment d'anneau; une déchirure a ouvert cet anneau dans sa partie
antérieure; les bords de la déchirure sont cicatrisés.
Épiderme externe : la paroi externe des cellules est assez épaissie.
Faisceaux : Sauf un, beaucoup plus petit et moins développé que les
autres, ne présentent guère de différences entre eux ni avec ceux de la
région basilaire; fourreau scléreux formé d'éléments à parois plus épaisses;
à la limite du bois et du liber, fibres primitives sclérifiées, également plus
épaissies. — Le petit faisceau possède un croissant extérieur très développé;
son bois et son liber sont très réduits.
Cordons scléreux : au nombre de trois; section arrondie; éléments sem-
blables à ceux des massifs correspondants de la section précédemment
décrite.
Liège diffus et épiderme externe : mêmes caractères que dans la région
basilaire.
U RECHERCHES
Section transversale du cylindre colylédonaire vers la moitié de sa lon-
gueur.
A Piniérieur de celle section : cavité pyriforme, allongée, située suivant
le plan de symétrie de Porgane et limitée par un épiderme intérieur dont
les cellules ont leur paroi libre épaissie.
Tissu fondamental : cellules à parois minces; grands méats; le diamètre
de ces cellules croit des surfaces de Torgane vers la région médiane du tissu;
nombreuses lacunes, moins grandes que dans les deux autres régions.
Faisceaux : symétriques deux à deux et placés de part et d'autre du
plan de symétrie; au nombre de seize; ne différant entre eux que par leur
volume relatif, et des faisceaux décrits dans les autres régions de la portion
libre du cotylédon, que par une plus grande épaisseur du croissant exté-
rieur ; la sclérification des éléments de ce croissant a également augmenté.
Liège diffus et épiderme extérieur : analogues à ceux rencontrés plus bas.
Sur divers échantillons, ces deux derniers tissus sont remplacés, en
certaines places, par une sorte de tissu de renforcement, formé par de grands
éléments nettement arrondis. La cavité intérieure de ces cellules est presque
nulle dans la région moyenne du tissu, tant Tépaisseur de la paroi est
forte. Les éléments de la zone profonde sont arrondis aussi, mais plus
grands et moins épais. Ceux de la zone extérieure ne sont que légèrement
épaissis.
Section transversale moyenne de la première feuille gemmulaire.
Anneau plus épais dans la partie qui regarde Tobservateur (pi. IH, fig. 2).
Tissu fondamental : cellules ovales à parois minces; grands et nombreux
méals; grains d'amidon.
Faisceaux : Très nombreux ; de cinq ou six ordres. Les faisceaux de pre-
mier ordre, au nombre de neuf, sont entourés par deux croissants scléreux.
Le croissant extérieur prend un développement considérable; chez le faisceau
médian, dans sa plus grande épaisseur, c'est-à-dire suivant le rayon qui par-
tage le faisceau en deux parties symétriques, vingt-cinq rangées d'éléments
assez grands et à parois assez épaissies; une ou plusieurs rangées d'éléments
épaissis sont disposés entre les pointes du croissant, de manière à séparer le
SUR LES JEUNES PALMIERS. 55
bois du liber. Les éléments du croissant intérieur sont environ deux fois plus
grands que ceux du croissant extérieur; le croissant intérieur a un déve-
loppement moindre que le précédent ; dans sa plus grande épaisseur^ chez le
médian, il n^y a que sept ou huit rangées de cellules; les parois cellu-
laires sont moins épaisses que dans le croissant exiérieur. Massifs grillagés
assez restreints; nombreuses cellules grillagées et fibres lisses à parois
minces. Vaisseaux dont le diamètre va en augmentant de Textérieur vers
Tiniérieur de la section; les petits sont arrondis ou ovales; les grands,
polygonaux; parois épaissies; fibres primitives à parois minces. — A mi-
distance, entre deux faisceaux de premier ordre, se rencontre un faisceau
de second ordre ne difTérant des précédents que par son volume moindre.
— Dans les faisceaux de troisième ordre : liber et bois très réduits; chez les
plus gros, croissant exiérieur encore très développé. — Les faisceaux de
quatrième et de cinquième ordres ne sont plus représentés que par leurs
enveloppes scléreuses.
Cordons sdéreux ^ : jetés sans ordre apparent, depuis la région médiane
du tissu fondamental jusque dans le voisinage de l'assise épidermique inté-
Heure; éléments polygonaux aussi, mais légèrement plus grands et à parois
un peu moins épaissies que dans les faisceaux plus extérieurs.
La section transversale pratiquée vers le milieu de la première feuille
gemmulaire, rencontre le limbe, déjà penné, de la seconde feuille. Elle
montre, au milieu de Panneau formé par la première feuille, cinq lames
pliées en deux; la lame médiane est la plus longue.
Absence d'un tissu de charnière.
Faisceaux de second et de troisième ordres : assez proches de la face
intérieure. Dans les faisceaux de premier ordre, le bois est constitué par des
vaisseaux à section polygonale.
' Je crois devoir considérer ces massifs comme représentant des traces vasculaires, car,
dans des cas exceptionnels, on y trouve encore des fibres primitives.
S6 RECHERCHES
Cocos flexuosa K
La troisième feuille gemmulaire a presque étalé son limbe.
Les deux premières feuilles g;emmulaires sont réduites à leur gaine; la
seconde gaine a une longueur double de la première.
Limbe de la première feuille normale : allongé, entier et surmonté par une
pointe ^; nervures parallèles, dont une médiane très forle; une section trans-
versale à mi-longueur de la seconde gaine montre le plissement de la troi-
sième feuille, qui peut éire rapporté au type II de Â. Naumann ^; les
segments, avec leur côte médiane, sont dirigés vers le haut, caractère que
présenterait, d'après Eicher ^, la préfoliation du C. Weddelliana. D'après cet
auteur, ce caractère serait commun aussi à tous les Palmiers de la sous*
famille des Arécacées, à Texception des Caryolidées.
Racine principale : nombreuses radicelles réparties sur sept ou huit ran-
gées verticales; quatre racines latérales grêles.
Section transversale de la racine principale vers la moitié de sa longueur.
Faisceau à vingt-deux pôles : Lames ligneuses comprenant des vaisseaux
circulaires ou ovales; un grand nombre de lames sont confluentes deux à
deux, de manière à former un angle aigu, au sommet duquel on rencontre
un vaisseau à diamètre prédominant; parfois, une troisième lame es! dirigée
suivant la bissectrice de Tangle formé par deux lames confluentes; il arrive
aussi que, dans cet angle, se montrent trois lames ligneuses; les grands
vaisseaux terminaux sont séparés du reste des lames auxquelles ils appar-
tiennent, par des fibres primitives sclérifiées.
Certains massifs libériens présentent une particularité intéressante : ils
< A l'âge des plantes examinées, la région basilaire embrassante du cotylédon était dans
un état de flétrissement tel, quMl m'a été impossible d'examiner sa structure.
2 Un limbe semblable se rencontre aussi, d'après Pfitzer, Ueber Frûchte, Keimung und
Jugendzustànde einiger Palmefiy p. 46, chez les C. australis M., C. Blumenavia Lind.,
C. Gàrtneri H. et Schm., C. insignis M., C. nticifera L., C. plumosa Lodd., C. Roman-
zofiana Cham., C. Yatai H.
3 A. Naumann, Beitràge zur Entwickelungsgeschichte der Palmenblàtter, p. 228, fig. 326.
^ EiCHLER, Zur Entwickelungsgeschichte der Palmenblàtter, p. 18, pi. IV, fig. IS8.
SUR LES JEUNES PALMIERS. 87
sont en partie divisés par la pénétration d'une petite lame ligneuse qui
s'appuie sur le péricambium; les massifs libériens situés dans Pangle formé
par deux lames confluentes, sont en général plus volumineux que ceux que
Ton rencontre entre deux angles * ; dans mes échantillons, les massifs libériens
étaient représentés par un seul ilôt et non par deux, comme dans ceux de
M. 0. Reinhardt^; ce dispositif n'a par conséquent pas la généralité qu'on
a cru devoir lui attribuer.
Péricambium : éléments de grandes dimensions, à section polygonale et
à parois minces, disposés sur une seule rangée.
Endoderme : épaississements en U, sur les faces latérales et profondes des
cellules.
Liège interne : quelques lacunes peu étendues; absence de massifs sclé-
reux.
Tissu fondam. second., siège d'un liège diffus : Deux anneaux. L'anneau
intérieur comprend des cellules à parois minces, à section polygonale. Dans
l'extérieur, les cellules ont une section polygonale aussi, mais des parois
épaissies. Toutes les cellules de ce tissu sont allongées tangentiellement.
Assise subéreuse : éléments excessivement épaissis.
Assise pilif ère : éléments tabulaires.
Section transversale à mi-longueur de la région cylindrique du cotylédon.
Pas de cavité centrale.
Épidémie affaissé.
Tissu fondamenlal: siège d'un liège diffus, dans sa zone externe; à peu
près analogue à celui du dattier; petites lacunes.
Faisceaux : une dizaine, dont la plupart en voie de division. Double four-
reau scléreux; l'externe semblable à celui du dattier, dans la même région;
' De Bary (Vergleichende Anatomie . . ., P- 378) indique le contraire chez le Philodendron
Imbe. Cet auteur cite également, à ce sujet, une figure de la planche I du travail de von
Mohl IDe Paim. struct.)^ représentant la coupe transversale d'une racine de Diplothemium
marUimum.
» Reinhardt, Dos leitende Gewebe einiger anormal gebauten Monocotyknwurzeln. Prings-
heim's Jalirb., p. 3S0 et pi. XI, fig. 2.
Tome LI. 8
58 RECHERCHES SUR LES JEUNES PALMIERS.
dans le fourreau interne^ le croissant intérieur est peu développé. Petits vais-
seaux à section polygonale. Pas de lacune antérieure. Liber très volumineux.
Section transversale de la première feuille gemmulaire, vers la moitié de
sa longueur.
Tissu fondamental : cellules très légèrement sclérifiées; cellules cristalli-
gènes à raphides courtes; en général une cellule cristalligène entre deux
faisceaux; certaines cellules sont tanifères; aucune ne renferme de Tamidon.
Faisceaux de trois ou quatre ordres. Faisceaux de premier ordre : four-
reau scléreux présentant ses caractères habituels; liber montrant une ten-
dance, parfois réalisée, à se séparer en deux ilols; pas de vaisseau à diamètre
prédominant; vaisseaux généralement petits, à section polygonale. — Les
autres faisceaux : masses scléreuses entourant des fibres primitives non
différenciés; parfois même, on ne trouve pas de fibres primitives.
L'anneau formé par une section transversale pratiquée à mi-hauteur de la
seconde feuille, est plus régulier que Panneau qui vient d'être décrit.
Les faisceaux, dans la seconde feuille, peuvent être répartis en trois ordres.
Dans les faisceaux principaux : vaisseau à diamètre prédominant. Les faisceaux
de la seconde feuille, au niveau considéré, présentent des productions libéro-
ligneuses plus développées que sur la section précédente.
Tissu fondamental: cellules à parois minces; cellules cristalligènes à
raphides courtes ; pas de tanin.
La section transversale, à mi-hauteur, de la seconde feuille gemmulaire
rencontre le limbe de la troisième.
Faisceaux de trois ou quatre ordres. Médian très gros. Dans les faisceaux
principaux : vaisseau à diamètre prédominant, liber divisé en deux ilôts.
Tissu fondamental : cellules cristalligènes à raphides courtes.
CHAPITRE III.
Grerminations du type Sabal
Au type Sabat, appartiennent les genres :
Sabal Adans.y
Washingtonia Wendl.,
Pritckardia Seem. et Wendl.
Je rappellerai que Hugo MohI ^ a figuré, pour le Corypha frigida (Brahea
dulcis M.), une germination qui peut élre rapportée au type Sabal, et que le
Klopstockia cerifera {Ceroxylon Klopstockiœ M.), d'après le dessin qu'en
donne Karsten ^, aurait un mode de germination analogue.
Sabal umbraculifera ^.
9
Les germinations présenleint leur seconde feuille pourvue d'un limbe non
étalé; le pétiole n'est pas allongé; le sommet de la seconde feuille sort de la
gaine formée par la première. Gomme degré d'avancement, ces germinations
de S. umbraculifera sont comparables aux jeunes Phœnix dactylifera
décrits.
Sur la partie inférieure de la portion embrassante du cotylédon, se trouve
« V. p. 10.
3 V. p. 12.
' S. umbraculifera^. a pour synonymie : S. Blackburniaiia Kirkl. et Corypha umbraculi-
fera Jacq. (de Kbrghovb de Denterghem, Les Palmiers, p. 255.)
60 RECHERCHES
inséré lecylindre colyiédonaire^ couvert de poils sur ses faces poslérieure et
latérales ; ces poils s^étendenl sur la portion de la gaine située sous le cylindre
entre ce cylindre et Finsertion de la gaine sur Taxe hypocotylé; région
embrassante fortement incurvée (pi. I, fig. 2).
Première feuille gemmulaire réduite à sa gaine.
Seconde feuille gemmulaire: limbe allongé, entier ^ et terminé par une
pointe assez forte; plis longitudinaux; nervures parallèles, au nombre de
quinze environ, dont cinq plus grosses; poils.
Racine principale : radicelles sur quatre rangées.
Section transversale de la racine principale vers la moitié de sa longueur.
Faisceau à neuf pôles : Lames ligneuses comprenant des vaisseaux à sec-
tion polygonale ; les plus intérieurs, séparés, ou non, du reste de la lame, à
parois minces; les autres, à parois épaissies, séparés par des cellules étroites
aplaties entre les faces de deux vaisseaux voisins.
Massifs libériens: petit nombre d'éléments grillagés; les cellules les plus
volumineuses sont au milieu dès massifs.
Fibres primitives : entre ces deux genres de massifs, polygonales, pas scié-
rifiées; celles qui se trouvent intercalées entre le liber et le bois sont allon-
gées radialement; les autres sont ou bien allongées tangenliellement, ou
bien isodiamétriques.
Péricambium : rangée unique d'éléments non épaissis, à section polygo-
nale.
Endoderme: cellules qui ne sont épaissies que sur les faces radiales.
Liège intérieur: cellules arrondies à parois minces (pi. III, ûg. 3); cellules
cristalligènes renfermant, les unes, des raphides courtes, les autres, des cristaux
prismatiques d'oxalate de chaux; certaines cellules contiennent des grains de
fécule.
Tissu fondam. second. : une double couronne formant un liège diffus;
' Pfitzer (Uber Frûchte, Kdmung und Jugendzustànde einiger Palmefiy p. 46) signale
l'existence d'un limbe semblable chez les S. Adansoni Guerns., S. maurituformis Gr.,
S. Palmetto Lodd.
SUR LES JEUNES PALMIEKS. 6J
couronne intérieure : deux ou trois rangées de cellules polygonales à
parois minces; couronne extérieure : six ou sept rangées d'éléments à section
polygonale aussi^ mais à parois épaissies.
Assise subéreuse : éléments à parois épaissies, plus grands que ceux du
tissu fondamental secondaire.
Assise pilifère : cellules tabulaires à parois scléri6ées; Tépaisseur de la
face extérieure est beaucoup plus grande que celle des faces profondes et
radiales.
Une section transversale pratiquée près de la base de la racine principale,
diflTère notablement de la section précédente.
Faisceau : grands vaisseaux a parois épaissies.
Fibres primitives sclérifiées.
Péricambium : cellules à parois épaissies en face des massifs libériens.
Endoderme : éléments à parois plus épaisses.
Assise pilifère : outre des éléments analogues à ceux qui se rencontrent sur
la section précédente, des poils allongés; les poils sont unicellulaires, très
longs, semblables à ceux que Ton aperçoit sur la gaine et le cylindre coty-
lédonaire; ils ont l'extrémité supérieure arrondie ou simplement élargie; les
cellules courtes ont la face extérieure moins épaisse.
Les radicelles sont plus nombreuses dans cette région.
Section transversale pratiquée près de Finsertion du cylindre cotylédo-
naire sur la gaine.
Gaine coalescente avec le cylindre cotylédonaire (pi. III, fig. 4) aplati
suivant le diamètre perpendiculaire au plan de symétrie de Torgane; la
gaine entoure les deux premières feuilles gemmulaires.
Faisceaux : au nombre de sept, dont trois antérieurs très petits, deux
latéraux plus gros et deux postérieurs très rapprochés du plan médian^
accompagnés chacun, parfois, d'une petite branche externe; les premiers
faisceaux sont sensiblement plus rapprochés de la face intérieure que de la
face extérieure de la gaine. Masses scléreuses grêles légèrement aplaties,
enveloppant des fibres primitives; éléments scléreux généralement de forme
polygonale.
6!8 RECHERCHES
Épidermes : élémenls tabulaires^ à parois latérales et profonde minces; à
paroi extérieure assez épaissie; Tépiderme extérieur, vu de face, montre un
recloisonnement de ses éléments; ceux-ci, allongés suivant le sens de la lon-
gueur de Torgane, se divisent d'abord en trois parties par des cloisons trans-
versales; chacune de ces nouvelles cellules se recloisonne, à son tour, verti-
calement (pi. m, fig. 5).
Tissu fondamental : cellules à parois minces, à section arrondie, allongées
tangenliellement; leur diamètre va en augmentant, mais irrégulièrement, des
surfaces de Torgane vers le milieu du tissu; les deux ou trois rangées, les
plus superficielles de ce tissu, sont constituées par des éléments à parois un
peu épaissies, à section polygonale; elles ont un mode de formation analogue
à celui d'un liège diffus; on constate Tapparition, chez certains éléments du
lissu fondamental, d'une série de cloisons tangentielles accompagnées de
quelques cloisons radiales.
Le cylindre cotylédonaire offre quelques différences histologiques avec la
gaine.
Épidermes : des éléments s'allongent en poils, sur les faces postérieure et
latérales.
Faisceaux : productions libéro-ligneuses plus développées; fourreau
scléreux plus épais. Dans les grands faisceaux : vaisseaux polygonaux d'assez
petit diamètre; pas de lacune antérieure; accroissement très considérable du
liber; nombreux éléments grillagés; croissant extérieur à deux rangées d'élé-
ments assez larges, à section polygonale et à parois assez épaissies; le crois-
sant intérieur ne comprend que quelques cellules peu épaissies (pi. 111, fig. 6) ;
— Dans les petits faisceaux : fourreau scléreux plus développé.
Tissu fondamental : certains éléments ont des parois légèrement épaissies;
ce qui vient renforcer le système mécanique de l'organe.
Les sections transversales pratiquées un peu au-dessus du point d'inser-
tion du cylindre cotylédonaire sur la gaine, présentent quelques particularités
intéressantes.
Le cylindre cotylédonaire, détaché de la gaine, possède une section réni-
forme. La section transversale de la gaine est à peu près ovoïde. Les surfaces
SUR LES JEUNES PALMIERS. 63
de séparation^ eo regard, sont recouvertes par une assise épidermique. Les
faisceaux ont subi un léger accroissement en volume.
Vers le milieu de la longueur du cylindre colylédonaire^ la portion d'épi-
derme^ qui recouvre les parois postérieure et latérales de cet organe, et dont
certains éléments étaient allongés en poils, s'est affaissée, et les deux ou trois
assises de cellules sous-jacentes ont épaissi légèrement leurs parois, comme
dans le cylindre cotylédonaire du dattier.
Au-dessous du point d'insertion du cylindre cotylédonaire, et vers le milieu
de la longueur de la gaine, la section transversale est un anneau ovale, épaissi
suivant le plan médian et en avant.
Epidémie extérieur : éléments à parois sclérifiées.
Faisceaux: au nombre de cinq, dont trois antérieurs et deux postérieurs.
Ces derniers sont placés dans la région moyenne du tissu fondamental de la
portion épaisse de Tanneau.
Section transversale de la première feuille gemmulaire, vers la moitié de sa
longueur.
Anneau légèrement aplati perpendiculairement au plan de symétrie.
Epidermes : analogues à ceux du dattier.
Tissu fondamental: cellules ovales à parois minces, allongées tangentiel-
lement; ces éléments vont en augmentant de diamètre, des surfaces de
Porgane vers le milieu du tissu; cellules cristalligènes, à raphides courtes.
Faisceaux: au nombre de vingt et un; répartis en trois ordres, suivant
leur position et leur développement. Les faisceaux de premier ordre, ou gros
faisceaux, au nombre de sept, sont situés à peu près dans la région moyenne
du tissu fondamental; ils sont les plus rapprochés du centre de figure; le
médian est situé dans le plan de symétrie de Porgane; les autres, symétriques
deux à deux, vont en décroissant à droite et à gauche du médian. On trouve
les faisceaux de second ordre entre les précédents et un peu en dehors; entre
deux faisceaux principaux, on rencontre un faisceau de second ordre. Les
faisceaux de troisième ordre n'existent qu'entre les premiers faisceaux prin-
cipaux ; ils ne sont parfois représentés que par des masses scléreuses. — Les
faisceaux principaux sont enveloppés par un fourreau scléreux. Croissant
6i RECHERCHES
extérieur : petits éléments à section polygonale, à parois fort épaissies ; on
compte six ou sept rangées de cellules dans sa plus grande épaisseur.
Croissant intérieur : éléments deux fois plus larges, mais moins épaissis;
trois ou quatre rangées de cellules, dans sa plus grande épaisseur. Les deux
croissants sont à peu près d'égal volume. Bois plus développé que le liber;
de petits vaisseaux à section polygonale, allongés tangenliellement. Un petit
nombre seulement d'éléments grillagés. Fibres primitives sclérifiées, entre
le bois et le massif libérien qui présente une forme semi-circulaire. —
Chez les faisceaux de second ordre et chez ceux de troisième ordre, qui ne
sont pas réduits à Fctat de masses scléreuses, le croissant extérieur est
beaucoup plus volumineux que Tintérieur; à part cette différence, ces
faisceaux ne semblent être qu'une réduction des précédents. Les masses
scléreuses qui représentent certains faisceaux de troisième ordre, se com-
posent d'éléments épaissis, analogues à ceux rencontrés dans les croissants
extérieurs.
Section transversale de la seconde feuille gemmulaire, vers la moitié de
sa longueur.
Éventail à sept branches, dont la médiane est très courte, et à six plis.
Epidermes : ne diffèrent pas entre eux; les cellules épidermiques
sont un peu plus petites, au contact des faisceaux et des cordons hypoder-
miques.
Tissu fondamental : cellules isodiamétriques à parois minces; cellules
cristalligènes à raphides courtes. Au fond des plis, entre les premières et
deuxièmes branches de l'éventail ainsi qu'entre les troisièmes et la médiane :
tissu de charnière à cellules très allongées perpendiculairement aux éléments
épidermiques et directement contigus à ceux-ci.
Faisceaux : au nombre de quinze, répartis en deux ordres définis par
leur position et leur volume relatif. Les faisceaux de premier ordre sont
au nombre de sept; le médian, plus gros, se trouve dans la courte
branche médiane et dans le plan de symétrie de l'organe; ces faisceaux
sont symétriques deux à deux et ne décroissent pas régulièrement à partir
du médian; ils sont séparés les uns des autres et de^ bords latéraux de
SUR LES JEUISES PALMIERS. 65
la feuille, par un faisceau de second ordre. Fourreau scléreux, dans lequel
on ne peut établir de distinction entre la portion antérieure et la portion pos-
térieure, formé de grandes cellules à parois fortement épaissies et à section
polygonale. Massif libérien de forme semi-circulaire ; peu d'éléments grillagés ;
quelques éléments sclérifiés du fourreau appartiennent au liber. Fibres primi-
tives scléritiées, à la limite du liber et du bois. Vaisseaux de petit diamètre,
à section polygonale, séparés par des éléments plats. — Les faisceaux de
second ordre ne sont que la réduction des précédents.
Cordons hypodermiques : éléments semblables à ceux que nous avons
rencontrés dans les fourreaux scléreux; on trouve des cordons hypodermiques
près des extrémités latérales de Torgane; on en observe aussi perpendiculai-
rement aux prolongements des divers plis.
Sabal Adansoni ^
Le limbe de la première feuille normale, allongé, entier et terminé en
pointe, est étalé.
Cylindre colylédonaire plus court et plus grêle que chez le S. umbraculi^
fera; caractères structuraux analogues à ceux qui ont été relevés dans
l'espèce précédente.
Racine principale : radicelles assez fortes, sur trois rangées.
Section transversale de la racine principale vers la moitié de sa longueur.
Faisceau à dix-sept pôles : Lames ligneuses très longues; formant files,
comme dans Pespèce précédente; vaisseau intérieur à diamètre prédominant;
le nombre des vaisseaux, dans chaque lame, est assez restreint; le grand
vaisseau intérieur est ordinairement séparé des autres par plusieurs rangées
d'éléments sclérifiés.
Massifs libériens assez volumineux et parfois allongés suivant le sens du
rayon; les plus grandes cellules libériennes sont généralenàent les plus
intérieures.
^ Le 5. Adansoni Guerns. a pour synonymie : Corypha minor Jacq., Rhapis acaulis Willd.,
Chamaerops glabra W\\l.^ Corypha pumila Walt., Chamaerops Adansoni Mchx., Sabal minor
Pers., S. tninima Nutt. (De Kerghove de Denterghem, Les Palmiers, p. 2S5).
Tome LL 9
66 RECHERCHES
Fibres primitives scIériOées; celles qui se trouvent dans la région centrale
sont plus larges et leurs parois sont moins épaissies.
Péricambium : éléments très souvent recloisonnés; on observe fréquem-
ment un recloisonnement langenliel suivi cPun reeloisonnement radial; sec-
tion tabulaire; parois légèrement épaissies vis-à-vis des massifs grillagés.
Endoderme : cellules à section polygonale ; épaississements en U sur les
faces latérales et profonde.
Liège interne : certaines cellules contiennent des grains de fécule.
Tissu fondam. second., siège d'un liège diffus : double anneau; les cellules
de Panneau extérieur, sclériGé, sont allongées tangentieilement.
Assise piUfère : cellules labulaires à paroi extérieure sclérifiée.
Section transversale de la première feuille gemmulaire, vers la moitié de
sa longueur.
Système mécanique assez développé.
Faisceaux de trois ordres. Les faisceaux de premier et de second ordre ont
un croissant extérieur excessivement épais, à éléments plus petits et plus
épaissis que ceux du croissant intérieur; ce dernier est beaucoup plus mince;
liber très réduit; un vaisseau à diamètre assez considérable. — Dans les
faisceaux de troisième ordre : croissant extérieur très développé; productions
libéro-ligneuses plus restreintes.
Cordons scléreux, entourant parfois des fibres primitives, près de la face
intérieure de la première gaine.
Section transversale de la seconde feuille gemmulaire, vers la moitié de sa
longueur.
Faisceaux de trois ordres. Les faisceaux principaux et de second ordre sont
très allongés transversalement; leur fourreau scléreux rejoint les deux lames
épidermiques; croissants peu différenciés; vaisseau à diamètre prédominant.
— Dans les faisceaux de troisième ordre : croissant intérieur très épais,
appliqué contre Fépiderme intérieur; croissant extérieur beaucoup plus
mince.
Plages scléreuses, aux extrémités des plis de la feuille.
Tissu fondamental : pas différencié en tissu de charnière dans le prolon-
gement des plis.
SUR LES JEUNES PALMIERS. 6:^
Washingtonia filifera *.
La seconde feuille gemmiilaire est visible. Son limbe, encore plissé, fait
saillie hors de la gaine formée par la première. La troisième feuille n'est pas
visible extérieurement.
La région embrassante du cotylédon ne présente pas Fineurvation signalée
chez les 5afra/. Linsertion du cylindre cotylédonaire se fait comme Karsten^
Ta figuré pour son Klopstockia cerifera, c'est-à-dire, perpendiculairement à la
partie embrassante. Cylindre cotylédonaire beaucoup moins long que celui du
Sabal umbraculifera.
Première feuille gemmulaire réduite à sa gaine et marquée de nombreux
plis longitudinaux; environ vingt-six nervures; terminée en avant par une
pointe médiane.
Seconde feuille complète : limbe allongé, entier, terminé par une pointe;
cinq ou six nervures plus grosses que les autres. Une section transversale à
mi-longueur de la région embrassante du cotylédon, rencontre la gaine de cette
seconde feuille gemmulaire et le limbe de la troisième feuille, dont elle montre
le plissement. Ce plissement appartient au type I de Â. IVaumann ^ Une
section transversale pratiquée vers le milieu de la gaine formée par la pre-
mière feuille, laisse apercevoir les sillons qui donnent naissance aux segments
de la troisième feuille (pi. IV, fig. 1 ).
Racine principale portant quelques radicelles.
Section transversale de la racine principale vers la moitié de sa longueur.
Faisceau à dix pôles : Lames ligneuses formant files, sensiblement rayon-
uanles; vaisseaux à section arrondie; vaisseau intérieur a diamètre prédomi-
nant, séparé du reste de la lame par deux ou trois rangées de fibres primi-
* Le genre Washingtonia a été créé par Herm. Wendland (Bot. Zeitg., 1879, n» 68), aux
dépens du genre Pritchardia. Antérieurement, le W. filifera était dénommé Pritchardia
filifera Lind. Il avait pour syn. : Brahea filamentosa Hort. (De Kerghove de Denterghem, Les
Palmiers, p. 254).
s Karsten, Die Vegetationsorgane der Palmen, pi. IV, fig. 6.
3 Naovann, Beitràge zur Entwickelungsgeschichte der Palmenblàtter, p. 238, pi. V, fig. 32a.
68 RECHERCHES
tives sclérifiées; entre les autres vaisseaux, se rencontrent parfois aussi
plusieurs rangées de fibres primitives sclérifiées.
Massifs grillagés assez volumineux, complètement enveloppés de fibres
primitives sclérifiées.
Péricambium : éléments tabulaires; à parois épaissies, lorsqu'ils se
trouvent en face des massifs grillagés.
Endoderme : cellules ovales; épaississements en U sur lès faces latérales et
profonde.
Liège interne : nombreuses lacunes; comme chez les Sabalj pas de massifs
scléreux.
Tissu fondam. second., siège d'un liège diffus. Trois anneaux : rintérieur
est constitué par trois ou quatre rangées de cellules à parois minces; le
moyen, par trois ou quatre rangées d'éléments à parois épaissies; les éléments
de Panneau externe, disposés sur deux ou trois rangées, possèdent des parois
minces.
Assise pilifère : éléments tabulaires affaissés.
Section transversale de la région embrassante du cotylédon, vers la moitié
de sa longueur.
Tissu fondamental: très développé; liège diffus; nombreux méats; près de
la face extérieure de l'organe, les éléments du liège diffus sont légèrement
épaissis; les cellules du tissu fondamental contiguës à cet anneau de liège
diffus sont fripées; cellules tannifères et cellules cristalligènes à raphides
courtes.
Faisceaux : section ovale; au nombre de quatre, dont un médian; fourreau
scléreux; pas de lacune antérieure; liber très volumineux.
Section transversale de la première feuille gemmulaire, vers la moitié de
sa longueur.
Anneau plus épais en avant (pi. IV, fig. i).
Tissu fondamental : éléments généralement affaissés contre les épidermes
et les faisceaux; cellules cristalligènes (raphides courtes); tanin; absence
d'amidon.
Faisceaux de trois ordres. Faisceaux de premier ordre : croissants
SUR LKS JEUNES PALMIERS. U9
présentant leurs caractères histologiques habituels; le croissant extérieur est
plus épais que Fintérieur; quelques faisceaux de premier ordre montrent un
vaisseau circulaire à diamètre prédominant. — Faisceaux de second ordre :
tendance à se diviser; croissant extérieur aussi épais que chez les précédents ;
croissant intérieur réduit à une ou deux rangées d'éléments scléreux. —
Faisceaux de troisième ordre : simples masses scléreuses possédant parfois
dans leur intérieur des fibres primitives.
La section transversale à mi-hauteur de la première feuille gemmulaire
rencontre la seconde feuille. Cette lame présente sur sa face intérieure des
sillons très profonds (pi. IV^ fig. 1).
Faisceaux peu nombreux, répartis en deux ordres; ils ont presque tous
des productions libéro-ligneuses très développées ; faisceau médian, près de la
face extérieure de Porgane; les deux faisceaux principaux placés de part et
d'autre de ce médian sont, au contraire, plus proches de la face intérieure
que de la face extérieure; les autres faisceaux principaux se trouvent dans la
région moyenne du tissu fondamental; le croissant extérieur du médian est
plus épais que Tinlérieur; c'est le contraire qui a lieu dans les deux faisceaux
principaux placés de part et d'autre du médian; dans ces faisceaux, le crois-
sant intérieur atteint une épaisseur très considérable; croissants extérieur et
intérieur à peu près de même épaisseur, chez les autres faisceaux principaux ;
quelques faisceaux principaux montrent un liber mou divisé en deux ilôts;
chez tous, vaisseau à section circulaire et à diamètre prédominant. — Les
faisceaux de second ordre ne sont que la réduction des précédents; parfois,
vaisseau à diamètre prédominant.
Vers le milieu de sa longueur, ce limbe a un système mécanique différent.
Les faisceaux sont moins développés.
Des cordons hypodermiques se caractérisent près des lames épidermiques.
70 RECHERCHES
Pritchardia pacifica *.
Les deux premières feuilles gemmulaires sont réduites à leur gaiue. La
troisième a élalé son limbe allongé^ entier et terminé en pointe ^, mais son
pétiole n'est pas encore sorti de Félui formé par les deux premières. La qua-
trième feuille montre le sommet de son limbe encore plissé.
Cylindre cotyiédonaire 1res courl^ inséré perpendiculairement sur la
-région embrassante (pi. IV^ fig. 2).
Racine principale rapidement flétrie; racines secondaires; radicelles peu
nombreuses.
Section transversale de la racine principale vers la moitié de sa longueur.
Faisceau à onze pôles : Lames ligneuses formant files, terminées intérieure-
ment par un vaisseau à section circulaire et à diamètre très considérable^
séparé des autres par des fibres primitives sclérifiées; six lames ligneuses
se réunissent deux à deux^ formant des angles au sommet desquels on ren-
contre un grand vaisseau.
Massifs libériens enveloppés par des fibres primitives sclérifiées.
Fibres primitives sclérifiées ; celles qui se trouvent dans la région centrale
sont les plus grandes.
Péricambium : éléments tabulaires ; des parois épaissies, en face des
massifs libériens.
Endoderme : cellules ovales à épaississements en U sur les faces latérales
et profonde.
Liège interne : petites lacunes.
Tism fondam. second., siège d'un liège difl^us. Trois anneaux : Tintérieur
est formé par cinq ou six rangées de cellules à parois minces; Textérieur,
* Le P. pacifica Seem. et Wendl. a pour synonymie : Corypha umbraculifera Forster.
(De Kerchovb de Denterghem, Les Palmiers, p. 2S4).
La structure de la portion libre du cotylédon n'a pu être étudiée dans les Pritchardia
examinés.
3 Pfitzer (Ueber Friichte, Keimung wid Jugendzustâiide einiger Palmeii^ p. 47) signale
l'existence d'un limbe semblable chez les: P. aurea Lind., P. Gaudichaudi Wendl.,
P. macrocarpa Lind., P. Martii Wendl., P. pericularum Wendl., P. Vuylstekeana Wendl.
SUR LES JEUNES PALMIERS. 71
par trois ou quatre rangées d'éléments sclérifiés; le moyen, par six ou sept
rangées d'élémenfs à parois minces.
Assise pilifère : certains éléments sont allongés.
Section transversale de la première feuille gemmulaire, vers la moitié de
sa longueur.
Anneau régulier.
Tissu fondamental : cellules légèrement épaissies ; cellules cristalligènes
à raphides courtes.
Faisceaux de trois ou quatre ordres. Faisceaux de premier ordre : les
plus rapprochés du centre de figure de Torgane sont tous égalements distants
de Fépiderme intérieur ; croissant extérieur de même épaisseur que je crois-
sant intérieur; pas de vaisseau à diamètre prédominant; liber mou non
divisé en deux ilôts. — Faisceaux de second ordre : masses scléreuscs enve-
loppant quelques fibres primitives. — Faisceaux de troisième «t de quatrième
ordre : simples masses scléreuses.
Pas de cordons hypodermiques.
Dans la cavité de cette gaine, on rencontre la seconde feuille gemmulaire
qui, au niveau considéré, présente la forme d'un anneau régulier.
Faisceaux de quatre ordres. Faisceaux principaux : les deux croissants
sont de même épaisseur; un vaisseau h diamètre prédominant. — Fais-
ceaux de second ordre : croissant extérieur plus épais que Pintérieur; pas
de vaisseau à diamètre prédominant. — Faisceaux de troisième et de qua-
trième ordre : masses scléreuses enveloppant, ou non, des fibres primitives.
Tissu fondamental : cellules cristalligènes à raphides courtes.
La section transversale à mi-hauteur de la première feuille gemmulaire
rencontre, de plus, la gaine de la troisième feuille et le limbe de la qua-
trième. Ces organes, recouverts de longs poils, possèdent aussi des cellules
cristalligènes à raphides courtes. Le plissement offert par la quatrième
feuille peut être rapporté au type I de A. Naumann ^
Section transversale de la seconde feuille gemmulaire, vers la moitié de
sa longueur.
* Naumann, Beitràgezur Entwkkdungsgeschichte der PalmenbUUter, p. 238, pi. V.,fig.32a.
72 RECHERCHES
Tissu fondamental : éléments tannifères ; pas d^amidon ; cellules eristalli-
gènes à raphides courtes.
Faisceaux de quatre ordres. Le médian est accolé contre Pépiderme exté-
rieur. Faisceaux principaux : croissant extérieur plus large^ mais moins épais*
que rintérieur ; vaisseau à diamètre légèrement prédominant. — Faisceaux de
second ordre : croissant extérieur plus épais que Tintérieur^ qui est souvent
même réduit à une rangée unique d'éléments scléreux. — Faisceaux de troi-
sième et de quatrième ordre : masses scléreuses avec traces vasculaires.
Pas de cordons scléreux.
La section considérée rencontre la base du limbe de la troisième feuille
gemmulaire et le milieu du limbe de la quatrième.
Limbe de la troisième feuille : cordons scléreux; croissant intérieur des
faisceaux principaux beaucoup plus épais que lextérieur.
Limbe de la quatrième feuille : croissant extérieur des faisceaux princi-
paux plus épais que Pintérieur.
Dans ces deux limbes^ pas de tissu de charnière.
Pritchardia macrocarpa.
Région cylindrique colylédonaire excessivement réduite. Écbanlillons
déjà assez avancés ' : la quatrième feuille gemmulaire avait étalé son limbe.
Les deux premières feuilles gemmulaires sont réduites à leur gaine^ la troi-
sième, formant une sorte de spalhe assez épaisse^ est couverte extérieurement
de poils protégeant la gemmule (pi. IV, Gg. 3).
Limbe de la première feuille normale : allongé, entier^ terminé en pointe.
Pétiole : très allongé, section triangulaire à angles mousses et à face anté-
rieure profondément déprimée; se prolonge inférieurement en gatûe.
Racine principale et nombreuses racines latérales, assez fortes, couvertes
de radicelles.
^ Ce qui ne m'a pas permis d'examiner la structure de la portion libre du cotylédon.
SUR LES JEUNES PALMIERS. 73
Section transversale de la racine principale vers la moitié de sa lon-
gueur.
Faisceau à vingt et un pôles. Presque toutes les lames ligneuses sont rayon-
nantes; elles sont toutes terminées intérieurement par un vaisseau à diamètre
prédominant^ séparé du reste de la lame par une rangée d'éléments plats ou
sclérifiés.
IMassifs libériens ovales, allongés, enveloppés par des fibres primitives
scléri fiées.
Péricambium : en face des massifs libériens, éléments sclérifiés ; les autres
cellules conservent des parois minces.
Endoderme : cellules présentant des épaississemenls en U.
Liège interne : pas de massifs scléreux.
7*^^21 fondant, second.^ siège d'un liège diffus. Comme dans Pespèce pré»
cédente^ trois anneaux. Nombreuses cellules cristalligènes à raphides
courtes.
Assise pilifère complètement affaissée.
Section transversale de la première feuille gemmulaire, vers la moitié
de sa longueur.
Anneau régulier.
Le tissu fondamental présente une particularité intéressante. Les cellules
contiguës au croissant extérieur des faisceaux ont, sur une section transver-
sale, une forme à peu près rectangulaire. Sur une telle section, elles sont
allongées perpendiculairement à la surface de ce croissant. Souvent, de petites
cellules ovales séparent ces grands éléments du croissant.
Faisceaux de quatre ordres. Faisceaux principaux : croissant intérieur
un peu plus épais que rexiérieur; vaisseau à diamètre légèrement prédomi-
nant. — Croissant extérieur plus épais que le croissant intérieur, dans les
faisceaux de second ordre. — Faisceaux de troisième et de quatrième
ordre : masses scléreuses enveloppant des fibres primitives non diffé-
renciées.
Cordons scléreux, le long du bord intérieur de Porgane.
ToMB LL 10
74 RECHERCHES SUR LES JEUNES PALMIERS.
Section tranversale de la seconde feuille gemmulaire, vers la moitié de
sa longueur.
Le tissu fondamental ne possède pas ici la particularité relevée dans la
feuille précédente.
Faisceaux de quatre ordres. Faisceaux principaux : généralement un
vaisseau à diamètre prédominant; séparation du liber mou en deux ilôts.
— Les faisceaux de second ordre ne sont que la réduction des précédents.
— Les faisceaux de troisième et de quatrième ordre sont à peu près ana-
logues à ceux de même ordre de la feuille précédente.
Cordons sclereux, près de la lame épidermique intérieure.
Cette section rencontre la gaine de la troisième feuille gemmulaire, très
riche en gros faisceaux à productions libéro- ligneuses très développées^ ainsi
que le limbe de la quatrième et de la cinquième feuille gemmulaire.
CHAPITRE IV.
Grerminations du type Dictyosperma,
Les onze genres suivants présentent le même mode de germination que le
type Dictyosperma aureum :
Kentia Bl.,
Àrchonlophœnix Wcndl. et Dr.,
Rhopalostylis Wendl. et Dr.,
Dictyosperma, WendU et Dr.,
Euterpe M.,
Howea Beec.,
Nephrosperma Balf.,
Hyophorbe Gaertn. ,
Geonoma Willd.,
Calyplronoma Grsb. et Wendl.,
DesmoncfAS M.
Le genre qui m'a fourni le troisième type sera examiné en premier lieu.
Les autres seront traités d'après Tordre adopté par Bentham et Hooker '.
Dictyosperma aureum *.
La troisième feuille gemmulaire a déjà étalé son limbe.
Portion libre du cotylédon réduite à sa gaine. Graine directement accolée à
la partie inférieure de cette gaine. La hauteur de la gaine cotylédonaire
est alors égale à la moitié de la hauteur de la première feuille gemmulaire.
^ Bentham et Hooker, Gênera plantarum.
^ Le D. aureum Wendl. et Dr. a pour synonyme : Areca aurea Hort. (De Kerchove de
Denterghem, Les Palmiers^ p. 243).
76 RECHERCHES
La première et la seconde feuille gemmulaire^ réduites à leur gaine e(
terminées par une pointe médiane^ sont diamétralement opposées.
Troisième feuille : Limbe étroit^ divisé en deux parties par une profonde
échancrure qui atteint presque le pétiole ' ; ces deux divisions sont subulées
et parcourues par des nervures parallèles qui se dirigent vers leurs extrémités
aiguës. Pétiole assez allongé^ à section réniforme. Gaine peu élevée^ plissée
longitudinalement.
La quatrième feuille n^est pas visible extérieurement. Une section trans-
versale d'ensemble pratiquée à mi-hauteur de la première feuille gemmu-
laire, rencontre son limbe, plissé suivant le type 1 de A. Naumann ^.
Racine principale: quelques radicelles disposées sur deux ou trois rangées.
Section transversale de la racine principale vers la moitié de sa longueur.
Faisceau à treize pôles : Lames ligneuses formant files ; vaisseaux à section
irrégulièrement ovale; la plupart de ces lames se rejoignent deux a deux,
formant un angle aigu au sommet duquel on trouve un vaisseau à dia-
mètre prédominant.
Massifs libériens assez restreints, parfois étirés radialement, à éléments
grillagés peu nombreux.
Fibres primitives à section polygonale, à parois épaissies; allongées suivant
le sens du rayon entre les massifs libériens et ligneux; à peu près isodinmé-
triques dans la région centrale, où leurs parois sont excessivement épaissies;
il arrive que des fibres primitives épaissies séparent les massifs libériens du
péricambium.
Péricambium : éléments quelquefois recloisonnés langentiellement ; à parois
épaissies, en face des massifs libériens; vis-à-vis des lames ligneuses, au con-
traire, leurs parois restent minces.
Endoderme : cellules tabulaires à parois latérales et profonde montrant de
forts épaississemenis en U.
Liège interne : peu développé; quelques lacunes.
* Pfitzer (IJeber Fruchte, Keimung und Jugendzustànde einiger Palmeii, p. 48) avait
signalé l'existence d'un limbe bifide chez: D. album Wendl. et Dr. elD. rufrmmWendl.et Dr.
s Naumann, Beitràge zur Enlwickelungsgeschichte der Palmenblàtter, p. 238, fig. 32a.
SUR LES JEUNES PALMIERS. 77
Tissu fandam. second. ^ siège d'un liège diffus : possède une grande lar-
geur; deux anneaux; rintérieur esl formé de cellules à section polygonale^ à
parois minces; les élémenls de Panneau extérieur ont des parois épaissies; les
rangées les plus superficielles du tissu fondamental secondaire sclérifié con-
tiennent du tanin en grande quantité ; nombreuses selérites à section poly*
gonale ou irrégulièrement ovale, à parois très épaissies et beaucoup plus
réfringentes que les éléments sclérifiés de Panneau extérieur (on rencontre
aussi quelques selérites dans le liège interne).
Assise subéreuse : tanin.
Assise pilifère : grands élémenls tabulaires affaissés.
Section transversale de ta gaine cotylédonaire vers la moitié de sa longueur.
Anneau épaissi dans la région qui fait face a l'observateur.
Épidémie extérieur : les cellules ne sont pas allongées en poils.
Tissu fondamental : les élémenls de la zone externe présentent de nom-
breux recloisonnements tangenliels et radiaux; il s'y est établi un liège
diffus; plus intérieurement, grands éléments non recloisonnés, laissant
entre eux de larges méats; c'est dans celle région que sont localisés les fais-
ceaux; les élémenls du tissu fondamental ont leurs parois légèrement scléri-
fiées; entre la zone des faisceaux et Pépidermc interne, se trouve une couche
de cellules affaissées; cellules tannifères et cristalligènes (raphides courtes),
dans toutes les régions du tissu fondamental ; pas d'amidon.
Faisceaux: au nombre de quatre; pas de lacune antérieure; croissant
extérieur plus épais que Pintérieur.
Les sections moyennes des deux premières feuilles gemmulaires, réduites
à leur gaine, diffèrent notablement entre elles.
Dans la première, les faisceaux^ peu nombreux, peuvent être répartis en
deux ordres ^ Le système mécanique de cette feuille est augmenté par
une légère sclérification des parois cellulaires du tis§u fondamental. Le
i Vers le milieu de la gaine cotylédonaire, les faisceaux de la première feuille gemmu-
laire deviennent très nombreux. Il y en a de trois ou quatre ordres. Les faisceaux de
premier et de second ordre, quoique plus volumineux, présentent les mêmes caractères
que sur la section moyenne. Les faisceaux de troisième et de quatrième ordre ne sont que
des masses scléreuses.
78 RECHERCHES
croissant extérieur des faisceaux est fort développé. Le croissant intérieur, au
contraire, n'est constitué que par une ou deux rangées de cellules à diamètre
légèrement plus grand que dans le croissant extérieur. Le bois et le liber sont
assez réduits. Le bois ne possède pas de vaisseau à diamètre prédominant. Il
arrive que les faisceaux de second ordre soient représentés simplement par
leur enveloppe scléreuse. ^
Tissu fondamental: éléments affaissés^ dans la zone profonde, formant une
traînée continue dans le voisinage de Fépiderme intérieur; les éléments des
deux ou trois rangées contiguës à cette Jame épidermique sont aussi légère-
ment sclérifiées;' les cellules les plus extérieures sont tanmfères; pasd'amidon;
près de la face extérieure, cellules cristal ligènes à raphides courtes.
Les faisceaux de la seconde gaine sont de trois ou quatre ordres. Faisceaux
de premier ordre : croissant intérieur très développé ; croissant extérieur
moins épais que dans la première feuille; bois et liber assez volumineux;
pas de vaisseau à diamètre prédominant. — Les faisceaux de second ordre
ne sont dVdinaire que la réduction des précédents. — Ceux de troisième
ùi de quatrième ordre : masses scléreuses.
^ Tissu fondamental: cellules à parois minces; pas de tanin; parfois de
Pamidon. *
La section transversale moyenne de la première feuille offre la forme d^un
anneau régulier; celle de la seconde est un anneau légèrement épaissi suivant
le plan médian et en arrière.
Ces deux sections rencontrent la gaine de la troisième feuille gemmulaire
et le limbe, déjà divisé, de la quatrième.
Les faisceaux de la troisième gaine montrent, à mi-hauteur de la seconde
feuille, deux ou trois vaisseaux à diamètre considérable.
Kentia exorhiza *.
Germinations immédiatement reconnaissables.
Âxe hypocotylé renflé, globuleux (pi. IV, fig. 4).
Région basilaire embrassante du cotylédon très courte, lignifiée.
1 Là portion libre du cotylédoa était en partie flétrie, chez les exemplaires que j'avais à
ma disposition ; aussi, n'ai-je pu être fixé sur sa structure.
SUR LES JEUNES PALMIERS. 79
Les trois premières feuilles gemmularres sont réduites à leur gaine. .
De Taxe hypocotylé, parlent trois grosses racines^ dont deux^ plus fortes^
portant de courtes radicelles.
La quatrième feuille est plissée, légèrement saillante hors de Tétui formé
par les trois premières. Celles-ci sont terminées par une pointe médiane.
Une section transversale à mi- hauteur de la seconde feuille gemmulaire
rencontre le limbe de la quatrième feuille. Il montre un mode de préfoliation
qui peut être rapporté au type il de Â. Naumann K
Section transversale de la racine principale vers la moitié de sa longueur.
Faisceau à vingt-deux pôles: Lames ligneuses formant files; la plupart
se rejoignent deux à deux ; vaisseau de grand diamètre, à l'extrémité inté-
rieure des lames rayonnantes et au point dMntersection des lames confluentes;
ces gros vaisseaux sont séparés des lames par des éléments aplatis ou par une
ou deux rangées dé fibres sclérifiées; suivant la bissectrice de deux lames
ligneuses confluentes, on observe quelquefois une petite lame appuyée contre
le péricambium.
Entre les lames ligneuses rayonnantes, les massifs grillagés sont étirés
radialement; leur longueur peut égaler celle des lames ligneuses voisines.
Les libres primitives de la région centrale ont une section arrondie et des
parois minces, comme chez le Lalania Loddigesii; les autres ont une section
polygonale et des parois un peu épaissies.
Péricambium : éléments assez grands, tabulaires, à parois minces, parfois
recloisonnés tangentiellement.
Endoderme : cellules ovales; épaississements en U sur les faces radiales
et profonde.
Liège interne : cellules gorgées de fécule.
Tissu fondam. second. y siège d'un liège diffus : deux anneaux ; les cellules
de Panneau intérieur ont des parois minces; celles de Tanneau extérieur, des
parois épaissies; sclérites irrégulièrement ovales; le tissu fondamental secon-
daire est assez restreint, relativement au grand diamètre de la racine; tanin,
dans les couches superficielles.
4 Naumann, Beitràge zur Entwickelungsgeschichte der PcUmenblàtter, p. S38, pi. V, fig. 32&.
80 RECHERCHES
Assise subéreuse: une rangée de cellules sclérifîées; tanin en grande
quanlilé.
Assise pilifère : grands éléments tabulaires.
La structure des trois premières feuilles est assez uniforme. Leur système
mécanique offre un développement considérable.
Dans chaque gaine, les faisceaux sont répartis sur deux circonférences.
La circonférence extérieure comprend des faisceaux de trois ou quatre ordres,
parmi lesquels on trouve les faisceaux principaux de la gaine occupant sa
région moyenne. La circonférence intérieure, située assez près de Fépiderme
intérieur, est formée par des faisceaux de deux ordres. Faisceaux princi-
paux : très allongés radialement; fourreau scléreux et productions libéro-
ligneuses fort développées; croissant extérieur généralement plus large que le
croissant inférieur; les éléments de ce dernier sont au moins trois fois aussi
grands que ceux qui se trouvent dans le premier ; sclérifîcation des cellules
du fourreau assez prononcée ; ordinairement, un vaisseau à diamètre prédo-
minant. — Faisceaux de second et de troisième ordre : volume moindre et
réduction du croissant intérieur. — Les faisceaux de quatrième ordre ne
sont représentés que par leur enveloppe scléreuse. — Les faisceaux de la
circonférence intérieure sont réduits à Pétat de masses scléreuses, possédant
parfois des fibres primitives dans leur région centrale.
Tissu fondamental des gaines : cellules cristalligènes, à raphides courtes^
situées à proximité des assises épidermiques.
Archonlophœnix Alexandrœ ^.
Leur troisième feuille gemmulaire est sortie. Limbe bifide dans sa partie
supérieure qui est seule libre. Cette feuille ne possède, à cet état de dévelop-
pement^ que son limbe et sa gaine. Les divisions du limbe sont lancéolées. Les
nervures se rendent aux extrémités aiguës de ces divisions. Trois de ces
hervures, plus fortes que les autres, font saillie sur la face inférieure de chaque
division. Une section transversale vers le milieu de la longueur de la première
* VA. Alexandrœ Wendl. et Dr. a pour synonymie : Ptychosperma Alexandrœ F. Mûll.
(De Kerchove de Dentbrghem, Les Palmiers, p. 230.)
SUR LES JEUNES PALMIERS 81
feuille gemtnulaire, laisse apercevoir la préfolialion de la troisième feaille^
qui peut être rapportée au type II de A. Naumann ^
Les deux premières feuilles gemmulaires sont réduites à leur gaine.
Axe hypocolylé non renflé^ mais plutôt élancé.
Portion libre du cotylédon lignifiée.
Racine principale possédant des radicelles disposées sur trois rangées;
trois racines latérales.
Section transversale de la racine principale vers la moitié de sa longueur.
Faisceau à onze pôles : Lames ligneuses formant Oies; vaisseaux ovales ou
circulaires, relativement grands; vaisseau intérieur à diamètre prédominant.
Massifs grillagés grêles.
Péricambium : éléments tabulaires, disposés sur une ou deux rangées;
vis-à-vis du bois, ces éléments ont des parois épaissies; en face du liber, des
parois minces.
Endoderme : épaississements en U sur les faces profonde et radiales des
cellules.
Liège interne: cellules ovales à parois minces; méats parfois assez grands;
lacunes assez considérables allongées radialement.
Tissu fondam. second.: peu développé; deux anneaux; Tintérieur est
constitué par des éléments à parois minces; dans Panneau extérieur, les
cellules ont des parois épaissies ; ce dernier anneau est le siège d'un liège
diffus; tout le tissu est parsemé d'éléments scléreux habituellement isolés, à
diamètre aussi grand que celui des cellules ambiantes, et dont le cadre d'épais-
sissement est d'ordinaire de forme irrégulière.
Vassise subéreuse, comme aussi les rangées les plus superficielles du liège
diffus sclérifié, contient du tanin.
Assise pilifère : éléments tabulaires.
L'état de flétrissement dans lequel se trouvait la portion libre du cotylédon,
oe m'a point permis d'examiner cet organe d'une manière convenable.
La structure des deux premières feuilles gemmulaires diffère peu.
* Nauhann, BeUràge zur Entwickelnngsgeschichte der PalmenblàUerf p. 238, pi. V, fig. 32fr.
TouE LI. H
82 RECHERCHES
Tissu fondamental de la première gaine : cellules à section elliplique,
à parois très légèrement sclérifiées, allongées langentiellement^ dans le voisi-
nage de la face intérieure de Porgane; certaines cellules sont lannifères^
d^autres^ à section nettement ovale ou circulaire, sont cristalligènes (rapbides
courtes) ; ces dernières sont situées ordinairement dans toutes les régions du
tissu fondamental.
Dans celte gaine, faisceaux de trois ordres. Faisceaux principaux et fais-
ceaux de second ordre : croissant extérieur assez développé; le croissant
intérieur, chez les derniers, est réduit à une ou deux rangées de cellules;
pas de vaisseau à diamètre prédominant. Les faisceaux de troisième ordre
sont généralement de simples masses scléreuses.
Dans la seconde feuille : Faisceaux beaucoup plus nombreux; répartis
aussi en trois ordres; leur état de développement est plus avancé que dans
la première feuille. Chez les faisceaux de premier et de second ordre :
vaisseau à diamètre prédominant. — Faisceaux de troisième ordre : masses
scléreuses.
Tissu fondamental : cellules ovales à parois minces; la plupart sont
gorgées d'amidon (les grains ont une forme circulaire ou semi-circulaire);
cellules cristalligènes à rapbides courtes; pas de tanin.
La section transversale à mi-hauteur de la première gaine rencontre la
gaine de la troisième feuille et le limbe de la quatrième.
Archontophœnix Cunninghamiana K
Germinations analogues à celles A' A. Alexandrœ.
Première feuille gemmulaire normale : limbe complètement étalé; pétiole
allongé.
Le limbe, encore plissé, de la quatrième feuille gemmulaire est sorti de
Télui formé par les deux premières feuilles réduites à leur gaine.
* VA. Cunnighamianayfend\. et Dr. a pour synonyme: Ptychosperma Cunninghamiana
Wendl. et Seaforthia eleguns Hook. et Hort. (De Kerchove de Denterghem, Les Palmiers^
p. 231.)
SUR LES JEUNES PALMIERS. 83
Le limbe de la première feuille normale est profondément émarginé par une
forte éc*hancrure qui le divise en deux parties lancéolées, à la surface supé-
rieure desquelles s'aperçoivent quaire grosses nervures, dont une médiane;
les deux divisions du limbe sont réunies par un isthme assez large, parcouru
en son milieu par une forte nervure qui prolonge le pétiole. Celui-ci est
terminé inférieurement par une gaine, qui s'aperçoit sur une section trans-
versale à mi-longueur de la seconde feuille gemmulaire. Cette section montre
aussi le limbe, encore plissé, de la quatrième. JMéme préfoliation que chez
Fespèce précédente.
Radicelles plus nombreuses que chez VA. Alexandrœ.
La structure de la racine principale est fort semblable chez les deux
espèces d'Archontophœnix que j'ai examinées.
Faisceau à douze pôles : vaisseaux, en général, à diamètre moindre que
chez VA. Alexandrœ; vaisseau intérieur toujours séparé du reste de la lame
par des éléments sclérifiés.
Liège interne : lacunes moins nombreuses et moins étendues.
Liège diffus : plus large; sclérites moins nombreuses, de même diamètre
que les éléments ambiants.
Assise pilifère : éléments tabulaires.
On rencontre aussi des cellules cristalligènes, de forme spéciale, contenant
des raphides courtes, dans le tissu fondamental de la première feuille gemmu-
laire. Ces cellules cristalligènes se trouvent dans toutes les régions du tissu.
«
La structure de la seconde feuille gemmulaire est aussi fort analogue à
celle que j'ai relevée, dans le même organe, chez VA. Alexandrœ.
Dans la partie épaisse de la gaine de la troisième feuille gemmulaire,
se remarquent trois arcs de faisceaux qui vont se rejoindre dans la partie
étroite de la gaine. Les faisceaux principaux de Tare extérieur montrent dans
leur bois un vaisseau à diamètre prédominant. La même particularité s'ob-
serve dans (es faisceaux de Tare moyen. Le liber mou est divisé en deux
ilôts séparés par des éléments épaissis, chez les deux faisceaux de l'arc
moyen les plus rapprochés du plan de symétrie. Sauf le faisceau situé
dans le plan médian, tous les faisceaux de l'arc intérieur sont réduits à l'état
84 RECHERCHES
de masses scléreuses entourant des fibres prîmilîves. Le faisceau médian de
cet are intérieur a une forme ovale, des productions libéro-ligneuses assez
développées. Ce faisceau tourne son bois vers Texlérieur.
Rhopalostylis Baueri •.
La troisième feuille gemmulaire avait étalé son limbe. Son pétiole est
allongé. La quatrième n'était pas visible.
Le plissement, le mode de nervation, les découpures du limbe sont h peu
près les mêmes que chez les Archonlophœnix. A la surface interne des divi-
sions du limbe, trois grosses nervures font saillie.
Racine principale rapidement détruite; racines latérales assez nombreuses
(cinq ou six, à Page des jeunes plantes décrites); radicelles peu nombreuses,
disposées sur trois ou quatre rangées.
La structure de la racine principale ne diffère pas beaucoup de celle qui
a été relevée dans le genre précédent.
Faisceau à neuf pôles : Lames ligneuses plus courtes que chez le iï. sapida ;
forment files; terminées intérieurement par un vaisseau à diamètre prédomi-
nant, presque toujours séparé du reste du bois par des fibres primitives
scléri fiées.
Massifs grillagés, complètement entourés de fibres épaissies, aussi larges
que longs.
Péricambium : éléments sclérifiés; Tépaisseur de leurs parois est plus
grande en face des massifs grillagés.
Endoderme : cellules à épaississemenls en U très prononcés.
Liège interne: petites lacunes; parsemé, dans ses régions superficielle et
* Le R. Baueri Wendl. et Dr. a pour synonymie : Kentia sapida H., Areca sapida Sol.,
A. Banksii Cunningh., A. Baueri Hook., Seaforthia robusta Hort. (De Kerchove de Denter-
GHEM, Les Palmiers, p. 355.)
Les germinations de A. Baueri et de A. sapida, mises à ma disposition, étaient déjà très
avancées. Il ne m*était plus possible de fixer le nombre de feuilles gemmulaires réduites à
leur gaine. Mes échantillons n'en montraient qu'une. Jusqu'à preuve du contraire, je
considère les Rhopalostylis étudiés comme des Palmiers chez lesquels la première feuille
gemmulaire seule est réduite à sa gatne.
SUR LES JEUNES PALMIERS. 85
profonde^ de sclérites à section polygonale ou ovale ; le cadre d^épaississement
de ces cellules est souvent irrégulier; sclérites en beaucoup plus grande
quanlilé que chez les ArchontophœniXy à diamètre plus petit que les éléments
ambiants, isolées ou groupées par deux et par trois.
Tissu fondam. second., siège d'un liège diffus : double couronne ; cou-
ronne extérieure formée d'éléments sclérifîés; couronne intérieure formée de
cellules à parois minces; celle dernière couronne est parsemée de sclérites,
comme aussi le liège interne; on n'observe pas la présence de ces éléments
dans la couronne sclérifiée.
Assise subéreuse : une ou deux rangées de cellules à parois minces;
tannifère.
Assise pilifère : éléments tabulaires.
Section transversale de la feuille gemmulaire réduite à sa gaine, vers la
moitié de sa longueur.
Anneau fort épais suivant le plan médian et en avant, ouvert en arrière.
Tissu fondamental : cellules gorgées de grains d'amidon à section circu-
laire ou semi -circula ire; grands méats, entre les cellules ovales du tissu
fondamental; cellules cristaliigènes à raphides courtes, près de la lame
épidermique extérieure.
Deux arcs de faisceaux se montrent dans la partie large de la gaine. Ces
deux arcs se réunissent dans sa partie étroite, où ils sont représentés par une
rangée de masses scléreuses enveloppant des fibres primitives. L'arc extérieur
est constitué par des faisceaux de deux ordres. Les faisceaux de premier ordre,
parmi lesquels se trouve le médian, sont très développés. Ils sont entourés
par un fourreau scléreux fort large. Les éléments du croissant intérieur sont
quatre fois aussi grands que ceux du croissant extérieur. — Les faisceaux de
second ordre sont réduits à l'état de masses scléreuses enveloppant, ou non^
des fibres primitives. — Les faisceaux de l'arc intérieur peuvent être aussi
répartis en deux ordres. Cet arc ne comprend que deux faisceaux de premier
ordre et deux faisceaux de second ordre. On trouve, de part et d'autre du
plan médian, un faisceau de premier ordre séparé de ce plan par un faisceau
de second ordre. Les faisceaux de second ordre sont grêles. Ceux de premier
ordre sont plus développés que les grands faisceaux de l'arc extérieur, mais
86 RECHERCHES
un peu moins, cependant, que le faisceau médian. Les faisceaux de premier
ordre, dans les deux arcs, possèdent ordinairement un vaisseau à diamètre
prédominant.
La section transversale à mi-hauteur de la feuille gemmulaire réduite à
sa gaine, rencontre la gaine de la première feuille normale et le limbe de la
seconde.
Rhopaloslytis sapida ^
Exemplaires à peu près au même degré d'avancement que ceux qui m'ont
servi pour Tespècc précédente.
Se distingue aisément du R. Baueri par la forme du limbe de la pre-
mière feuille normale ; ce limbe est ici beaucoup plus étroit; ses deux divi-
sions , formées par émargination suivant le plan médian , sont presque
subulées, comme chez le Diclyosperma aureum.
Racine principale, déjà en partie flétrie, accompagnée de trois racines
latérales très développées; nombreuses radicelles sur trois ou quatre rangées.
Section transversale de la racine principale vers la moitié de sa longueur.
Faisceau à dix pôles : Lames ligneuses très longues, formant files,
terminées intérieurement par un vaisseau à diamètre prédominant, séparé
du reste do la lame par des fibres épaissies.
Massifs libériens très allongés.
Péricambium : éléments plus grands que chez le R. Baueri; section
tabulaire; en face des massifs grillagés, parois épaissies.
Épiderme : épaississements en U très prononcés.
Liège interne : sclérites isolées ou groupées par deux, à diamètre plus
petit que les éléments environnants.
Tissu fondam. second. : sclérites, dans la région où les éléments ont con-
servé leurs parois minces.
Système mécanique plus développé que chez le R. Baueri.
La feuille gemmulaire réduite à sa gaine offre des caractères structuraux
* Le R. sapida Wendl. et Dr. a pour synonymie : Kentia sapida Hort. et Areca sapida
Hook. (De Kbrghovb de Denterghem, Les PcUmiers^ p. 358.)
\
\
SUR LES JEUNES PALMIERS. 87
analogues à ceux qui ont élé rencontrés^ dans le même organe, chez le
R. Baueri.
La section transversale, à mi-hauteur de cette gaine, montre la gaine de
la première feuille gemmulaire normale et le pétiole de la seconde. Ce pétiole
est fort velu.
Euterpe edulis *.
Martius a décrit et figuré divers stades de la germination de VE. ensifor-
mis M. et de VE. oleracea M. 2. Ce dernier Palmier présenterait une parti-
cularité intéressante. Avec les progrès de la végétation et dès Tapparilion
des feuilles gemmulaires normales, la partie à Torigine très étroite du cotylédon,
qui unit le suçoir à la gemmule, s'allongerait légèrement. Il serait intéressant
de vérifier ce fait qui, sMI était prouvé, serait de nature à faire considérer
VE. olef^acea comme constituant une forme intermédiaire, au point de vue
du mode de germination, entre le type Sabal et le typé Dictyosperma.
Chez VE. edulis, comme dans les germinations d'E.ensiformis et d'^. ole^
racea figurées par Marlius, les deux premières feuilles gemmulaires sont
réduites à leur gaine.
Le limbe, encore plissé, de la troisième feuille gemmulaire fait saillie
hors de la seconde gaine. Ce limbe est déjà penné. Ses divisions, générale-
ment au nombre de huit, sont lancéolées et parcourues par des nervures qui
se dirigent vers leurs extrémités aiguës. Pfilzer^ range cependant VE. edulis
parmi les Palmiers dont la première feuille normale possède un limbe
bifide. — VE. edulis ne présenterait-il pas un cas analogue à celui de
VHowea Belmoreana, où Ton remarque que le premier limbe, bifide dans
certains échantillons, est penné dans d'autres cas par suite d'échancrures qui
se produisent dans les deux lobes du limbe? — Martius^ a figuré pour
' UE. edulis M. a pour synonymie : E. Globosa Gaertn?, E. pisifera ^ Gaertn., Mmiaca
Maraitonorum vel Palmeto Humb. (De Kerchove de Denterghem, I^es Palmiers, p. 244).
Les exemplaires que je possédais de ce palmier ne permettaient pas l'étude de la
gaine cotylédonaire.
8 Martius, HisL ml. palm., c. III, tab. 30, fig. XXV, 1-6 et fig. I-XIX.
3 PriTZER, Ueber Friichte, Keimung und Jugendzustànde einiger Palmen, p. 48.
* Martius, Hist. nat. palm.^ tab. 30, fig. XVIII.
88 RECHERCHES
VE. oleracea un limbe bifide dont les divisions sont parcourues par trois
grosses nervures. On remarque que le limbe penné de notre E. edulis présente
aussi trois nervures plus épaisses que les autres.
Outre la racine principale, rapidement flétrie, deux ou trois racines
latérales assez développées; peu de radicelles; celles-ci sont disposées sur
trois rangées.
Section transversale de la racine principale vers la moitié de sa longueur.
Faisceau à huit pôles : Lames ligneuses formant fîles^ assez allongées et
ordinairement rayonnantes; à leur extrémité intérieure, vaisseau à diamètre
prédominant, généralement séparé du reste de la lame par des éléments
épaissis.
Massifs grillagés assez réduits, à près près ovales, complètement enve-
loppés de fibres sclérinées.
Pérkambium : vis-à-vis des massifs grillagés, éléments très épaissis;
ailleurs, éléments à parois minces ; les éléments péricambiaux sont très grands.
Endoderme : forts épaississements en U sur les faces radiales et profonde.
Liège interne : pas de lacunes; un très petit nombre de massifs scléreux
analogues à ceux qui ont été rencontrés dans le même tissu chez le dattier.
Tissu fondam. second, siège d'un liège diffus : deux anneaux ; Tinlérieur,
très étroit, est constitué par des cellules à parois minces; Pextérieur, très large,
est formé par des cellules à parois sclérifiées; tanin, dans les cellules sclérifiées
les plus superficielles.
Assise subéreuse : tanin.
Assise pilifère : éléments tabulaires.
Section transversale de la première feuille gemmulaire, vers la moitié de
sa longueur.
Faisceaux de trois ordres. Les faisceaux principaux, dont le médian, sont
les plus rapprochés du centre de figure de Torgane; leur croissant extérieur
est plus épais que Tintérieur; leur bois et leur liber sont peu développés;
pas de vaisseau à diamètre prédominant. — Les faisceaux de second ordre
ne sont que la réduction des précédents. — Quant aux faisceaux de troisième
ordre, ils sont représentés par des masses scléreuses entourant des fibres
SUR LES JEUNES PALMIERS. 89
primitives. — Ces trois ordres de faisceaux sont assez écartés de l^épiderme
extérieur.
Tissu fondamental : des éléments contenant beaucoup de tanin ; cellules
crislaliigénes à raphides courtes.
Section transversale de la seconde feuille gemmulairc, vers la moitié de
sa longueur.
Faisceaux de trois ou quatre ordres. Tous sont pourvus d'un fourreau scié-
reux très épais. Les éléments du croissant extérieur sont relativement grands
chez les faisceaux de premier et de second ordre. Dans les faisceaux de
premier ordre^ on rencontre un vaisseau à diamètre prédominant. Les fais-
ceaux sont beaucoup plus rapprochés de Tépiderme extérieur que dans la
première feuille gemmulaire.
Tissu fondamental : tanin et raphides courtes.
4
Ces deux sections rencontrent le pétiole de la troisième feuille gemmu-
laire : triangle à angles mousses et à face antérieure concave; trois arcs de
faisceaux dont les extrémités se rejoignent aux angles latéraux de la face
concave; les fourreaux scléreux des faisceaux qui se trouvent près de ces
bords^ se soudent pour augmenter le système mécanique de Torgane.
Howea Belmoreana ^
Les deux premières feuilles gemmulaires sont réduites à leur gaine.
La première feuille normale a étalé son limbe, déjà penné, et la feuille sui-
vante, à limbe encore plissé, est sortie de Tétui formé par les deux premières
gaines. Le limbe de la première feuille normale présente quatre divisions
lancéolées, au sommet desquelles se dirigent les nervures, dont six, plus grosses
que les autres, font saillie k la surface intérieure de ce limbe. Il arrive que
le limbe de la première feuille normale soit bifide, la découpure médiane
s'étant seule produite. Ce fait est néanmoins accidentel et on doit ranger,
* Le H. Belmoreana Becc. a pour synonymie : Grisebachia Belmoreana Wendl. et Dr. et
Kentia Belmoreana F. HûlI. (De Kerchove de Denterghem, Les Palmiers, p. 247).
J'ai examiné des échantillons appartenant aux deux espèces dont se compose le genre
Howea^ mais aucun de ces échantillons ne m'a permis d'étudier la structure de la portion
libre du cotylédon.
TouE Ll 12
90 RECHERCHES
avec Pfitzer^y le H. Belmoreana dans la catégorie des Palmiers dont la
première feuille normale possède un limbe penné.
La préfolialion répond au type l de A. Naumann ^, comme le montre^
sur une section transversale à mi-longueur de la seconde gaine^ le limbe de
la quatrième feuille gemmulaire.
Racine principale déjà en partie détruite ; quelques racines latérales assez
développées ; radicelles sur trois rangées.
Section transversale de la racine principale vers la moitié de sa longueur.
Faisceau à quatorze pôles : Lames ligneuses formant files^ courtes, rayon-
nantes ou confluentes, terminées intérieurement par un vaisseau à section
circulaire et à diamètre prédominant, séparé du reste de la lame par une
rangée de cellules aplaties ou sclérifiées; les autres vaisseaux ont une
section polygonale ou ovale; ils sont d'ordinaire de très petit diamètre.
Massifs grillagés très restreints.
Fibres primitives presque obstruées, tant Tépaississement de leurs parois
est considérable.
Péricambium /éléments ovales, épaissis; en face des massifs grillagés, ils
sont plus épaissis que partout ailleurs.
Endoderme : épaississements en U très accusés.
Liège inleme : massifs scléreux presque toujours formés par un grand
nombre d'éléments; on rencontre cependant aussi des massifs formés par la
réunion de deux ou trois cellules scléreuses ; petites lacunes.
Ti$su fondam. second.^ siège d'un liège diiïus : sclérites en grande quan-
tité, quelquefois gemmelées ; deux anneaux ; anneau intérieur constitué par
des éléments à parois minces; anneau extérieur formé par des cellules à parois
épaissies ; ces sclérites s'aperçoivent dans les deux anneaux, qui sont très larges.
Assise subéreuse : les cellules de cette assise et les cellules les plus super-
Gcielles du liège diffus contiennent du tanin.
Assise pilifère : larges éléments tabulaires sclérifiés.
* Pfitzer, Veber Fruchte, Keimwig und Jugendzustànde dniger Palmen^ p. 49.
s Naumann, A., BeUràge zur Entwickdungsgeschichte der Palmenblâtter, p. 258| pi. V,
Bg. 326.
SUR LES JEUNES PALMIERS. 94
Les deux premières feuilles gemmulaires ont un système mécanique très
développé.
Faisceaux 1res nombreux, répartis en trois ordres, entourés par un four-
reau scléreux dont l'épaisseur est très considérable dans sa région extérieure.
Cordons scléreux possédant, ou non, à leur intérieur des fibres primitives,
jetés sans aucun ordre apparent dans la région moyenne et dans la région
profonde du tissu fondamental.
. Tissu fondamental : cellules allongées langcntiellement, à parois très
légèrement épaissies.
La section transversale d'ensemble vers le milieu de la longueur de la
seconde gaine, rencontre, outre le limbe de la quatrième feuille gemmulaire,
la gaine de la troisième.
Système mécanique plus complet encore que dans les deux premières gaines.
Faisceaux : disposés sur trois arcs dans la partie élargie; les productions
libéro- ligneuses des faisceaux principaux sont très développées; le fourreau
scléreux qui les entoure est excessivement épais, surtout dans sa partie exté-
rieure; dans beaucoup de ces faisceaux principaux, le liber mou est divisé
en deux ilôts; on ne rencontre que rarement un vaisseau à diamètre prédo-
minant.
Tissu fondamental : tanin.
Howea Forsteriana *.
Les jeunes plantes de cette espèce ne diffèrent que fort peu des jeunes
H. Belmoreana.
Le limbe de la première feuille normale a une forme assez variable. Il est
quelquefois bifide, parfois aussi il est penné et possède alors quatre ou cinq
divisions lancéolées ^. Trois ou quatre nervures plus grosses que les autres
se montrent à sa surface intérieure.
• Le H. Forsteriana Becc. a pour synonymie : Grisebachia Forsteriana Wendl. et Dr. et
Kentia Forsteriana F. Mûll. (De Kerchove de Denterghem, Les Palmiers, p. 347.)
s Je rangerai le H. Forsteriana parmi les Palmiers dont le limbe de la première feuille
normale est penné.
99 RECHERCHES
La structure de la racine principale est fort analogue à celle qui a été
relevée chez les H. Belmoreana. J'ai compté ici dix-huit pôles dans le faisceau
de la racine et j'ai observé que des éléments des massifs scléreux sont plus
épaissis que dans Tespèce précédente.
Quant aux premières gaines, leur structure rappelle assez exactement
celle qui a été relevée chez les H. Belmoreana. Le tissu fondamental de ces
gaines est abondamment pourvu de cellules cristalligénes à raphides courtes.
Nephrosperma Van Houtleanum^.
Les trois premières feuilles gemmulaires sont réduites à leur gaine.
Le limbe de la première feuille normale est profondément échancré suivant
le plan médian. Les deux lobes ainsi formés sont souvent divisés à leur tour.
Les divisions du limbe sont très étroites et presque subulées.
Le limbe de la quatrième feuille gemmulaire^ encore plissé^ sort de Tétui,
formé par les trois premières feuilles.
Racine principale accompagnée de trois racines latérales; courtes et minces
radicelles, disposées sur trois rangées.
Section transversale de la racine principale vers la moitié de sa longueur.
Faisceau à treize pôles : Lames ligneuses formant files, rayonnantes ou
confluentcs, terminées intérieurement par un vaisseau à section circulaire et
à diamètre prédominant, séparé du reste de la lame par une rangée d'éléments
aplatis ou de fibres primitives épaissies.
Massifs grillagés très grêles.
Pcricambium : grandes cellules tabulaires à parois minces, parfois recloi -
sonnées langentiellcment.
Endoderme : cellules rectangulaires, à épaississements en U sur les faces
radiales et profonde.
I Le iV. Van Houtteanum Balf. a pour synonymie : Oncospermal Van HouUeanum Wendl.
et Areca nobilis Hort. (De Kerchove de Denterghem, Les Palmiers, p. 232).
La structure de la région basilaire embrassante du cotylédon, qui était flétrie, n'a pu être
étudiée.
SUR LES JEUNES PALMIERS. 93
Liège interne : petites lacunes^ sclérites de même dimension que les
éléments ambiants.
Tissu fondam. second. : liège diffus, double couronne, caractères habituels.
Assise pilifère : éléments tabulaires.
La structure varie peu d'une gaine à Tautre.
Les faisceaux peuvent être répartis en trois ordres. Ceux de troisième
ordre sont réduits à Tétat de masses scléreuses renfermant parfois des fibres
primitives. Dans les faisceaux de premier et de second ordre, le croissant
extérieur est plus épais que l'intérieur. Les éléments de ce dernier croissant
sont quatre fois plus grands que ceux du premier.
On rencontre des cordons scléreux, près de la face intérieure.
Dans la troisième gaine, le bois des faisceaux de premier et de second
ordre comprend un vaisseau à diamètre prédominant.
Le tissu fondamental^ dans les trois gaines, renferme des cellules crislalli-
gènes à raphides courtes.
Les sections transversales à mi-hauteur de la seconde el de la troisième
gaine, rencontrent le pétiole de la première feuille normale: prisme trian-
gulaire à arêtes mousses et à face antérieure plane ou déprimée.
Dans ce pétiole, les faisceaux sonl disposés sur deux arcs qui se rejoignent
aux angles antérieurs du prisme, où le fourreau scléreux des faisceaux
atteint son développement maximum. Quelques massifs scléreux entourant
des fibres primitives sont situés près de la face antérieure du pétiole. L'arc
extérieur comprend des faisceaux de deux ordres, à productions libéro-
ligneuses très développées et dont le croissant extérieur est plus épais que
rinlérieur. Les faisceaux de Parc intérieur sont comparables aux faisceaux
principaux de Parc précédent. Ils sont entourés par un fourreau scléreux à
croissant intérieur plus épais que Texlérieur. Les faisceaux principaux des
deux arcs montrent un vaisseau à diamètre prédominant. Le faisceau médian
appartient à Parc extérieur.
94 RECHERCHES
Hyophorbe VerschaffeUi ^
Les trois premières feuilles gemmulaires sont réduites à leur gatne.
La première feuille normale possède un limbe étroit^ divisé par une pro-
fonde échancrure médiane en deux parties aciculaires^ au sommet desquelles
se dirigent les nervures. Les exemplaires étudiés ne montraient que Pextrémilé
supérieure de ce limbe.
Racine principale assez forte et quatre racines latérales; radicelles sur
trois ou quatre rangées.
Section transversale de la racine principale vers la moitié de la longueur.
Faisceau à huit pôles: Lames ligneuses fort courtes; très petit nombre
de vaisseaux ; vaisseau le plus intérieur à diamètre légèrement prédominant^
no dépassant guère cependant celui des fibres primitives ambiantes; ce
vaisseau est séparé du reste de la lame par une rangée de cellules aplaties
ou sclérifiées; sa section est circulaire^ celle des autres vaisseaux est ovale;
les lames ligneuses sont assez espacées.
Massifs grillagés assez larges^ formant un angle obtus.
Péricambium : éléments tabulaires assez grands^ à parois minces; ils
ne sont pas séparés du liber par des Tibres primitives sclérifiées.
Endoderme : épaississements en U peu accusés.
Liège interne : sclérites isolées ou groupées par deux et par trois^ à sec-
tion ovale ou polygonale.
Tissu fondant, second. : tous les éléments ont encore des parois minces ;
grands méats, mais pas de lacunes; sclérites.
Assise pilifère : beaucoup d'éléments allongés en poils.
La structure des trois gaines, relevée sur des sections transversales prati-
quées vers la moitié de leur longueur, varie peu d'une gaine à Tautre.
Section transversale de la première gaine vers la moitié de sa longueur.
* IJHyophorbe Verschaffelti a pour synonymie : Areca Verschaffelti Hort. (De Kerchove de
Denterghem, Les Palmiers, p. 347).
L'état de flétrissement de mes Hyophorbe ne m'a point permis d'étudier la structure de
la portion libre de leur cotylédon.
SUR LES JEUNES PALMIERS. 95
Faisceaux de deux ou trois ordres ^ Dans les faisceaux principaux et
ceux de second ordre: petits vaisseaux à section polygonale. — Faisceaux de
troisième ordre : simples masses scléreuses enveloppant parfois quelques
fibres primitives.
Tissu fondamental : cellules très allongées tangentiellement.
La section transversale à mi-hauteur de la première gaine rencontre la
seconde et la troisième feuille gemmulaire réduites à leur gaine. Elle montre
aussi le pétiole de la quatrième qui^ sur cette section, a la forme d'un
croissant, et enfin le limbe de la cinquième.
Section transversale de la seconde gaine vers la moitié de sa longueur.
A peu près les mêmes caractères que la première.
Faisceaux principaux à fourreau complètement sclérifié (ce qui n'existait
pas dans la feuille précédente); vaisseau à diamètre légèrement prédomi-
nant, dans certains de ces faisceaux.
Tissu fondamental : cellules cristalligènes à raphidcs courtes.
Une section transversale de cette gaine vers la moitié de sa longueur,
rencontre, outre la troisième feuille gemmulaire réduite à sa gaine, le limbe,
déjà divisé de la quatrième, répondant au type 11 de préfoliation de
A. Naumann ^
Section transversale de la troisième gaine vers la moitié de sa longueur.
Tissu fondamental : cellules à section elliptique, un peu allongées tan-
gentiellement.
Faisceaux principaux : les éléments du croissant extérieur sont en géné-
ral de même grandeur, mais plus épaissis que ceux qui constituent le
croissant intérieur; vaisseau circulaire à diamètre prédominant. — Chez les
faisceaux de second ordre, le croissant intérieur est beaucoup réduit. —
Les faisceaux de troisième ordre sont d'ordinaire de simples masses scléreuses
entourant des fibres primitives.
l Cest le cas pour les trois gaines.
^ Naumann, BeUràge zur Entwickelungsge^chichte der Palmenhlàtter, p. 238, pi. V, Hg. Sib.
96 RECHERCHES
La section transversale à mi-hauteur de celle dernière gatne^ ne ren-
contre que le limbe de la quatrième feuille.
Faisceaux principaux : très développés; vaisseaux à diamètre prédominant;
le croissant intérieur chez les deux faisceaux les plus développés possède
une largeur très considérable, et les cellules qui le composent sont beaucoup
plus grandes que celles du croissant extérieur.
Pas de tissu de charnière.
Hyophorbe amaricaulis ^
Même état d'avancement que la forme précédente.
Axe hypocotylé très renflé, ce qui n'est pas le cas pour YH. Verschaffelli.
Les trois premières feuilles gemmulaires, réduites aussi à leur gaine, sont
beaucoup plus courtes et plus ouvertes.
Les jeunes H. amaricaulis sont, comme Tespèce précédente, d'une végé-
tation lente.
Le limbe de la première feuille normale est légèrement plus large et plus
épais que chez VH. Verschaffelli.
La racine principale et les trois racines latérales ne portent que fort peu
de radicelles.
Section transversale de la racine principale vers la moitié de sa longueur.
Faisceau à quatorze pôles : Lames ligneuses beaucoup plus allongées que chez
r^. Verschaffelli, terminées intérieurement par un vaisseau, dont le diamètre
remporte de beaucoup sur celui des autres vaisseaux et aussi sur celui des flbres
primitives ambiantes, ordinairement séparé du reste de la lame par trois ou
quatre rangées d'éléments sclérifiés; dix lames ligneuses se rejoignent deux à
deux, formant un angle au sommet duquel se trouve un grand vaisseau.
Massifs grillagés de forme triangulaire; Tangle intérieur est aigu.
Péricambium : une seule rangée de cellules tabulaires à parois minces.
Endoderme : cellules à épaississements en U assez accentués, sur les parois
radiales et profonde.
1 Le H. amaricaulis H. a pour synonymie : Areca speciosa Hort. et Sublimia amaricaulis
Comm. (De Kerguovb de Denterghem, Les Palmiers, p. 247).
SUR LES JEUNES PALMIERS. 97
Liège interne et lissu fondam. second. : sclérites à section irrégulièrement
arrondie ou pentagonale; il arrive que ces éléments se groupent par deux ou
par trois; les cellules qui composent les rangées superGcielles du tissu
fondamental secondaire commencent à se sclérifier.
Assise pilifère : certains éléments sont très allongés.
La structure des premières feuilles gemmulaires est peu différente
de celle qui a été relevée dans les organes correspondants de Pespèce
précédente.
Section transversale de la première gaine vers la moitié de sa longueur.
Tissu fondamental : les éléments qui avoisinent Tépiderme intérieur sont
flétris et affaissés; il en tésulle que les faisceaux^ situés à Forigine dans la
partie moyenne du tissu fondamental, se rapprochent de la face intérieure de
la gaine.
Faisceaux : le fourreau n^esl pas complètement sclérifié.
La section transversale pratiquée vers la moitié de la longueur de la pre-
mière gaine rencontre^ outre la deuxième et la troisième gaine, les gaines
de la quatrième et de la cinquième feuille, le limbe de la sixième. Ce limbe
montre un plissement qui répond à la définition du type II de Â. Naumann ^
Des sections analogues pratiquées sur la seconde et la troisième gaine ,
ne présentent guère de différences avec la première.
Les faisceaux de ces gaines ne possèdent pas de vaisseau à diamèlre
prédominant. Ils sont plus développés que dans la première.
Tissu fondamental : cellules cristalligènes à longues raphides.
Une section transversale à mi-longueur de la seconde feuille rencontre
la troisième, la gaine de la quatrième et le limbe de la cinquième.
Vers le milieu de la longueur de la troisième gaine, une section trans-
versale rencontre le pétiole de la quatrième feuille et le limbe de la cin-
quième.
< Naumann, A., Beitràge zur Entwickelungsgeschichte der Palmenblàtter, p. 238, pi. V,
fig. '6ib.
Tome LI. ^3
98 RECHERCHES
Geonoma gracilis K
La première feuille normale a étalé son limbe.
Les deux premières feuilles gemmulaires sont réduites à leur gaine. La lon-
gueur de la seconde gaine esl à peu près double de celle de la première.
Le limbe de la première feuille normale esl bifide. L'échancrure médiane
dépasse le milieu de la longueur du limbe. Les nervures se dirigent vers
les extrémités aiguës de ses divisions, qui sont lancéolées.
La racine principale et les deux racines latérales portent des radicelles
disposées sur trois ou quatre rangées.
Section transversale de la racine principale vers la moitié de sa longueur.
Faisceau à onze pôles : Lames ligneuses terminées intérieurement par
un vaisseau à diamètre prédominant; six lames ligneuses se rejoignent deux
à deux et forment un angle aigu au sommet duquel se trouve un grand
vaisseau; vaisseaux ovales ou circulaires.
Massifs libériens assez grêles; fort peu d'éléments grillagés.
Péricambium : cellules tabulaires qui ont généralement des parois épaissies
en face des massifs libériens.
Endoderme : cellules très larges possédant des épaississements en U sur les
faces profonde et radiales.
Liège interne : éléments arrondis à parois minces, laissant des méats peu
étendus; certaines cellules contiennent des grains de fécule; d'autres, des
raphides courtes.
Tissu fondam. second. : double anneau; Panneau intérieur est formé par
une ou deux rangées de cellules à parois minces; Textérieur, siège d'un liège
diffus, par six ou sept rangées de cellules à parois épaissies.
Assise subéreuse sclérifiée.
Assise pilif ère : éléments tabulaires.
Section transversale de la première feuille gemmulaire, vers la moitié de sa
longueur.
^ Les échnnlillons examinés n'ont point permis d'étudier d'une manière satisfaisante la
portion libre du cotylédon.
. SUR LES JEUNES PALMIERS. 99
Tissu fondamental : cellules ovales à parois minces^ allongées langen-
tieliemeat; nombreuses cellules crislalligènes à rapliides courtes^ près de
Tépiderme extérieur.
Faisceaux de trois ordres. Dans les faisceaux principaux, on ne trouve
pas de vaisseau à diamètre prédominant.
Section transversale de la seconde feuille gemmulaire, vers la moitié de sa
longueur.
Faisceaux de Irois ordres. Les éléments du croissant extérieur des fais-
ceaux principaux diffèrent peu de ceux qui constituent le croissant intérieur.
Les faisceaux n'ont pas de vaisseau à diamètre prédominant.
La section transversale à mi-hauleur de la seconde gaine rencontre la
gaine de la troisième feuille, gemmulaire et le limbe de la quatrième. Celui-ci
montre un plissement se rapportant au type II de Â. Naumann ^
La gaine de la troisième feuille gemmulaire présente un fort épaississemenl
suivant le plan médian et en avant. Dans cette partie élargie, se trouvent deux
arcs de faisceaux qui vont se rejoindre dans la partie étroite, où tous les
faisceaux sont réduits à IVialde masses scléreuses possédant, ou non, des fibres
primitives. L'arc extérieur est appliqué contre Fépiderme extérieur; Tare inté-
rieur, contre Tépîderme intérieur. Dans ces deux arcs, les faisceaux peuvent
être groupés en deux ordres. Les faisceaux principaux qui ont des productions
libéro-ligneuses développées, sont entourés par un épais fourreau scléreux
dans lequel il n'y a guère lieu d'établir une distinction entre les éléments de
la partie extérieure et ceux de la partie intérieure. Les faisceaux de second
ordre sont ordinairement réduits à l'état de masses scléreuses enveloppant des
Gbres primitives. Chez certains faisceaux de l'arc intérieur, il y a fusion des
fourreaux scléreux.
Calyplronoma Levautzi.
Le limbe de la première feuille normale est étalé.
m
A cet âge, la portion libre du cotylédon est flétrie.
• Naumann, A., Beiiràge zur Eutwickelungsgeschichte der Pabnenblàtter, p. 238, pi. V,
lig. Sib.
iOO RECHERCHES
La première feuille normale a un limbe bifide qui ressemble beaucoup à
celui que présente le même organe chez le Geonoma gracilis. Les divisions
de ce limbe sont lancéolées. Dans chaque division, les nervures, parmi
lesquelles il s'en trouve quatre plus grosses, se dirigent vers les extrémités
aiguës*. Le pétiole de cette feuille est assez allongé.
Une section transversale pratiquée vers la moitié de la longueur de la seconde
feuille gemmulaire, rencontre la gaine de la troisième et le limbe de la qua-
trième^ dont le plissement peut être rapporté au type II de A. Naumann ^
Les deux premières feuilles gemmulaires sont réduites à leur gaine.
Racine principale accompagnée de deux racines latérales; radicelles assez
courtes et assez nombreuses, disposées sur trois rangées.
Section transversale de la racine principale vers la moitié de sa longueur.
Faisceau à dix pôles : lames ligneuses comprenant des vaisseaux circu-
laires et ovales; quelques-unes se rejoignent deux à deux et forment un
angle aigu au sommet duquel on rencontre un grand vaisseau; les grands
vaisseaux intérieurs sont séparés des lames auxquelles ils appartiennent par
des éléments plats ou sclérifiés.
Péricambium : cellules tabulaires parfois recloisonnées tangentiellement,
possédant, en face des massifs grillagés, des parois épaissies.
Endoderme : éléments rectangulaires dont les faces radiales et profonde
sont épaissies en U.
Lfiège interne : méats assez larges, cellules circulaires à parois minces.
Tissu fondam. second. : une double couronne, liège diffus.
Assise pilifére : éléments tabulaires.
La structure de la première feuille gemmulaire est à peu près analogue à
celle de la seconde.
Faisceaux de trois ordres. Le faisceau médian de la seconde feuille est
situé près de Pépiderme extérieur. Les faisceaux principaux les plus proches
de ce médian se trouvent dans la région moyenne du tissu fondamental. Le
^ Naumann, A., Beitràge zur Enlwickelungsgeachichte der Palmenblàtier, p. 238, pJ. V,
fig. 32fr.
J
SUR LES JEUNES PALMIERS. 101
croissant extérieur est plus épais que rinlérieur, dans les faisceaux les plus
extérieurs. Cest le contraire qui a lieu chez les faisceaux qui sont plus
rapprochés du centre de figure de Torgane.
Tissu fondamental : dans la zone profonde des deux premières feuilles
gemmulaires, certaines cellules contiennent de Tamidon ; cellules cristalli-
gènes h raphides courtes^ près de Pépiderme extérieur.
Une section transversale vers la moitié de la longueur de la seconde
feuille gemmulaire^ rencontre la gaine de la première feuille normale el le
limbe de la seconde.
La gaine de la première feuille normale oiTre^ sur une pareille section, la
forme d'un anneau plus épais en avant.
Les faisceaux^ dans la partie épaisse de Tanneau, sont disposés sur trois
arcs qui vont se réunir dans la partie étroite. Les faisceaux de Parc extérieur
sont de deux ordres. Ils tournenl leur bois vers le centre de figure de l'organe.
Leurs productions libéro-Iigneuses sont très développées. Le croissant extérieur
de ces faisceaux esl plus épais que l'intérieur. — Les faisceaux de l'arc moyen
sont plongés dans la région moyenne du tissu fondamental. Leurs productions
libéro-Iigneuses sont très développées. Ces faisceaux, comme aussi les faisceaux
principaux de l'arc extérieur, ont leur liber mou divisé en deux îlots. Ils
possèdent un vaisseau à diamètre prédominant. Leur croissant intérieur est
beaucoup plus épais que l'extérieur. — Les faisceaux de l'arc intérieur sont au
nombre de trois. Un de ces faisceaux est placé dans le plan médian el tourne
son bois vers la surface extérieure de l'organe. Les deux autres sont réduits
à l'état de masses scléreuses enveloppant des fibres primitives.
Tissu fondamental : cellules cristalligènes à raphides courtes.
Desmoncus sp. ?
Desmoncus brésilien, que je n'ai pu spécifier parce que l'échantillon ne
le permettait pas. Étant donné l'étal défectueux de cette jeune plante, il ne
m^a été possible d'étudier que certaines parties.
Le limbe de la première feuille normale est étalé. Ce limbe possède une
102 RECHERCHES
forme remarquable. II comprend deux lames lancéolées, insérées au sommel
du péliole, indépendantes l'une de Tautre et assez semblables aux folioles
d'une feuille composée (pi. IV, fig. 5). Chacune d'elles montre une grosse
nervure médiane el une assez grande quantité de nervures plus fines
qui se dirigeot vers leur exlrémilé aiguë. Entre ces deux lames, se rencontre
un filament. Le pétiole a une section triangulaire h angles mousses el à
face antérieure creusée d'un sillon. Une section transversale a mi-hauteur
de la seconde feuille gemmulaire rencontre la gaine de la première feuille
normale.
Cette même section laisse apercevoir le plissement de la quatrième feuille
gemmulaire. Ce plissement, assez compliqué, ne me semble pouvoir être
rapporté à aucun des trois types de A. Naumann ^ (pi. IV, fig. 6).
Les deux premières feuilles gemmulaires sont réduites à leur gaine el
terminées par une pointe médiane.
Une racine latérale; racine principale accompagnée de quelques racines
secondaires assez fortes; deux ou trois rangées de radicelles.
Section transversale de la racine principale vers la moitié de sa lon-
gueur.
Faisceau à vingt pôles: Certaines lames ligneuses sont rayonnantes;
d'autres se rejoignent deux à deux en formant un angle aigu au sommel
duquel on rencontre un grand vaisseau ovale; parfois, suivant la bissectrice
de l'angle, se montre une troisième lame beaucoup plus petite; outre les grands
vaisseaux, on trouve de petits éléments vasculaires à section polygonale ou
arrondie.
Les massifs grillagés les plus volumineux sont situés entre les lames
ligneuses rayonnantes, et non dans les angles formés par les lames ligneuses
confluentes.
Les fibres primitives de la région centrale ont des parois moins épaissies
que les autres.
* Naumann, A., Beitràge zur Entwickelungsgeschichte der Palmenblàtter, p. 238, pi. V,
fig. S^b,
r
SUR LES JEUNES PALMIERS. 105
Péricambium : grandes cellules tabulaires à parois minces;
Endodetme : cellules ovales ; épaississcments en U sur les faces radiales et
profonde.
Liège interne : cellules arrondies; la plupart sont gorgées de grains de
fécule circulaires ou elliptiques; petites lacunes étirées radialement.
Tissu fondam. second. : double couronne, caractères habituels.
Assise subéreuse : grands éléments à parois minces.
Assise pilifère : cellules de grand diamètre, tabulaires, à paroi extérieure
scléritiée.
Sjection transversale de la première feuille gemmulaire, vers la moitié de
sa longueur.
Faisceaux de quatre ordres. Productions libéro-ligneuses peu développées.
Fourreau scléreux assez restreint.
Tissu fondamental : les éléments adjacents aux fourreaux sont allongés
perpendiculairement aux faisceaux; les cellules de la zone profonde sont
gorgées d'amidon; cellules cristalligénes à raphides courtes.
Section transversale de la seconde feuille gemmulaire, vers la moitié de sa
longueur.
Faisceaux : de quatre ordres ; plus développés ; les faisceaux de premier
et de second ordre ont un vaisseau à diamètre prédominant ; croissant exté-
rieur assez épais.
Une section transversale à mi-hauteur de la seconde feuille gemmulaire
rencontre la gaine de la troisième et le limbe de la quatrième.
La gaine de la première feuille normale est très épaisse dans sa partie
antérieure.
Dans cette région, les faisceaux sont groupés sur deux arcs qui se rejoignent
dans la partie mince, où tous les faisceaux sont réduits à des masses scléreuses
enveloppant, ou non, des fibres primitives. Les faisceaux de Tare extérieur
sont appliqués contre Tépidermë extérieur. On peut les répartir en trois
ordres. L'arc intérieur ne comprend que quatre faisceaux comparables aux
faisceaux principaux de Parc extérieur. Ces faisceaux principaux montrent
des productions libéro-ligneuses très développées. Les faisceaux qui com-
104 RECHERCHES SUR LES JEUNES PALMIERS.
posent Tare intérieur et quelques faisceaux de l'arc extérieur, ont leur liber
mou divisé en deux ilôts. Les faisceaux principaux de Tare extérieur et les
faisceaux de Tare intérieur ont un vaisseau à diamètre prédominant. Le
croissant extérieur est très volumineux chez les faisceaux de Parc extérieur.
Il est plus épais que le croissant intérieur. Le contraire a lieu chez les fais-
ceaux de Tare intérieur.
Des cordons sdéreux se rencontrent dans la région moyenne de la partie
épaisse de la gaine, ainsi que le long de l'assise épidermique intérieure.
Les productions libéro-ligneuses du limbe de la quatrième feuille sont
peu développées.
i
CHAPITRE V
Conclusions
Les germinations de Palmiers se ramènent à trois types : PhœniXj Sabal
et Dictyosperma.
L^axe hypocotylé est court et ordinairement renflé à sa base.
La portion libre du cotylédon comprend une région basilaire embrassante
et une région cylindrique, dans les germinations du type Phœnix et du type
Sabal.
Dans les germinations du type Phœnix, la région cylindrique fait suite à
la région embrassante.
Dans certaines germinations du type Phœnix, le bord de la fente gem-
mulaire est déchiré (PAœnia:, Caryota, Latania). Chez d'autres, celte région
déchirée manque; il y a un léger exhaussement du bord de la fente
(Chamœrops, Livislona, Trachycarpus).
Dans les germinations du lype Sabal, le cylindre cotylédonaire est inséré
près de la base de la région embrassante.
La graine reste accolée à la partie inférieure de la région embrassante,
dans les germinations du type Dictyosperma.
La première feuille genjmulaire est toujours réduite à sa gaine. Elle est
seule réduite à cet état dans les genres ^ :
Rhopalostylis ^^
Caryota,
PhœniXf
Sabal,
Washingtonia,
Chamœrops,
Livistona,
Trachycarpus,
ThrinaXf
Latania.
' Les énumérations se font d'après Tordre adopté par Bentham et Hooker (Gênera
planlarum).
s Voy. l'observation qui se trouve au bas de la p. 84.
Tome L1. 14
i06 RECHERCHES
Les deux premières feuilles gemmulaires sonl réduites à leur gaine ^ dans
les genres :
Archontophœnix,
Dictyosperma,
Eutet^pe,
HoweOy
Geonoma,
Calyplronoma,
Priicïiardia^
Desmoncus,
Cocos,
Enfin^ les trois premières feuilles gemmulaires sonl réduites à leur gaine^
dans les genres :
Kentia^
Nephrosperma,
Hyophorbe.
Ces diverses gaines sont ouvertes dans leur partie supérieure et terminées
par une pointe médiane plus ou moins forte^ selon les espèces. Elles présen-
tent des nervures parallèles et parfois des sillons longitudinaux. Leur surface
est lisse.
Le limbe de la première feuille normale est allongé^ entier et terminé en
pointe, chez les genres :
Phcenix,
Sabat^
Washingtonia,
Chamœf^ops,
Pritchardia,
Livistoua,
TrachycarpuSy
ThrinaXy
Cocos.
* Il faut ajouter ici le Klopstockta cerifera Karst. Sur le dessin qu'en donne Karsten, on
remarque que les deux premières feuilles gemmulaires sont réduites à leur gaine. (Karsten,
Vegetationsorgane der Palmen, pi. IV, fig. 6.)
2 Karsten (Vegetatiomorgane der Palmenj pi. IV, fig. 8) a représenté la germination
d'un Iriarlœa prœmorsa Klotzsch. Les quatre premières feuilles gemmulaires seraient
réduites à leur gaine? Il m'a été impossible de vérifier ce fait, ne possédant aucun échan-
tillon de cette plante. Jamais je n'ai rencontré un jeune Palmier possédant un si grand
nombre de feuilles gemmulaires réduites à leur gaine.
SUR LES JEUNES PALMIERS.
107
Il est divisé en deux parties chez les genres :
Kentia,
A rchontophcsnix,
RhopaloslyliSf
Dictyospermaf
Eulerpe *,
Nephrosperma,
Byophorbe,
Geonoma,
Calyptronoma.
Chez les genres Caryota et Desmoncus, ce limbe possède les formes
remarquables décrites au sujet du C.sobolifera * et d'un Desmoncus brésilien ^
Ce limbe est penné chez les Howea^ et les Lalania.
La première feuille normale montre des nervures parallèles. Les cordons
libéro-ligneux horizontaux qui les relient^ ne sont pas toujours visibles par
transparence. La nervure médiane du limbe est parfois prédominante. Dans
certains cas^ elle ne se différencie guère des autres grosses nervures. Cette
feuille porte des poils^ chez toutes les plantes examinées. Ces poils sont par-
fois très longs. Comme ils ne semblent guère offrir d'intérêt pour la classifî-
cation^ il me suffira ici de mentionner leur existence. J'ajouterai que ces poils
sont caducs et qu'ils ne s'aperçoivent plus sur les parties de la première
feuille^ étalées hors de Télui gemmulaire.
A. Naumann ^ qui a étudié l'histoire du développement des feuilles de
Palmiers^ distingue^ chez ces plantes^ trois types principaux de plissement.
Le plissement que, présentent les jeunes Desmoncus examinés ne me semble
pouvoir être rapporté à aucun de ces types.
La section transversale du pétiole de la première feuille normale affecte la
forme d'un triangle à angles mousses et à hce antérieure déprimée ou
sillonnée. A l'âge des plantes examinées, ce pétiole est très court chez
' Voy. p. 87.
2 Voy. p. 34.
3 Voy. p. ICI.
♦ Voy. p. 90.
^ Naumann, A., Beitràge zur Entivickelungsgeschichte der Palmenblàtterf p. 238.
i08
RECHERCHES
certaines espèces (dattier^ etc.); chez d^autres, il possède déjà une longueur
assez considérable (Phœnix canariensis, etc.).
Une section analogue de la gaine de la première feuille normale offre la
forme d'un anneau. Celui-ci est toujours plus épais suivant le plan de symé-
trie de Torgane et dans sa partie postérieure.
Les autres feuilles se développent plus ou moins rapidement. C'est ainsi
qu'à Tàge considéré (la première feuille normale seule visible extérieurement)^
une section transversale pratiquée vers la moitié de la longueur de la pre-
mière feuille gemmulaire ne rencontre que deux feuilles \ chez les jeunes
Palmiers suivants :
Phcenix dacfylifera,
P, canariensis,
P. farinifera,
P. reclinata,
P. spinosa,
Chamcerops humilisy var. iomentosa,
— — — flexuasa^
— — — arborescens,
Livistona auslraliSf
L. chinensis, etc.
Cette même section en rencontre trois^ chez les
quatre^ chez les
Caryota sobolifera,
Cocos flexuosa, etc.;
Geonoma gracilis, etc.
L'appareil radical comprend une racine principale^ dont la longueur
devient parfois assez considérable, et des racines latérales grêles insérées à
la base de l'axe hypocotylé dans la germinations de
Caryota sobolifera^
Phœnix dactylifera^
P. canariensis^
P, farinifera,
P. reclinata,
P. spinosa^
Chamcerops humilis, var. tomentosa,
* Y compris la première.
Chamceropê humilis, var. flexuosa^
— — — arborescens f
Livistona australis,
L. chinensis,
Trachycarpus excelsus,
Latania Loddigesii,
Cocos flexuosa.
I
SUR LES JEUNES PALMIERS. «09
Ces racines latérales sont^ au contraire^ très développées et aussi fortes ou
presque aussi fortes que la racine principale, c'est-à-dire que cette racine
principale est rapidement flétrie et remplacée par des racines latérales^ chez
les
Kentia exorhiza,
Archontophœnix Alexandrœ,
À. Cunninghamiana,
Rhopalostylis Baueri,
R, sapida,
Euterpe edulis,
Houxa Belmoreana,
H. Forsteriana,
Nephrosperma Van HouUeanum,
Hyophorbe Verschaffelli^
H. amaricauliSf
Geonoma graciliSf
Caltjptronoma Levautzif
DesmoncuSf sp.?
Je n'ai point rencontré de racines latérales chez les
Dictyosperma aureum^
Sabal umbraculifera,
5. Adansoni,
Pritchardia pacifica,
Thrinax excelsa.
La racine principale^ qui donne parfois naissance à des racines secondaires
(^Desinoncus\ porte des radicelles sur deux à huit rangées verticales. Ces
radicelles restent quelquefois très courtes.
 l'extrémité végétative de cette racine principale^ on voit une coiffe
nettement accusée.
La structure de la racine principale, relevée vers la moitié de sa longueur,
offre des variations intéressantes à noter.
Le faisceau du Thrinax excelsa ne compte que six pôles, alors que le
Latania Loddigesii en montre plus de trente au même stade.
ilO
RECHERCHES
J'ai relevé dans le tableau suivant. le nombre moyen des pôles du fais
ceau de la racine chez les espèces examinées :
NOMS DES ESPÈCES.
NOMBRE
moyen
des lames.
NOMS DES ESPÈCES.
NOMBRE
moyen
des lames.
Kentia exorhiza
Archontophœnix Alexandrœ
A. Cunninghamiana
Rhopalostylis Baueri
R, sapida
Dictyosperma aureum
Euterpe edulis
Howea Bdmoreana
H. Forsteriana
Nephrosperma Van Houtteanum . . .
Hyophorbe amaricaulis
H, Yerschaffelii
Geonoma gracUis
Calyptronoma Levautzi
Caryota sobolifera
Phœnix canariensis
P. dactylifera
P. fannifera
22
11
12
9
10
13
8
14
18
13
U
8
11
10
12
43
H
10
Phœnix reclinaùa
P. spinosa
Sabal Adansoni
S. umbraculifera
Washinglonia filifera
Chamœrops humilis, var. arborescens .
C. humilis, var. flexuosa
C. humilis, var. tomentosa
Pritchardia macrocarpa
P.paci/ica
Livistona av^stralis
L. chinensis
Trœhycarpus excelsus
Thrinax excelsa
Latania Loddigesii
Desmonais, sp.?
Cocos flexuosa
14
12
17
9
10
9
9
8
21
44
40
40
6
6
34
20
22
Les lames ligneuses comprennent des vaisseaux à section circulaire^
ovale, ou polygonale, dont le diamètre va en augmentant de la périphérie
du faisceau vers le centre. Dans les lames rayonnantes, ces vaisseaux sont
disposés sur une seule rangée en files étroites (Euterpe edulis^ etc.), ou
forment des massifs cunéiformes (dattier). Les parois de ces vaisseaux sont
ordinairement épaissies et portent des ponctuations scalariformes. Les lames
manifestent souvent une tendance à se rejoindre deux à deux, parfois réa-
SUR LES JEUNES PALMIERS. Hi
lisée dans certaines germinations {Geonoma graciliSy etc.). Les lames ligneuses
confluentes forment un angle aigu au sommet duquel se rencontre un vais-
seau de grand diamètre. On trouve quelquefois une petite lame ligneuse
suivant la bissectrice de Tangle ainsi formé (Cocos flexuosa, etc.). Ce ne
sont point toujours deux lames voisines qui se réunissent; il se présente des
cas où les lames confluentes sont séparées par deux ou trois lames rayon-
nantes (Cocos flexuosa), ou même confluentes à leur tour deux à deux. Le
vaisseau intérieur est habituellement remarquable par son grand diamètre
qui remporte de beaucoup sur celui des autres; parfois il ne diffère guère de
ceux-ci [Hyophorbe Verscha/felti). Ce grand vaisseau intérieur est séparé
du reste de la lame ligneuse soit par une rangée d'éléments plats à parois
minces^ soit par une ou plusieurs rangées de fibres primitives à parois sclé-
rifiées. Il y a parfois découpure de la lame ligneuse par rintercalation en
divers points de plusieurs rangées de fibres primitives scléreuses.
Dans les massifs libériens, les plus grands éléments grillagés sont parfois
les plus intérieurs [Phœnix daclylifera); dans d'autres cas, ils sont situés au
milieu du massif (la/ein/a Loddigesiï). Chez le Latania Loddigesii, les massifs
libériens sont divisés par des fibres primitives en deux ilôts très distants
\\\n de Tautre et dilués sur un même rayon.
Le liber est séparé du bois par des fibres primitives. Ces fibres ont ordinai-
rement une section polygonale. Entre les massifs grillagés et les massifs ligneux,
elles sont allongées suivant le sens du rayon ; dans la région centrale, elles sont
isodiamétriques. Dans certains cas, leurs parois sont minces; dans d'autres,
elles sont épaissies. Il arrive que les fibres primitives de la région centrale
du faisceau soient fort différentes des autres. C'est ainsi qu'à certains niveaux
de la racine principale du dattier et d'autres Palmiers, les fibres du centre
ont des parois minces alors qu'ailleurs leurs parois sont épaissies. Les fibres
centrales du faisceau polyarquedu Latania Loddigesii onl une section arron-
die, alors que dans le reste du faisceau leur section est polygonale. Il y a
plus : les fibres primitives^ chez ce Palmier, sont épaissies dans la zone des
grands vaisseaux alors qu'elles ne le sont pas ailleurs. Les fibres primitives
de la région centrale du faisceau polyarque du Kenlia exorhiza onl une
section arrondie.
H2 RECHERCHES
Les éléments du péricambium ont une section tabulaire ou polygonale. Ils
sont parroistrès grands {Laiania Loddigesii). Chez certaines jeunes plantes,
les éléments péricambiaux sont épaissis en face des massifs libériens [Cha-
mœrops humiliSy v. tomenlosa, etc.) ou des fibres primitives qui séparent le
liber des lames ligneuses (PAû?/if a? canariensis). Dans le faisceau de quelques
Palmiers, ils se recloisonnenl une fois tangenliellement ; chez d'autres, il peut
y avoir deux recloisonnements successifs.
L'endoderme du faisceau polyarque est constitué par des éléments à section
carrée ou ovale présentant des épaississements sur toutes leurs faces (certaines
cellules de Pendoderme du Thrinax excelsa)^ ou sur leurs faces radiales
et profonde seulement, formant des épaississements en forme d'U, comme
on en trouve chez le Smilax. On peut ranger dans cette dernière catégorie
presque tous les Palmiers étudiés. Les épaississements sur les faces radiales et
profonde peuvent ne pas alTecter la forme d'un U. Ces épaississements n'intéres-
sent que les faces latérales chez les jeunes Sabal umbraculifera et Laiania
Loddigesii. Entin, Tendoderme présente une alternance d'arcs scléreux et d'arcs
à parois minces chez les trois variétés examinées du Chamœrops humilis.
Le liège interne (tissu cortical interne à développement centrifuge, d'après
la terminologie spéciale de Van Tieghem) est composé de cellules à parois
minces, à section ovale ou circulaire, laissant enire elles des méats parfois
assez grands, et dont la sériation radiale n'est visible que dans le voi-
sinage du faisceau. Ce tissu montre quelques petites lacunes produites
par décollement et affaissement des cellules. Parfois ces petites lacunes sont
très nombreuses (Laiania Loddigesii). Chez d'autres Palmiers, on observe
Texistence de grandes lacunes séparées par des cloisons n'ayant que quel-
ques cellules d'épaisseur (certains Phœnix).
Le liège interne est circonscrit par une couronne de tissu fondamenlal
secondaire. Cette couronne est composée de deux ou trois anneaux. Dans
ce dernier cas, l'anneau moyen est formé de cellules à parois sclérifiées; les
anneaux intérieur et extérieur, de cellules à parois minces. L'anneau moyen
est alors le siège d'un liège diffus (dattier). Quand cette couronne n'est
constituée que par deux anneaux, l'extérieur possède des parois épaissies ;
l'intérieur, des parois minces. Chez les Hyophorbes examinés, la couronne
■1
I
SUR LES JEUNES PALMIERS. 113
de lissu fondamenlal secondaire n'est pas encore sclérifiée. Les cellules du
tissu fondamental secondaire ont une section polygonale. Elles sont allongées
radialemenl ou tangentiellement.
Le système cortical ne présente pas d'éléments épaissis chez les
Geoiiomaf
Calyptronomaf
Chamcerops,
LMstona,
Trachycarpus,
Thrinax,
Desmoncus.
Il présente des éléments scléreux isolés (sclérites), ou groupés par deux et
par Irois^ localisés dans le tissu fondamental secondaire, dans les genres :
Kentia,
ArchontophœniXf
Diclyosperma.
On trouve des sclérites à la fois dans le liège interne et dans le tissu
fondamental secondaire de la racine des
RhopalosiyliSf
Nephrosperma,
Hyophorbe.
Chez certains de ces genres, des éléments scléreux se rencontrent dans
le liège diffus sclérifié. ils se distinguent des éléments qui les entourent par
leur plus grande réfringence et par leurs parois plus épaisses.
Les sclérites ont le même diamètre que les éléments du tissu ambiant, ou
possèdent un diamètre différent.
Dans le liège interne des genres suivants, on trouve des massifs scléreux :
Eulerpe,
Caryola,
Phœnix,
Latania,
Cocos.
Les Hauuea ont un liège interne renfermant des massifs scléreux et un
tissu fondamental secondaire parsemé de sclérites.
Tome L1. 13
H4 RECHERCHES
Les éléments de Fassise subéreuse conservent parfois des parois minces
et leur diamètre est plus grand que celui des éléments sous-jacents ; mais
il arrive aussi que les éléments subéreux ne sont que très difficilement
distingués des cellules du tissu fondamental secondaire. Ils contiennent
d'ordinaire du tannin, comme aussi les éléments des rangées les plus super-
ficielles du tissu fondamental secondaire.
A la périphérie de Porgane, on aperçoit une assise pilifère dont les cellules
se prolongent en poils chez les
Hyophorbe^
Trachycarpus,
Les éléments qui composent l'assise pilifère ne sont point développés eu
poils chez la plupart des autres Palmiers examinés; ils ont une section tabu-
laire et des parois minces. Ces éléments ont des parois sclériOées chez les
SabaL
Dans le tissu cortical des racines, on rencontre des cellules cristalligènes
renfermant soit des raphides, courtes ou longues , soit des cristaux pris-
matiques d'oxalate de chaux. Certaines cellules contiennent des grains de
fécule.
La structure de la portion libre du cotylédon offre des variations peu
considérables chez les trois types de germination.
On rencontre, chez tous les Palmiers examinés, un tissu fondamental
avec liège diffus dans sa zone externe. Ce liège est légèrement sclérifié.
Dans les germinations du type Phœnix, la lame épidermique extérieure, à
parois minces, est affaissée, dans la région basilaire embrassante du cotylédon
et dans la partie inférieure de la région cylindrique, contre le liège diffus
sclérifié sous-jacent {Phœnix)^ ou formée par des cellules prolongées en
poils [Livislona). Les cellules épidermiques de la partie supérieure de la
région cylindrique ont les faces externe et latérales sclériQées. Dans celte
partie du cotylédon, on rencontre des stomates.
Dans les germinations du type Sabal, l'assise épidermique extérieure, en
certains points, est constituée à la fois par des éléments tabulaires à parois
SUR LES JEUNES PALMIERS. 118
externe el latérales selérifiées et des éléments prolongés en poils. On ren-
contre ces derniers éléments sur les aces postérieure et latérales du cylindre
ainsi que sur la portion de la gaine située sous le cylindre , et entre ce
cylindre et Finsertion de la gaine sur 'axe hypocotylé. On ne trouve ailleurs
que des éléments tabulaires à parois externe et latérales selérifiées.
L'épiderme extérieur des gei*minations du type Diclyosperma est composé
de cellules à parois externe et latérales épaissies.
L^épiderme intérieur^ dans les germinations des trois types^ est formé par
des éléments à section rectangulaire, allongés tangentiellement et dont les
parois externe et latérales sont selérifiées.
Chez le Phœnix daclylifera et le Latania Loddigesii, le bois des faisceaux
montre une lacune antérieure. Chez les autres Palmiers, où il m'a été possible
d'examiner la structure cotylédonaire, je n'en ai pas rencontré ^
Le liber est fort développé dans les faisceaux que l'on rencontre dans la
portion libre du cotylédon. Le bois l'est moins, sauf cependant dans la partie
supérieure du cylindre cotylédonaire, où l'on constate une prédominance du
bois sur le liber. Le bois ne comprend que des petits vaisseaux à section
polygonale.
Les faisceaux que Ton trouve dans la région cylindrique du cotylédon
sont entourés par un double fourreau scléreux. Le fourreau extérieur est
composé de cellules à section ovale; le fourreau intérieur, par deux croissants
différenciés, ou non, histologiquement.
La structure de^ premières feuilles gemmulaires, réduites à leur gaine,
est assez uniforme. Leur section transversale moyenne a la forme d'un
anneau d'ordinaire épaissi dans le plan médian, en avant ou en arriére
suivant le numéro d'ordre de la feuille.
Ces anneaux possèdent : une lame épidermique extérieure; une lame
épidermique intérieure; une masse de tissu fondamental parcourue longitudi-
nalement par des faisceaux libéro-ligneux el des cordotis scléreux.
• D'après Gehrke {Beitràge zur Kenntniss der Anatomie von Palmenkeimfingmj p. 25), il
n'existerait pas de lacune antérieure dans le bois des faisceaux de la portion libre du
cotylédon chez les Palmiers qu'il a étudiés et dont on trouvera la liste p. IS.
146 RECHERCHES
L'épiderme extérieur est conslilué par des cellules à section carrée, à
parois externe el radiales épaissies. Ces cellules sont allongées suivant le sens
de la longueur de Forgane. Vues de face, leurs parois sont rectilignes. Cet
épiderme porte des stomates. Les stomates se rapportent soit à ceux que
j'ai décrits chez le dattier, soit à ceux qui ont été rencontrés chez le
Chamcerops humilis. Les stomates du dattier difîèrent d'ailleurs assez peu
des stomates du Chamœrops humilis. Les stomates sont habituellement
disposés en séries longitudinales.
Les éléments de Tassise épidermique intérieure ont une section rectangu*
laire. Ils sont allongés tangentiellement. Leurs parois externe et radiales sont
sclérifîées.
Les cellules du tissu fondamental ont une section ovale. Elles sont
allongées tangentiellement ou radialement suivant Tépaisseur de Panneau.
Leurs parois sont minces ou légèrement sclériGées. Ces cellules sont toujours
étirées transversalement et un peu aplaties dans le voisinage de l'assise
épidermique intérieure. Elles laissent entre elles des méats plus ou moins
grands et plus ou moins nombreux, selon les espèces. Les cellules contiguës
aux faisceaux peuvent être étirées perpendiculairement à la surface extérieure
de ces faisceaux (Prilchardia macrocarpa, etc.). Les cellules du tissu fon-
damental sont parfois gorgées d'amidon^ surtout dans la zone profonde de
la région plus épaisse de Fanneau. Le tissu fondamental possède aussi des
cellules cristalligènes à raphides courtes ou longues. On remarque que cer-
taines gaines, en Tabsence d'amidon, sont abondammenl-pourvues de tannin.
C'est surtout le cas dans la première feuille.
Les faisceaux peuvent être répartis en quatre ordres ou en moins de
quatre ordres, chez les jeunes
Caryota,
Chamœrops,
Thrinaxj etc.
Ils doivent être groupés en plus de quatre ordres chez les
Phœnix,
Livistonaj
Latania,
SUR LES JEUNES PALMIERS. 117
Parmi les faisceaux principaux^ on en rencontre toujours un médian. Sauf
le médian, les faisceaux principaux sont symétriques deux à deux el vont en
décroissant de volume de part et d'autre du plan médian ^
Les faisceaux principaux sont les plus rapprochés du centre dé figure de
Forgane.
Entre deux faisceaux principaux, se rencontrent un ou plusieurs faisceaux
de second ordre. Les faisceaux de troisième ordre séparent les faisceaux de
premier ordre des faisceaux de second ordre.
Tous les faisceaux sont entourés par un fourreau scléreux, qui est com-
posé de deux croissants dans les faisceaux à productions libéro-ligneuses
développées. Le croissant extérieur est constitué par des éléments plus pelits
et à parois plus épaissies que le croissant intérieur. Cette différence hislolo-
gique avait déjà été relevée par MohI ^. Le croissant le plus épais est toujours
celui qui regarde la surface de Porgane la plus proche du centre de figure
du faisceau.
On observe parfois, dans les faisceaux principaux et de second ordre, une
division du liber mou en deux ilols séparés entre eux et du bois par des fibres
primitives sclérifiées.
Le bois comprend des vaisseaux à section arrondie ou polygonale,
parmi lesquels il s'en trouve souvent un dont le diamètre est prédominant.
Les faisceaux de second ordre ne sont d'ordinaire que la réduction des
faisceaux principaux. Quant aux faisceaux d'ordre plus élevé, ils ne sont
souvent représentés que par des fibres primitives non différenciées, entou-
rées par une masse scléreuse; parfois même ce. ne sont que des masses
scléreuses.
Des cordons scléreux sans trace vasculaire se trouvent souvent épar-
pillés dans le voisinage de la face interne des feuilles réduites à leur gaine.
Dans le limbe de la première feuille normale^ le tissu fondamental se
' La description du mode d'apparition des divers ordres de faisceaux a été faite chez le
Chamœdorea Schiedeana M., par Nâgeli {Beitr. zur Wiss. Botan.^ Heft I, p. 129). Elle est
applicable à tous les jeunes Palmiers que j'ai eu l'occasion d'examiner.
2 Voy. p. 11.
118 RECHERCHES
difTérencie quelquefois dans le prolongement des plis en un tissu de charnière,
décrit pour le dallier et d'autres Palmiers.
Les faisceaux sont aussi entourés par un fourreau scléreux, mais ici on
n'observe pas toujours une différenciation bien nette entre les éléments du
croissant extérieur et ceux du croissant intérieur.
Le pétiole de la première feuille gemmulaire a habituellement la forme
d'un prisme triangulaire à arêtes mousses et à face antérieure déprimée. Ses
faisceaux sont disposés suivant deux ou trois arcs ouverts antérieurement.
Les extrémités de ces arcs se rejoignent aux bords de la face antérieure, où
se remarque fréquemment la fusion des gaines scléreuses de faisceaux
voisins, ce qui tend à augmenter le système mécanique de l'organe. Certains
pétioles présentent des particularités intéressantes, quant à l'orientation des
faisceaux.
La gaine de la première feuille normale est à peu près analogue aux
gaines que forment les premières feuilles gemmulaires dépourvues de pétiole
et de limbe. Il y a cependant des exceptions à celte règle (Calyplronoma
Levaulziy Caryota sobolifera, etc....).
i
Quelques caractères suffiront pour distinguer génériquement, les uns des
autres, les Palmiers examinés. L'étude de nouvelles espèces permettra seule
de déterminer quelle valeur on peut attribuer aux caractères employés.
La comparaison des genres nous fournit les diagnoses suivantes :
A. — Germinations du type Phoenix.
Genre^Caryola. — La première feuille gemmulaire est réduite à sa gaine.
Le limbe de la première feuille normale est divisé en deux parties triangu-
laires réunies par un isthme étroit. Le faisceau de la racine possède moins
de quinze pôles. L'endoderme ne présente pas une alternance d'arcs scléreux
et d'arcs à parois minces. Le tissu cortical de la racine contient des massifs
j
SUR LES JEUNES PALMIERS. 419
scléreux. Les éléments sclérifiés du lissu fondamental secondaire de la racine
sont allongés radialement. Les éléments de l'assise pilifére ont une section
tabulaire. Les faisceaux de la première feuille gemmulaire peuvent être
répartis en moins de quatre ordres.
Genre Phœnix. — La première feuille gemmulaire est réduite à sa gaine.
Le limbe de la première feuille normale est allongé, entier et terminé en
pointe. Sa nervure médiane ne se distingue pas des autres grosses nervures.
Le faisceau de la racine possède moins de quinze pôles. L'endoderme
ne présente pas d'alternance d'arcs scléreux et d'arcs à parois minces.
Le tissu cortical de la racine contient des massifs scléreux. Les éléments
sclérifiés du lissu fondamental secondaire de la racine sont allongés suivant
le sens du rayon. Les éléments de l'assise pilifére sont tabulaires Les
faisceaux de la première feuille gemmulaire sont répartis en plus de quatre
ordres.
Genre Chamœrops. — La première feuille gemmulaire est réduite
à sa gaine. Le limbe de la première feuille normale est allongé entier
et terminé en pointe. Sa nervure médiane ne se distingue guère des autres
grosses nervures. Le faisceau de la racine possède moins de quinze pôles.
L'endoderme présente une alternance régulière^ ou non^ d'arcs sclé-
reux et d'arcs à parois minces. Le tissu cortical de la racine ne contient
pas de massifs scléreux. Les éléments sclérifiés du tissu fondamental secon-
daire de la racine sont allongés radialement. Les éléments de l'assise pilifére
ont une section tabulaire. Les faisceaux de la première feuille gemmulaire
peuvent être répartis en moins de quatre ordres.
Genre Livistona. — La première feuille gemmulaire est réduite à sa
gaine. Le limbe de la première feuille normale est allongé, entier et terminé
en pointe. Sa nervure médiane ne se distingue guère des autres grosses
nervures. Le faisceau de la racine possède moins de quinze pôles. L'endo-
derme ne présente pas une alternance d'arcs scléreux et d'arcs à parois
minces. Le tissu cortical de la racine ne contient pas de massifs scléreux.
120 RECHERCHES
Les éléments sclérifiés du tissu fondamental secondaire de la racine sont
allongés radialement. Les éléments de l'assise pilifère sont prolongés en
poils. Les faisceaux de la première feuille gemmulaire peuvent être répartis
en plus de quatre ordres.
Genre Trachycarpus. — La première feuille gemmulaire est réduite à sa
gaine. Le limbe de la première feuille normale est allongé^ entier et terminé
en pointe. Sa nervure médiane ne se distingue guère des autres grosses
nervures. Le faisceau de la racine possède moins de quinze pôles. L'en-
doderme ne présente pas une alternance d'arcs scléreux et d'arcs à
parois minces. Le tissu cortical de la racine ne contient pas de massifs
scléreux. Les éléments sclérifiés du tissu fondamental secondaire de la
racine sont allongés radialement. Les éléments de l'assise pilifère sont
prolongés en poils. Les faisceaux de la première feuille gemmulaire peuvent
être répartis en quatre ordres ou moins.
Genre Thrinax. — La première feuille gemmulaire est réduite à sa
gaine. Le limbe de la première feuille normale est allongé, entier et terminé
en pointe. Il est très épais. Sa nervure médiane est fort peu prédominante.
L'endoderme ne présente pas une alternance d'arcs scléreux et d'arcs
à parois minces. Le tissu cortical de la racine ne contient pas de massifs
scléreux. Les éléments sclérifiés du tissu fondamental secondaire de la racine
sont allongés radialement. Les éléments de l'assise pilifère ont une section
tabulaire. Les faisceaux de la première feuille gemmulaire peuvent être
répartis en moins de quatre ordres.
Genre Latania. — La première feuille gemmulaire est réduite à sa gaine.
Le limbe de la première feuille normale est penné. Le faisceau de la racine
possède plus de quinze pôles ^ L'endoderme ne présente pas d'alter-
nance d'arcs scléreux et d'arcs à parois minces. Le tissu cortical de
la racine contient des massifs scléreux. Les éléments sclérifiés du tissu
* On notera également les autres particularités intéressantes de ce faisceau.
I
SUR LES JEUNES PALMIERS. 121
fondamenlal secondaire de la racine sont allongés radialement. Les éléments
de rassise pîlifère ont une section tabulaire. Les faisceaux de la première
feuille gemmulaire peuvent être répartis en plus de quatre ordres.
Genre Cocos. — Les deux premières feuilles gemmulaires sont réduites
à leur gaine. Le limbe de la première feuille normale est allongé, entier et
terminé en pointe. Sa nervure médiane est fort prédominante. Le faisceau
de la racine possède plus de quinze pôles. L'endoderme ne présente pas
d'alternance d'arcs scléreux et d'arcs à parois minces. Le tissu cortical
de la racine ne contient pas de massifs scléreux. Les éléments sclérifiés du
tissu fondamental secondaire de la racine sont allongés tangentiellement. Les
éléments de l'assise pilifère ont une section tabulaire. Les faisceaux de la
première feuille gemmulaire peuvent être répartis en quatre ordres ou moins.
B. ■" Germinations du type Sabal.
Genre SabaL — La région cylindrique du cotylédon est insérée oblique-
ment sur la région basilaire embrassante. La première feuille gemmulaire
seule est réduite à sa gaine. Le tissu fondamental secondaire de la racine est ,
formé par deux anneaux. L'anneau intérieur est constitué par dos cellules
à parois minces; l'extérieur, par des cellules à parois scléri fiées. Les éléments
de l'assise pilifère ont une section tabulaire. Leurs parois externe et latérales
sont scléri fiées.
Genre Washinglonia. — La région cylindrique du cotylédon est insérée
perpendiculairement sur la région basilaire embrassante. La première feuille
gemmulaire seule est réduite à sa gaine. Le tissu fondamental secondaire
de la racine est formé par trois anneaux. Le moyen est constitué par des élé-
ments sclérifiés. Les éléments de l'assise pilifère conservent des parois minces.
Genre Pritchardia. — Le cylindre cotylédonaire est inséré perpendicu-
lairement sur la région basilaire embrassante. Les deux premières feuilles
Toue LI. 16
in RECHERCHES
gemmulaires sont réduites à leur gaine. Le tissu fondamental secondaire
de la racine est analogue à celui du dattier. Les éléments de Tassise pilifère
conservent des parois minces.
C. Germinations du type Dyctyosperma '.
Genre Kenlia. - Les trois premières feuilles gemmulaires sont réduites
à leur gaine. La première feuille normale a un limbe bifide ^. La racine
principale est accompagnée de racines latérales. Les fibres primitives de la
région centrale du faisceau polyarque ont une seclion arrondie et des parois
minces. On rencontre des sclérites ^ dans le tissu fondamental secondaire de
la racine. Les éléments de l'assise pilifère ont une section tabulaire.
*
Genre Archontophœnix. — Les deux premières feuilles gemmulaires sont
réduites à leur gaine. La première feuille normale a un limbe bifide. La
racine principale est accompagnée de racines latérales. Les fibres primitives
de la région centrale du faisceau polyarque ont une section polygonale. On
rencontre des sclérites dans le tissu fondamental secondaire de la racine. Les
éléments de l'assise pilifère ont une section tabulaire.
Genre Rlwpaloslylis. — La première feuille gemmulaire seule est réduite
à sa gaine. La première feuille normale a un limbe bifide. La racine princi-
pale est accompagnée de racines latérales. Les fibres primitives de la région
centrale du faisceau polyarque ont une section polygonale. On rencontre des
sclérites dans tout le tissu cortical de la racine. Les éléments de l'assise
pilifère ont une section tabulaire.
' Les Oreodoxa possèdent, d'après Gehrke (Beitràge zur Kenntniss der Anatomie von Pal-
meiikeimlingen, p. 8), le mode de germination que Martius a appelé admotiva. Ils doivent par
conséquent être rangés auprès du type Diclyosperma. Leur premier limbe est, d'après
Pfitzer (Ueber Fruchte, Keimung und Jugendzmtàude einigei' Palmen^ p. 46), allongé, entier
et terminé en pointe.
3 Je n'ai rencontré de limbe réellement bifide que dans la tribu des Arécées.
3 Je n'ai observé la présence des sclérites que dans la tribu des Ârécées.
SUR LES JEUNES PALMIEnS. 123
Genre Dictyosperma. — Les deux premières feuilles gemmulaires sonl
réduites à leur gaine. La première feuille normale a un limbe bifide. Il n'y
a pas de racine latérale. Les fibres primitives de la région centrale du
faisceau polyarque ont une section polygonale. On rencontre des sclériles
dans le tissu fondamental secondaire de la racine. Les éléments de Fassisc
pilifèrc ont une section tabulaire.
Genre Eulerpe, — Les deux premières feuilles gemmulaires sonl réduites
à leur gaine. La première feuille normale a un limbe bifide. La racine
principale est accompagnée de racines latérales. Les fibres primitives de
la région centrale du faisceau polyarque ont une section polygonale. On
rencontre des massifs scléreux dans le liège interne de la racine. Les éléments
de rassise pilifère ont une section tabulaire.
Genre Hmvea. - Les deux premières feuilles gemmulaires sont réduites
à leur gaine. Le limbe de la première feuille normale est penné. La racine
principale est accompagnée de racines latérales. Les fibres primitives de la
région centrale du faisceau polyarque ont une section polygonale. On
rencontre des massifs scléreux dans le liège interne et des sclérites dans le
tissu fondamental secondaire de la racine. Les éléments de l'assise pilifère ont
une section tabulaire.
Genre Nephrosperma. — Les trois premières feuilles gemmulaires sont
réduites à leur gaine. La première feuille normale a un limbe bifide. La
racine principale est accompagnée de racines latérales. Les fibres primitives
de la région centrale du faisceau polyarque ont une section polygonale. On
rencontre des sclérites dans tout le tissu cortical de la racine. Les éléments
de rassise pilifère ont une section tabulaire.
Genre Hyophorbe. — Les trois premières feuilles gemmulaires sonl
réduites à leur gaine. La première feuille normale a un limbe bifide. La
racine principale est accompagnée de racines latérales. Les fibres primitives
de la région centrale du faisceau polyarque ont une section polygonale. On
124 RECHERCHES SUR LES JEUNES PALMIERS.
rencontre des sclériles dans tout le lissu cortical de la racine. Le tissu
fondamental secondaire n'est pas encore épaissi. Certains éléments de l'assise
pilifère sont prolongés en poils.
Genre Geonoma. — Les deux premières feuilles gemmulaires sont
réduites à leur gaine. La première feuille normale a une limbe bifide. La
racine principale est accompagnée de racines latérales. Les fibres primitives
de la région centrale du faisceau polyarque ont une section polygonale. On
ne rencontre ni sclérites ni massifs scléreux dans le lissu cortical. L'anneau
de lissu fondamental secondaire à parois minces est très étroit. Les éléments
de rassise pilifère ont une section tabulaire.
Genre Cahjptronoma. — Les deux premières feuilles gemmulaires sont
réduites à leur gaine. La première feuille normale a un limbe bifide. La
racine principale est accompagnée de racines latérales. Les fibres primitives
de la région centrale du faisceau polyarque ont une section polygonale. On
ne rencontre ni sclérites^ ni massifs scléreux dans le tissu cortical de la
racine. Les éléments de l'assise pilifère ont une section tabulaire. La gaine
de la première feuille normale présente un faisceau dont Torientation est
singulière '.
Genre Desmoncus. — Les deux premières feuilles gemmulaires sont
réduites à leur gaine. La pn^mière feuille normale a un limbe qui possède
une forme remarquable -. La racine principale est accompagnée de racines
latérales. Les fibres primitives de la région centrale du faisceau polyarque
ont une section polygonale. On ne rencontre ni sclérites, ni massifs scléreux
dans le lissu cortical de la racine. Les éléments de l'assise pilifère ont une
section tabulaire.
• Voy. p. 101.
2 Voy. p. 101.
■^W*i
TABLE DES MATIERES.
Puges.
Introduction 3
Historique > 9
Chapitre PREMIER. — TVpes ((e ^ermma^io/i 17
Chapitre II. -- Germinatiom du type Phœnix 21
Pbœnîx dactylifera 21
P. canariensis 31
P. farinifera 32
P. reclinata 33
P. spinosa 33
Caryota sobolifera 34
Chamaerops humilis var. tomentosa 37
C. humilisvar. flexuosa. 40
C. humilis var. arborescens 42
Livistona australis 42
L. chinensis 46
Trachycarpus exceisus . 46
Thrinax excelsa 48
Latania Loddigesii 50
Cocos flexuosa 56
Chapitre III. — Germinations du type Sabal 59
Sabal umbraculifera 59
S. adansoni 65
Washingtonia filifera 67
Pritchardia pacifica 70
P. macrocarpa 72
126 TABLE DES MATIERES.
Pag0t.
Chapitre IV. — Germinatùms du type Didyosperma 75
Dictyosperma aureum 7S
Keptia exorhiza 78
Archontophœnix Âlexandrœ 80
A» Cunninghamiana 82
Rhopalostylis Baueri 84
R. sapida 86
Euterpe edulîs 87
Howea Belmoreana 89
H. Forsteriana 91
Nephrosperma Van Houtteanum 92
Hyophorbe Verschaifeiti 94
H. amaricaulis 96
Geonoma gracilis 98
Calyptronoma Levautzi 99
Desmoncus s/;. ? 101
Chapitre V. — Coficlusions 108
EXPLICATION DES PLANCHES.
ABRÉVIATIONS.
As. p. Assise pilifère.
As. s. Assise subéreuse.
B.
Bois
C. e. Croissant extérieur.
G. i. Croissant intérieur.
Coi. CoUenchyme.
End. Endoderme.
Ép. Épiderme.
£p. e. Ëpiderme extérieur.
Ép. i. Épiderme intérieur.
F.
Faisceau.
i» f. g. Première feuille gemmulaire.
2« f. g. Deuxième feuille gemmulaire.
3« f. g. Troisième feuille gemmulaire.
4* f. g. Quatrième feuille gemmulaire.
F. m. Faisceau médian.
F. p. s. Fibres primitives sclérifiées.
F. s. Fourreau scléreux.
G.
L.
L a.
Lg. in.
M. H.
Pé.
Rg.b.
T.f.
Graine.
Liber.
Lacune antérieure.
Liège interne.
Massif hypodermique.
Péricambium.
Région basilaire embrassante du coty-
lédon fgaine cotylédonaire).
Rg. c. Région cylindrique cotylédonaire.
Rg. é. Région élargie du cotylédon.
R. 1. Racine latérale.
R. p. Racine principale.
S. Sillon médian. •
T. ch. Tissu de charnière.
Tissu fondamental.
T. f*. n. s. Tissu fondamental secondaire non sclé-
rifié.
T. f«. s. Tissu fondamental secondaire sclérifié.
i\
Trachée initiale.
j
Planche I.
FiG. 1 Germination du Phœnix daclylifera *.
» 2 Germination du Sabal wnbraculifera.
M 3 Qermination du Dictyosperma aureum,
»> 4 Section transversale pratiquée vers le milieu de la longueur de la racine principale du P.
daclylifera.
n 5 Section transversale d'ensemble pratiquée dans la région cylindrique du cotylédon du P.
daclylifera.
Y. 6 et 7 Sections transversales d'ensemble pratiquées vers le milieu de la longueur de la première
et de la seconde feuilles gemmulaires du P. daclylifera.
Planche U.
FiG. 1. Section transversale d'ensemble des trois premières feuilles gemmulaires du Caryola soboUfera,
pratiquée vers le milieu de la longueur de la première.
m
» 2. Section transversale d'ensemble de la première feuille gemmulaire du Chamœrops humilis, var.
lamenlosa.
n 3. Fragment de l'épiderme extérieur de la seconde feuille gemmulaire de la même plante, montrant
un stomate.
» 4. Portion d'une section transversale de cette feuille.
» 5. Germination du Livislona auslralis.
» 6. Section transversale d'ensemble des trois premières feuilles gemmulaires du Livistona australis,
pratiquée vers le milieu de la longueur de la première.
« Le grossissement réel est indiqné à côté de chaque figure. Lorsqu'il a'esl pat mentionné, c'est que le dessin est à peu
près de même grandeur que l'objet
Planche III.
FiG. 1. Germination du Latania Loddigesii.
» i. Section transversale d'ensemble des deux premières feuilles gemmulaires du Latania Loddigesii,
pratiquée vers le milieu de la longueur de la première.
» 3. Section transversale pratiquée vers le milieu de la longueur de la racine principale du Sabal
umbraculifera,
» 4. Section transversale d'ensemble pratiquée près de l'insertion du cylindre cotylédonaire sur la
gaine du S. umbraculifera,
» 5. Fragment de Tépiderme extérieur de la gaine cotylédonaire du S. umbraculifera.
» 6. Section transversale d'un faisceau du cylindre cotylédonaire chez le S. umbraculifera.
Planche IV.
FiG. 1. Section transversale d'ensemble des deux premières feuilles gemmulaires du Wastùngtonia
filifera, pratiquée vers le milieu de la longueur de la première.
» !2. Germination du Pritchardia pacifica,
» 3. Germination du P. inacrocarpa.
n 4. Germination du Kenlia exorhiza.
» 5. Limbe de la première feuille gemmulaire d'un Desmoncus brésilien.
» 6. Section transversale d'ensemble de la deuxième, de la troisième et de la quatrième feuille gem-
mulaires d'un Desmoncus brésilien, pratiquée vers le milieu de la longueur de la deuxième.
Tome LI. il
L 'H-wji. Uu/uel^ ad im
fem.de l'Académie.
PL II
/' . .' ,'.„ aa uii. acL
Lxjthj
iffiu.cle l'Acadéi
PLIV
z:V/.7
0
NOUVELLES RECHERCHES
SUR QUELQUES FORMULES
DE
CALCUL INTÉGRAL,
PAR
J. BEAUPAIN,
INGÉNIEUR AU CORPS DES MINES,
DOCTEUR EN SCIENCES PHYSIQUES ET MATHÉMATIQUES.
(Mémoire présenté à la Classe des sciences, dans la séance du 3 noTembre 1888.)
Tome Li. 1
SODfELlES BECHERCHtS
SUR QUELQUES FORMULES
DE
CALCUL INTÉGRAL
Dans un autre travail présenté à PAcadémie de Belgique "^^ nous avons
démontré les formules suivantes :
cos(qf— p)-
(1) . . . y 'co8'î>sînqffrfy-= — B(5L_?,pH-iJ H-
gH-i
J
sïorfcos'fcosqfdf
(^)
^^+r+i
®r.^ f = / 8in> cos'f sÎQ qfdf
(3) '
(^-|-^.r + l.«-.-l) y^^^K^ 2 '".«-H.r+i).
* Voir le mémoire intitulé : Sur quelques formules de Calcul intégral^ tome LI des
Mémoires cour, et des sav. étrangers.
SUR QUELQUES FORMULES
If
/i fr jr 2
cosr-
(S) . . . y *«in>cos'j.sm(« + r)fd^ = ^;;^8inr^^
0
où nous posons, pour abréger,
P{r,s)=J
£|X.
Si, par un procédé différenl de celui donl il a été fait usage, on parvenail
à déterminer les valeurs des intégrales contenues dans les premiers membres
des équations (1), (2), (3), (4) et (5), on aurait, par cela même, calculé
les transcendantes P, B, et /3(r, «). En particulier, si Ton avait ramené les
intégrales trigonométriques aux fonctions eulériennes, on aurait résolu le
problème que nous proposons, savoir : la détermination des transcendantes
P, Bel/3(r, s).
DE CALCUL INTÉGRAL.
L
PjrJ
Réduction de la tramcendante /^ x « '(i + xYdx
0
aux intégrales eulériennes.
i • Soîl d'abord p > — i . J'ai monlré que, si q^ =» 0, celle Iranscendanle
est réduclible aux intégrales eulériennes.
Ona
D'ailleurs celte intégrale est connue, quel que soit le nombre p, si Ton
observe que
(1 -¥ x)*^
0
donc
Généralenienl, si q esl un nonibre entier, le premier membre de Féqua
lion (i) esl connu; il en sera donc de même du second.
Soit, pour fixer les idées, q «=» 2a. (a entier.)
On a
sin 209 «a \ I 1 1^ cos'*"**~V sin*'*+V>
i représentant |/ — i •
6 SUR QUELQUES FORMULES
Ed conséquence^
0 0
Posons sin y -= |/a?; d'où
OU bien
" _ r(m + 4)r[| 4-a--mj
Mais
r T-^oH- 1
)-^-)(i— )-(h— )f(i— -)>
donc
r(fim- 1) r(|^-a — m)
4 .2.3 ... m ^ ^,
\ (p -♦- îa) (p -H 2a — 2).. . (p -♦- 2a - 2m)
Finalement,
2 ^ \2m^i/ (pH-2a)(p ^2a — 2)...{p-*-2a — 2w)
Si nous reportons celle valeur dans l'équation (1 ), il viendra,
/« ïz?— I r /2a D \
(8) . .\ •
£o \2fii-4-l/ (p-H2a)(p-H2a — 2)...(p-4- 2a — 2m)
DE CALCUL INTEGRAL. 7
pourvu que Ton ait
2o — p>0, p> — i.
Semblablement^
^ » (i+x)'dx = (_i)-siop^B( ^ ^,pH.i)
(9) . .\ •
„"^/2a-*-l\ 1.2.3... m ^_.
jâ)\2m+ 1/ (p-h!^o-+-l)(p-H2a— 1)...(pH.2a+l— 2m)
avec les conditions
2a-*-i— p>0, p> — i.
Ainsi rintégrale y^a?*"" ' (1 + oj^^rfa; sera immédiatement connue^ si r et /i
u
satisfont à régalilé
a c=3 p H- 2r. (a entier.)
Ed conséquence,
(10)
/
« «"-« r(r)r(2a — 2r-4. i)
(Ix =s cos rir
(i -i-x)*^-** r(2a — r-*-4)
0
2*^=^ A \2mH.i/* (2a — r){2o-r— l)...(2a— r— m)'
x^-« . r(r)r(2a — 2r-v2)
dx = cos m
(il)
/ (i -f-x)»"^-'-*"" r(2a — rH-2)
0
1 "^ /2a -^ \\ ,^ 1.2.8... m
a*'-»-'* ;â) \2iw-4-W* (2a-». i— r)(2a — r)...(2a-^l — r—
m)
2. En second lieu^ considérons Tintégrale
y 3
J X'-'
«y
dx,
/> étant un nombre quelconque.
8 SUR QUELQUES FORMULES
Nous montrerons bientôt que si r et p vérifient Tégalité
a «=3 — p ^ 2r,
la transcendante / ,^^]^^^^ dx est réductible aux intégrales eulériennes.
0 .
3. Dans ses Exercices de calcul intégral, tome II, p. 157^ Pillustre
Legendre traite cette transcendante de la manière suivante.
De ridentité:
ax= • — •«- n
dx (i -4- x)- (1 -♦- xy (4 4- x)»*' '
Il lire
ou
(42) -g^^lr- n)Q(n) + nQ(»-4- I),
si Ton pose
Q («)-/'
X-*
(i ^ x)'
dx^
Pour trouver Tintégrale Q(2r — k), on a, d'après la formule (12),
(i - r) Q{2r — 1 ) « â*-"- + (^ - 2r) Q (2r),
(2 — r) Q (2r — 2) = 2'-*' -^ (2 — 2r ) Q (2r — « ),
Ainsi toutes ces intégrales seront connues d'après la valeur de
QW. "-'"
2 r(2r)'
DE CALCUL INTÉGRAL.
IL
Réduction de la transcendante /3 (r, s) = pi-^xya^xY^^i-^xYix-^œY ^^
aux intégrales eulériennes.
4. Reprenons les formules (4) et (5) :
sinr-
n 2
Ar..,.+ r=~4^7Cosr- + _^-p(r,«),
cosr-
Elles supposent
on en déduit Tégalité
En particulier^ si « + r = 0,
cosr
2
0
2/ ♦«'"'' = 5'
OÙ Ton suppose
i >r> -i.
Posons siuf» |/^; il viendra
ToMB LL
40 SUR QUELQUES FORMULES
c'est-à-dire
i'*) ""i'n^>M—
Comme on le vérifie aisément^ cette formule ne diffère qu'en apparence
de celle d'Euler.
r(p)r(i-p) = ^^
hiupi
5. Dans le mémoire cité plus haut^ nous avons montré^ chose évidente
d'ailleurs, que la transcendante jS {r, s) est réductible aux intégrales eulé-
riennes^ si
s — r=dta. {a entier.)
Nous allons prouver qu'il en est de même quand
« -I- r = a.
6. Examinons d'abord le cas particulier de « -f ^ "^ 0. En vertu de
l'équation (i),
0
où l'on suppose
4>r>-i.
Développant^ en série^ le premier membre de l'équation (15), on trouve :
(16^ l^^ticr^- ^^^""^^ \Yl ^'^ \ i.3.g...(2m-l) 1
^ ' "^2 /5j-2r\ LîàiVSmH- iy(3-î2r){5 — 2r)...(î2m-^i— 2r)J*
Cette formule donne le développement de tgr|^en série convergente^ à
termes alternativement positifs et négatifs.
DE CALCUL INTEGRAL. U
La formule (15) ne diffère pas de celle de M. Catalan (Mélanges mathé-
matiques, t. Ill^ p. 228).
En effets posant
1 — X
on a
»/«,
^
a^ — a • da
Puis^ en faisant r ^ ^ â? et en changeant a en -,
a ^ — a*
— i
— a*" (/<
i/;
Comme le fait remarquer M. Catalan, cette formule ne diffère qu'en appa*
rence de la célèbre formule due à Euler :
•p»^* <!-*^
0
7. Généralement, soit « -f r = 2a (a entier).
On a
cosr-
2
A ^J^sm^f cos'--^ siD âay rf?» = ^ sin r ^ — --^^ B (r, 2a — r).
Mais
%
ou^ en posant sin 9 = Vx^
-îTL".)-/'-'~"-'--'-^>
12 SUR QUELQUES FORMULES
c'est-à-dire
r(- + m+ 1) rfaa — m -^)
On lait que
r(:.„..)=(r.«)(r.«-.)...(:..)rf,..).
et que
r(2«-^) = (2a-i-:)(2«-2-0...(2«-«.-pr(2«-m-l);
en conséquence^
Ax»-
2 r(ia -f- <) [ à lâm -^ J* (4tt-r~2m)(4a-r-2m-2)...{4a-r-2)J'
Par subslilulion de cette valeur dans Téquation (5)^ il viendra
I ox = !rtgr —
J x(l— xY * 2
m{
r[-^i)r[2a âjr,--.. 2« \ r (r...2)(r.«-4)...(r.^2m) l
cosr- r(2a +1) L •=• ^2"* •*" ^' L(*o-'--2)(*«-'--*).-(*a-r-2iii)J'
r satisfaisant aux inégalités
ry—\, 2a>r — 1.
Semblablement,
r>'(\+ xr (1 - j)-^ - (1 - x)" {i •«- x)''+' ^ «•
J x(i— xy "* 2
0
(19) rf-.^0rf2a-^<--l
L.â.\2m-4-l j* (4a-r)(4a-r-2). .(4a-t-2-r-2iii)J'
-_2««+*
cosr-r(2o -^ 2)
DE CALCUL INTÉGRAL. 15
pourvu que Ton ait
r > 4, 2a-f- i > r— 1.
Si r est compris entre 0 et 1, les formules (18) et (19) deviennent
ax = TT te r -
x(l — x»)' ^ 2
(20) ( '
__ (4a~2--r)(4a-4-r)...(2-r) 2yr p^"* / 2a \ ^ fr -^a)(r -i-i)... (r 4-2m) 1
"" i.2.3...2o sinrr LSo \2ni-i-i/* (4o-r-2)(4a-r-4)...(4a-r-2m)J '
/* (i -♦- x)*' (1 - x)*^* — (i — x)^ (i -f- x)*^* . T
^^(î^r^ô^ rfx = .tgr-
(24) < •
(4a-r)(4o-r-2)...(2-r) 2:rr r*;^ /2a-Hi \ ^ (r -4- 2) (r h- 4) ... (r -t> 2m) 1
"" 4. 2. 3... (2a -^1) sinr7r[àï\2m-4-iJ* (4û-r) (4a-r -2) ... (4o 4-2-r-2iwJ '
8. Remarque. — Si r est un nombre impair^ le dénominateur^ dans le
second membre des équations (20) el (21)^ est nul; il doit donc en être de
même du numérateur. Pour trouver la vraie valeur de (3(r^ s), il faut recourir
à Téquation
jr smr-
/¥* ^ 3r 2
sin'y cos'f cos (s + r)fdf = ^;:;^^ cos r - + -^:^^ p (r, s).
Soient donc
r=i26-f-i, « = 2a — 26 — i et a>6,
on a
^Ur_^ [1 ^ )1 Il 5J_^l^i dx = (— 4)*2«-Hp,
0
en posant^ pour abréger
P =
/ 5111**+*^ COS*""^"' V COS ^Ofdf.
Or,
"^-lil)'-
cos 20^ = ^ l a M"" cos*""*" 8in**f ,
14 SUR QUELQUES FORMULES
donc
^ ^ i 1 (2I) *" / * '''" (^ - '^"*"""* ^^ '
ou
2 A \^ml
_T(b ^mH-1)r(2a — 6 — m)
* r(2a + i)
Or,
r{6 + m -f- 1) = (6 -♦- m) (6 4- m — 4) ... (6 -f- i) r(6 ■+- i),
et
r(2o — 6) = (2a — 6-l)(2a-6 — 2) ..(-2o — 6 - m)r(2a— 6 — iw);
d'où
2 r(2â-^l) è^\^mr (2a — 6 — 1)(2a-6 -2)...{2a — 6 — m)'
et^ par suite^
* (i + X) (i — X)*"-'*-* - (1 - x)**-^« (i -4^ x)«-«*-* _,
dx
/
(22) ( »
= (_- iN^ .t.r(6-^Or(2a~6)r- /2a \ ^^^ (6 -f^ i) (6 4- 2) ... (6 -^ m)
^ ^ r(2a-+-1) ;êo\2m/ (2a-.6 — l)(2a — 6 — 2) ...(2a -6 — m)'
9. Application. — Soient, par exemple, a = 2 el6 = 1. La formule (22)
devient
j^î (|-4-x)»(l— a?)~(i— x)'(i ^x) 2M.2rE"/4 \ 2.3.4. .(m-4-i) 8
y X X — — i.2.3.4 èû \2m/ * 2. .3. 4. ..(3 — m) "" 3 '
Effectivement,
10. La combinaison des formules (15), (18) et (19) nous donnera immé-
diatement une nouvelle série d'intégrales définies.
DE CALCUL IJNTÉGRâL. 45
Exemples. — L Pour a = 0, la formule (19) devient
r(i-)r(.-3
^ ' ^ '—dx— I ^- ^ c/x = Ttgr 2
x(i — xy J (1 — a:Y ® 2
X
cos r-
OU
cosr-
2
OU nous supposons
Gomme celle intégrale est symétrique^ par rapport aux valeurs de r com-
prises entre — 1 et -f 1, exclusivement^ on peut écrire
/* (i ^xf ^(i — a?)"- 23rr
^^^^ 0—^Y ^""siDTr'
i > r > 0.
La transformation employée précédemment conduit à la formule
0 '
pourvu que Ton ait
w > X > 0.
IL Pour a = 1^ la formule (18) se transforme en
cosr-
2
ou bien
(26) { / l* — ' ) sin «T
< > r > 0.
i6
SUR QUELQUES FORMULES
IIL De méme^ on trouve
(27)
• • • ♦
/
« (4 -- X)
X
- (4 - x)'
«\r
((-»■)
\ 5 / siDrir
Or^O.
i 1 • Généralement^ ce procédé donnera les valeurs des intégrales
/
(1 - X')'
/
■taH-l
(t .^ ac)iv_ (« — a;)
(1 - a^y
Sr
rfX,
pour r variant entre les limites 0 et 1.
.Si r est commensurable^ on peut^ dans chaque cas particulier^ trouver
Tinlégrale indéfinie de ces fonctions; mais la méthode directe^ dans la plupart
des cas^ conduit à des calculs inextricables.
Âinsi^ soit
/
.(I ^x)^ — (i— xV
«{1 -xj
où nous supposons
dx
_ /»/4 H- xV dx rii — xV dx
nJ \\ — Xl X ^ \\ -^ Xl X*
r = — • (m et n entiers).
n
En posant successivement
(!^)-
(krl)'-"'
on trouve
/*(» -*- X
) - — (1 — x) •
dx^^n
X(i — X»)
dz — 2n I -1 du.
Application. — Si w «= 4 et n = 3, on trouve, toutes réductions faites.
/[(f^)=-(}^:r]?=-'.
(1 — xy +
* '2(1 -^x)5 -♦- (i— x)»
1/3
\* "*" *'
— W 5 arc tg
k^
1 + 2
(B-:)'
V/5apclg
1/3
1 -1-2
\i -f-x/
1/3
const;
DE CALCUL INTÉGRAL. 17
donc
0
4
résultai conforme à celui de la formule (15).
m.
Réduction de la transcendante B(;?, r -f- 1, 5 -f- 1)
aux intégrales eulériennes.
12. En premier lieu^ nous supposons que les exposants t^^ r e\.p salisfonl
aux inégalités
p>0, r>— 4, «>-l
Nous savons que si s et r salisfont à Tune des conditions
« =— r, « = a, s =3 r d: a, (o entier)
la transcendante ïi(j>, r -\- \y s -{- \) se ramène immédiatement aux inté-
grales eulériennes.
13. Cette fonction sera encore exprimable^ au moyen des mômes inté-
grales^ dans le cas de
Î2p I- « t- r ^= a. [a en lier)
En eflTet, des formules (1) et (2), on déduit
(28) B (
— , r hH , « H I = 2*+''*-«
sin(9-5— r)-
7r X
cosr - A- , , H- sin r - B- , -
siii(r/— «-r)-
Tome LI.
18 SUR QUELQUES FORMULES
1 4. Si q est entier, ces fonctions, que M. Catalan appelle ullra-euleriennes,
sont réductibles aux intégrales eulériennes.
Soit, pour Oxer les idées, q -= 2a. On a
-in
d'où
€Os2a5>= > 1 t*"cos*'-*"fSin'*f,
sin Soj» = 5 ( ] i^ cos**"*""*f sin**'*^^ ;
;So v*^ -♦-1/
0
Posons sin^ = [Z^; il viendra
0
c'est-à-dire
r(«..':|i)r(a-m-.i^)
«liit
/ »
la -♦- —
2
r
- -f- i
Mais
r(„. -) = („_,.-) („_,.l_J)..(-)r(-).
,-(..liJ).(._,.l±i)(,_,.l^'),..(„__i-),(._.i:M^
DE CALCUL INTÉGRAL. 19
par suite,
i \ air' 2 /r':^pa\.,, (r--1)(r-«-5)...(r-t-2m-<) 1
I CI -4" ~ I
\ 2 y
r
Br,..t.'=-r
* r
/(r')Kr«)r~„-v
« / \2 n'f'f 2a \.^ (r-.-2)(r-«-A)...(r.4.2».) 1
/ «-^'' .\ L £ii \2m -t- < / («-*-2o— 2)(«-+-2a-4)...(s-t-2a — 2»i)J'
\ 2 /
formules^ que nous pouvons encore écrire :
_i \ 2 / \ 2 / (s-»-2a— *){«-+- 2a— 3)... («-»-i)
A,..,».— -
2 „/, s^r\
(30) "^V-^-r)
(« -*- r-+- 2rt) (« -+- r -^ 2a — i) .. . (« -♦- r -♦- ^)
„ i \!2 y \Î2 y («-^2a)(«-* âa— 2)...(«-t-2)
(3i)
I
De même,
2 / «H-r\ («-+-r-4-2o)(«-4-rH-2a— 2). .(«-i-r+i)
p^ / 2a \ ^,^ (r^2m)(r-i-2m~2). .(s f- 2) 1
[ ;So ^2m + l/* («-+-2a— 2)(«-»-2a— 4)...(«-4.2a— 2w)J
4 \ 2 y \2 "*" y (« -4- 2a) (« -+- 2a -2) ... (a ♦- 2)
; ^^ « /s-4-r -4. 3\ («-^r-*-2a ♦.i)(«-+-r-*.2a — 4)... (« -Hr^S)
r"^/2a -H i\ ^^ (r ->. 2m — 4 ) (r + 2m — 3) ... (r -4. 1 ) 1
L'àv 2m y* (« -*- 2a) (« H- 2o - 2) ... (« ^ 2a — 2m -♦- 2)J '
1 \2 I \ ^ I («-*-2a-1)(« 4-2a — 3)...(«+ I)
. l 2 /< ^ r -f-SN (« -^ r -^ 2a -+- i) (« -H r -^ 2a — 4) ... (« -♦- r -*. 3)
r-S'/2o + l\ ^^^ (r -»■ 2m) (r ♦■ 2m -^ 2) ... (r -♦■ 2) 1
[ja\2m^iy * («H-2a — 1)(«-*.2a — 3)...(« -f-2a— 2m -t-l)] "
20
SUR QUELQUES FORMULES
Subslituanl ces valeurs dans les équalions (28) et (29)^ on a
(2a 8 r \
. r -h 1 , « -f- 1 J =- S'+'+«
TT
sin (« -4- r) -
/2a -t- i — s — r \
(55) B f , r -^ i, « -+. i J =.- â'+'^+«
Si 5 + y* = 0, Téqualion (35) devient
sin 8 ~ A^.,,fc^., 4- cos s - B^. ,. j^i
cosfs -I- rj-
./•■(^
x/v/x
— 2sinr-
2
\ 2 / \ 2/(20— .r)f2a-r — 2)...(2 — r
2)...(2-r)
i:io-^ 4) (2a- lj...ô.5
(36)
rf P" ■*' M t»- (r-4-i)(r-^5)...(r-f-2m-i 1
L»=« \2m -f- K I {"la — r) (2a — r — 2} ... (2a — r — 2m h- 2jJ
W y \:i 2 / 2a-r-1 (2a-r-3)...(1-
2cosr-
2
3)...(1-r)
(2a -i- 1) 2a — i).. 5.5
r-^/2a -4- ^\^ (r-^2)(rH.4)...(r-f-2m) "j
Ljà\2//«H ir (2a-r-0(2a-r-3).. (2a-r-2mH-i)J
En particulier^ a = 0 :
^'"^^ y II ^ xj l/-
2 cos r -
2
Av-'H-i")
V^n
— 2sinr-
2
* Si, dans Féquation (36), on fait r == 0, on a Tidentilé suivante :
i _ 2a 2ii(2a — 2) 2a|2a- 2)(2a — 4) 2a(2u — 2)(2a — 4)(2fl — 6)
2a-f-l "" "ûï TdiS 1.3.5.7 * 1.3.S.7.9 '**
a étant entier.
Un mémoire de M. Catalan intitulé : Sur quelques sommatiotis et transformaiiom de séries
contient la formule :
1 1
k ^ k{k-i)
p-hft p PiP-^i) p(p-+-i)(P-^2)
••- .., ir
fe(fc— 1)...5.2.1
p(p-*-l)...(p-f-*)*
DE CALCUL IINTÉGRAL. 21
Si^ dans celle dernière équalion^ on fait successivement r ==^ ^^r ^
<^
>
on a
0 -©
(38). r — î!^.,=_--4i — ^
(39) / = — = ■*■ — =
^ (l+x')V/l— X* 21/ 2t 8»/2ir
d'où, par addition,
r' (1)
(40) / — — == — —3 •
0/ j/i — x* 4l/â»-
3 113
Si, dans celle équation (37), on pose encore r = - ^> - i>j> j^ on trouve
les intégrales ultra-elliptiques suivantes :
«/ (1 -+- x*) 1/ 1 — Jc" SV^TT 64l/ff
r(i]rp) rP)r(I)
J (i + x*)V^\^x^ 641/ ir 81/ TT
(44) r -'-^^ := 3 i/j3i7i i!L^ _ ^r;n7i J!Ly .
«^^ (1 -HX*)V/1— a* 041/ TT 81/ 71
* On vérifie l'équation (39) en posant x = tgç,
n SLR QUELQUES FORMULES
Ajoutons les équations (41) et (45), (42) et (44),
0
,46, /•• _^, _ i/t:^ -^
Généralement, Téquation (36) permettra de déterminer les intégrales de la
forme
/-* (x*-l)Mx n {x'-\Yx'dx />' (x*-iYx'dx r' {x*-\]'x'ax
J (iH-x*)*+*Kr^'Y (i-f-x*)*+^t/r^»Y (i-*-x*)-»-Vir^««/ (i-hx*)-^'!/?^»
etc.
Ainsi
(47)
/•* (x*— l)V(/x i/; rjj \8/ \8/(8a— 5)(8tt — 15)... tf.5
7i H- x*r+« l/r^ "" ^ '^ *^ ^"4'+»»/t {2a-^ l)(2a-0...5.5
r^ /2a + M ,« (8m -f-1) (8m -7) ...17.9 1
[à ' 2'w *- 1 / * (8a — 5) (8a -13)... (8a -^ 8m -i- 5)J
r^Ui ^Isi (8a- i)(8a - 9) ...45 7
2.-4'+* |/~ (2o -^ I) (2a — 1) ... 5.3
r-^ /2a -♦- 1 \ ,^ (8m — 5)(8m-it)... i5.5 1
L-à \-2m -♦- i /* (8a — 4) (8a - 9) . . (8a — 8m -♦- 7)J
15. Si, dans Téquation (34), on fait a » 0, il viendra
T ^/r -+- 4\ „/« -4- 1\
cos«-r — -— r — -.-
/* -'-^-i V . ^^ 2 \ 2 / \ 2 /
x » (4 -xr(4 H- x)'dx 2-^ — -^-— ,
0 sin(«-^r)-r^l -^-^j
^ et r satisfaisant aux conditions
«-f-r<0, «>— 4, r> — i.
DE CALCUL INTÉGRAL. 23
Deux c<is peuvenl se présenter: s el r sonl de signe contraire ou tous deux
négatifs. Dans le premier cas^
1 rj^"\i-.Y _ t -"'i^r-f-)^(V)
(M) ... le/ (i^xy ' 2-' . , r / «-r\"
«>r, < >«>0, 1 >r>0;
el dans le second,
GOSS
dx
2 \ 2 / l 2 /
(80). • . ( y (1 — x)'-(< n)' -î-^
8.n(, 4-r)-r[i -^-j
4 > «>0, 1 >r>0.
16. Dans les formules (39) et ('iO), supposons s nul; elles deviennent
P^-MrfrMl^ /l^JT-^i) r-^72a\ (r-.-r) (r-^ô) ■■(r-4.2m - I) ^
\ 2 / ^ ' . r [:èMml {2o-l)(2o-5j...(2a-2m-*-0j
(KiK
sinr-
\ 2 / ^ "*" ^ r ^Asfin-I/ (Î2a-1)t!2a-3)..(î2a-am».1)j
cos r -
»5>
On trouve très facilement
r(?^-)r(r^i) = (-.ra-'^'-^^^'-*^-j'-^°"^V;rf-f!).
sin r-
2
(^^) c /2^^^_^\ (r---|j(r — 3)...(r — 2a f- 1).^^„ /r \
r( — ^-)r (r ^ 1) =.(-«)• 2- i i-i ^-i; ^^i/^r[--^i].
cos f -
2
Par le changement de r en 2a:, de r en 2a? h- 1, ces formules se trans-
24 SUR QUELQUES FORMULES
forment en
(53)
r(«-.)r(2x-Hi)={-ir2- L__L_i ii/.r(a:H--).
,a:(x — 1)(x — 2)... (x — o t-Oi^-,./
r(a-rr) r(2x . 2) = (-ir* 2-** ,.^„ '^-^ [^ "^
En verlu de la formule de Legendre^
on peut écrire simplemenl
. x(x — i)(x — 2) .. (x -a *- \)
r (a — X) r(l + x) = (- 1)*+' — : r,
^ sin rx
OU encore
x(l — x)(2 — .T^ ..(a — ^ — x)
(54) ... . r(a-x)rO -*-x)= : '-tt.
Cette formule ne diffère pas de celle d'Euler :
TX
r(i— x)ro -+-x)=-
sm TX
17. Si s -\- r est un nombre pair^ le dénominateur de Téqualion (34)
devient nul; il doit donc en être de même du numérateur^ et cette fonction
prend la forme g. Pour trouver la valeur de Tinlégrale B(?/i, r + 1, «^ -f 1)>
m étant entier^ on posera
(55) « -+- r = 26 -♦- a (6 entier)
a étant une variable^ constamment positive^ qui a pour limite zéro. Dans
Téquation (34)^ on substituera à s sa valeur tirée de (55); on prendra, par
rapport à a, les dérivées du numérateur et du dénominateur; puis, faisant
« = 0, on aura la valeur de Tintégrale B('//*, r + 1, « + 1).
DE CALCUL LNTÉGRAL.
28
18. Applications. — I. Soient « 4- r = « el a -= 1. On a
B[l--.r-*-1,«-Ml=:
2
OU
B[i-^»r-*-l,«-+-l] =2*
....:r(:-M)r(...i) »,.|r(^)r(,.'-ri),._,
2—2'+' .
8in(« + r)^r(2+'-^) 6|„(,4-r)îr(2+'-^) («+I)
.,„,_,^r(:..)r(...îz:)-..,.-,lr(--^)r(l^;rr)-.^
6in
En prenant^ par rapport à a^ la dérivée des deux termes de cette fonction
et faisant ensuite a ==^ 0^ il viendra
(86)
l
.l[,.,wrr(..r)r(,-9.,»,:r(4^')r(L^')]
!l est permis de supposer simplement! > r > 0; si r est négatif^ pour
obtenir la valeur de l'intégrale y^ *(*r^)'^^^ *' ^"®* ^® changer r en — r
dans Féquation (86).
Alors^ en vertu des formules :
^(H'-'h-h
sinr -
2
r(-')r(L±l)»^,
cosr-
3
il viendra
(57)
— I.
Tome L1.
i
26
SUR QUELQUES FORMULES
.. 1 — œ
Si l'on fait H^î = /3,
^/•^
P)
-rfp=:
î2Trr
sin rr
-h r
— I.
En vertu de l'identité :
on a
-,dp=l-
^'f'^p'^'
Ed conséquence,
(58) . .
/
"? = I — ::Tr— : — 5
i+p
r sin icr 3
■-M -('-i)
m --('-i)
1 >r>-l;
formule qu'on identifie, sans aucune difficulté, avec celle de Legendre (voir
Exercices de calcul intégral, t. II, p. i57) :
(59) .
« • *
.■■■É-) .-m
^G-) '--m
Si r est un nombre supérieur à i^ observons que
(60)/ ^«/p=--_ ,_--_... ._-L^.(_,).y iyp.
0 0
k étant un nombre entier satisfaisant aux inégalités
1 > r — fc> —t.
DE CALCUL INTÉGRAL.
±1
En vertu de (58),
(61)
1
i -^ i — r
\
(-0* (-<)•
r r — i r — t
r — k-^-i r — k sinirr
"(
) ^■(-^r
(
k-*-4
-) r("-^)
II. Dans la formule (35), supposons a — \e\s-\-r^{ +a.
B
Z—s—r . .\ ^^, 2 \ 2 y \ 2/r r + n
5 ,r+l,»+l =2*+' -h-3
coss
2
C08(» + r) - r^- ^
)
cos (s -4- r
)-rP
'2 \2
^)
OU
a«+«
cos (1 H- «) ^ r(5 + ^)
Prenons la dérivée, par rapport à a, des deux termes de cette fraction et
faisons ensuite a «= 0;
jy"\l-«)'(l+xy-'rfx=2r«nr^r('^)r(l+i^).H2(!-r)co8r^r(|-^l)r(i-:)
..,»,.îr(rii) r(...tr)_„_,.i„.:r(:.,)r(.-r)
-.,..rr('-il)r(,J-=r).,,„|rg.,)r(,-n
(62)
TT
2>r>-l.
28
SIJR QUELQUES FORMULES
Toutes réductions faites, on trouve
63)
\/'U
,M.)j,„ï!L-Ji'_,(,_,)
sin nr
ti -(il?)
l + 2r
2> r— i.
B
III. Soient encore « 4 r = 1 + « et a =- 2.
En général^
sin«-r( r(û-t--| _
2
•+r.
ro8
n^S^rn-l 5.4.3 â(r-4-<)(r * 3)1
[ï Tâi^'^ïïa 3.4(«H-4)(«H-2)J
cos«
2*+''.
2 va / \ a / p s. 4. 5 r-4-2 (r-«-2)(r-<-in
, ,r_/7-»-»-4-r\ |î~1.2.3 «-4-3 "* (»-<-3)(«+l)J'
(«+»•) 2 r[ J
OU
B ( — —, r+\,$-¥iUV^ ,7^.^^v K*-^ »)(2+») - < ©('•+ ' )(»•*■ *)+ 8(r+ 1 Xr+5)]
-^(r')K'-^)
C08
[5(«^ 3X«-+-i)-IO(r-f 2X«-^- 0-* (»'-^2)(''+*)l-
En conséquence^
/'.(i-.,-,.*.)-rf,=-[.sin.:r(!:f')r(<.tr).».r:r(:ii)r(.*if)]
(8_r)(3- r)-4-10{r + l)(r— 3)+ S(r-*- l)(r + 3)
.[.™,^r(:..)r(,-r)-..,^r(:..)r(.-r)]
5(4 — r)(2 — r)-4- 10 (r -*- 2) (r - 2) -^ (r m- 2) (r + 4)
12ir
cosr
if(^)^('-¥)<'*'">-^"î'-(r')^('-i)<'-''>»
DE CALCUL UNTÉGRAL.
29
c'est-à-dire
(64)
j «(l-x)'(l-^a;)'-'<iir=
/ K~r\
■■(<-iï
Slll TX
■"(-^l i'-i)
l-i-4r»
^ 1 — ;
2>r>-l.
1 9. Connaissant les valeurs des intégrales de la forme / œ'Ci -*- x)- L^\dx,
on déterminera sans diflicullé celles de *
/**"(rT^)'''''
r salisfaisaDt aux inégalités
l>r> — 1.
En effet, en vertu des équations (57) et (63),
/''(!^:)-=-
(65)
2
2trr'
sinsrr
F'
r(.-
Maintenant^ les valeurs des intégrales y fj^j Va?, y ^(fT^f^ ^*^"^*
0 0 . '
connues, on tirera de Téquation (64) celles de
r^^y-
etc., etc.
20. Possédant actuellement les valeurs des intégrales joi^ (rr^)^^^>
Y *aî"*(j-^)Vaî, pour toutes les valeurs de r comprises entre — 1 et + l
30
SUR QUELQUES FORMULES
exclusivement, on déterminera, par addition ou par soustraction, les trans-
cendantes
/^
• . (I H- X)" + (1 - X)
Sr
(i - «T
-dx
' /'
i (i -+.X)** — (1— x)'
*\r
(•-«7
dx,
Texposanl r variant toujours entre les mêmes limites.
Ainsi, en vertu de (37),
/ i '- i — dx = -» 2r — Is
J (1 - x»)' sin r^ <^'' r f'~''\ r f* '*' ^]
-2,
/
'(i>-g)*^ — (i -4-xy
dx '-^
d
puis
(66)
• • • • •
•/
*(l -t-x)*" -4.(4 — x)«' 27rr
t\r
{i - X')
sin m
(67)
/
'(•-*)--(' -Î^^=2-Jlîl.2r
(1 - X»)'
Sin nr
i—x
Par la transformation j-^j^^ = /3, Téquation (66) devient
/
(1 + f.)'
Sin 9rr
OU
/
rdp
2ir
(1 H- p)» sin nr '
c^esl-à-dire
/
00 Ar— I
i H- P sin Trr
formule qui joue un rôle important dans la théorie des intégrales définies.
DE CALCUL INTÉGRAL. 31
21. Remarque. — Nous connaissons la valeur de B(p,r -{• i, s ■{■ 1)
développée en série convergente; généralemeni,
l 2 J r(«- + 1) p^ (y-»— r -4- ait— 2) (qr -g— r-^ 2*— 4) ..((/—«— r) 1
"° nf?— *•*•»• .\ Ls)U/ (ï— «H-rH-2ilt)(ï-» + r-e2*— 2) ..(ç — « t-r «-2)J'
OU, en posant
ç — » _ r = p,
af'' r-4-l . , il_ ^^^^'^^''^^V"\''f*\ (p-»-2*-2)(p-2i -A) .■(p--2)p 1
\2' * / _ /p A L a W (p + 2r -f- 2*) (p i-2r ^-2*— 2) .. (p 4-2r h 2)J "
va /
Gonséquemment^ si /? satisfait à Tégalilé
p -f- « H- r = a, (a entier],
on connaîtra la somme de la série convergente
L^ v*/ (p -»- 2r -^ 2*) (p + 2r -4- SA - 2) . .. (p -^ 2r -4- 2)J'
OÙ Ton suppose
p>0, 8> -i, r> ~1.
En particulier^ en vertu de Téquation (48)^ il viendra
S' /«\ (— s — r -*- 2* — 2) (— « ~ r + 2* — 4) ... (— « — r)
ft U/ (— « -H r -^ 2*) (— s H- r -+- 2A: — 2) ...;—«-*- r -+- 2)
(69) ... I cos»ir(:-..)r(i^)r(l-pi.i)
= — 2*+
et r satisfaisant aux inégalités
«-+-r<0, «>— 1, r> — 1.
52 SUR QUELQUES FORMULES
22. Toutes les formules établies précédemment supposent que Texposant s,
dans Fînlégrale B(/?, r -i- 1,^ + 1), est supérieur à — 4. Nous examine-
rons maintenant dans quels cas il est possible d'exprimer, sous forme finio^
la transcendante
0
8 étant un nombre quelconque.
Schlômiich, Âbel et Boncompagni ont trouvé la formule
0
Nous allons prouver que, si p^r et s satisfont aux conditions
(71) p>0, r>— 1, 2p4-r — «=a, (a= entier)
la transcendante y ^^^^"^f-rfjc ou / nTâi^^^^ ^^' exprimable par les
intégrales eulériennes.
En effet, posons x = j^ , d'où dx =• ~^ ; par suite,
* Si, dans l'équation (72), on suppose p i r — 8 h 1 -^0, la formule d'Abel en résulte
immédiatement. En eflet,
•
or,
' e-{i+*¥)'x^+^da!;
(1 *- 2i^/+^* (prn-
0
donc
(1 -*. iy;F-i-.H.i y Ftp -h r H- 1) y ^ V
0 <f^ •
Par suite, „ „
ir(p)rfrH-i)
0
en changeant Tordre des intégrations
I dx = — „
(l -♦- a?)i^H-i ^fT{p + r -Hl)
DE CALCUL INTÉGRAL. 33
Mais
f-2«)' r(5),/
(1 H 2^)' r(*)
0
d'où
rzT ;<*'/
1 \ r*
r(«) r(p
♦- r — » 4- ()./ y ,/
et, en interverlissanl Tordre des intégrations,
• 0 •
Posons X '^ az, d'où
y (I -+- «)<«- •+' (1 + 2y)' ^ r(«) r(p -4- r — » -+- 1)7 (in- a)-^' (I .- 2«)' "'
0 0
ou
y (I - y)'+'-^' (I H- 2i/)' ^ r{a) r(p f. r - « H 1) y (I - «)-^' (| -h 2«)' '
Or,
(1 -H«r'(» +2a/ '^J (1 4- X/ '*'''
0 0
en faisant
a
X =
i ^ a
Conséqucmmcnl^
.1 *ii-i
x"-* (I — xr ^ r (pi r (r 4- 1) /•* x-« (i - x)'-^ • ^
— fiX.
^ ^ • • y (i-*-^)- "^ rwnp .r^« Hi)./
0 0
(1 •♦- xy
Tome LI.
S
34
SUR QUELQUES FORMULES
Si p esl un nombre compris cnlre 0 el 1, on déterminera très facilemenl
les valeurs de l'intégrale du second membre de Péqualion (73)^ si r, s et p
satisfont à la condition
(7 A) , . . 2p -♦ r — « = N. (N entier.)
23. Faisons successivement N = 0, 1, 2; on aura, en vertu de (73),
les formules suivantes :
(7î^) . . . . / -rr (T— rfx =^ -
r(2p -^ r
)r(..:)
/? satisfaisant à Tinégalité
en
ax = -
i>P> 0;
r(p)r(i-4-r)
|r(2^^) r(î^)-
^)
VH I
2(t— p)r(-2p f- r— i)
(i^)
(-3
(77)/
« «.»-!
^'-('--)'rfx=i
r(;))r(4-Hr)
0+ar)
v+>-«
2(2-p){l-p)r(ipHr-2)
r(n--) i^) '■(^1
(i)
-2
(^) ^(r')j
l-a;
En posant y— = /3 el changeant ensuite /3 en x, on aura :
(78) . .
r(p)r(p + ^)r(i-vr)
. / x'{i - xy-' dx = 2"-» —
• r {2p + r) r(i + Q
On doit avoir identiquement
r[^)r(p) r,pr(pH.^)r(n-r)
— z '^
■■(--:-)
r(2p .- r)r(i + ^)
r(1-4-r) r(2p-f-r)
ce qui est exact, en vertu de la formule de Legendre
i
DE CALCUL INTÉGRAL.
35
(79) / dx--=2"-' -^-^-^
_[ 2_ j \ t I
(l+x)'(i-i')'-'
r(p)r(n-r)
(2-p){4-/,)r(2p^r-2)
â
/2p+r-l
) ^m
^m nr')
Les deux membres des équations (78), (79) et (80) sont des fonctions
continues de p, constamment égales entre elles pour les valeurs de p com-
prises entre 0 et 1 ; donc, pour /? = 4,
(81)
et
. • / ■ rfx =- —
[■^(i-) <-^)J
dx = --
2
■■•m :ji) :(H
ou
(82)
/* x*" r
rfx = —
(1 H- 1)' 2
Semblablement, on trouve
•■■m ^■©
K
^m --(i) '
(83) (
/' a;'
; — dx
C>«^-8
r(p)r(i-.-r)
l5-pH2-p)ll-p)r(2f» + r — 3)
2p •+- r — 2)
r(^-^^) r{?îi:)
r-^')
— D
3
r-^)
(^')
Si j9 = 4 , le second membre prend la forme ^ et sa valeur est égale au
rapport des dérivées; par suite
r(r- 1)
6
TÊ-) '•m ^Q ^(^)j
36
SUR QUELQUES FORMULES
ou
(84)
r(r-l)
/* a' j r{r-
: ox=
(I -I- xf 4
i -4-2r
On transforme aisément les formules (79) et (80) en les suivantes :
(85)
(l-f x)(l -!')«-' "^"^4(1-
/')
r — (în -4- r — i)
Op>0, 2p-^r— 1>0.
/
(1 -•- «)' (t — i')
(/Z
1
(80)
(2p+ r— l)(p -» r— I)
-P)
1 > p > 0, 2p + r
— r(2p-»- r — 2)
rwrQ
r(p.i)
- 2>0.
24. Si jo csl supérieur à 4^ on aura
(ix
•x'(i-x«)-^^-'
/■ar(ij--_x7
dXf
.r-i-tl
a étant le plus grand nombre entier contenu dans ;9; par suite^
"fiii^iir^^ !(_,)(«) /•'
i -+- X s \A7 y
0
< > a > 0.
(87)
...1/
(l^x)(l— x')*-*
dx,
La formule (85) est applicable.
Ainsi^ si r^ ^ et ;? satisfont aux conditions
P > 0, r > — I, 2p H^ r -»- « = a, (a = entier),
la transcendante
r x'^'(i — x)-(i -♦ x)'rfx
s'exprime toujours au moyen des intégrales eulériennes.
DE CALCUL INTEGRAL.
37
Il esl à peu près inutile d'ajouter que si les deux premières conditions
n'étaient pas vérifiées^ la valeur de Tintégrale serait infiniment grande.
25. Si r esl rationnel et de la forme -. m el n étant entiers, les for-
fi ' '
mules (79) et (80) deviendront
(88) { ./ (<+?")(l-p'")'
0
4n*(l-p)
(2w— 2p»~-m) — ; 37 -^(^np-htn—n)
■>-a)
2p« -4- m — n > 0
(89)
i
4n'(2-p)(i-p)
(2w— 2fm— »i) (2i?— pn-m)
(2pfi-hm— ») (3n-2pii— m)
('*'^")
'■(-=^)J
2pn+ m — 2n > 0.
Les deux membres des équations (88) et (89) soDt des fonctions continues
de p constamment égales entre elles; donc, à la limite, ces fonctions, finies
ou infinies, seront encore égales. Alors,
/' * p— ' i Vlnl \ a/< /
, ] r^ ^""2(m-4 n)
(i H. 8" M— 8'») •» ^ '
(90)
l/,
(91)
/■
P
M-l
(i 4-p'')'(l - p'")'
-rfp
2n
\ 2«/ \ 2« y
m (2n + m)
v/;r
Si n = m, l'équation (9i) deviendra
(92)
0
^ rfp = — ,
(1 -+- j3")' Vi — p"» 3»
résultat qu'on vérifie très facilement.
38 SUR QUELQUES FORMULES
Si, dans les équations (88) el (89), on fail p = L
(93) . . 1 / rf|3=2-
(1 -4- p") Vi —p'
0
»- e)
(94) / ^ rfp.^2-
«"■ ■•£)
26. Remarque. — Dans certains cas^ les transcendantes des équa-
lions (88) cl (89) peuvenl élre ramenées directement aux intégrales eulé
riennes.
Le premier membre de Péquation (88) devient
(95)
en posant
Si nïy n el p satisfont aux conditions
(96) . . . . 2~ — IVO, 5— 4» -2- =50, 2- f2i) — 3==N,
N étant un nombre entier positif^ nul ou négatif^ les transcendantes (88)
sont réductibles directement aux intégrales eulériennes.
Il en est de même si m^ n et p vérifient les conditions
iw , ^ m iw ^ m
2 1<0, 5 — 4i)-2-<0, 2 1=5— 4p — 2--
« « W II
Si /> == 2, les conditions (%) deviennent
m m ^ w*
2 i^O. 3 — 2->^0, 2- = N^2.
Il ^ « Il
DE CALCUL INTÉGRAL. 59
Ainsi^ la transformation
ramènera aux intégrales eulériennes les transcendantes
/* rfx /^» xWx
(i ♦ ;c*) VV^ J (I -4- x») V^T^I^*
0 0
Si n est égal à 3 ou à ky pour que cette transformation réussisse^ m doit
, ,/ g d^'9
0
/* ^'■*~*
—=^dx ne diffèrent que, pour la forme, des transcendantes
dx.
ADDITION.
Monsieur Mansion, le savant professeur de PUniversité de Gand, m'a fait remarquer la
nécessité de démontrer la légitimité de Tinversion de Tordre des intégrations dans Téqua-
(ion {a).
Soient
«>0, p>0, r>-~i, r — «-hi>0.
La série hypergéométrique,
rfp)r(rH-i)
(I) T
r(p-+-r -I- I)
« p -4- r -*- 1 *" 1.2 (p f- r -^ i) (p -♦ r -»■ 2) J "
sera absolument convergente. [Gaus's Wercke, lome III, page iS9.]
Par suite,
(2)
. . . . T= /^'x^-'(l-xrc/xrt~îxf *^^'g^^»' 1-
40 SUR QUELQUES FORMULES DE CALCUL INTÉGRAL.
Considérons noaintenant la série :
0 0
e désignant une quantité positive infiniment petite, qui a pour limite zéro.
Les deux membres de l'équation (3) sont des fonctions finies et continues de e, con-
stamment égales entre elles; donc à la limite,
(1 -i- 3C)' J (i -4- JC)'
0
D'autre part, cette même série T peut être mise sous la forme :
dx.
T =
T(«) r(p-4^ r-g»- i) _ p r(S'^i)r(p ^r^s-^^)
f( p H- r H-Tj i r(p H- r ♦- 2)
r{8)r{p-i r— «-f- 1)
c'est-à-dire,
Tip) r (r -I- 1) /»* X'-* (i - x)H—
r(«) r(p + »•-»-'- 1)/ {* ••- a;)'
En conséquence,
w • -y hh-ï; r(«)r(;j i-r— « + 1)7 n-*-xy
Remarque. J'ai montre que, si r, « et p satisfont à l'égalité
2p -v r — » = N, (N entier)
les transcendantes B(p,r + 1,1 — s) sont réductibles aux intégrales eulériennes.
Cette condition s'accorde avec celle énoncée plus haut :
r — « -4- 1 > 0,
qui devient ainsi
^ N «- 2p 4- i > 0.
p étant un nombre compris entre 0 et 1, cette inégalité est vérifiée pour toutes les valeurs
de N, excepté zéro. Mais, dans ce cas, la transformation
i -^ x
nous a permis de vérifier l'exactitude de l'équation (75).
On peut donc affirmer que la formule (4) est vraie pour toutes les valeurs de p, r et «
satisfaisant aux conditions
p > 0, « > 0, r > - 4, 2p *- r - a -= N,
N étant un nombre entier, nul ou positif.
Liège, le 10 août 1889.
rV//.:
Q
ENSEMBLE
DES
1
PHISIES DE U PUiTE 1
Faites à Lourain, en 1 8S8 , à réquatorial de huit ponces de Grnbb,
PAR
F. TERBY.
Ecce, labora
(AVE3C a PriAWOXXBS.)
(Présenté & U Classe des sciences dans la séance du 3 février 1889.)
TOHB LI.
i
ENSEMBLE
DES
OBSERVATIONS PHYSIQUES DE LA PLANÈTE MARS
Failes â LouTaîn, en 1888, a Péqnatorial de liiiit pouces de Crubb.
I. — Introduction.
J'attendais avec impatience Topposition de Mars en i888 pour essayer
sur celte planète In puissance de mon nouvel équalorial de huit pouces^
construit par Sir Howard Grubb. Malheureusement la faible hauteur de
Pastre au-dessus de Thorizon et son éloignemenl ne permettaient guère
d'espérer des résultats bien complets. Quand j'aurai rappelé que^ pendant
la période des observations^ les circonstances atmosphériques les pJus détes-
tables n'ont cessé de régner^ Ton ne s'étonnera point de trouver ici consignés
des faits très minimes en comparaison de ceux que M. Scuiaparelli a constatés
sous le ciel de Milan ^ pendant des oppositions beaucoup plus favorables, à
l'aide d'un instrument de dimensions à peu près identiques et d'un œil d'une
incomparable acuité. Tandis que^ dans de bonnes conditions, Féqualorial de
Grubb a déjà supporté parfaitement une amplification de 650 fois environ pour
l'observation de Saturne et de la Lune, par exemple, c'est à peine s'il tolérait
le grossissement de 280 fois pendant celte opposition défavorable de Mars.
Pendant le cours lui-même des observations^ des nouvelles importantes
arrivaient de Nice, où M. Perrotin \ armé d'une lunette qui n'est surpassée
actuellement que par celle du Mont Hamilton, constatait les faits les plus
intéressants; ces faits peuvent être rangés en trois catégories : 1** faits relatifs
à la Libye; 2^ présence dans la tache polaire boréale d'un trait noir commue
' Comptes rendus de FAcad. des Se. de Paris ^ 1888, 14 mai, 18 juin, 16 juill., 10 sept.
4 OBSERVATIONS PHYSIQUES
de Vencre; 3** constalalion de l'existence des canaux et de leur gemmation.
D^autre part^ M. Sghiaparelli voulait bien me tenir au courant des décou-
vertes nouvelles qu'il faisait chaque jour à Milan avec son dix-huil*pouces de
Merz : j'apprenais qu'il voyait aussi les détails signalés par M. Perrotin ^
Et à Louvain, de mon côlé, à l'aide du huit-pouces^ je constatais l'existence
du filet noir de la tache polaire, celle d'un grand nombre de canaux et
la géminalion tout au moins du Phison; j'observais aussi distinctement la
Libye. En raison de l'actualité de ces faits, j'ai mentionné quelques-uns de
mes résultats dans les Comptes rendus de FAcad. des Se. de Paris ^, dans
Ciel et Terre ^ et dans la Revue VAstronomie, de M. Flammarion *.
Ces notes partielles et éparses ne peuvent donner qu'une idée bien incom-
plète des observations de Louvain; six dessins seulement publiés dans
VAstronomie n'ont pas même été accompagnés de l'indication des jours et
des heures; de plus, ces dessins ne représentent pas la planète telle qu elle
a été vue en réalité, mais, pour ne pas multiplier leur nombre, j'y ai réuni
souvent les détails fournis par plusieurs soirées d'observation; quelle que
soit leur importance au point de vue de la vérification des cartes de
M. Sghiaparelli, ils ne peuvent servir à donner une idée parfaite des
résultats obtenus. Un travail d'ensemble seul, comprenant tous les détails
des observations faites à Louvain, pouvait combler ces lacunes déplorables
et c'est l'objet du présent mémoire.
Tous mes dessins ont été rangés dans l'ordre des longitudes aréographiques
croissantes, calculées à l'aide des Èphémérides de M. Marth ^ et les descrip-
tions se suivent de même. Un tableau général réunit ensuite les observations
dans Tordre des dates avec les longitudes en regard.
Disons encore quelques mots, dans cette Introduction, sur la manière
dont nous avons procédé.
* Ciel et Terre, août 1888; Himmel und Erde, 4888, 1.
3 23 mai 1888.
3 Août 1888.
4 Septembre 1888.
3 Monihly not.^ déc. 1887. — Qu'il me soit permis d'insister ici sur la part qui revient
à M. Marth dans tous les progrès actuels de la planétographie, par la publication de ses
inestimables Épliémérides.
DE LA PLANETE MARS. 5
Notre but principal était la vérification des admirables cartes de M. Schia-
PARELLi, cartes qui sont encore aujourd'hui même, il faut Pavouer avec
regret, Tobjet d'une médance fort peu justifiée. Nous nous sommes inspiré
du principe énoncé par de grands observateurs : « Souvent, ont-ils dit, on
ne voit bien que ce que Ton recherche » ; M. 0. Struve n'aurait probable-
ment jamais découvert la nébuleuse de Maïa à Paide du grand équalorial
de Pouikova s'il n'avait élé préalablement averti de sa présence par les photo-
graphies de MM. Henry, et s'il ne l'avait recherchée avec intention ^ De
même nous avons recherché les canaux de Mars, dans les régions où nous
savions que M. Sghiâparelli les avait constatés; nous avons eu soin de
calculer d'avance approximativement la longitude du méridien central pour
chaque observation, et, la carte à la main, en quelque sorte, nous avons
patiemment et obstinément poursuivi ces détails d'une haute difficulté. C'est
à celle méthode, nous n'hésitons pas à le dire, que nous devons notre succès
partiel. Comme M. Perrgtin le dit lui-même, tout cela ne saute pas aux
yeux, même dans les plus grandes lunettes dont l'humanilé dispose; il faut,
pour y réussir, la plus grande attention , la plus grande persévérance. A plus
forte raison l'observateur armé d'un simple huit-pouces, dans les circonstances
défavorables que nous avons traversées, se découragera-t-il bien vite s'il
n'est pas, à l'avance, soutenu par une foi inébranlable dans la vérité des
résultats de Milan; cette foi seule, en effet, peut lui inspirer la persévérance
et je dirai même l'obstination nécessaires. D'aussi prodigieuses difficultés
font à l'incrédulité la partie belle, et il est permis de croire que les observa-
teurs munis de moyens suffisants, et qui n'ont point réussi à voir les canaux
et la gémination, auront souvent abandonné l'observation faute de confiance
préalable ou de connaissance antérieure des détails à découvrir.
Dans le but de pouvoir abréger le texte descriptif, j'ai apporté aux figures
des soins exceptionnels ; leur fond est légèrement ombré pour faire ressortir
les parties blanches et brillantes; quel(|ues teintes y ont été fixées; en un
mot chaque détail des dessins a son importance et correspond à un fait réel;
les planches doivent donc être examinées avec grande attention.
i Astrm. Nachr., Bd. H4, p. 97.
6 OBSERVATIONS PHYSIQUES
Toutes les figures ont été rigoureusement copiées d'après les seuls origi-
naux que je possède et qui ont été exécutés eux-mêmes au télescope; ces
originaux ont exactement la même grandeur que les dessins de ce mémoire
et sont placés ou orientés exactement de la même manière; ils n'ont été Tobjel
d'aucune retouche après l'observation^ et les notes seules prises au télescope
ont servi à donner aux figures l'aspect définîtir qu'elles ont dans ce mémoire.
En achevant nos deux planches^ nous y avons rencontré quelques imperfec-
tions que les nréographes exercés ne manqueront point de remarquer; la
forme, les positions, par exemple, de certaines taches, difficiles surtout,
donnent prise à des objections que nous ne cherchons pas à nous dissimuler,
surtout si l'on envisage ces taches dans plusieurs dessins successifs; ces
défauts sont imputables à l'extrême, à la prodigieuse difficulté avec laquelle
certains détails se laissaient voir^ et je me suis bien gardé de retoucher les
dessins de quelque façon que ce fut, pour atténuer ces irrégularités; je
compte donc sur leur sincérité pour leur voir obtenir un indulgent et bien-
veillant accueil. Le lecteur n'oubliera pas, dans ces cas spéciaux, qu'en tout
état de cause, ce n'est point Inexistence des détails signalés qui peut être
mise en doute.
n. — Observations.
1888.
9 juillet, de SHf"" à 8''46"' ^ (t. m. de Bruxelles); L « = 8^ fig. /.
L'observation est continuée jusqu'à 8^30"™.
Grossissements : 280, 180 fois^; agitations atroces.
On soupçonne par moments la grande Syrte au bord occidental ^; au bord
1 Heure du dessin.
s Longitude du méridien central. Cette longitude correspond à Fheure moyenne du
dessin.
3 Approchés.
^ Considéré géocentriqtiement. Les dessins sont placés comme Mars se présentait dans le
champ de la lunette, image renversée. Pour s'orienter, il suflSt de considérer toujours la
tache polaire septentrionale qui figure dans le quart inférieur droit.
DE LA PLANETE MARS. 7
oriental, en bas, on soupçonne également et par moments Mare Acidalium;
la bande supérieure, qui est le Sinus Sabaeus, s'allonge en poinle vers le
centre et simule par moments la grande Syrte; c'est un aspect que produit
souvent Tensembie confondu de la Baie fourchue et de Tlndus.
31 mai. J'observe depuis 7^46"", mais Timage est un peu voilée et agitée;
j'emploie les amplifications de 280^ 420, 250 et 450 fois. Je vois le Sinus
Sabaeus, la baie de Dawes non dédoublée, Deucalionis regio, rembouchure
de rindus assez difficile, Mare Acidalium et Nilokeras. Tempe est blanc et
brillant au bord oriental; je vois aussi le Deuteronilus en a, le lacus Isme-
nius en 6, une portion de TEuphrate en r, le lacus Hyperboreus en d{y.fig.2)\
une blancheur se montre au bord occidental.
Je dessine Mars de 9^16"^ à 9^30"^ ±; L = 26M ± ; fig. 2; je vois Argyre
blanche et brillante, en haut du disque, en e\ Pyrrhae et Protei regîo en f.
Au moment du dessin, le Deuteronilus et le lacus Ismenius sont bien moins
visibles qu'à 7^46°*. On termine les observations à 9^33°".
19 avril, de 8^1 4"^ à S">^7°», par une éclaircie; L = 27°6; fig. 3.
On continue Tobservation jusqu'à 8^37°*, heure à laquelle le ciel est
complètement couvert. Grossissement : 280 fois; agitations atroces.
Je crois dédoubler un instant la Baie fourchue a; Tembouchure de rindus6
bien visible; le Deuteronilus c et le Nilokeras d sont rosés; il y a trace
d'Achillis Pons; lacus Hyperboreus bien séparé de Mare Acidalium; outre la
tache polaire, le dessin présente au bord trois régions blanches et brillantes;
la région e, moins blanche et moins brillante que les autres, correspond à
Noachis et à Argyre.
6 juillet, de SHS"^ à 8^29"^ environ; L = 31^5 ± ; fig. 4.
Gr. : 280, 420, 450, 230, 180; observation difficile; agitations; ondu-
lations; détails certains néanmoins. On continue jusqu'à 8^5°^.
Argyre brille en haut du disque, en a; Deuteronilus visible et lacus
Ismenius bien marqué; cette région est rouge; je vois aussi Callirrhoe en 6;
Tempe blanc; il y a encore trace de Pyrrhae et de Protei regio, et de Deu-
calionis regio entre la Baie fourchue et l'embouchure de l'Indus.
8 OBSERVATIONS PHYSIQUES
5/ avril, de 40^20^ à 10H3^; L = A2«; fig. S.
Gr. : 280^ 420, 150, 650; on continue Tobservalion jusqu'à 11 Mi".
Outre les détails signalés dans les dessins précédents, je mentionne la
trace de lacus Solis et de lacus Tithonius en haut du disque; la teinte rose
du Deuleronilus, du lacus Ismenius et du Nilokeras; la trace de Callirrhoe
en a, le Tanaïs en 6; Téclat de Tempe; le pons Achillis certain avec le
grossissement de 280 fois à 11^29*"; le lacus Niliacus est plus pâle que
Mare Acidalium; le lacus Hyperboreus parfaitement séparé de Mare Acida-
lium à 11^34*" avec le grossissement de 150 fois; ce grossissement montre
aussi très bien la tache polaire qui, avec 650, à 11^44", apparaît admi-
rablement comme une petite ellipse tout entière dans Thémisphère visible
et tangente au bord , fig. Sa. Le Nilokeras c se prolonge à droite, en dy par
une bande large et rose qui correspond à TUranius et au Gigas.
S7 mai, de 7^57^ à SH"^; L = 42^9; fig. 6.
Gv. : 420, 280, 450, 250; on finit à 943™.
Outre les délails précédents, mentionnons ici, en a, le Gange aboutissant
au lac de la Lune b; Tlndus-Oxus, c, se rendant au Deuteronilus; une
trace d^Hiddekel, (/, allant au lacus Ismenius; la teinte plus claire du Niliacus
lacus, la trace du pont d'Achille; enfin Argyre en haut du disque, visible
surtout à 8^28"" avec le grossissement 250, plus petite que la tache polaire
et brillante comme elle. De même, avec 250, j'aperçois une seule fois, mais
d'une façon certaine, un petit point noir en haut du disque, correspondant
sans doute au lac du Soleil ou au lac Tithonius.
22 avril, de 11^32^ à H^42^; L = 49^3; fig. 7.
Gr. : 250, 280; les nuages surviennent ensuite; agitations.
Cette observation confirme les précédentes.
2S mai, de 7^50"^ à 8^S^; L = 60"6 ; fig. 8.
Gr. : 280, 420, 560. Les nuages interrompent l'observation à 8*^25'".
Je vois faiblement le Gange, a, et mieux l'indus, 6; j'aperçx^is Arg}Te
en c à 848*"; j'ai vu, en dy sur la côte de Mare Acidalium, pendant un
DE LA PLANETE MARS. 9
inslanl trop court pour permcllre le dessin de ce détail, une échancrure et
une proéminence tout à fait certaines.
Comme moyen d'épreuve, je noie, à 8**18", que le Gange paraît presque
au méridien central du disque; cette observation donne pour longitude
approchée de ce canal SS^'G ,*ce qui concorde assez bien avec la carte de
Milan, si Ton a égard à la difficulté de celte observation.
24 mai, de 8^13^ à 8^23^; L = 74*^7; fig. 9.
Gr. : 280, 420 ; on observe jusqu'à 9^8"».
Le Gange est certain, mais seulement par moments; il aboutit à une tache
noire, 6, le lac de la Lune; le contour de Tempe s'accuse nettement comme
le périmètre d'un polygone; on voit donc, en a, le Nilokeras; en c, le Nilus;
en (i, le Ceraunius; et aussi en e, le Tanaïs. Ârgyre brille d'un blanc de neige.
23 mai, de 8^23^ à 8^33^; L = 86^3; fig. 10.
Gr. : 280, 420, 450, 250. Observation finie à 9*^22"». J'ai observé aussi
de 7\^8'"à 8''23™.
Le Gange est certain par moments, mais difficile; outre les détails men-
tionnés dans la fig. 9 et marqués des mêmes lettres, on voit, en /*, le Jaxartes.
16 avril, de 10^34^ à 10^57"^ environ; L = 89M ±; /f^'. //.
Gr. : 280, 420, 450; on continue jusqu'à 4i»»39".
Je vois en haut du disque le golfe de l'Aurore avec le lac du Soleil et le
lac Tithonius; c'est la seule fois que j'ai aperçu ces deux lacs avec autant de
netteté; ils sont reliés au golfe de l'Aurore par le Nectar et par PAgatho-
dœmon. Thaumasia est très blanche au-dessus de Solis lacus. Dans le reste
du dessin, je ne dois farre remarquer que la zone rose qui traverse le
disque et s'étend au delà du Ceraunius, probablement dans Uranius et Gigas.
A 14^32'", avec 280, je vois la Propontide qui apparaît au bord droit à la
suite du Tanaïs (v. fig. lia).
29 juin, de 8HS^ à 9^ environ; L = 105^8 ± ; fig. 12.
Gr. : 420, 280, 560. Horriblement ondulant.
Avec 280, la zone centrale est très rouge; c'est probablement le Gigas ou
le Phlegethon qui prolonge le Nilus.
ToMB LL 2
10 OBSERVATIONS PHYSIQUES
20 mai, de 8^20"^ à S^3S^±; L= 413*>6 ±; fig. 43.
Gr. : 4S0, 420, 280; observation prolongée jusqu'à O'^SO».
Par son extension, la bande centrale dépasse évidemment les limites du
Nilus et doit se prolonger dans le Gigas ou le Phlegethon; elle tend à dis^
paraître à 9^30"».
La région située au-dessus de la tache supérieure est blanche; à 9^1 3*"
cette blancheur se réduit et Ton ne voit plus que Tapparence d'une très petite
tache polaire au bord sud du disque, diamétralement opposée à la tache
polaire nord. Â 9^13™ la longitude du méridien central était 12i''7; cette
petite tache blanche devait avoir à peu près cette longitude. Peut-être se
confond-elle avec la région pointillée située à gauche de Thyle 1 dans la
carte de M. Schiaparelli (opposition de 1881-1882) et ayant pour longi-
tude sur cette carte 12 0*>; peut-être était-ce Thyle I elle-même.
U avril, de 40^S2^ à HH2'^; L = 1 i4»2; fig. U.
Gr. : 280, 420. Observation jusqu'à 1245°".
Traces de lacus Solis et de lacus Tithonius à gauche du disque; bande
rose centrale; Tanaïs en dessous; la Propontide apparaît au bord droit
à 12MS'».
2!7 juin, de 8^46^ à 8^26^; L = 1174; fig. 4 S.
Gr. : 560, 420, 280, 450; ondulant, agité.
La bande centrale est rouge avec 560; tout est très faible.
m
/« mai, de 8^Si^ à 9^; L -= 138-6; fig. 46.
Gr. : 280; observation continuée jusqu'à 10^40'". Mauvais, agité;'^à 9^30
l'image devient meilleure ; puis agitations atroces.
La région blanche du bord supérieur gauche semble correspondre à Thau-
masia et à Thyle I. Mare Sirenum apparaît en haut du disque; la tache
polaire septentrionale est double; on lui voit un petit compagnon, certain
par moments, à 9^0°"; ce compagnon est moins blanc et moins brillant que
la (ache polaire principale; les deux amas neigeux sont séparés par le Blet
noir signalé aussi par MM. Schiaparelli et Perrotin.
DE LA PLANETE MARS. U
24 juin, de S^5™ à S'^SS-^; L« 445-3; fig. 17.
Gr. : 450, 280, 420, 250; observation continuée jusqu'à 8H8«; quelques
nuages; trop de mouvements et d'ondulations. Détails certains.
Deux régions blanches. Tune au bord gauche, Tautre au bord supérieur;
la bande centrale semble se terminer ici ; sa position semble indiquer que
TAchéron contribue aussi à cette apparence.
20 mai, de lOHS^ à 41^S^ ±,mL= 149-5 =b; fig. 48.
Gr. : 280, 250, 180; observation continuée jusqu'à 11^5".
La tache polaire est double, même avec 180; à 11^15*° on voit apparaître
le point sombre a, probablement Trivium Gharontis; en 6, la Propontide.
8 ami, de iff'SS^ à H''20^ ± ; L = 163^9 db ; fig. 19.
Gr. : 150, 250, 450, 420, 280; on continue jusqu'à 12^
Le grossissement 420 semble dédoubler la Propontide par l'apparition
du Pont d'Hercule; l'ombre a est Flades se rendant à Trivium Gharontis.
Un point blanc brillant se remarque au bord gauche inférieur.
13 mai, de S7" d 5Vff-; L = 173-; fig. 20.
Gr. : 280, 250; on finit à 9'^40«.
En a, le Sinus Tilanum; en b, avec 250, on soupçonne une ombre légère
qui longe le bord; en d, l'Ërebus; en c, le Trivium Gharontis sous forme de
tache plus noire à 9^3°*; en g, le Gerberas; en e, la Propontide avec le Pont
d'Hercule, Trois points blanes au bord inférieur du disque : d'abord moins
bl0QO9 et moins brillants que la tache polaire, ces points deviennent de plus
en plus brillants et blancs en approchant du limbe, où ils débordent comme
la tache polaire et rivalisent d'éclat et de blancheur avec elle.
A 8H7°*, avec 250^ on voit apparaître au bord, en f, une tache très
noire, probablement Fretum Anian (v. fig. 20a),
Mais l'inléràt principal de l'observation de ce jour réside dans la consta-
tation du filet noir de la tache polaire {fig, 20 et fig. 20a). La région
blancbo séparée de la tache polaire par ce filet était moins blanche et moins
brillante que la tache polaire proprement dite et tournait autour du pôlfi>
12 OBSERVATIONS PHYSIQUES
comme on peut s'en assurer par son déplacement très sensible déjà à 9^3"^
(v. fig. 20à).
Le Trivium Charonlis apparaît par moments comme une tache isolée
de 9^3"» à 9*»40'».
S avril, de 40^21^ à iOHI^; L= 181*>5; fig. 21.
Gr. : 250, 280; agité et ondulant.
La Proponlide semble partagée en deux par Herculis pons; elle envoie
deux prolongements, Fun, a, correspond au canal Hades, Tautre, 6, semble
être le canal Pyriphlegethon. Des amas blancs et neigeux se trouvent au
bord inférieur.
12 mai, de 8^1 S^ à 8^28^; L = \%k^^\fig. 22.
Gr. : 280, 250, 420, 450. L'observation est continuée jusqu'à Q^^S".
La bande du bord gauche supérieur parait double, probablement à cause
de la présence de Phaelontis, Electris et Eridania, séparant Mare Chronium
de Mare Sirenum et de Mare Gimmerium. Une ombre parait encore en a, le
long du bord gauche; au bord inférieur, deux petils disques moins blancs
et moins brillants que la tache polaire; en 6, Erebus; en c, Gerberus; en d^
Slyx; en e, Propontidc avec division certaine (Herculis pons).
La tache polaire est partagée en deux par un filet noir.
12 mai, de 9^12^ à 9^18^; L - 197^5; fig. 23.
Gr. : 250, 280. Getle observation a suivi la précédente et a été continuée
jusqu'à 10^48"". Les progrès de la rotation amènent un des points blancs du
bord inférieur en contact avec le limbe et ce point y déborde comme la
tache polaire. On voit se dessiner le contour complet d'Elysium et le Gerberus
semble se prolonger, en g, jusqu'au contact de la mer Gimmérienne; il y a là
évidemment un effet de la présence du Gyclopum, que> pourtant, je ne
parviens pas à distinguer nettement.
La tache polaire satellite, séparée par le filet noir, continue son mouve-
ment autour du pôle; son aspect est relevé successivement à 9^43™ {fig. 23a\
puis à 10^28"" (fig. 23b). Par moments le filet noir prend l'aspect d'un poiat
noir perdu dans la tache polaire.
DE LA PLANÈTE MARS. «3
S avril, de HH6^ à /^V»; L = 201^6; fig. 24.
Gr. : 280; observé jusqu'à 12''6"'.
En a figure la baie du Laeslrygonum reliée à PEuDostos par TAntée;
celui-ci est d'apparence excessivement fugitive; a est Thyle II.
J avril, de 40^8'^ à 40^33^^, j'observe sans dessiner; agitations atroces.
Gr. : 150, 250, 450, 650, 180, 280. Le dessin du 1*^ avril est confirmé.
On voit Elysium; la tache polaire nord se voit tout entière, de forme
elliptique; une teinte rouge règne surtout dans le quart inférieur droit du
disque. Il y a deux taches brillantes au moins, en bas du disque, à gauche
du diamètre vertical; la région située au-dessus de Mare Gimmerium n'est
pas aussi blanche que le 1^ avril; Thyle I et Thyle II occupent alors le
haut du disque.
De //V"- a //VJ-; L = 207^7; fig. 25.
Gr. : 250, 280; trop agité et trop ondulant; observé jusqu'à 12*"! 8"*.
Elysium est à peine plus blanc que le reste. A 11^13"^ le haut du disque
devient plus blanc, d'aspect neigeux; a est Thyle il. Deux points blancs
sont au bord inférieur. Je vois des dentelures certaines au bord de Mare
Gimmerium, mais d'une façon trop fugitive. A 12^2*" je note qu'Elysium est
au méridien central ; celte observation donne pour longitude aréographique
du centre d'Elysium : 221 ""2, résultat qui offre un accord remarquable avec
la carte de M. Schiaparellk
40 mai, de S^'SI^ à Ô»*//"; L = 209^6; fig. 26.
Gr. : 420,450,280; observation continuée jusqu'à 9^1'°.
Je vois la baie du Laestrygonum a; suivant la flèche qui est à sa gauche
on soupçonne par moments un trait clair qui doit correspondre aux Atlan-
tides; de même, à 9^16"', suivant la flèche b, règne une clarté qui est l'Hes-
périe. Elysium n'est ni blanc ni brillant.
A 9^1"*, je relève l'aspect de la figure 26a; on y voit, en a, un vestige
du Gyclops et, en b, le Triton.
OBSERVATIONS PHYSIQUES
// mai, de 9''34^ à Q'^U^; L = 242"; fig. 27.
Gr. : 420, 280, 2S0; observation jusqu'à lO^^SO". .
Je note comme certaine la séparation a entre le Styx et la Propontide.
Le contour d'Elysium est rosé; cette teinte est surtout accusée pour le Cer-
berus. Je vois, en 6, PÂntée et la baie du Laestrygonum ; mais le Cyclopum c
ne se dessine pas nettement; en dy le Triton. A 10^29% 250 me montre
PHespérie. A lO^dQ"", le Cerberus a une apparence douteuse de géminalion,
comme si, à son extérieur, régnait une zone rose plus faible.
9 mai, de S^SB^ à 8H1^; L = 214^3; /î^. 28.
Gr. : 280, 420, 450. Image trop agitée.
Le Cerberus a me parait prolongé jusqu'à la mer Gimmérienne,
/" avril, à 40^217^; L = 215^5 ; /f^. 29.
Gr. : 250, 280, 450, 420; grandes agitations; on observe jusqu'à ll'*27".
Les régions centrales sont rouges, les bords sont jaunes ou blancs. La tache
polaire est très blanche et très brillante, de môme que les régions blanches
du bord supérieur; h est Thyle II; vient ensuite, dans Tordre décroissant
d'éclat neigeux, le point blanc a au bord inférieur, puis enfin Elysium qui
brille $ans éclat neigeux bien caractérisé.
Elysium est au méridien central à 40^47"^, ce qui donne pour la longi-
tude de son centre 220''4 , en accord parfait avec la carte de Milan.
9 mai, de 9''10^ à 9''29^; L « 225^5; fig. 30.
Gr. : 420, 280. Agitations atroces.
Elysium est peu brillant et n'est nullement blanc; observation difficile.
La région a est très blanche et très brillante. Je soupçonne une fois l'Antée
en b, Cerberus sç prolonge en apparence jusqu'à la mer Cimmérienne, vision
imparfaite du Cyclopum.
U juin, de 7*^55-» d 8''2^; L = 234^8 ; fig. 51.
Des nuages passent; mouvements; dessin incomplet. Le Cyelope reste
douteux ; Cerberus se voit bien.
DE LA PLANÈTE MARS. 4 S
De SW" à 9^42'^; gr. : 280, 280; je conlînue I observalîon ; Timage est
trop ondulante et trop agitée pour la dessiner* Cerberus est au bord gauche;
on voit un peu Elysium; le Cyclope reste incertain; le Thoth, la grande
Syrte, la Boréosyrte, très noire, apparaissent au bord droit.
// mai, de H^'G^ à //••^4"; L - 235^7; /f^. 32.
Gr. : 280; observation continuée jusqu'à 11U9".
Par moments, on soupçonne le Gyclopum c, mais cette apparition reste
excessivement douteuse; le Cerberus a une apparence de gémination comme
à lO'^SO'", fig. 27; les canaux qui forment le périmètre d'Elysium sont roses.
La bande supérieure est traversée par un filet clair a, apparaissant pai^
moments assez rares; c'est THespérie; elle aboutit entre le Tritonit et le
Lethes d, prolongement de Syrtis minor; ces deux canaux forment un
ensemble triangulaire et grisâtre, pâle dans sa partie médiane ^, qui est la
portion septentrionale de THespérie; par leur réunion, ils se continuent danâ
le Thoth, /, lequel finit à Alcyonius, g. Au bord, en n, apparaît la Nilosyrte.
La tache polaire est entourée d'un fil très noir. La région h (Libye) est
très blanche.
La tache la plus sombre est Alcyonius g.
A dl'^Si" j'ai noté le Cyclops comme assez certain(?).
40 mai, de /0**5/- à //V"; L = 237-6; fig. 33.
Gr. : 450, 420, 280; continué jusqu'à llHl™.
Ce dessin renferme les mêmes détails à peu près que les figures précé-
dentes; c'est à cette date que j'ai, la première fois, trouvé l'explication du
singulier aspect que m'offrait le Triton; ce canal me paraissait large et
grisâtre, blanchâtre même; la figure 33, comme la figure 32, montre que
cet aspect est dû à la confusion du Trilon et du Lethes ou de la petite Syrie;
la teinte grisâtre provenait de la partie septentrionale de l'Hespérie, e, située
entre ces deux canaux. Par moments, de 11 ''6"' à ilMl*", il y a trace de
l'Hespérie, a, aboutissant entre les deux pointes du Triton, 6, et de la petite
Syrie ou du Lethes, d. (Voyez aussi fig. 33a et 33b.) Le Triton aboutit à
une tache noire, k, qui pourrait être l'extrémité du Nepenthes (?).
En m on voit une tache blanche ressemblant à une tache polaire, proba-
16 OBSERVATIONS PHYSIQUES
blement Hellas. Gerberus et Eunostos sont rouges; en o se voit iGtheria sous
Taspecl d'un second Elysium plus restreint.
De li^'G"* à 11^41'" on voyail le Tholh relié à Alcyonius comme dans
la fig. 52.
9 mai, de iOHO^ à H^2^; L - 247*8; /?</. 34.
Gr. : 280; image déleslable; agitation continuelle; on continue jus-
qu'à 14 "'aa-".
On retrouve encore ici le Triton, b, se réunissant au Thoth, /; il y a
confusion avec le Lelhes ou la petite Syrte, dy produisant Taspect grisâtre
signalé plus haut; cet ensemble imite, à s'y méprendre, la grande Syrte
lorsqu'elle est au bord. Il y a apparence imparfaite du Gyclopum. En e, blan-
cheur marquée.
A 11 ''22"' l'aspect était tel que je le figure dans l'esquisse 34a : b. Triton
et Syrtis minor avec Lethes; (, Tholh; g, Alcyonius; n^ Nepenlhes; s, grande
Syrte; m, Nilosyrte; o, Elysium.
24 juillet, de 8^26^ à 8''30^ ± ; L = 248«8 ± ; fig. 3S.
Gr. : 280, 450, 2S0; agitations; ondulations; images mauvaises.
42 juin, de S'^O^ à 8''S4^i L = 258»; fig. 36.
Gr. : 280, 250, 450, 420. Observé jusqu'à 8'*52", puis nuages.
On voit, en a, une apparence du Gyclopum qui semble certaine; en 6, le
Thoth; en c, la grande Syrte; un canal, (/, va de PEunostos à la Boréosyrte.
27 mars, de 4&'21^ à lOHO^; L - 261^ fig. 37.
Gr. : 150,250; agitations atroces; vent fort.
9 mai, de 44''S7^ à 12^3^; L = 264^6; fig. 38.
Gr. : 280. a. Triton; b, Nepenthes; c, Thoth; d, Libye.
// juin, de 8^8^ à 8^33^ ^ ; L = 268<>4 ± ; fig. 39.
Gr. : 280, 420, 450, 250; mauvais, ondulant.
On soupçonne le Gyclope, c; Gerberus, b, très visible; e/, Thoth bien
marqué; les régions marquées a plus brillantes; ce sont : iËolis, Elysium,
Isidis regio, en allant du bord occidental au bord orientai.
DE LA PLANETE MARS. 17
S mai, de H'^S^ à //^^0«; L= 289^1; fig. 40.
Gr. : 280, 420, 450; agité, mauvais. Observé jusqu'à 12*'24™
Mare Tyrrhenum 1res pâle, a; 6, Trilon; c, Nepenlhes; rf, Tholh; e, Nilo-
syrle; f, Boréosyrle; g, Aslusapes; A, Prolonilus. Gomme le représente le
dessin , la Nilosyrie me semblait séparée de la grande Syrte. Les régions
blanches des bords sont toutes brillantes.
29 avril, de «'"P™ à 8''24^; L = 298^9 ; fig. 4L
Gr. : 280, 560, 420, 450; observé jusqu'à 9*»9'«.
Une très petite tache blanche, brillante, neigeuse, est au-dessus de la
grande Syrte, au bord du disque, a; autour d'elle, région blanche; plusieurs
régions blanches sont figurées dans le dessin; en 6, le Tholh; en c, la Nilo-
syrte qui parait séparée de la grande Syrte; en (/, la Boréosyrte; en e, le
Protonilus avec ^ Lacus Ismenius; en g, Gallirrhoe.
Protonilus et Gallirrhoe ont semblé diverger en allant au bord oriental.
29 avril, de 10^19^ à 10^29^; L ^ 330<>; fig. 42.
Gr. : 420, 280, 560, 450, 650; observation poursuivie jusqu'à 11^24".
Le lacus Ismenius a, rougeâtre à 10*'59"', parait par moments comme une
tache isolée; je vois, sans le moindre doute, le Phison b, comme un ruban
rosé, large et faible, rectiligne; n'esl-il pas double? Je note l'Orontes-
Typhonius comme certain^ c; on voit nettement Protonilus (/, Deuteronilus e,
et Gallirrhoe f.
Helias, hy est d'un blanc mat, bien limitée. A la fin, à 11^24% avec 280,
450 et 650^ la Baie fourchue g est dédoublée.
26 avril, de 8^30'^ à dV"»; L = 33408 j fig. 43.
Gr. : 280; ondulations trop fortes.
On voit le Protonilus, a; Helias, h, est ronde, bien limitée el d^un blanc
brillant; b est Noachis et Argyre.
29 avril, de 11^34^^ à HH2^: L = 348»; fig. 44.
Gr. : 280; on continue jusqu'à i2''19"'.
Helias est blanche el brillante; la Baie fourchue est dédoublée; la baie
ToHB Ll. 3
18 OBSERVATIONS PHYSIQUES
du Phison^ a, est bien visible; Tlndus parait se prolonger jusque dans le
Deuteronilus, par TOxus^ comme si le Deuteronilus était la continuation
naturelle de Tlndus-Oxus. Le lacus Ismenius est bien visible et parait par
moments comme une tache isolée. Tempe brille au bord droit^ d'un éclat
blanc neigeux; en b^ on voit le Nepenthes.
2 juin, de 8^U^ à 8^39^; L = 353^8 ; fig. 4S. •
C'est Tune des rares soirées passables qui se soient présentées pendant
cette opposition ; nous serions peut-être plus dans le vrai en disant que c'est
la seule soirée passable.
J'observe depuis V^ii"^; l'image est d'un calme assez satisfaisant; grossisse-
ments : 450, 420, 280, 250. Je vois FOronles-Typhonius a, le Phison b,
Edom promontorium c.
De 8^14^ à 8^39"^ y j'emploie de nouveau les grossissements 450, 280,
420, 650, 250; je continue l'observation jusqu'à 9^33">.
Avec 280 le Phison semble double comme je le représente; Edom pro-
montorium est blanc brillant; par moments la Baie fourchue semble se
prolonger vers le nord; avec 650 on croit la dédoubler par instants. Tempe
est blanc et brillant, mais moins que la tache polaire. Je vois aussi l'Indus-
Oxus d, à 9^33"", avec 280. Il y a une région blanche e, au bord supérieur,
correspondant à Noachis.
Sur un avis de M. Schiaparelli, j'ai dirigé toute mon attention sur la
région de l'Euphrate, alors bien visible et géminé à Milan, avec le 18 pouces;
mais je n'ai pu découvrir ce canal.
/«-;Min, de 7''S4^ à 5V>^»; L = 357-6; fig. 46.
Gr. : 450, 250, 280; observé jusqu'à 8»^58™.
Tout le centre est rouge avec 450. On voit le Phison et il semble double;
on voit aussi l'Orontes-Typhonius, et, près de l'extrémité nord du Phison,
une dentelure a dirigée vers le sud : c'est la naissance d'Âstusapes.
250 fait voir par instants trop fugitifs une foule de détails à droite de la
grande Syrte; ces apparitions ont trop peu de durée pour en fixer l'image.
A là fin, on voit l'indus (8^58*"); Tempe brille et est blanchâtre.
DE LA PLANETE MARS.
19
26 avril, de ^O'^SO" à Kf'U^; L = 358">4 ; fig. 47.
Gr. : 450, 280; fin à 11H7'"; agitations continuelles.
Vers IOUQ"", un moment, je dédouble la Baie fourchue avec 450.
11''34'", le bord gauche est très blanc, dans la région Aëria; Tlndus
s^allonge beaucoup. Tempe est blanc, brillant ; on voit Protei regio.
m. — Tableau des
dans Tordre de date.
1888.
Longitude
Longitude
JOUR.
Heure moyenne
du méridien
Figure.
JOUR.
Heure moyenne
du méridien
Figure.
. (•).
central.
(*)■
central.
27 mars . .
10h3>30«
2610
37
11 mai. .
11»>15«0«
23507
32
1««" avril. .
10 27 0
215 5
29
12— . .
8 21 30
184 5
22
3 — . .
11 7 0
207 7
25
— — . .
9 15 0
197 5
23
5 — . .
10 31 0
181 5
21
13 - . .
811 30
173
20
— — . .
11 53 30
201 6
24
18- . .
8 55 30
138 6
16
8 — . .
11 6 30±
163 9ib
19
20— . .
8 27 30iz
113 6±:
13
14 — . .
11 17 0
114 2
14
. .
. 10 55 0±
149 5t
18
16 - . .
10 45 30db
89 1±
11
23 — . .
8 28 0
86 3
10
19 — . .
8 20 30
27 6
3
24 — . .
8 18 0
74 7
9
21 — . .
10 31 30
42 0
5
25 - . .
7 57 30
606
8
22 - . .
11 37 0
49 3
7
27 — . .
8 030
42 9
6
26 - . .
8 5530
334 8
43
31 — .
9 23 Orfc
26 11:
2
— — . .
10 32 0
3584
47
1» juin.
8 4 0
357 6
46
29 — . .
8 16 30
298 9
41
2 -..
8 26 30
353 8
45
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10 24 0
330
42
11 — .
8 20 30it:
268 4±
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11 38 0
348
44
12 - .
8 16 30
258
36
5 mai. . .
11 14 0
289 1
40
14 - .
7 58 30
2348
31
9 — . .
833 30
214 3
28
24 - .
8 19 0
145 3
17
— — . ,
9 19 30
225 5
30
27 — .
8 21 0
117 1
15
— — .
10 51 0
247 8
34
29 - .
8 52 30zb
105 84-
12
— — .
12 0 0
264 6
38
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4
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8 51 0
2096
26
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843 30
8
1
— — .
10 46 0
237 6
33
21 - .
8 28 Oit:
248 8±
35
11 — .
9 37 30
212
27
(*) Heure moyenne entre l'heure du commencement et l'heure de la fin du dessin.
20 OBSERVATIONS PHYSIQUES
IV. — Observations de la Libye.
Voici la série des remarques que j'ai pu faire sur celle région de la planèle : '
Le 29 avril, de 8^9"^ à P^P™, flg. 44, la Libye s'approche Irop du bord
pour être bien observée; je cherche à voir le Nepenthes^ mais ce canal el
la mer Tyrrhénienne se confondent dans une région grisâlre où se cache
la Libye; de 44^34"^ à 42^1 9"^^ fig. 44, la Libye apparail au bord du disque
comme une région brillanle au-dessus de la poinle noire b qui représente
le Nepenlhes.
Le 5 mai, de H^S"" à 42^24'", fig. 40, je vois 1res bien la Libye^ bril-
lanle^ enlre le Nepenlhes c el la mer Tyrrhénienne a.
Le 9 mai, de / / W" à 42^3"", fig.38, je vois encore 1res bien la Libye, en rf.
Le 40 mai, de 40^31"^ à 44^44"^, fig. 33, la Libye A, au bord oriental,
est d'un blanc marqué.
Le H maiy de 9^3^"" à 40^39"', fig. S7, la Libye h est blanche au bord
orienlal du disque; elle est notée comme très blanche le même jour, de i l''6'"
à llUQ"», fig. 32, en h.
En juin, Tobservalion de la Libye était devenue trop difficile, fig. 36 et
fig. 39.
V. — Observations des taches polaires
et spécialement du fil noir dans la tache polaire boréale.
La lâche polaire nord a élé constamment visible, blanche, brillanle et
réduile à de Irés'faibles dimensions; dans les meilleurs moments d^observa-
lion et surloul avec les grossissemenls 450 el 650, je voyais parfaitement
sa forme elliptique el je constatais que cette ellipse était tout entière à Tinté-
rieur du disque visible, tangente au limbe. Voir fig. Sa, etc.
Au bord sud régnait toujours une blancheur marquée, comme on le constate
DE LA PLANETE MARS. 21
dans presque tous les dessins; de plus, on voyait apparaître, de temps en
temps, dans ces régions blanchâtres, des taches éclatantes^ neigeuses, bien
déGnies, mais qu'en général je ne crois pas appartenir à la tache polaire
méridionale proprement dite : ell^s s'expliquent par la présence de régions
spéciales dont il sera question plus loin, telles que : Hellas, Ârgyre, Thyle,
Noachis? Thaumasia? notamment.
Seule la très petite tache blanche et brillante, tout à fait semblable à une
tache polaire, observée au sud, te 29 avril, au-dessus de la grande Syrte
(voir fig. 4/, a), me laisse quelque doute sur sa nature et fait peut-éire
partie de la lâche polaire méridionale généralement invisible en 1888; ou
faudrait-il y voir Novissima Thyle que sa latitude trop méridionale semblait
devoir cependant soustraire aux regards?
Passons à la particularité la plus intéressante offerte en 1888 par la tache
polaire boréale , particularité observée indépendamment à Milan, à Nice et
à Louvain, je veux dire la présence du filet noir partageant cette calotte
neigeuse en deux parties. Voici les observations que j'ai pu faire à Taide de
l'excellent instrument de Sir Howard Grubb :
Déjà un peu avant le 12 mai, j'avais remarqué quelque chose d'insolite
dans celte tache polaire; malheureusement je pris le fait pour une illusion
au milieu des mauvaises conditions de l'image et je n'en tins pas note.
Le 12 mai seulement, de 8^43"^ à 9^8"^, fig. 22, je vis que la tache polaire
nord se composait de deux parties séparées par un Til noir comme de l'encre;
la partie située du côté du bord oriental (considéré géocentriqucment) élait
plus petite que l'autre. Je suivis encore la tache polaire de 9^42'° à 40^28'^,
le même jour, fig. 23, fig. 23a et fig. 23b, et 1e mouvement de rotation de
la petite tache satellite autour du pôle élait très sensible comme le montrent
ces figures. Par moments, le filet noir prenait l'aspect d'un point noir isolé
au milieu des neiges polaires.
On voit que vers 9^43°", fig. 23a, le centre de la tache polaire satellite
atteignit le méridien central; nous trouvons de cette façon, pour ce milieu,
une longitude approchée de 204''3.
Vers 10^28"^, fig. 23b, son extrémité la plus orientale (vue de la terre)
est près du méridien central, ce qui donne la longitude de 215^3.
Î2 OBSERVATIONS PHYSIQUES
Le 13 mai, de 8^7"^ à 9^40"^, fig. 20 et 20a , j'ai revu le filet noir; ces
dessins montrent encore le déplacement de la tache polaire satellile par
TefTet de la rotation ; j'ai constaté que ce compagnon des neiges polaires
était moins brillant et moins blanc que Ia4ache polaire proprement dite; en
d'autres termes, Téclat blanc était maximum dans la tache polaire la plus
développée et autour de laquelle s'effectuait le mouvement de rotation de la
tache satellite.
La figure 20a nous montre l'extrémité occidentale de la tache polaire
satellite près du méridien central, à O^'S"', ce qui correspond à la longitude
de 185°6.
Ces observations nous donnent donc comme résultats approchés :
Longitude aréographique de l'extrémité occidentale de la tache polaire
satellite : 185^6.
Longitude aréographique de ["extrémité orientai : 21S''3.
Moyenne, ou longitude du milieu : 200^43.
Longitude aréographique du milieu d'après l'observation directe : 204^3.
N'oublions pas que ces données sont déduites de nos dessins et nullement
d'observations faites directement dans ce but. La concordance entre la
moyenne des résultats obtenus pour les deux extrémités de la tache et le
résultat obtenu directement par le dessin pour le milieu de l'amas neigeux
supplémentaire est néanmoins très remarquable; et nous pouvons attribuer
au milieu de la tache satellite, comme très approchée, la longitude de 200''
environ.
Le 48 mai, de 5**5/™ à 40^40"", fig. 16, j'ai encore observé le petit
compagnon de la tache polaire, toujours moins blanc et moins brillant que
celle-ci.
Le 20 mai, de 10^43"" à II^IS"", fig. 18, il était visible même avec le
grossissement de 180 fois.
DE LA PLANÈTE MARS. 33
VI. — Observations des régions blanches et brillantes
autres que les taches polaires.
A. — Points brillants et blancs sur le prolongement de l^Erebds.
Lorsque rElysium ou le Trivium Gharonlis occupaient la moitié orientale
ou droite du disque apparent^ j'ai toujours aperçu^ au bord occidental ou
gauche, et sur le prolongement de PErebus, des points ou petits disques
blancs plus ou moins brillants, au nombre de trois dans les circonstances
les plus favorables, occupant les sommets d'un triangle; ces points figurent
dans douze de mes dessins (fig. 29, 23, 21, 24, 19, 28, 30, 26, 27, 22,
23, 20, dans Tordre de date).
Ces points brillants n'ont été vus qu'alors qu'ils s'approchaient du bord
occidental du disque, et ils devenaient de plus en plus visibles, de plus en
plus blancs et brillants à mesure qu'ils s'en approchaient davantage, au point
de finir par y déborder par irradiation comme la tache polaire. Nous ne
les avons pas observés dans le voisinage du méridien central, ni au bord
oriental, et ne saurions fixer leur position autrement que d'une façon très
approchée par le procédé suivant : le 9 mai, de 9^10"^ à 9^29"", fig. 30,
ces points brillants se trouvaient à l'extrême bord alors que la longitude du
méridien central était âSS^'S; ils pouvaient donc avoir une longitude appro-
chée de ISS"". D'autre part le prolongement de l'Erebus rencontre cette
longitude sous une latitude aréographique d'environ + 40^; nous pouvons
donc estimer, comme une approximation provisoire, la longitude de ces
points voisine de ISS"" et leur latitude voisine de + 40"". Ces points neigeux
se trouvaient donc dans une région assez proche de celle oii M. Sghiaparelli,
en 1879, constata t existence d'un prolongement neigeux et brillant de la
tache polaire et même une tache neigeuse isolée qu'il a appelée Nix Olym^
pica ^
^ Deuxième mémoire dans les Mém. de FAcad. roy. des Lincei, sér. III, vol. 10; §§ 370, 43i .
24 OBSERVATIONS PHYSIQUES
Voici le détail de nos observations sur ces points remarquables, dans
Tordre de date :
/«"^ avril, de 40^27'^ à //^^Z™, fig. 29; un point a est blanc, brillant,
un peu moins que la tache polaire.
3 avril, de 40^8"" à /5**/5", fig. 2S; au moins deux points brillants,
bien définis, près du diamètre vertical, en bas du disque; neigeux à 11 ''13°'.
4 avril, de 10^23"^ à 44^33^, deux points neigeux.
5 avril, de 40^2i"' à 40^41"^, fig. 24; trois régions blanches, neigeuses,
en bas du disque; a surtout brille. — De 44^46"" à 42^6"", fig. 24, un point
brillant et blanc.
8 avril, de 40^33"" à 42\ fig. 49; un point brillant et blanc.
9 mai, de 8^26^ à 8^4"^, fig. 28, et de 9^4 0"^ à 9^29^, fig. 30; deux
points blancs et brillants.
40 mai, de 8^34"" à 9^44"", fig. 26; deux petits disques blancs.
// mai, de 9^34"" à 40^39"", fig. 27; deux petits disques blancs et bril-
lants. — De 44^6"^ à 44^49"", il y avait encore une région blanche au bord
inférieur gauche, fig. 32.
42 mai, de 8^43"" à 9^8"^, fig. 22; deux petits disques blancs, moins
blancs et moins brillants que la tache polaire. — De 9^42^ à 40^28"", fig. 23,
les deux points sont blancs et brillants; le disque le plus rapproché du dia-
mètre vertical arrive au limbe où il déborde comme la tache polaire.
43 mai, de 8^7 "" à 9^40"", fig. 20. Trois petits disques, a, fi, y; a est au
bord, très brillant, très petit; /3 est d'abord moins brillant et moins blanc
que la tache polaire; mais, en s'approchant ensuite du limbe, il déborde et
devient aussi blanc et aussi brillant qu'elle; y est plus loin du bord et plus
difficile à voir; mais il est certain, quoique plus faible.
On voit donc parfaitement ici l'influence du rapprochement du bord sur
la visibilité et sur Taspect de ces points.
/
DE LA PLANETE MARS. 2S
B. — Hellas.
La région de Mars où est siluée la grande surface ordinairenaent blan-
châtre el brillante^ à laquelle M. Schiâpârelli a donné le nom de Hellas^
a été observée dix fois à Louvain en 1888; cinq fois Hellas s'est montrée
d'une façon caractéristique; voici le détail de ces observations;
27 mars, de 40^27"^ à 40^40"^, fig. 37. Une grande région blanche
s'étend au-dessus de la grande Syrte.
26 avril, de 8^30"" à 9^^'% fig. 43. Hellas est au bord occidental, blanche,
brillante, bien arrondie et bien définie^ bien tranchée (voyez en h).
29 avril, de 8^24"" à 9^9"", fig. 4i. Je ne vois pas de région déterminée
qui représente Hellas; au-dessus de la grande Syrte règne une blancheur
située plus haut que Hellas et dans laquelle on voit la très petite tache
blanche et brillante a dont il a été déjà question à propos de la tache polaire.
29 avril, de 10^19"^ à ^^24"", fig. 42. Hellas, h, est devenue bien visible
en s'approchant du bord; elle est d'un blanc mat, non brillant, très bien
limitée.
29 avril, de ^^34"" à 42^19"^, fig. 44. Hellas est devenue blanche et
brillante, bien définie, au bord du disque.
Hellas devient donc plus visible, plus blanche et plus brillante en s'appro-
chant du bord.
S mai, de //^'S™ à 42^24'', fig. 40. Je ne vois plus Hellas qui devrait
occuper le méridien central à peu près.
40 mai, de 40^34"" à //^/"», fig. 33. Hellas, m, au bord oriental, est
visible comme une région déHnie, blanche el brillante.
2 juin, de 8^44"^ à 9^49"°, fig. 45. Hellas est douteuse au bord occidental.
9 Juin, de 9^ à 9^30"^. Je vois une blancheur au-dessus de la grande Syrie.
// et 42 juin, fig. 39 et 36. Je ne vois plus Hellas.
Tome LL 4
26 OBSERVATIONS PHYSIQUES
C. — Argyre et Noachis.
J'ai dessiné Argyre au moins cinq fois en 1888 : les 24. 25^ 27^ 31 mai^
el 6 juillet^ (ig. 9^ 8^ G^ 2^ 4. Je Pai toujours noiée comme très blanche^
1res brillante^ neigeuse^ à bord bien déGni, comparable à une tache polaire.
Le 2S mai, elle est apparue surtout à 8^48"^; le 27^ elle est notée, à 8^28"^,
comme plus petite que la tache polaire, mais comme aussi blanche et aussi
brillante. Son déplacement par la rotation est visible si Ton compare ces
dessins. Argyre doit aussi avoir sa part dans les blancheurs observées
le 49 avril, fig. 5, en e, et /c 26 avril, fig. 43, en b; mais ici elle ne nous
semble pas bien distincte de Noachis.
La présence de Noachis nous parait donc s'être manifestée spécialement
trois fois, au bord supérieur du disque, par un éclat blanc marqué el dans
une région également limitée^ à savoir : les 49 avril, 26 avril el 2 juin,
fig. 3 , en e; fig. 43 , en b; fig. 4S, en e. Le savant auteur de la carte de
Milan peut seul décider ce point avec Tautorité nécessaire.
D. — Thyle.
Thyle II notamment est apparue au bord sud comme une blancheur bien
marquée les 4, 3, S avril, fig. 29, en b; fig. 2S, en a; fig. 24, en a;
le /'''' avril, elle est notée comme brillante.
Le 3 avril, de 40^8"^ à 40^33"^, elle n'étaîl pas si blanche que le 1^*^;
mais, à 11^13"", elle devint plus marquée et neigeuse.
Le S avril, elle n'est pas notée comme brillante.
Mentionnons encore ici les petites taches blanches brillantes analogues
tout à fait à des taches polaires vues les 29 avril, fig. 44, en a, ei20 mai,
fig. 43, en a. J'ai dit déjà que celle du 29 avril fait songer à Novissime
Thyle, région qui pourtanl devait être hors de vue en ce moment; et celle
DE LA PLANÈTE MARS. 27
du SO mai à une petite région poinliilée dans le voisinage de Tbyle I sur
la carte de M. Schiaparelli \ à moins que ce ne soit Thylc I elle-ménoe.
Thyle I rend compte des blancheurs représentées au sud dans les fig. 12
à 16; dans les fig. 13, 44 et 46 Thaumasia nous semble y avoir sa part.
Tbyle I et Thyle II figurent évidemment ensemble dans les dessvis 17 à 23^
et Thyle H plus spécialement fig. 24 à 36.
E. — Elysium.
Elysium s^est présenté généralement sous une forme arrondie ^y montrant
quelquefois un éclat plus vif que les régions avoisinantes et une teinte blanche
assez prononcée. Voici d'ailleurs les détails des observations :
/««• avril, de 10^'27'^ à 11^27"^, fig. 29. Elysium brille comme un satellite
de Jupiter que Ton voit en passage devant le bord de la planète; il n'est pas
blanc neigeux; il est moins brillant que les régions blanches figurées au bord
du disque et que la tache polaire.
3 avril, de 10^8^ à 12^18'^, fig. 2S. Elysium est à peine plus blanc que
le reste.
S avril, de 11^46"^ à 12^6"", fig. 24. On dessine Elysium sans mention
de son éclat.
9 mai, de 8^26''' à 8^1'"', fig. 28. Sans mention d'éclat.
9 mai, de 9^10"^ à 9^29"", fig. 30. Elysium n'est pas blanc, il est peu
brillant et difficile à voir.
9 mai, de 10^40"^ à 11^22"", fig. 34. Sans mention d'éclat.
10 mai, de 8^31"^ à 9^41"^, fig. 26. Elysium n'est ni brillant, ni blanc;
il est difficile.
i Troisième mémoire dans les Mém. de l'Acad, roy. des Lincei, sér. IV, vol. 3, pi. I et § 826.
^ Notre huit-pouces nous a permis de saisir des indices de la forme polygonale d'Elysium
quand cette région se trouvait assez près du limbe : ainsi dans les figures 22 , 23, 36 et 39
on distingue très bien les angles que forment entre eux le Styx, le Cerberus et l'Eunostos.
28 OBSERVATIONS PHYSIQUES
iO mai, de iO^Si"^ à //V/"", fig. 33. Pas de mention concernanl Péclat.
Il en esl de même les H et 42 mai, fig. 27, 32 et 25.
// juin, de 8^8"" à 8^33"°, fig. 39. Elysium noté avec Isidis regîo et iEolîs
comme régions brillantes.
42 et 44 juin, fig. 36 el 34. Rien qui concerne Téclat.
En considérant que^ dans les cas nombreux où Elysium n'a été Tobjel
d'aucune mention^ il ne devait pas avoir de blancheur ni d'éclat exception-
nels^ nous trouvons que^ pendant cette apparition de Mars et à Louvain du
moins ^ cette région n'a pas semblé aussi blanche ni aussi brillante que de
coutume; nous ne trouvons en effet que deux mentions d'un grand éclat
(/^■^ avril el 44 juin)^ et une mention d'un éclat blanc neigeux à peine plus
grand que celui des régions voisines le 3 avril. Dans d'autres circonstances
il est expressément spécifié qu'Elysium n'était ni blanc ni brillant. C'est, en
tous cas^ au commencement d'avril que l'éclat blanc semble avoir été le
plus prononcé.
Ces remarques s'appliquent aux observations précédentes^ dans lesquelles
Elysium a été vu en plein disque^ ou même dans le voisinage du méridien
central. Les régions de celte nature paraissent beaucoup plus blanches et
plus brillantes lorsqu'elles arrivent au bord du disque; c'est ainsi que le
29 avril, de 8^9"^ à 8^24"^, nous voyons figurer au bord occidental de la
planète une lâche blanche brillante^ comparable à une tache polaire, et qui
doit être produite par la présence d'Elysium, v. fig. 44, h; il en est de même
du S mai, de 44^8"^ à 44^20"^, fig. 40, en m. Nous n'avons pas d'exemple de
pareil phénomène quand Elysium se trouvait voisin du bord oriental, notam-
ment dans les figures 16, 17, 18, 19.
F. — Tempe, forme polygonale.
La région Tempe a été souvent observée à Louvain en 1888; son éclat,
son aspect blanc neigeux ont été fréquemment enregistrés, spécialement au
bord oriental. On a vu avec grande netteté la forme polygonale de celte
DE LA PLANETE MARS. 29
région, dont le périmètre est constitué par Mare Acidalium, Nilokeras^
Nilus, Ceraunius et Tanaïs. Voici le détail des observations.
H avril, de /0^5^" à 4 4^2"", fig. H. Tempe s'approche du bord occi-
dental; les notes ne renferment pas de mention spéciale à son sujet.
46 avril, de 40^34''' à 44^39"^, fig. 44. Tempe bien limité, plus brillant
que le reste, à part, bien entendu, la tache polaire.
49 avril, de 8^44"^ à 8^37"", fig. 3. Pas de mention spéciale.
24 avril, de 40^20'^ à 44H4''', fig. S. Tempe bien limité et brillant.
22 avril, de 41^32'"' à 44^42'', fig. 7. Tempe bien limité, sans mention
spéciale.
26 avril, de 40^20"^ à 44^47''', fig. 47. A ll^^Si™, Tempe est blanc et
brillant au bord oriental.
29 avril, de 44^34"^ à 42^49"^, fig. 44. Tempe blanc et brillant au bord
oriental.
20 mai, de 8^2 0"" à 9^30"", fig. 43. Tempe approche du bord occidental;
sans mention spéciale.
20 mai, de 40^46"^ à 44^43"", fig. 48. Tempe est au bord occidental;
sans mention spéciale.
23 mai, de 7^38"^ à 9^22"^, fig. 40. La forme polygonale de Tempe est
évidente; pas d'autre mention relativement à Téclal.
24 mai, de 8^43"^ à 9^8'^^ fig. 9. La forme polygonale se voit très bien;
mais on ne fait pas d'autre mention.
23 mai, de 7^30'° à 8^23"", fig. 8. Même remarque. La forme polygonale
se voit encore partiellement.
27 mai, de 7^37"" à 9^43"^, fig. 6. Aucune mention spéciale.
50 OBSERVATIONS PHYSIQUES
31 mai, de 7^46^ à 9^33"^, fig. 2. Tempe brille d'un blanc neigeux au
bord oriental.
/««^ juin, de 7^34"^ à 8^S8^, fig. 46. Tempe brille el paraît blanchâtre
au bord oriental.
2 juin, de 8^14"^ à 9^49"^, fig. 43. Tempe est blanc et brillant au bord
orientai^ mais moins cependant que la tache polaire.
24 juin, de 8^3"^ à 8^48"^, fig. /7. Tempe brille comme un point blanc
à Textréme bord occidental^ a.
27 juin, de 8^16"^ à 8^26"*, fig. 1S. Pas de mention spéciale sur Tempe,
qui s'approche du bord occidental.
29 juin, de 8^43"^ à 9^, fig. 12. Pas de mention spéciale.
6 juillet, de 8^13"^ à 8^43"^^ fig. 4. Tempe est blanc au bord oriental.
9 juillet, de 8^41"" à 8^30"^, fig. /. On ne voit pas Tempe au bord oriental.
Nous pouvons nous résumer en disant que Téclat blanc neigeux de Tempe
a été constaté le plus fréquemment au bord du disque^ et plus fréquemment
au bord oriental qu'au bord occidental, au contraire d'Elysium.
Mais nous nous hâterons d'ajouter que les conditions particulièrement
mauvaises de cette opposition, et dans lesquelles beaucoup de dessins ont
été faits, ne permettent pas de conclusion décisive à l'égard de cette diffé-
rence d'aspect aux deux bords de la planète.
Ér. ThAUMASIA et RÉGIONS DIVERSES.
Une autre région nous semble être apparue au bord supérieur du disque
avec un éclat blanc, c'est Thaumasia; mais ici surtout M. Schiaparelli seul
pourra décider en dernier ressort. Nous avons cru, en effet, la voir figurer
fort probablement aux dates suivantes : 14 avril, fig. 14; 16 avril, fig. 11;
18 mai, fig. 16 el le 20 mai, fig. 13. A cette dernière date, nous voyons
DE LA PLANëTE MARS. 31
aussi une sorte de lâche polaire très peiile^ au sud^ et dont il a été question
plus haut.
Les observateurs de Mars savent depuis longtemps que les bords du disque
s
paraissent souvent fort blancs et brillants; la belle carte de M. Schiaparelli
nous apprend que cette apparence est due à la présence, sur le limbe, de
certaines régions spéciales, parmi lesquelles il faut ciier d'abord celles dont
il vient d'être question. D'autres régions encore produisent le même effet et
nos dessins de 1888 en présentent de nombreux exemples. Nous avons
dressé le tableau suivant contenant les districts de la carte qui correspondent
à toutes les lâches blanches brillantes observées sur les bords :
/«'• avril, à 10^27"^, fig. 29, en c, Libya et Amenthes.
3 avril, de //*^/" à //*^/5", fig. 23, en 6, Libya et Amenthes.
/5 avril, de SV4™ à 8^27''', fig. J, en f, Aëria ou Meroe? en g, Tharsîs.
26 avril, de S^5^0" à 9^1"^, fig. 43, en c, Thymiamala et Chryse, en d,
Isidis regio.
29 avril, de 40^49"^ à 40^29^^, fig. 42, en k, Isidis regio.
29 avril, de H^34'^ à ^^42"", fig. 44, en c, Isidis regio.
ô mai, de H^8'" à 11^20'", fig. 40, en k, Amenlhes et iElhiopIs.
9 mai, de 9^10'^ à 9^29'", fig. 30, en a, Libya el Amenlhes.
9 mai, de 40^40"^ à //""J", fig. 34, en c, Isidis regio el Libya.
10 mai, de 40^31'" à //V», fig. 33, en h, Libya.
// «101, de 9^3 1'^ à 9^44'^, fig. 27, en h, Libya.
// mai, de H*'6'" à H^24"', fig. 32, en h, Libya.
12 mai, de 9^12^ à 9^18'", fig. 23, en h, Amenlhes el iElhiopis.
31 mai, de 9^16'^ à 9^3 O'^, fig. 2, en g, Aëria.
2 juin, de 8^14'^ à 8^39'^, fig. 4S, en f, Isidis el Neilh regio.
32 OBSERVATIONS PHYSIQUES
H juin, de 8^8"^ à 8^33'", fig. 39, en a, au bord occidental, iEoHs;
en Oy près de la grande Syrte, Isidis regio.
24 juin, de 8^3"^ à 8^33"^, fig. /7, en 6, Tharsis el Cliryse.
29 avril, de 5^5'" à 8^24"°, fig. 41, le sommet d'Isîdis regio, le long du
Nepenthes, est excessivement blanc en k; de même que la côle d'Aëria, en m.
2 juin, de 8^' 14"" à 8^39""^ fig. 4S, Edom promontorium est blanc
brillant, en c.
Vn. — Observations des canaux.
A. — Liste des canaux observés a Louvain en isss.
En compulsant les observations précédentes, nous Irotivons qu'en 1888
nous avons vérifié, à Louvain, Pexislence des canaux proprement dils
suivants; quelques canaux restés douteux sont marqués d'un point d'inter-
rogation :
Astusapes, Phison, Typhonius, Orontes, Prolonilus, Deuteronilus, Gallir-
rhoe, Euphrates (en dessous du Lacus Ismenius), Hiddekel etGehon (traces),
Indus, Oxus, Tanaïs, Jaxartcs, Ganges, Nilokeras, Nilus, Ceraunius,
Agalhodœmon, Nectar, Gîgas? Phlegelhon? Acheron? Pyriphlegelhon ?
Hades, Erebus, Cerberus, Styx, Eunoslos, Hyblaeus, Antaeus, Gyclops?
Triton, Lethes (de la petite Syrte au Triton), Nepenthes, Tholh.
B. — Aspect des canaux. Difficulté; coloration; largeur.
Les canaux étaient des objets excessivenwnt difficiles à voir si Ton en
excepte le Tanaïs, le Jaxartes, le Deuteronilus, le Protonilus, le Thoth,
le Triton, Callirrhoe, Nilokeras, Nilus, Ceraunius, Agalhodœmon, Nectar,
Hades, Erebus, Cerberus, Styx, Eunostos, Hyblaeus, Nepenthes.
Les canaux autres que ceux que nous venons de nommer ne pouvaient
DE LA PLANÈTE MARS. 33
élre aperçus qu^après une recherche obstinée au point précis où Tobservateur
savait devoir les trouver; les canaux les plus faciles à voir, parmi tous^
étaient : le Thoth^ le Prolonilus^ le Deuteronilus, le Caliirrhoe^ le Tanaïs^
le Jaxartes, le Nilus, le Cerberus, le Slyx, TEunoslos, le Nepenthes, le Triton.
Un certain nombre de canaux ont paru gris, le plus souvent du moins;
citons : Jaxartes^ Callirrhoe^ Typhonius, Orontes^ Indus, Oxus^ Ganges,
Triton, Lethes, Thoth, Euphrates, Nilokeras, Ceraunius, Hades, Erebus, Styx,
Hyblaeus, Antaeus; d^autres noirs, tels que : Astusapes, Tanaïs, Agatho-
dœmon, Nectar, Nepenthes.
Plusieurs eurent souvent une teinte rosée très marquée^ rappelant la teinte
que présentent certaines bandes de Saturne vues avec un fort grossissement ;
citons : Phison, Protonilus, Deuteronilus, Nilus, Cerberus, Eunostos, Styx,
Hyblaeus, Gigas? Phlegethon?
Certains canaux paraissaient fort déliés, fort minces : Astusapes, Typhonius,
Orontes, Indus, Oxus, Tanaïs, Ganges, Agathodœmon, Nectar; d'autres plus
larges, tels que : Deuteronilus, Protonilus, Callirrhoe, Ceraunius, Hades,
Erebus, Cerberus, Styx, Eunostos, Nepenthes, Triton, Thoth; d'autres très
larges, apparaissant sous forme de rubans, et cet aspect était probablement
un indice de leur gémination; citons : Phison, Nilokeras, Nilus, Gigas?
Phlegethon?
C. — Gémination du Phison.
J'ai observé trois fois le Phison : le 29 avril, fig. 42; le /«"^ juin, fig. 46
et le 2 juin, fig. 4S.
La première fois, ce canal apparaissait comme un large ruban rosé, très
pâle, parfaitement rectiligne (voir fig. 42y 6); cette observation, quoique
difficile, ne laissait pas le moindre doute.
La deuxième et la troisième fois (voir fig. 46 et 4S), le ruban paraissait
dédoublé en deux traits plus fins, parfaitement rectilignes et parallèles; la
difficulté de Tobservalion donnait prise à un léger doute, mais telle était
néanmoins l'impression reçue.
ToHB LI. 5
54 OBSERVATIONS PHYSIQUES
Comme preuve de rimparlialilé qui a présidé à toutes ces observations^ je
rappellerai ici que M. Schiaparelli, par une lettre du 28 mai^ m'avertissait
de Texislence d'une gémination très marquée dans son dix-huit-pouces^ celle
de TEuphrale^ en m'engageant à la vérifier. J'ai fait tous mes efforts^ à partir
de cette date^ pour réussir à voir la gémination de PEuphrate^ mais ce canal
lui-même m'a échappé totalement^ à l'exception du tronçon que j'en ai vu
sous le lacus Ismenius le 34 mai (voir fig. S, c), et encore n'ai-je identifié
ce dernier qu'en étudiant mes dessins longtemps après et en commençant
la rédaction de ce mémoire.
Vni. — Conclusions.
Les résultats consignés dans ce mémoire sont minimes si on les compare
à ceux que M. Perrotin a obtenus à l'Observatoire de Nice^ à l'aide de la
gigantesque lunette de O^'TG, le deuxième instrument du monde^ et à ceux
que M. ScHiAPARELLi a réalisés lui-même à Milan avec son admirable
dix-huit pouces^ spécialement en ce qui concerne la gémination des canaux.
Je l'ai dit en commençant, dans des conditions aussi défavorables, l'on ne
pouvait que s'attendre à moins encore en se servant d'un simple huit-pouces,
quelque excellent qu'il fût. Mais ces résultats ont une valeur incontestable
en présence de l'incrédulité avec laquelle certains astronomes considèrent
encore les belles découvertes de Milan. Qui l'eût cru? Malgré les beaux
dessins de M. Perrotin, on écrit encore que les découvertes de M. Schiapa-
RELLi n'ont pas été confirmées par les plus grands instruments ^ !
Nous sommes donc heureux d'apporter notre appoint à la défense de la
vérité. Notre excellent équatorial, comparable à celui avec lequel M. Schiapa-
RELU a fait ses premières découvertes, nous a permis de vérifier l'existence
d'un assez grand nombre de canaux, d'enirevoir la gémination de l'un d'eux,
malgré le concours de circonstances déplorables qui annihilaient une grande
partie de sa puissance; il nous a surtout mis à même d'admirer l'exactitude
^ Etiglish mechanic, janvier 1889, p. 368.
DE LA PLANETE MARS. 35
générale de la carte^ de constater, par exemple, que pas une seule des taches
blanches et brillantes que nous avions remarquées sur les bords de la planète,
comme tous les observateurs Font fait depuis bien longtemps, ne restait
inexpliquée à qui se munissait de ce guide presque infaillible.
D'après ce que nous avons vu, nous osons raffirmer, désormais les progrés
de Paréographie sont aux mains de ceux-là seuls qui, s'affranchissant des
entraves du doute, s'engageront résolument dans la voie tracée par le célèbre
astronome de Milan : une nouvelle ère s'est ouverte dans l'étude de Mars
par la découverte des canaux, de leur gémination et par la détermination
micrométrique des cent et quatorze points fondamentaux de la carte, ère
succédant à celle qui fut inaugurée il y a un demi-siècle par la construction
des deux premiers hémisphères de Mars et par la fixation approximative
des quatorze points de Mâdler,
TABLE.
Psfr*.
I. — Introduction 3
II. — Observations 6
III. — Tableau des observations dans Tordre de date 19
IV. — Observations de la Libye 20
V. — Observations des taches polaires et spécialement du fil noir dans la tache
polaire boréale 20
VI. — Observations des régions blanches et brillantes autres que les taches polaires. S3
A. — Points brillants et blancs sur le prolongement de TErebus ... 23
B. — Hellas 2o
C. — Argyre et Noachis 26
D. — Thyle 26
E. — Elysium 27
F. — Tempe, forme polygonale 28
G. — Thaumasia et régions diverses 30
VII. — Observations des canaux 32
A. — Liste des canaux observés à Louvain en 1888 32
B. — Aspect des canaux. Difficulté, coloration, largeur 32
C. — Gémination du Phison 33
VIII. — Conclusions 34
MémoireB. in-4?_Tome LI
Opposition de Mars en 1888.
on
Mémoires. in-4°.Tome U.
Opposition de Mars en 1888.
rV'i (-7
')
SUR
LA (IINIRALISATION DIS SIMPARIANTS!
PAR
Jacques DERUYTS.
t
CHARGE DE COURS A L UNIVERSITE DE LIEGE.
(Présenté à la Classe des sciences dans la séance du 6 avril 1889.)
Tome L1. 1
SUR
LA GÉNÉRALISATION DES SEMI- INVARIANTS.
I. Soit
^ = t (Ottg*,... Of|, , ^/9i3,.../?a 1 ..),
une fonction entière^ homogène el isobarique '*' des coefficients aj,,^...^,,
6^^3,.../3.> etc., de formes algébriques à n variables
f « ^ P/s'»/3ija,.M pnxf'x^* ...x?"»elc.
Si Ton effeclue la transformation linéaire
X, = -.
., «hX, -*- «nXj -*- «ijXs -*- ••• -♦- «uX„
a-i=^
^** ..^ ajfXt -♦- ofjjXj -♦-••• -+- aj,X„
3*3 =
"'**',^ «ssXj H -*- a,,X„
•
•
•
•
^n —
(T)
* Désignons par K un produit de facteurs a, b, ... x,y, ...; XiX^...x„^ ViV^^^Vn •••
formant des séries de variables cogrédientes. Le poids de K par rapport à un indice i est la
somme algébrique des poids des différents facteurs : pour l'indice t, Xj, tfj ... (i ^ j) ont le
poids zéro; a:,, y.... ont le poids (— 1); ajr,a,...ff„, fr^,^,../s„ ... ont le poids «„ ft, ...
Une fonction est isobarique, quand elle s'exprime par une somme de termes K qui ont le
même poids pour les indices 1, 3, 3, ... n (le poids n'est pas nécessairement le même pour
tous les indices). Nous avons fait usage de ces définitions dans notre travail Sur la théorie
des formes algébriques à un nombre quelconque de variables (Bull, de l'Acadénie, juin 1888).
4
r *
SUR LA GENERALISATION
les formes /*, 9... prennent les nouvelles expressions
/•= S ?aAx,a, ... «„ Xf » Xî« ... X;» ,
? = s IV B^,^, ... ^„ Xf • X^ . . X^, etc.
Nous considérons les fonctions «/^ pour lesquelles on a
pour abréger, nous les désignerons sous le nom de semi^nvarianls de pre-
mière espèce. Ces fonctions comprenncnl, comme cas particulier, les quantités
que nous avons étudiées sous le nomxle «semi-invariants directs».
Par un changement de notation, on est conduit à des « semi-invariants
de seconde espèce » analogues aux semi-invariants de première espèce, pour
les transformations linéaires de module
«ÙXO 0 ...
**-
0
0
«51 *3i «35 **-.. • • •
•
•
0
•
•
• • • • • *♦ •
•
•
•
• •
•
«m «■« «118 • • • «••
La généralisation actuelle s'étend immédiatement aux fonctions semi-inva-
riantes quelconques.
Dans le présent travail^ nous nous occupons seulement des semi-inva-
variants de première espèce et de certains semi-covariants de seconde espèce,
particulièrement simples. Les résultats de notre étude servent de prélimi-
naires à d'autres recherches sur tes transformations linéaires et la théorie
des covariants.
D'ailleurs, nous espérons reprendre prochainement Tétude des fonctions
semi-invariantes, dans le cas le plus général.
IL D'après l'équation (1), on a
4'(Aflf4«,...ot„, B/8,...^„ ...) = tf»,
DES SEMI-INVARIANTS. S
quand la (ransformation linéaire se réduit à
x, = X, + iX,, (j>i), )
X| =3 X| , Xj = Xj, ... x<^| = Af_| , Xf^i = -Xi+i , ... x^ s= X„. )
En remplaçant A^,^.,^^, B^^ ..g^... par leurs valeurs, en fonction des coeffi-
cienls a„^«,...«,, 6p^...^, ..., on trouve :
X'
Il résulte de là que Téquaiion {ji)\p ^ 0 est suffisante el nécessaire pour
établir la formule (1), quand Ja transformation linéaire (T) se réduit à (T,).
Les équations {ji)^ = 0, où Ton a J > i, se réduisent an — 1 d'entre
elles :
(2i)^ = 0, (52)^ = 0, ... (wn-i)^ = 0,
par remploi de Tidentité
(W) (//')- («')(W) = -(AO (2)
D'aulre pari, toute substitution (T) se ramène à une combinaison des
transformations (T,) et de la transformation
X| = fiiXi , Xj = /CfXi , ... X, = A'jiXi, .
Par conséquent : vne fonction entière et homogène des coefficients de
formes f, y... est un semi-invariant de première espèce, si elle est isobarique
et si elle satisfait aux équations (i -{- ^,\) =- 0 pour i = 1 , 2, 3, ... n — 1 .
111. Tout semi'invariant de première espèce ip, qui a le même poids
m, *- m^ --••• = m„ pour les indices l, 3t, 3, ...n est un invariant **.
dK
* En général, la quantité (A/)K est définie par (A/)K = S^a^j^».. aA-L-jt, •^^*"'''^~dâli^.J„ ' '^
sommation doit s'étendre à toutes les formes dont dépend la fonction K.
L'opération (hl) augmente d'une unité le poids pour l'indice / : elle diminue d'autant le
poids pour l'unité h (voir notre travail déjà cité).
** Il est visible que dans la formule (1), la fonction q/ a pour poids mi, m^, ... m„.
p
<
6 SUR LA GENERALISATION
Les invariants sont caractérisés par les propriétés suivantes: 1° ils sont
fondions entières, homogènes el îsobariques des coefficients «,,...«., ^a •^■•••î
de plns^ ils ont même poids pour les indices 1^ 2, 3^ ... n; S"" ils satisfont
aux équations
iji)^0, (i,j= 1,2.3. ..n:t>j).
■s.
Pour démontrer la proposition énoncée^ il suffira de vérifier les formules
(i»)^=-o, (j<ih
ou^ plus simplement,
(/, tH- 1)^ = 0: 4=1,2,3, ... Il — 1,
ainsi qu'il résulte de Fidentité (2).
Observons que d'après la relation (t -f i^ î)ip » 0, la fonction jt est un
semi-invariant, pour un système de formes binaires aux variables Xi, ar,^.i;
le système dont il s'agit est composé des formes
?i5i •../8i-i/irf+i.../i« = ^T72 — r ^^»- Z'» apr^*+i I etc.
(les indices «lai*..».-,, «.^-t — a» et i3,/3,.../3,_,, A^4.«--/3n sont constants et
les sommations se rapportent aux diverses valeurs de «,, a/^.,, /3,, jS,^,).
Or, un semi-invariant de formes binaires, en a*,, a?,^ ,, est un invariant
quand il a le même poids pour les indices i, t + 1 ; il satisfait alors aux
équations (t + 1, i) = 0, (î, i + 1) = 0. D'après les conditions de l'énoncé,
la fonction <// a le même poids pour les indices i, < + 1 ; on a donc
(i, I + ^)^ = 0. C'est le résultat que nous voulions obtenir.
La considération des semi-invariants binaires, en a?,, «•, + ,, permet encore
d'établir cette autre propriété : Dans un semi-invariant de première espèce,
le poids mj, pour rindice i est égal ou supérieur au poids mj^., pour Tm-
dice i + 1.
DES SEMI-INVARIANTS. 7
IV. Soîenl r + 4, jo H- 1 ... les degrés du semi-i n varia ni «^^ par rapport
aux formes fy 9^ ... On obtient l-expression symbolique de (// au moyen des
transformations suivantes :
1** On remplace /*, y... par
f^ X'f -4- A'7" -♦- ... -^ Xnf%
iP} f^y ••• r^)y (?S ?"> ••• ?''^) — élant des formes des mêmes ordres que ^ 9...;
on divise ensuite parT^H ! p"TT! ..» le coefficient de W ... ^îK [x^.^. [/K.. dans
Texpression de la fonction ip modifiée; on obtient ainsi un semi-invariant de
première espèce ^', qui est linéaire par rapport à fff^^ ...99' 9"..., etc.;
de plus, ^' se réduit à ^ si l'on prend /•'=/*"=.. ^ f^) =^ /*.,.;
y' a= y" = ... = y^ = y^ etc.
2° On remplace les formes ff^T^ ... 99' 9"..., etc., par des puissances
de formes linéaires, les indices des puissances étant égaux aux degrés des
formes correspondantes. La fonction ^^ modifiée par cette substitution est
Fespression symbolique (//'' du semi-invariant de première espèce ^. La
fonction ?p" est évidemment un semi-invariant de première espèce, pour les
formes linéaires qui ont été introduites. Appliquons à ces formes linéaires
une transformation analogue à celle qui a été employée ci-dessus pour les
formes/", 9, ...; nous déduirons de^p" un semi-invariant de première espèce (p'",
du premier degré pour un système plus étendu de formes linéaires. D'ailleurs,
en supposant égales certaines formes linéaires dans la fonction (//"', on retrou-
vera l'expression symbolique (//" de ^. Par suite, la recherche de l'expression
symbolique ^//" des semi-invariants de première espèce se ramène à la
recherche de l'expression effective des semi-invariants de première espèce ip'",
contenant au premier degré les coefficients de formes linéaires.
La méthode que nous venons de suivre est semblable à celle qui a été
employée par Clebsch, dans son mémoire Ueber symbolische Darstellung
algebraischer Formen *.
* Journal de Crelky tome LIX.
# *
8 SUR LA GENERALISATION
Notations. — Nous supposerons que ^//"' se rapporte au système de formes
linéaires
6. = 6ix, + 6,Xi H -^ 6„x„ f ,
&, «= *,x, -♦- *^, H ^. *,x,
' Wll
Nous représenterons en général par la lettre s les coefficients des formes
contenues dans le tableau précédent; de même, nous représenterons par S
les coefficients du système (a) transformé par la substitution (T) [§ 1]^
savoir :
t = i , 2, 3 . . . ».
Dans toul ce qui suit, nous ferons usage de fa notation L[^, s', 5'',...],
pour indiquer une fonction linéaire par rapport aux coefficienis {s) et par
rapport à d'autres suites de quantités
M M
«I» «t, «5 ..-, «te («")
V. D'après les conventions précédentes, nous écrirons (//"' =- L[5] et nous
aurons, par la définition des semi-invariants de première espèce:
L[S] = «:*«S«...«:;LW (3)
Désignons par a^y des quantités arbitraires et appliquons aux deux
DES SEMUNVARIANTS.
membres de FéquatioD (3)^ les n x m« opérations
d d \
«jii«
cta„
d
"'''d^.
^pn
fffIS
rf«M ' ^ ••%,
doL
ts
"ftm
d
d
d ••••...
>S#i
<*«s«
^^»
*nn
p = l, 2, 3, .... m,.
Le second membre de Téqualion (3) sera remplacé par :
f L [«J a,i On ... a» -1 .«_i u a^ji ee^ti . . . a^, ,
dans celle expression^ e représente un facteur numérique et le symbole n
indique le produit des quantités a^nOpM ..• a^«n> pour p » I, 2^ 3^ ... m..
D'après le sens de la notation L[S], le premier membre de Téqualion (3)
modiOée est une fonction linéaire des quantités A.- B. ... K, et des quantités :
û^ = ajiM«i -♦- «,««« -^ •
«^|0/
kpi^^CLpnki + «^W^l '♦-••• »* «jrflt,
(«')
Nous représenterons par s^ les quantités comprises dans le tableau précé-
dent ; le premier membre de Téqualion (3) modifiée s'écrira alors : eL[S; s^\
De cette manière^ on déduit de la formule (3)
L[S,«'] ==a L[«] ail* "a^* ". '««-iB-i "-na,,!!»^ ..«,«11 .... (4)
Si Ton suppose a,y = 0(t </), «„ = 4, on doit remplacer les quantités S
par s : la dernière relation donne alors
L[«$']«=L[iï]n«^utf^. .a
f«»
Tome L1.
2
» r
*0 SUR LA GENEUALISATJON
et par combinaison avec Téquation (4)^ on obtient :
VI. Remplaçons a^,„ a^,j ... par a^,,i3|„ a^uiS,, + a^,j/3j„ ... et en général
Pélément «^^par «p„A; + «,,.... + lA+ij + ••• + a^y/î^j, : l'élément a^„ sera ainsi
remplacé par a^,,/?,,. Il faudra substituer aux quantités s\ les quantités S'
comprises dans le tableau
L'équation (4) donne par suite :
L[S,S']=|PuP«...p„.l--L[S,5'].
Supposons dans celte dernière formule «„ «« 1, «^ -= 0(i </); les quan-
tités S (§ V) se réduisent aux quantités s\ il en résulte la relation :
Lt«,S']c= jp„p,,...p,„j-«L[«,«'] (6)
VIL Observons que les éléments a^^ étant arbitraires^ on peut regarder
les quantités s^ comme les coefficients de formes linéaires
....... ^(T }
par rapport à de nouvelles variables y^y^ • • • ^n* Effectuons sur les variables y
Les différences iri — m^ , nis — m^^ ... ne peuvent pas être négatives (§ IH).
DES SEMI-INVARIANTS. 14
la transformation
y» = '''-•.. ?«Y. + p«,Yj -4- • • p,„Y„
les quanlîtés S' seront précisément les coeflicients de YiY, ... Y„ dans les
formes «^(y), ftp(/y) ... ky(y) transformées.
La fonction L[^;5'] est isobariqiie, mais elle n^est pas nécessairement
homogène par rapport aux formes des syslèmcs (a) et (a'); nous pourrons
récrire :
comme somme de quantités homogènes \, et de telle manière que X| soit un
semi-invariant de première espèce pour les systèmes (a), (a') considérés
comme indépendants.
Il résulte de la formule (6)^ que le semi-invariant de première espèce ^i,
pour les formes fl/y), bp{y)y ... k^Q/), est nécessairement un invariant^ car il
a même poids m^ pour les indices i, % 3 ... n (§ III); les fonctions l^ sont
donc des invariants par rapport au système (a').
D'après la formule (5), les fonctions X, sont des semi-invariants de pre-
mière espèce^ par rapport au système (a) : le poids pour Tindice n est égal
à zéro, si Ton regarde comme des constantes les coefficients du système (a').
Par suite, les quantités \ sont des semi-invariants de première espèce, pour
les formes k n — 1 variables
> V')
En résumé, L[«, s'] est une somme de fondions \ qui sont des invariants
pour le système {a') et des semi-invariants de première espèce pour le sys-
i2 SUR L\ GÉNÉRALISATION
tème (a,) an — 1 variables. II esl du reste visible que L [«,«'] se réduit
à L[5], quand on fait a^i-= ai^ b^^^bi, ... k^=ki.
VIII. Appliquons aux semi-invariants X,, le mode de transformation que '
nous avons employé ci-dessus, dans le cas de n variables. Nous déduirons
de L[^, .9^] une fonction L\s^ s', «"] qui contient les cocfiicienis s^' d'un nou-
veau système (a") de formes an — 1 variables 2„ z^y ...z^_^. D'après la
méthode suivie, on réduira L[^, s', ^"] à L[^] en identifiant certaines séries
de coefficients s, s', s'^. Représentons encore par S'' les coefficients du sys-
tème (j^') transformé par la substitution linéaire
^t = * • . rnZ, -♦ y^Zs -f • • -*- rt. ■ - 1 Z..I
^■-1 — ' • . , y«-i,i»-iZ«_i .
Nous trouverons :
L[s, S', S"] = LK «', «"] X «n*"^-* «?-^- • . . cv.rT"*
Ce résultat donne lieu aux remarques suivantes :
l"" L[Sy s', s''] est une somme de fonctions homogènes ^, qui sont à la
fois des invariants pour les systèmes (a') à n variables et pour le système (a'')
an — 1 variables 2;, , 2:,, ... 2„. ,.
2"" Les fonctions X^ sont des semi-invariants de première espèce, pour
les formes à n — 2 variables
6,X| H 6,x, -4- . ^- 6,_,x._„
*,j| H Âr,T, ^ 4 A— ta:.-t.
DES SEMI-INVARIANTS. 13
Par des transformations analogues à celles que nous avons développées^
on déduit de L [s] une fonction
dans laquelle la lettre «^^^ se rapporte aux coefficients d'un système (a^^^) de
formes linéaires an — A + 1 variables; les différents systèmes (a) se rap-
portent à des séries de variables différentes; a^% par exemple^ contient des
formes relatives à fi,, w^, .., u^_^i,^^y telles que
/;iii-i-/;tt, + . . ^ /;.»^^w,.fc^, / (^)
La fonction L[s', 8'\ ... 8'**^] jouit des propriétés suivantes :
l"" Elle se réduit à L[^] quand on identifie, d'une certaine manière, les
séries de coefficients s, «', «",... 5^"^;
2^ Elle peut s'exprimer comme somme de fonctions ).„ qui sont des invariants
pour chacun des systèmes (a'), (a"), ... (a**); les invariants X^ ont, par
rapport aux systèmes (a'), (a"), ... (a"), les indices w«, w^, — m^,
f?i,., — w^_,, . . w, — iw, *.
IX. Prenons
en réunissant dans T^ tous les facteurs s^^K
Formons, au moyen des séries de coefficients «^% les groupes de détermi-
nants d'ordre n — A + 1, dont les termes diagonaux ont pour produit T^.
Soit Pa la somme des résultats obtenus en multipliant les uns par les autres
les déterminants de chaque groupe. Nous aurons, à part un facteur numérique
* Quand on effectue une transformation linéaire, une fonction invariante se reproduit
multipliée par une puissance du module : Tindice de cette puissance est Yindke de la
fonction invariante.
u
SUR LA GÉNÉRALISATION
Celte formule s'obtient par Tapplicalion du théorème de Clebsch^ sur
Texpression des invariants du premier degré^ pour des formes linéaires
(Journal de Crcllc, lome LIX).
On pourra de la même manière développer 2RPa, comme invariant d'un
autre système (cr'^'% et ainsi de suite. On peut donc écrire la fonction
L\s\ j'^ ...«^''^] comme une somme de produits de déterminants d'ordre
... 1^ 2, 3^ ... n, tels que
M h • • • *•— 4-^ I
*l *t • • • *«-*-H
En égalant certaines séries de coefficients à (a)y (6), ... {k)^ on obtiendra
le développement de L[.v]; on aura ensuite l'expression symbolique d'un
semi-invariant de première espèce^ en supposant que certaines formes
a^, 6x» ... k^ sont égales entre elles (§ IV).
Nous pouvons donc énoncer ce théorème :
Tout semi-invariant de première espèce tp a pour expression symbolique
une somme de produits de déterminants d'ordres h ^=« i^ 2, 3, ... n^ tels que
^.=
Ùl Uf Os
6i 6, 6,
Remarque. — La fonction ip étant de poids m^, m^, ... m^ pour les indices
^,^y3y ...ny SOU cxprcssion symbolique est une somme de produits de
m„ déterminants 3^y de m^_^ — m„ déterminants (3;,_, , etc., et en général
de wî^ — m^^, déterminants i,^.
Exemple. — L'expression
fli c, di
a, c, fi.
Os Cs dz
représente symboliquement un semi-invariant de première espèce.
ai
6.
S
aî6}
a*
6,
DES SEMMNVARIANTS.
15
X. D'après le théorème précédent^ Texpression symbolique \p^' d'un semi-
invariant de première espèce ^ peut s'écrire
f = 2:n(^,)
(7)
Nous supposerons que ip" contient les séries de coefficients
a, (7| ... (F„ ,
t, bi ... 6„,
9i ?«
9n'^
les déterminants dx d'ordre h seront alors formés au moyen des h premières
colonnes du tableau précédent.
Considérons maintenant n séries de variables cogrédientes
(»)
X,
X, ..
X,
<«)
(y)
yi
• ■ 1
• •
(2)
• ••
(")
• • 1
•
(A)
(tr)
U>l
Wf . .
• V)„
(«)
Désignons par Y'' la fonction que l'on obtient en remplaçant dans ip"
les déterminants
cï.-
par
A*=
Ol
<lf
• 0*
6.
•
•
6. ..
• • •
. • •
. 6»
• •
• •
0.
"» •
.. o.
•
6, .
« • .
•
La fonction W représente symboliquement un covariant Wy dans lequel le
semi-invariant de première espèce ^ est le coefficient des plus hautes puis-
sances de a?,, y^, z^y ... Vf^y ... ti;^.
46 SUR LA GÉNÉRALISATION
D'après la formule (7), nous écrirons
T"«=En(A*); (8)
le second membre de celle équation est une somme de produits de m^ déter-
minants A,, de fw^_| — m^ déterminants A^,^ de m,,^ — m,^^ détermi-
nants A„_j, etc. *.
Recherchons dans le développement de Y'' le coefficient xo dti produit
en supposant
«1 -+- 8( -f • • • -f /u^ s= fitf,
t = i, 2, 3, ... n.
La formule (8) conduit à faire la remarque suivante : Pour obtenir dans
n(ÂA) un terme contenant le produit P^ il faut considérer dans les détermi-
nants A,^ Aj, ... A. les combinaisons des x, y^ z, ... w, qui sont comprises dans
les déterminants
On trouve par suite
xé=exA m
si Ton représente par e le coefficient de P dans le produit a?7*"""** (^lyO*^""'--
Dans le paragraphe suivant, nous déterminerons la même quantité xo P^i"
une méthode différente; en comparant les deux expressions de xo» nous
obtiendrons une propriété importante des semi-invariants de première espèce.
* Le covariant W est divisible par (Xiyi...w„Y''* : le quotient est un covariant W^, conte-
nant seulement n — 1 séries de variables. Dans un autre travail, nous montrerons que tous
les covariants sont réductibles, au moyen d'opérations polaires, aux covariants analogues
àVo.
** On a nécessairement
oij -V- a j H- • • • -•- flt/i = Wj ,
Pi "*- Pi ■• ^- P« = »«ii
|X,-*- JJLjH h(XAam
«•
DES SEMI-IN VARIANTS. il
XL Soit
un nouveau syslèmc de n formes linéaires. Nous emploierons^ suivant
Tusage^ la nolalion a— pour représenter Topéralion polaire des coeffi*
cients a sur les coefficients a' : nous aurons ainsi
d d d d
a c=3 o» «— - -+- d* . -^ • • • -♦- fl_ — — •
da' 'da\ 'rfo; "rfa:
La notation U^A («^J* représentera l'opération a—, appliquée fi fois,
au résultat de l'opération a— appliquée a fois de suite. La généralisation
s'indique d'elle-même.
Cela posé^ considérons un produit quelconque
dans lequel on a
a^ -♦- p< -H •- • -4- /K^ = m,- , (i = i, 2, 3, . . . w).
Nous pouvons écrire
en prenant
* Cette relation se vérifie immédiatement. M. Capelli a fait usage d'une formule analogue
dans ses Fondamenti di una Tearia gmerale délie forme algebriehe (Memorie della Acad. dei
LiNGEi, 3^ série, t. XII, p. 536).
Tome LI. 3
18 SUR LA GÉNÉRALISATION
m _ . m
JH tÊÊ M
Oai *6' * .../li "en remplaçant dans la fonction i^", les lettres
Ainsi ^ la fonction ip^' se déduit de a\ 'b\^ ...fl \ au moyen d'une
opération 0^ réductible à des polaires successives des coeflScîents a, b, ... g
sur les coefficients a', 6'^ ... f': nous écrirons en conséquence
D'après la nature même de l'opération 0^ on obtient la quantité
/
y
«i> ^n ••• 5i> ^«> "*' ••• 3t9 •••> <*«» "«» ••• 5»»
par les formes
or, cette modification transforme (//" en ï^" (§ X) ; on a donc
Au moyen de cette relation^ déterminons dans la fonction Y" le coeffi
cientxo du produit P [formule (9)j; nous trouvons immédiatement
%o
La comparaison des formules (10) et (11) donne
>7i élant un facteur numérique positif et différent de zéro^ en même temps que 6.
Additionnons membre à membre toutes les formules analogues*; d'après
* Ces formules s'obtiennent en prenant pour (aia|...a„, ^ipi. .p«, ... H-ifj^^^.fJLn) tous les
systèmes de nombres, qui satisfont aux relations
«rf -*- l3i -H • • -k-fii^ f«i, (i = 1, 2, 3, . . n),
«!-♦■«•-• ha„ = m,,
Pi-^Pi-»-- • -»-P„ = m„
DES SEMUNVARIANTS.
19
la valeur du coefficient 9 (§ X), nous trouvons
en désignant par >? un fadeur numérique différent de zéro^ qui dépend seule-
ment de W4, m^y ... w»„.
La dernière formule exprime ce théorème :
L'expression symbolique ip" d'un semi-invariant de première espèce peut
se déduire de
au moyen d'opérations polaires, relatives aux coefficienls a', b', ... f.
Exemple. — Soit
6.
et 9i
■
*" = a,
6.
c< 9t
•
9
K
fc.
<•« 9t
on trouve l^"
— Oa{ {a{ b'^cÇ), en prenant :
'.t
d
'da'
» do-
0= a
2 do'
%t
d
'db-
ci
»d6'
1
*x
d
'de'
d
^d«'
XII. Les résultats^ que nous avons obtenus^ s'appliquent aux semi-cova-
rianls de seconde espèce^ formés uniquement au moyen de diff'érentes séries
de variables cogrédientes :
*.
Xf
• a:.
i)
•
y» •
• a •
• y»
m •
2)
•
II, ..
■ ■ •
• W»
II?, .
• • •
. . w„
• »
•
•
(t)
Nous supposerons que l'on remplace les variables (a:) (y) ... (w) ... par
20
SUR LA GÉNÉRALISATION, etc.
(X)(Y) ... (U) ..., au moyen d'une transforma lion linéaire de module
a„" •. 0 0 ... 0
««I «11*^0 ... 0
«51 Ht «» '•;•• 0
0^.1 *•« «iJ ••• *
«s
Soi( x(^> y^ ^> * • * ^> - '0 "'^^ fonction homogène et isobarique formée uni-
quement au moyen des variables a?, y, a?... u ... Nous dirons quex(a?, y, ... u ...)
est un semi'covariant identique de seconde espèce, si Ton a
%(x, y,. ..«!...) = «?,' «S*... «î;x(X, Y,... u...);
( — /},), ( — Pi)y . . . ( — p^) sont alors les poids de la fonction x P^ur les
indices i, %3y ... n^. D'après les propriétés des semi-invariants de première
espèce on peut vériGer les propositions suivantes :
1^ Une fonction homogène et isobarique, formée au moyen des variables
\, y, ..., est un semi-covariant identique de seconde espèce, si elle satisfait aux
relations
H^i
y*
rf^n^i "^ dy
-♦. ... =0, ... {i= 1,2,3,.. n— I).
'+«
2** Pour tout semi'Covariant identique de seconde espèce, la valeur abso-
lue Pi du poids pour l'indice i, est égale ou supérieure à la valeur absolue pj^f
du poids pour l'indice i + i .
3** Tout semi'Covariant identique de seconde espèce s'exprime comme
m
somme de produits de déterminants d*ordre h n=. i, 2, 3^ .. . n, formés au
moyen des h premières colonnes du tableau (r) des variables.
4° Tout semi'covariant identique de seconde espèce est une somme de
polaires de
par rapport aux séries de variables x', y', . . . w'.
Voir la note du paragraphe I.
/Xo
^ SUR
LES TRANSFORMATIONS LINÉAIRES
ET
LA THÉORIE DES COVARIANTS;
PAR
Jacques DERUYTS.
CHARGÉ DE COURS A L*UNIVfiRSlTÉ DE LIEGE.
(Présenté à la Classe des sciences dans la séance du 6 avril 1889.)
Tome LI. a
SUR
LES TRANSFORMATIONS LINÉAIRES
ET
LA THÉORIE DES COVARIANTS.
Dans des recherches anlérieures sur la théorie des formes algébriques *,
nous avons élé amené à considérer Télude des transformations linéaires
comme la source des procédés de formation pour les fonctions invariantes.
Cet ordre d'idées conduit naturellement à examiner Teffet d'une transforma-
lion linéaire, sur les fonctions entières des coefficients de formes algébriques
à n variables. Le travail actuel contient les résultats que nous avons obtenus
dans cette voie.
Nous signalerons d'abord cette relation très simple (§ IV) : « la
transformée d'une fonction entière de coefficients de formes algébriques se
ramène, par un changement de notation, à un covariant à n séries de
variables. »
D'après les résultais de notre élude, tout covariant de poids zéro, à n séries
de variables, se ramène à certains covariants, que nous appelons covarianls
primaires et qui contiennent n — 1 séries de variables.
Les conséquences de x;ette réduction conduisent à ce théorème général :
« Tout covariant, conlenant un nombre quelconque de séries de variables,
est une somme de covariants identiques multipliés par des polaires de
covariants primaires. »
* Sur la différentiatiofi mutuelle des fonctions invariantes (Bull, de l'Agauéhie royale de
Belgique, août 1888). Sur quelques profiriétés des transformations linéaires (Ibid., décembre
i888j.
4 SUR LES TRANSFORMATIONS LINÉAIRES
I. Soil py une quantité isobarique * homogène e( fonction entière des
coefficients e, de formes algébriques f h n variables a?,, x^, ... x^. EfTecluons
sur les variables la transformation linéaire de module :
<r=
ail «1, ... «1,
«ni «A» • • ««n
et désignons par C^ les coefficients des formes f exprimées au moyen des
nouvelles variables. Les quantités G sont fonctions entières des éléments a,y
et elles s'expriment linéairement au moyen des coefficients primitifs, c. Soit P,
la quantité obtenue en remplaçant dans p, les lettres c par les lettres G cor-
respondantes : nous dirons que P est la transformée de p par la substitu-
tion d: en général, nous conviendrons de représenter par une lettre majuscule
la transformée de la quantité représentée par la lettre minuscule correspon-
dante.
La quantité P s'écrira :
dans cette formule, les lettres l représentent des fonctions entières des élé-
ments a,j : piy p^y p^,.. p^ sont des fonctions analogues à p. Nous supposerons
que le nombre r des quantités /?. est le plus petit possible; de cette manière,
il ne pourra exister aucune relation linéaire entre Pi,Piy ... Pr*
La quantité P se réduit à p pour «,, = «^ = ... = a,^^ = 1, «^. = 0 (i ^ /) :
par conséquent, nous pouvons supposer pi = p.
IL Les transformées de p^, Ps^ ... Pr sont exprimables linéairement au
moyen de p^, p«, ... p^.
En effet, soit P" la transformée de p, quand on effectue successivement
* Afin d'éviter de longues répétitions, nous renvoyons à nos travaux antérieurs pour
la signification des termes : isobarique, poids relatif à l'indice i; il en est de même pour la
notation {h, l) dont nous ferons usage dans la suite.
ET LA THÉORIE DES COVARIANTS. 5
sur les variables, la transformation de module i et la transformation de
module
Pli S|j ... p,,
p«ï p« • • • Pi«
j'=
Piil P«l • • • Pnn
nous aurons par la formule (1) :
P" = x;,p, 4- a;,p, ^
^r^rt
(î)
en désignant par V les quantités déduites de ), par la substitution des lettres
)S aux lettres a. D'un autre côté, les transformations de module d; à^ effectuées
successivement sont équivalentes à la transformation de module :
r=
rii ru
r«i r«
ri«
r«.
ri.1 ri.t ..• r
nu
si Ton suppose
Tii *= «llPlj -♦- «llP«> -♦-•••-♦- «/«p.;-.
Représentons par >/' les valeurs que prennent les fonctions >, quand on
substitue aux éléments a,j les éléments ^,^; nous aurons, d'après la formule (1) :
p" = >;>, ^ a;;p, ^
Dans les deux membres de Téquation
^VrPr
AijPi -H A,jPj
>lrPr = ^i'iPl -♦- >rtPl
(3)
les coefficients des mêmes produits d'éléments /3,y sont nécessairement égaux
entre eux : en les identifiant, on obtiendra des équations linéaires L ^ 0,
entre les quantités P^, P^, ... P^, /^i, p,, ...pr^ Admettons pour un instant,
que Ton ne puisse pas résoudre ces équations par rapport à P„ P,, ... P^ :
6 SUR LES TRANSFORMATIONS LINÉAIRES
diaprés la formule (2), la quanlilé P'' sera la somme des produits de fonctions
entières des éléments /3,y, par r — r' (r' >0) combinaisons de P,, P,, ... P^;
ces combinaisons étant linéaires et à coefficients numériques. On pourrait
donc réduire à r — rMe nombre des fonctions p^^ qui servent à exprimer P
[formule (1)] : cette réduction est contraire aux conventions établies ci-dessus»
En conséquence, on peut déduire des équations L=» 0^ les valeurs de P,^ P^^
... P^ exprimées linéairement en fonction de p^y p^y ... Pri la proposition
énoncée se trouve ainsi établie.
Remarque. — D'après le théorème que nous venons de démontrer, on
peut écrire les formules :
p.
•
t
•
H-
1
• •
■f • •
• •
-4-
•
KPr
• •
p,
•
•
•
1
• *
-4- .
• •
• H-
•
\rPr
•
Pr
KtPi
•4-
KiPi
4- ••
• -♦-
^rrPr
(^)
les lettres l représentant des fonctions entières des éléments a du module ô.
Par Pidentification des coefficients de Pi, p^y •• • Pn dans la foroiule (3),
on obtient :
a',', =» AJ|X,, -♦- XitAti -»-•••-♦- aJ^a^i \
AJV = ^li^r -♦- ^n^ -I- • • • -4- AJ^A^ ]
Les quantités yij, X',', ont pour transformées (3^^^ X'„ si on considère
les éléments /.y comme formant des séries de quantités cogrédientes à x^ y
â> 2 . ... M? Il , savoir •
On déduit facilement des formules (5), que les transformées X{,,X{2,...V^
de /h, X|',, ... X|'r sont des fonctions linéaires de ^i',, '>l[^y ... T^i' Désignons par
On)* (^i«\ ••• (K) J^s quantités que Ton déduit de l^^,y X»,, ... X^^ en rempla-
çant les suites d'éléments
(«|l> «II» ••• «iil)> (««> «M» ••• «ut); ••• («lu» «lu ••• ««II)
i
ET LA THÉORIE DES COVARIANTS. 7
par des séries de variables cogrédienles à (a?(, x^, •••^»); nous pouvons
énoncer cette propriété :
Les transformées des quantités (X,,), (A,j), •.. (X,^) s expriment linéaire-
ment en fonction de (Aj,), (Xj^), ... (X,^) *.
III. Représentons en général une forme linéaire par 5,a?, + 5jX,-| h s^x^.
Soit 0^ une opération réductible à des polaires successives telles que
d d d d
«-— =«|-- — -♦- 8f-z H ••• H- «
dat dan doit " da^
En employant la notation symbolique d'Aronhold, nous établirons ce
théorème :
Si l'on a symboliquement p^ ^ OX,, , la transformée de toute combinaison
linéaire de pi^ p,, ... p, contient nécessairement la quantité p^.
Il suffira de prouver que dans les relations (4)^ les fonctions Xn, X,i, ...X^i
sont linéairement indépendantes. Contrairement à la propriété que nous
voulons établir^ supposons par exemple que Ton puisse exprimer X^i par
une combinaison linéaire de X^, X,,^ ... X^, i; nous aurons, par la première
des formules (5), une relation de la forme :
puis
On a, par hypothèse, Q\^^p^ ; de plus, les quantités OX,, , OX^^ , ... 0X^_, ,
contiennent les mêmes symboles de formes algébriques et aux mêmes degrés.
Il résulte de là, que OX,,, OXj,,... 0X^_|., sont les expressions symboliques
de fonctions joi, pj, ...;>^_4 analogues à /?,. D'autre part, Ox"» représente la
transformée P{ de la quantité p^^ pour le module c^' = 2 db /S^^/S» ... /3
*4t
nn
* Les transformées des quantités {x^) s'obtiennent en remplaçant les diverses variables
par les variables nouvelles correspondantes.
** La quantité i',', s'obtient en remplaçant, dans x„ , Tes éléments dt^j par Py«„ -*- p^^a -♦- •••
+ ?mj^in- De même, la transformée de 0A|, s'obtient en remplaçant les coefficients Sj par
8
SUR LES TRANSFORMATIONS LINÉAIRES
En conséquence, nous aurons par la formule (5') : PJ ==XÎ/), + ^/>i+ •••
Ce résultai esl coniraire aux suppositions indiquées précédemmenl : en
efTet^ nous avons admis que l'expression de P{ , réduite au nombre le plus
petit possible de termes^ peut s'écrire
p; = >'iiPi + >i»Pi
^îrPr
Par suite, les quantités \i, X^,, ... \^ sont linéairement indépendantes
c'est le résultat que nous avions en vue.
ly. On sait que la fonction p, du reste quelconque, est le coefficient des
plus hautes puissances de x^^y^y z^ ... lo^ dans un covariant \j)\ à n séries
de variables :
3;
n).
(x)
a:,
X, .
• ^n
(y)
y«
yf ••
• yn
•
2|
•
• •
• •
(«')
«1
w^ .,
.. w.
Pour abréger, nous dirons que la quantité/? est la source du covariant [p].
La fonction p s'écrira symboliquement
e est un facteur numérique et a,, 6,, ... sont les coefficients de x^ dans des
formes linéaires a,, 6^, ... On voit immédiatement que p esl la source du
covariant [p] représenté symboliquement par
M» "^ M« "*■•"+- PnjSn» H résulte de là que la transformée de O^u est précisément OAli :
d'un autre côté, l'expression symbolique de Pi est la transformée de OXi,. On a donc
pî^Oa;;.
ET LA THÉORIE DES COVARIANTS. 9
D'autre parl^ la fonclioo P^ transformée de p par la substitution d; s'écrit
symboliquement
k k
P ^ Ilf (o,a„ -♦- Ofsx^i ^ .. . -♦- «,«,,) « (6,«,, -^ . . . 4- 6„a,|) * ...
D'après ce développement, tout covariant [p], e/& j90iVf« zéro et à n séries
de n variables x, y, z, .^ w, s'obtient au moyen de la transformée P de sa
source p en remplaçant les lettres «i,, oj^ , ... «in par Xi , yj , . .. Wj (î = 1 , 2, 3, ... n).
V. Désignons par S| la suite des quantités /^t, ;)«, ••• ;>r> pour lesquelles
le poids relatif à l'indice 1 a la valeur la plus élevée. Soient S^^.-.S,., ,
S.) •••§„., les suites de quantités p, déterminées par celle condition que
S, comprend les termes de la suite S, . i, pour lesquels le poids relatif à l'indice f
est le plus grand.
Soit pg un terme de la suite S^.i : nous représenterons par tu,, m^y ... m„
les poids de Pg par rapport aux indices i, ^, ...^ n.
Si nous effectuons sur les variables la transformation linéaire
X, = X, -+- «„X,, X, = X„ {i> i)
la transformée P^, de Pg^ a pour expression
p,-*-7«..(2»^)Pf-*-^«î«(2J)'p,+ •• *
Or, la quantité (^,l)pg a le poids m^ + 1 pour l'indice 1 et, d'après les
formules (4), elle doit être ou bien nulle^ ou bien fonction linéaire de p^,
Ptf.Pr* La deuxième supposition doit être écartée: en effet, d'après le
* Voir notre travail Sur la théorie des formes à un nombre quelconque de variables (Bull,
DE L*ACAD. ROYALE DE BELGIQUE, juin 1888).
Tome L1. 6
10 SUR LES TRANSFORMATIONS LINÉAIRES
mode de formation des suites S|, S,, ... S„.,y les quantités p^ p^^ ... p^onl au
plus le poids mi pour Findice d . On a donc :
(2, l);?, = 0.
Semblablement^ si Ton elTectue sur les variables la transformation
Xj = X, -f- ««Xb, x< « X,, (i ^ 2),
la fonction P^ s^exprime par
f 4
La quantité (3^ ^)pg a pour poids n?,^ m, + 4, relativement aux indices
i, 2. Par hypothèse^ les termes de (PuP^, •••/'r)» H^^î ^'^^ '^ P^î^^ '^t P^"^
Findice 1, ont au plus le poids m, pour Findice 2; on déduit de là
(3, 2)ft = 0.
En continuant ainsi de suite, on vérifiera les équations
{2,i)p,«0. (3,2)p, = 0, (4,3)p,-0, ... (it,n-i)p,-=0 ... (6)
VL Dans des recherches sur la généralisation des semi-invariants, nous
avons considéré certaines fonctions ^, que nous avons appelées semi-inva-
riants de première espèce : ces quantités sont des fonctions entières, isoba-
riques et homogènes^ des coefficients de formes algébriques; elles sont
caractérisées par les équations
(2J)*n=0, (3,2)^ = 0, ... (n,n — i)^«0.
Nous avons montré que tout semi-invariant de première espèce ^ est la
source d'un covariant ^ d'une classe particulière, à n séries de n variables
{x)y {y) y ... {w) : le covariant Y a pour expression symbolique une somme
ET LA THÉORIE DES COVARIANTS.
14
de produits de déterminants analogues à
a.
6. b.
d, «/y d.
ex
eM
r. u u
9' 9» 9' *" Si
A, Ay h, ... ht
Kg Km /»j • • • An
dans chacun de ces déterminants, la première colonne contient des formes
linéaires relatives aux variables x) la deuxième colonne contient les mêmes
formes rapportées aux variables^; la troisième contient les mêmes formes
rapportées aux variables z et ainsi de suite.
Nous avons rattaché à Tétude des semi-invariants de première espèce,
d'autres quantités homogènes et isobariques, que nous avons désignées sous
le nom de semi-covariants identiques de seconde espèce. Ces quantités sont
fonctions entières de séries de variables cogrédientes {x)^ (iy), etc.; elles sont
caractérisées par les équations
OCi
dx
Vi
<+«
^y
= 0, (i=i,2,3,...w — I).
H-«
Dans le cours du présent travail^ nous aurons à faire usage des fonctions
semi -invariantes, dont nous venons de rappeler les déQnitions.
VII. Il résulte des considérations précédentes et des formules (6), que la
fonction p^ est la source d'un covariant analogue à Y; nous représenterons
ce covariant par la lettre Y elle-même.
Diaprés la relation établie ci-dessus (§ IV) entre un covariant et la trans-
formée de sa source, la quantité P^, transformée de /7^, s'exprime linéairement
au moyen des coefficients de ^. Nous écrirons :
Pj s= a, rj H" djTT j -♦-•••-♦- BilTi ,
(7)
* Chacun des produits contient comme facteurs : m„ déterminants d'ordre n ; m. . i — m„
déterminants d'ordre n — 1, etc., et enfin mi — m^ déterminants d'ordre 1 (analogues à a,\
Les nombres mi, m^, ... m„ sont les poids de ^ pour les indices 1, 2, 3, ... n.
12 SUR LES TRANSFORMATIONS LINÉAIRES
en faisant les conventions suivantes :
1*» TT,, n^y ... TT^ représentent des qiianlilés linéaires par rapport aux coef-
ficients de V et indépendantes des éléments a du module *= 2± at^a^^ ... «^.
â"" Bi^e^y ...Oi désignent des fonctions qui contiennent seulement les
éléments a.
3° Dans la formule (7), les quantités tt,, ;:„ ...tt/ sont réduites au nombre «
le plus petit possible.
Du reste, Tune des quantités it,, tt^, ..., tt^ peut être supposée égale à /?,;
nous prendrons
D'après une propriété démontrée au paragraphe II, le nombre / ne peut
être supérieur au nombre r.
On obtient immédiatement, par la formule (7), le développement de W ;
nous écrirons
▼ = («,)r, -♦-(fl,)3r,-4.... -h(e)r, {T)
en désignant par (d), les quantités que Ton déduit des fonctions 6, en rem-
plaçant a., , a,,, ...a;„ par a?,, y, , ... m;, (i =- 1 , 2, 3, ... //).
La comparaison des formules (o) et (7) donne
Par ridentification des coefficients des mêmes produits d'éléments a, on
obtient des relations linéaires entre PijPty ••• Pr ^l ^i> ^i? ••• ^/ • Ces relations
permettent d'exprimer linéairement n^^n^y ... ïï^ au moyen de PxyPty ^••Pr* ^
les fonctions n, , rr,, ... ui étant linéairement indépendantes, on peut exprimer
I /erme^ de la suite (pi, p^, ... p^) au moyen des r — I termes restants et de
TT,, TT,, ... , ni . Nous écrirons, en conséquence :
* Le mode de démonstration est tout à fait analogue à celui qui a été employé au para-
graphe II.
ET LA THÉORIE DES COVARIANTS. 13
DaDs cette formule, 9, ,7^, ...7, représentent r — / termes de la suite
(P\yP*y*'*Pr)'j 6l 1^ lettres [x désignent des fonctions contenant seulement
les éléments a du module i. Du reste, les quantités fii ^/^i, ... (jlt sont néces-
sairement différentes de zéro.
VIII. Appliquons à la quantité p^ ^ ^:^ les résultats que nous avons obtenus
précédemment pour la transformée d'une fonction quelconque p (§ II). D'après
la comparaison des formules (1) et (7), les transformées derc^^i:^^ ... n^ sont
exprimables linéairement au moyen rfe tt, , tt^, ... , n^.
On trouve immédiatement que, dans la formule (7), la fonction 0, est
égale à
D'autre part, l'expression symbolique du semi-invariant de première
espèce n^^p^y se déduit de
par des opérations polaires relatives aux coefficients a\ b\ &, ... [Voir notre
travail Sur la généralisation des semi-invariants, § XI.]
Nous écrirons donc symboliquement
en désignant par 0 une opération réductible à des polaires successives,
analogues à
d d d d
tfa, Oa,, dtta »«<«
D'après les développements indiqués au paragraphe III, nous pouvons
énoncer cette proposition :
La transformée de toute combinaison linéaire de tti, tt,, ... tt/ contient
mcessairement la quantité yt, .
* il suffit de considérer l'expression symbolique du covariant y (§ VI).
U SUR LES TRANSFORiMATIONS LINÉAIRES
IX. Reprenons maintenant la formule (8); le covarianl [p] qui a pour
source p s'écrira
si Ton représente par (^), la fonction obtenue en remplaçant dans/^^ les lettres
par
Ji, t/o ... ir,, (t «1,2, 5, ... w).
Les différents termes du covariant [/?] ont leurs poids égaux à zéro, pour
tous les indices : par conséquent, les fonctions correspondantes des deux séries
et
^1» Vl» ••• y«i ï^l f **! ••• ^l*
ont mêmes poids, en valeur absolue. En particulier, (/x,^,) a pour poids
— wi,, — iWj, ... — m„, et il n'existe, dans la suite [(/*,), (/*,), ... (/a,)],
aucun terme qui ail, pour les indices 1, 2, eS ... /, < + 1, les poids - m,,
— ^^'a> — ^h} — — w?,-, , — w, — ^, (e > 0). D'un autre côté, quand on
effectue une substitution linéaire sur les variables cogrédientes(x),(^), ... (u;),
les transformées * de (/x,), (/zj), ... (^^) s'expriment linéairement en fonction
de (fx,), (lùtj), ... (fjLr). [§ IL — Remarque]. On déduit facilement de là :
H -4- U7,3 (/^.^|) = 0. (t = 1,2,3,. .w — I).
«"'•+1
Ces équations sont tout à fait analogues aux équations (6), et elles s^ob-
* D'après la substitution linéaire, les variables (x), (j^), ... (w) sont remplacées par (X), ( Y\
... W); les tramformées des fonctions du,], /u«;, ... (fx,* s'obtiennent en substituant les
lettres X, Y, ... W aux lettres x, y, ... w.
ET LA THÉORIE DES COVARIANTS. 45
tiennent de la même manière; elles prouvent que (iu.^i) est un semi-cova-
riaut identique de seconde espèce.
Or^ tout semi-co variant identique de seconde espèce, peut se déduire de
la fonction
(6;) = xr*-"*- . (x;y;p~"» (xii^uip-"* ...
par une opération A, équivalente à des polaires effectuées par rapport aux
différentes séries de variables ar'y' ... m;' et oc. y ... *.
Désignons par Y' l'expression du covariant Y, dans laquelle on aurait
remplacé les lettres ar, y, ... w par x\ ;y', ... w'. Nous aurons, par la
formule (7') :
At' = (fi^i)tt -♦- (A«Jff)T, .* -♦- (f4)n„ (9)
en représentant par /u!?^.2, ^uj^j, ... /x", des quantités analogues à /z.^, ... /z^.
Soit TT^, la source du covariant AW ; n^ est nécessairement une fonction
linéaire de ?:«, tt^, ... tt^; sa transformée n^ s'obtient en remplaçant, dans le
second membre de Téquation (9), les quantités or., y,^ ... u;., par a^ , a,«, ...a.„
(§ IV). Nous aurons donc
puis :
en posant
«
X. Nous établirons que Ton /^eti/ exprimer P — Ilo au moy^n de s com-
binaisons linéaires rfe qi, q,, ... q,, ^i^ ••• »f/-
Si nous admettons Tinverse, P — n^ est une fonction linéaire, irréduc-
* Cette propriété correspond à la propriété des semi-invariants de première espèce,
qui est exprimée (§ VIII) par la formule
r, = 09.
(Voir notre travail cité plus haut.)
46 SUR LES TRANSFORMATIONS LINÉAIRES
tible àe s + k, {k > 0), quantités o),, u^y ... (ù,^^y telles que
a = pi^i -♦- ^9, -4- • • • -f- o,q» -4- a^Xf -♦-•••-*- ff,T| (40)
(les lettres p, q représentent des facteurs numériques).
Les transformées ù^y ù^y ... ù^i, des quantités &> s'écriront
Dans notre supposition {k > 0)^ on peut toujours obtenir une combinaison
linéaire 9(0) des quantités ù^^ iX^y ... Q,^ky de telle manière que Ton ait :
,>(n) = 5c[ni,n„...nj, • . . . (iV)
«
la fonction x contenant seulement^ et au premier degré^ les quantités n^,
Ils; ... n,,. En effets désignons par M un déterminant formé des coeffi-
cients de Q,, Qi, ... Q, dans 5 des expressions û,, ûj, ... û.^.|^ [formule (H)].
Si le déterminant M n'est pas nul, on peut satisfaire à la relation (11')
par une combinaison linéaire 9 de ^ + 1 quantités Q. Si, au contraire^
on a M = 0, la formule (1 1') est vérifiée par une combinaison linéaire 9
de s — h quantités Û, (h > 0).
Nous observerons que, dans la formule (H'), la fonction x n^ P^tit pas
être nulle, car les quantités u ont été supposées linéairement indépendantes.
D'un autre côté, P — Ilo est fonction linéaire de &)|, g)^, ... u^^j^ : les transfor-
mées £2 sont donc exprimables linéairement au moyen de &),, u^i ... u.^ (§ II);
en outre, les quantités u s'expriment en fonction de
parles formules (10). En conséquence, nous pourrons remplacer l'équation
(11') par :
x[nf» n,, ... n,] = ♦(94, 919 ... ?.» *•!,... «"i)»
^ étant une fonction du premier degré.
Précédemment, nous avons établi cette propriété : « la transformée de
ET LA THÉORIE DES CO VARIANTS. i7
toute combinaison linéaire de n^ , tt,, ... tt^ s'exprime nécessairement au moyen
de TTi . 0 Celte propriété n'est pas vérifiée dans notre dernière formule ; en
effer^ d'après les conventions admises^ la quantité n, n'est pas fonction
linéaire de (ix^q^y ••• ^^ ^t> •••tt^.
Il résulte de tout ceci que Ton ne peut pas supposer k > 0; P — IIq est
donc exprimable au moyen de s quantités ui, &),» ...o).. Du reste^ il ne peut
exister aucune réduction pour le nombre s de termes : en effets U^ étant fonc-
tion linéaire de Tr^^ tt,, ... tt/, (9')^ P serait exprimable au moyen de quantités
en nombre inférieur à « 4. / = r. Cette conclusion serait contraire à la
supposition faite au commencement de ce travail.
XI. D'après ce qui précède^ nous écrirons
p — Ilo ■= ^1», -4- f«U, -*-•••-!- tj»t :
e, , t^y ... e. sont, des fonctions des éléments a du module de transformation d\
0), , 0),, ... 6). sont des fonctions du premier degrés à coefficients numériques^
formées au moyen de 7,, q^y ... q,^ n^^ tt,, ... n^.
Nous pouvons supposer l'une des quantités &) égale à la fonction p — tt^ ,
qui a pour transformée P — IIo : en prenant (ài=p — n^ , nous aurons :
La fonction p est donc égale à la source it^ du covariant AW, augmentée
d'une quantité (k), , dont la transformée s'exprime au moyen de s termes (.<$< r).
De la même manière^ la fonction u, est égale à la source d'un covariant
A,¥{y augmentée d'une quantité^ dont la transformée s'exprime au moyen
de t termes (/ < s) *.
Par des réductions analogues, nous obtenons ce résultat : la fonction p,
* A| désigne une opération analogue à Â, c'est-à-dire réductible à des opérations polaires,
pour les variables x\ y\ ... w\ x, y, ... w.
4^1 est un covariant analogue à W : il a pour source un semi-invariant de première espèce
analogue à tt, : le covariant ^1 s'obtient en remplaçant dans ^1 les variables x^ y^ ...w
parx', y\ ... tv'.
Tome Li. c
:À
18
SUR LES TRANSFORMATIONS LIINËAIRES
^ui est quelconque, est une somme de sources de covariants analogues à AV ;
en d'autres termes, tout covariant [p], de poids zéro à n séries de variables,
est une somme de covariants AW'.
XIL D'après les résullats rappelés au paragraphe VI, le covariant Y est
le produit d'une puissance de 1± ar,^, ... w^y par un covariant ^o relatif
an — 1 séries de variables
(y) yi y«
•
... x„
0)
(2)
• • • •
(il) t/| tl,
•
... ti„
(A)
•
• • • •
(v) V, t?.
... V,
•
(n-
Le covariant Wq a pour expression symbolique une fonction entière de
déterminants A^, A,, ... A„_,, d^ d'ordre 1, 2, ... n — i, n. Les déterminants
A^, (1 < A < n — i) sont analogues à
Qg Uy ... a.
bg bp ... 6,
ils ont pour éléments des formes linéaires rapportées successivement à
chacune des h premières séries de variables : (x), (^) ... (u). Les détermi-
nants i^y d'ordre n, sont formés des coefficients de n formes linéaires: ils
sont analogues à
fli a« ... a,
6| 6, ... 6,
l| H ... I„
Du reste^ les différents déterminants A ei â ne doivent pas nécessairement
se rapporter aux mêmes formes a,, b^, ....
ET LA THÉORIE DES COVARIAINTS.
{9
Nous désignerons les covariants Yg sous le nom de covariants primaires.
Ainsi, par exemple,
a%
1
Ot
b,
Ci
a.
o»
*
fll
b.
Cl
à.
b.
«8
65
Ci
est l'expression symbolique d*un covariaDt primaire pour h = 3.
D'après la définition précédente^ le covariant W' est le produit du cova-
riant primaire ^f^Çx'y' ... v') par une puissance du covariant identique
2 ^ ^{^i*-- ^n* Li^ fonction A¥' est par suite égale à une puissance de
1 d= x^y^ ... îv,, multipliée par une somme de polaires du covariant primaire
^0 (^'^' *•• ^0* ^^ conséquence, le dernier théorème que nous avons obtenu
peut s'énoncer de la manière suivante : Tout covariant [p], de poids zéro^ à
n séries de variables (x) (y) ... (w), est une somme de produits de puissances
du covariant identique (xy ... w) et de polaires de covariants primaires y
relatims aux variables (x), (y), ... (w).
On déduit immédiatement de là^ cette proposition plus générale mais
moins précise : Un covariant, de poids zéro, contenant n séries de variables
(x) (y) ... (w) et d'autres séries analogues, est réductible à des puissances
de{\y ... w); multipliées par des polaires de covariants indépendants des
variables w *.
Considérons maintenant l'expression symbolique d'un covariant de poids
zéro : nous aurons pour cette expression symbolique, les mêmes réductions
que pour le covariant lui-même. La loi de réduction n'est pas altérée, si l'on
multiplie l'expression symbolique du covariant par un produit de détermi-
nants symboliques, analogues à J„ (c'est-à-dire, analogues k 2 ± afi^ ... Q.
En conséquence, les propriétés indiquées ci-dessus se vérifient encore pour
les covariants qui ne sont pas de poids zéro.
* Cette proposition conduit immédiatement à ce théorème énoncé par M. Capelli :
« Tous les covariants sont réductibles à des covariants identiques multipliés par des polaires
de covariants à n — 1 séries de variables. » Le théorème de M. Capelli est établi dans un
beau mémoire publié en 1S83 (Memorie délia R. Acad. dd Liticei, série 3% vol. XII).
20 SUR LES TRANSFORMATIONS LINÉAIRES
D'après cette remarque^ notre dernier théorème conduit à cette proposi-
tion générale : Tout covariant, à un nombre quelconque de séries de
variables, est une somme de produits de covariants identiques, par des
polaires de covariants primaires.
Nous croyons utile de faire observer que les polaires^ dont il s'agit dans
renoncé^ se rapportent directement aux variables et non pas à leurs combi-
naisons.
En terminant^ nous indiquerons une conséquence intéressante de noire
théorème de réduction pour les covariants [/?] de poids zéro^ à n séries de
variables a?, y, .•. w.
Le coefficient des plus hautes puissances de ^ly y^yZ^, ... w^, dans un
covariant [/?], peut être considéré comme une quantité quelconque (§ IV):
d'autre part^ dans une polaire de covariant primaire, le coefficient analogue
est une somme de coefficients de ce covariant primaire. Il résulte de là, que
toute fonction entière des coefficients de formes algébriques est une somme de
coefficients de covariants primaires.
Si Ton suppose n •== % les covariants primaires sont les covariants à une
seule série de variables Xi,x^: on retrouve alors une propriété que nous
avons établie dans une Note sur les semi-invariants de formes binaires.
(Mémoires de la Société royale des sciences de Liège, 2'"'' série, tome XV.)
ET LA THÉORIE DES COVARIANTS. 21
ADDITION \
Dans le dernier paragraphe^ nous avons obtenu le covarianl primaire %,
en divisant le covarianl Y par une puissance de (xyz .. w) : en conséquence,
la source 1:^ du covarianl W est aussi la source du covariant primaire ^^ **.
Reprenons la formule (7') :
nous supposerons que le covariant ^ a la détermination la plus générale;
les quantités (gJ, (6^), ... (^/) sont fonctions des variables x,yy ...w; les
multiplicateurs ^i^ t,, ... ir^ sont fonctions des coefficients de formes algé-
briques aux variables x^ y x^, ... â?.; du reste, les multiplicateurs tt sont réduits
au plus petit nombre possible.
Nous avons établi (§ VIII) que «( toute combinaison linéaire de n^y n^, ... tt/
a pour transformée une expression contenant nécessairement tti » . Cette
propriété des multiplicateurs ^oTt^, ... tt^ n'est pas altérée, quand le cova-
riant Y a une détermination particulière. En effet, les propriétés des trans-
formations linéaires dépendent, non pas des valeurs des quantités transformées,
mais de leur mode de formation générique. Les considérations précédentes
nous permettent d'énoncer ce théorème : Si une fonction linéaire des coeffi-
cients d^un covariant primaire n'est pas nulle identiquemefit (^d'après le mode
de formation des covariants primaires), celte fonction linéaire a pour trans-
formée une expression qui contient nécessairement la source n^ .
* Cette addition a été motivée par de nouvelles recherches sur la théorie des formes à
un nombre quelconque de séries de variables.
La source est le coeflBcient des plus hautes puissances de Xt^ yt, z^^ ... w^.
A*
Â
M SUR LES TRANSFORMATIONS LINÉAIRES, etc.
Au moyen de ce ihéorème^ nous démontrerons la proposition suivante :
Entre les coefficients des covariants primaires linéairement indépendants,
il ne peut exister aucune relation du premier degré, qui ne résulte pas du
mode de formation général des covariants primaires.
Considérons^ en effet, des covariants primaires ^o^, ^o*^, ... linéairement
indépendants : contrairement à l'énoncé, supposons entre les coefficients une
relation du premier degré, U = 0, qui ne résulle pas du mode de formation
général des covariants primaires. La transformée V de la fonction U sera
nécessairement nulle et^ d'après ce qui précède, elle doit s'exprimer au
moyeu des sources des covarianis primaires ^J', ^o\ ... D'autre part, la relation
V = 0 se partage en relations isobariques entre les coefficients des divers
covariants; l'une au moins de ces relations contiendra seulement, et au premier
degré, les sources de quelques-uns des covariants primaires ^ô^ ^o^ *•• *• Ainsi,
les covariants H^J^ ^o^ — "^ seraient pas linéairement indépendants, comme
nous l'avons supposé.
Par suite, on ne peut pas admettre l'existence d'une relation linéaire U = 0 :
notre proposition est ainsi établie.
* Supposons-que la source d'un covariant primaire ^o a pour poids : m«, m«_i,...mi, m,,
relativement aux indices n, n — 1, ... 2, 1 : il n'existe aucun coeflScient de ^o qui ait pour
poids mi, m,, ... ni/, m/+i -*- ^(e> 0), relativement aux indices 1, 2, ... i, t » 1.
Soit M| le maximum des valeurs de m, , correspondantes aux covariants Wj^*\ W)^, ... ;
soit M| la plus grande valeur de m^, qui se trouve associée à mi = Hi ; etc.
En considérant, dans Téquation V«0, les termes de poids H., M«.|, ... Ht, M|, on
obtiendra une relation linéaire entre les sources de certains covariants de la suite Wi\
W,\ etc.
c ^o
SUR
LA LOI DE FORMATION
DES
FONCTIONS INVARIANTES;
PAR
Jacques DERUYTS,
charge: de cours a l'univbrsitb de liège.
(Mémoire préseolé k la Classe des sciences, dans la séance du 4 mai 1889.)
Tome LI
SUR
LA LOI DE FORMATION
DBS
• FONCTIONS INVARIANTES.
1 . Dans un travail récent « Sur les Iransformalions linéaires et la théorie
des covariants » nous avons établi cette proposition : Pour un système de
formes à n variables, tout covariant, à un nombre quelconque de séries de n
variables cogrédientes , est une somme de covariants identiques multipliés
par des polaires de covariants primaires.
Représentons par
W, (y), W ... (0. W ••• H H.
(0
n — 1 séries de variables cogrédientes * ; les covariants primaires sont
caractérisés par leur expression symbolique qui est fonction entière de
déterminants A,, A^, ... A„_|, ^„, d'ordres 4, 2, 3, ... n — 1, n, définis
comme il suit : Les déterminants A, sont analogues à
Ctg flty ttg ...
r, r, y, ... r«
ils ont pour éléments i formes linéaires rapportées successivement à chacune
Les notations (a;), (y ),... représentent les séries de variables (Xi,a;«,...a;J; (yi,yt9...i/n)> -••
SUR LA LOI DE FORMATION
des f premières séries de variables de la suite (1). Les délerminanls d^^ sonl
analogues à
A.
Ai
. • . x^
f^î
f^%
... /£.
•
• •
• • • *'■
• • •
ils ont pour éléments les coefficients de n formes linéaires.
Nous nous proposons actuellement d^établir une méthode pour former
les covarianis primaires. D'après le théorème rappelé ci-dessus^ la recherche
des covariants est ramenée à la recherche des covariants primaires.
Le résultat que nous avons en vue donnera donc la loi de formation de
tous les covarianis à un nombre quelconque de séries de variables; il
permettra aussi de former toutes les fonctions invariantes; on sait en effet
que les divariants et les contreva riants sont des covariants (ou invariants)^
quand on considère les variables contragrédientes comme des coefficients de
formes linéaires.
Pour atteirrdre notre but, nous aurons à faire usage de différentes propriétés,
que nous établirons dans la première partie de ce travail.
2. Théorème. — Un covarianl S, aux n — 1 séries de variables (x) (y) ...
(t) (u) ... (w), esl un covarianl primaire, quand il n'est pas modifié par le
changement de yj, Zj, ... Uj, ... Wj en yj + 6'Xj, Zj+ e"yj, ... Uj + ff-'"*^tj, ...
Wj + 0^""*Vj; (9' y ô", ... e^'""'V- ^"""*^ sont des constantes et / a les valeurs
i, 2, 3, ... w).
Nous rappellerons d'abord qu'un covariant S — S(a7, y, ... w) est complè-
tement déterminé par le coefficient du terme contenant les plus hautes puis-
sances de a?,, y,, z^^ ... /,«i, w,, ... v^.j, m;„_| *; le coefficient dont il s'agit
* Nous représentons par (t) et (u) la (f — l)**"* et la t'*"* série de variables, comprises
dans la suite (x), (y), ...(w) : nous conserverons cette notation dans tout ce qui suit.
DES FONCTIONS INVARIANTES.
S
est ainsi la source du covariant S : nous le représenterons par Su. Désignons
par (jy ao, les expressions symboliques de S et de So : l'expression a est une
fonction entière de formes linéaires
'*jf » *f > • • • 'y »
(2)
et de déterminants J,, d'ordre n, composés des coefficienls de n formes de la
suite A,, k^ ... Z^..
Cela posé, on a d'après les conditions de notre énoncé :
r/S dS dS fis ^^
x---=0, t/-— = 0, ... /— - = 0, ... t;---=0 .
dy -^ dz du dw
. . . (3)
En considérant comme des variables les formes du tableau (2), nous
pouvons remplacer les équations (3) par :
da
dh^
da
K
k
dt
, d<T
... + /,-— =0,
dl^
'dh, UK
d(T
+ 'r— =0,
dff da I do"
da dd da
dh„ dku, dl.
{*)
'w
Remplaçons dans ces équations les quantités
h k l ' h k /• h k l ' ' h k l
On a
dS dS dS
X — ^ X| — -»- a? , —
<*y dyi ^y%
dS
X
« 3 »
dS
dS
les notations y^, ... f^, etc., s'interprètent d'une manière analogue,
du
SUR LA LOI DE FORMATION
par
"1» *^li ••• MÎ **«> *f> ••• '«» ••• "rfi */» ••• ^*î •••! ••«— Ij *»-li ••• •«— i»
D'après celle Iransformalion^ il faut substituer à a Texpression symbolique a^
de la source So ; les dérivées if» • :ïr» •• ;ïrî
d<r du dff dff t . ^ .^ -,
d^' * rfÂ^' • dT' ST • "^'vent être remplacées par
2
dffo dâ^ dffo
d$„dh,' dh,^ ^dâ, dh.^;
2à AJt
d(TQ dâ„
dk, ^dS," dkt
dans ces expressions^ la sommation doit s'étendre aux déterminants i^^
d'ordre n^ qui servent à représenter a^ (d'après la valeur a indiquée ci-dessus).
En conséquence^ les équations (4) conduisent aux formules
K
dat
dh
k,
dco
♦+i
dk
-\- •*• -k" If
dffo
i+i
di
2d(To /, di^
d^S'dhZ
dâ
(i = 1,2,3,...n-2);
dk
f<
di.
<+!
dt.
H-l
)=o.
la deuxième parlie du premier membre est identiquement nulle^ d'après une
propriété élémentaire des déterminants; on a donc :
A,
rfffu
dk
k,
d<r^
dÂT
1 = 1,2,3,..., n
dli^i
2î
(*')
d'autre part, l'équation (4') a encore lieu pour i «■ « — 1, d'après l'ex-
pression du symbole a.
Il résulte de là que gq est une fonction entière de déterminants d^, d'ordre
i =^ i,%S, ... n, analogues à
A| A] ... h^
et composés des i premiers coefficients de t formes linéaires A^, k^ ...*.
* Voir notre travail Sur la généralisation des semi-invariants (§§ II et IX) : dans ce travail,
les équations (4') sont représentées par (t h- 1, tjSo^^ 0.
DES FONCTIONS INVARIANTES. 7
D'après la définition des covariants primaires (§ 1), l'expression symbolique
Go représente la source So d'un covarianl primaire. Par suite, S est un cova-
rianl primaire, ainsi que nous Pavons annoncé.
Remarque. — Gomme nous Pavons fait antérieurement, nous désignerons
sous le nom de semi-invarianl de première espèce, une fonction analogue
à So^ exprimable symboliquement comme somme de produits de détermi-
nants (},, (i = 1, 2, ... n). Les produits dont il s'agit contiennent (tt, — tt^,)
déterminants d;, si tt, est, pour l'indice t, le poids du semi-invarianl de
première espèce *; de plus, le covariant primaire correspondant contient
les variables u,, u„ ... u„, au degré tt, — tt^. Ces propriétés sont établies
dans le travail que nous avons cité ci-dessus : nous en ferons usage dans
la suite.
3. Représentons par I une fonction invariante I f— , —, .. — J, contenant
respectivement aux degrés a, /3, ... y les dérivées —. —, ... — , (i=4,2, ...n)
d'une fonction invariante J, quelconque et indéterminée.
On pourra supposer que la fonction I contient en outre des quantités
indépendantes de J. Nous démontrerons le théorème suivant :
On déduit de 1 (^' ^. •• ^) une fonction invariante, en remplaçant les
produits de déivees premières de J par les dérivées multiples correspon-
dantes d'une fonction invariante J, .
Désignons par P les produits
\dxj \dxj \dxj \dyj \dyj \dwj \dwj
en supposant
Représentons par [P] les dérivées multiples correspondantes de J| , savoir :
[P]
dx^'dx^K.. dxt"dyf'.., d^\..dwX'... rfw^
* On doit prendre n^i = 0.
8 SUR LA LOI DE FORMATION
On vérifie la propriété d'invariance de la fonction 1, eu faisant seulement
usage des relations qui existent entre les quantités P et leurs transformées
par une transformation linéaire des variables. Par suite, nous démontrerons
le théorème énoncé, en établissant que les séries de quantités P et [P] sont
cogrédientes. D'autre part, le mode de transformation linéaire des dérivées
et de leurs produits est indépendant de la fonction soumise aux dérivations.
Il nous suffira donc de vérifier que les quantités P et [P] sont cogrédientes
pour une détermination particulière de J et de J, ; toutefois, il faudra qu'il
n'existe, dans ce cas particulier, aucune relation linéaire entre les différentes
quantités P ou [P]. Cette condition est réalisée, si l'on prend
J «r aj)^ ... c, J« = -— ofôf ... ti,
a! pi ... y!
a^, 6y, ... /„ étant des formes linéaires. D'après ce choix des fonctions J,J„
les quantités P et [P] sont cogrédientes des produits
Par suite, les quantités P et [P] sont cogrédientes dans le cas général :
c'est le résultat que nous voulions obtenir.
4. Covariants primaires dérives. — Prenons pour J, un covariant quel-
conque aux séries de variables (x) (y) ... {w); nous représenterons par f
une forme relative aux variables XiX^ ... x^. Soient ri^r^y ... r„ des nombres
entiers, positifs ou nuls, dont la somme est égale à l'ordre de la forme f.
Soient m„ m,, ... m„_| les degrés du covariant J, par rapport aux séries de
variables (x) [y) ...(w). Nous supposerons
t«=i,2, 3, ... n— 4
......
* Les quantités P, [P] et p sont identiques; il en est de même de leurs transformées,
par toute substitution linéaire des variables cogrédientes {x)(y) ... {w).
** On doit faire m« = 0.
DES FONCTIONS INVARIANTES.
Gela posé, considérons la fonction
R(J) =
df
dXi
df df
dxt '" dx„
Tk
c/J
di di
dxi
dx, ax„
• ■ • #
X n:=i
di
di di
dw,
dwt '" dw„
df df df
dx dx dx
dl dâ di
X — y — z —
dx dx dx
•■•
w -i- di di
u
di di
di
X — V — z —
dy ^ dy dy
di di di
di ^ dt dt
u
df
dx
u
di
dx
di
•
dy
di
dt
dx
^y
^ dx
di
• •
• ••
—
dx
di
di di
^dH ^dii
u
di
du
H
Il est visible que R(J) est un covariant. Nous représenterons par [R(J)] la
quantité obtenue en remplaçant, dans R(J), les produits de dérivées de f et
de J par les dérivées multiples correspondantes des mêmes fonctions; d'après
le dernier théorème que nous avons établi, [R (J)] est un covariant.
,(«-«]
«^;
Remplaçons y,z,...u,...îc; par y 4-*'^,2 + 5"y,...w+*^*~'^^•••w^+^
l'expression de R (J) n'est pas modifiée, si Ton convient de regarder les
produits de dérivées de /* et de J comme des constantes. D'un autre côté, on
vériGe au moyen des formules (5), que les dérivées de f et de J, contenues
dans [R(J)], sont indépendantes des variables (y), (^), ... {w).
D'après ces remarques, et d'après le mode de formation de R[(J)], cette
quantité n'est pas modifiée, quand on remplace y, z, ... u; par y + 0'ar,
^ + 5"y> — ^ + O'"'*'!;. Suivant un théorème établi ci-dessus (§ 2), la
quantité [R(J)] est un covariant primaire : nous dirons que [R(J)] est un
covariant dérivé de la forme feX du covariant J.
La source [R (J)]o du covariant [R(J)] s'obtient en remplaçant les produits
de dérivées de J et de f, par les dérivées multiples correspondantes, dans la
fonction
Ro(J) =
i
/tt.lr,!
^^i dyt du^S
df df
df
dx,
dx.
dXi
di
di
di
dxi
dx.
dxi
di
dyi
m »
di
dyt
» •
di
dyi
• • •
(//, du
r.
(6)
ToaiB Ll
II
10 SUR LA LOI DE FORMATION
il suffît d'observer que, dans le covariant [R(J)], les dérivées mulliples
de /* et de J contleonenl les variables (a?) aux degrés r, et /a^ .
n
5. Désignons par <|;o9 l'expression symbolique d'un semi-invariant de
première espèce % : soit p,, le poids de ^/.^ pour l'indice i; ^^ est expri-
mable comme somme de produits de /), — pi^^ déterminants J,, d'ordre
ï = l,2, 3, ...w. (§ 2. — Remarque.)
Nous supposerons que ^^ contient des coefficients de la forme a^y qui
représente symboliquement la forme /* d'ordre A. Soit G„, la suite de ces
coefficients, qui sont analogues à af«a^ ... a^, (A, + Aj H h A„ = A).
Nous désignerons par G„_i , la suite des éléments de G„, dont le poids An pour
l'indice n a la valeur maxima f\. Considérons de même les suites G„.i ,
Gn-i^ ... Gy^i, Gy, ... G,, définies par celle condition que G^ est formé des
éléments de Gy^.,, dont le poids A^^., , pour l'indice/ + 1, a la valeur maxima
'j4.i- Le groupe G, contient un seul élément a\'a^^a!> ... a-^ ... o^" : nous dirons
que cet élément est le coefjicienl principal de a^ dans t^^ .
Soit To, la fonction par laquelle le coefficient principal a\%* ... <' se trouve
multiplié dans l'expression symbolique ^^ : la fonction r^ représentera sym-
boliquement un semi-invariant de première espèce. D'autre part, le multi-
plicateur de a;...a-_;ay'a-;tî...ali% dans ^^j est un semi-invariant de formes
binaires aux variables j?,, a?,^, : il a les poids /?, — r,, j»,^,, pour les indices
i, I + 1 ; on a donc :
Pi — Pi^i — rtyO (7)
Le covarîant F, qui a pour source Tq, représente symboliquement un
covariant primaire C, du degré t — 1 par rapport à ^ si le semi-invariant W^
est du degré t^ par rapport à cette même forme f.
Le poids de Tq, pour l'indice i, a la valeur />, — r,; d'après la remarque
indiquée au paragraphe 2, le covariant primaire C contient les variables
u^f tij, ... u„ au degré
m, = Pi — p, — »'i — r,.
DES FONCTIONS INVARIANTES.
11
Les nombres iii^nii — m,^^, — r,^, sont égaux à /?, — pi^^ — r, et
d'après la formule (7)^ ils sont positifs ou nuls.
Les formules (5) sont donc vérifiées, si Ton fait J=C, et nous pouvons
appliquer au covariant G les résultais obtenus pour le covariant J (§ 4^).
Ainsi, [R(C)] est un covarianl primaire et d'après la formule (6), la
source [R(C)]o est représentée symboliquement par
Po
«1
Qf . .
Oi
d
d
d
clx,
dr, "
dxi
A! „ .1^ d d
-— n-;-! Szfc — —.
tt.lr,! ( r/af-, dy.
d
dyi
d
d
d
s 9
d
• ■ •
d
dt,
dt^
' du
r.
Dans cette expression po, le coefficient principal de a^ esta^'cf^^ ••««% si ce
produit est multiplié par une quantité V différente de zéro. Cette condition
se trouve réalisée, ainsi que nous allons le démontrer.
On a
V = ifc
A!
A«i!r,!
ar,,
en prenant
d d
( dxi dx, dUi )
d fi^x-^f^i
En développant les déterminants, on trouve
a =^1:^1
j»i|-* mj'4-— +m«— I
f/jrf«(/jî« .. dx^:L-i'dy('dy(* . dyCl'i' -- dwj^dwp .,. dw^^lr'
. (8)
dans cette formule, >? désigne un facteur numérique; la sommation s'étend
aux systèmes de nombres e, /*, ...q déterminés par les relations
ei -♦- f,-»- — C,_4«=a|W4, fx -^ ft-^ •" -^ fn-i =»»î» -i Çl "♦- 9« "♦- "• "♦- ?,-l=Wl,.|.
12 SUR LA LOI DE FORMATION
D'après Texpression symbolique des covarianls primaires d'ordres m^^
m,, ... '/y«n-i> pâï" rapport aux variables x, y ... w, on a ûr = Tq.ûU, si
Ton représente par U le produit
On a
U = Svx^x^...x^.7*î^«yf•...yt7^..tl?M•...tcîV, (9)
en donnant aux lettres Yjy e, ^ ... q, les mêmes significations que dans la
formule (8).
Au moyen des formules (8) et (9)^ on obtient :
La quantité QU a donc une valeur =b z^-^ différente de zéro.
D'après les relations^ V « =1= -7^^^^ ^r = ToûD, le produit a^'a^^* ... 0;;"
se trouve multiplié par ÇFo dans le semi-invariant p^. Le résultat^ que nous
venons d'obtenir, peut s'exprimer comme il suit :
Dans les semi-invariants de première espèce ip^et -po, fc coefficient prin-
cipal de aj^ est le même et il se trouve multiplié par la même quantité Fq .
6. Prenons ^^ — ; Po = M^l l'expression ^[, représente symboliquement un
semi-invariant de première espèce : elle contient, comme coefficient principal
de a^^ un produit a\''a^;* ... <«« diiïéreni de a^a? ... <".
Si l'on a
«
on a nécessairement r, ,j_^_, < r^_^_,.
D'après ce qui précède, on peut écrire : if i — p^ ^ ^\!l ; dans cette formule^
Pq est l'expression d'un certain semi-invariant analogue à - pç^\ ^^ est le sym-
bole d'un semi-invariant de première espèce. En continuant le système de
notations^ on aura
h — po = 'f'oî *o — po — W » elc.
DES FONCTIONS INVARIANTES. 43
Dans le cas général^ nous écrirons
^(-«)_pi;-«)=^^i'),
el nous aurons par les réductions successives :
Soil
i
«1 U| ... a, ,
le coelTicient principal de a^ dans la fonction if/^^; les nombres r,,, r.,, ... r
jouissent des propriétés suivantes :
1** on a
2"" on ne peut pas avoir
'*«+•,« — 'V«ï ''«■1-1,»=" ^j,»î • • '^•'♦-i,» ■"= '"».
M >
3"* en supposant seulemenl :
on a
Ces propriétés résultent d'une remarque faite ci-dessus^ pour les nombres
Tiy r^i : elles nous permettent d'établir que, pour une valeur suffisamment
grande de s, on a (pif^ =- 0.
Dans la supposition inverse, r,„ décroit jusqu'à zéro ou bien reste constant
et différent de zéro, à partir d'une certaine valeur de s [s »» s^) : d'après la
troisième des propriélés indiquées ci-dessus^ le nombre r, n-i, pour s > .s',
* Cette réduction est analogue à celle que nous avons indiquée, pour les semi-covariants
de formes binaires : Développements sur la théorie de^ formes binaires (Bull, de l'Acad. roy.
DE Belgique, 1887).
U SUR LA LOI DE FORMATION
décroit jusqu'à zéro^ ou bien conserve une valeur constante, et différente de
zéro, à partir d'une certaine limite *. On obtiendra de proche en proche, la
même conclusion pour r,n-%y ^, «-s, ... ^h- Nous aurons ainsi, pour une
certaine valeur de s :
ces égalités ne peuvent pas avoir lieu, d'après la deuxième propriété des
nombres r^, indiquée plus haut. Par suite, le résultat que nous avions en
vue se trouve établi.
Il résulte ainsi de la formule (10), que la fonction ipQ est une somme de
quantités analogues à pQ.
Les expressions <|/o, p^ représentent symboliquement les semi-invariants
de première espèce ^o ^^ [R(C)]o. D'autre part, Yo et [R(C)]o sont les sources
de covariants primaires m et [R(C)]; le covariant primaire ^ est tout à fait
quelconque : il est du degré / par rapport à la forme f; [R(C}] est un cova-
riant primaire dérivé de la forme f, et d'un covariant primaire C du degré
/ — 1 par rapport à la forme /'.
En conséquence, nous pouvons énoncer le théorème suivant :
Tout covariant primaire W, de degré t pour une forme f, est une somme
de covariants primaires dérivés de la forme f et des covariants primaires C,
du degré t — 1 par rapport à f.
Par des applications successives de c^ théorème, on obtiendra tous les
covariants primaires d'un système quelconque de formes à n variables **.
C'est le résultat que nous avons annoncé au début de ce travail.
7. En terminant, nous donnerons un exemple des transformations indi-
quées aux paragraphes 5 et 6.
* Dans les deux cas, r«« et r«.-i ont des valeurs constantes, quand s dépasse une certaine
limite.
** La forme /"est le seul covariant primaire, du premier degré par rapport à /*, et indé-
pendant des coefldcients d'autres formes.
DES FONCTIONS INVARIANTES.
15
Prenons, dans le cas de formes ternaires :
Le coefficient principal de al est a^ai (r, = 1, r^ = 0, rj = 1); ce
coefficient principal est multiplié par le semi-invariant de première espèce
lequel est la source du covariant primaire
r =
6. b.
K h,
d, dy
(hid^i).
Les degrés du covariant r, par rapport à {x)y (y), sont m^ = 2, wj^ = 2 ;
on a, [formule (5)] :
puis :
On obtient
/*! = 0, A«i = I ;
Po=^2at
fll
rt«
as
r/
rf
(i
r/xi
dxt
^/-Cr
d
d
(/
%i
(lyt
<y5
\dxidyi dx^iyj
i2a, (6,c) (016^5) (61^*65) -f- 12a,(6,rf,) (a,6,C5) (Mies).
i 1
le coefficient principal de a\ dans la fonction (p^ est a^a^^ d'où
r„=l, rrt=r=|, r,5 = 0.
En prenant
r'«-t.(6Ac3){6.rf,c5),
46
SUR LA LOI DE FORMATION, etc,
on trouve pour le semi-invariaut^
Po
— Cl
a.
Ol
df
dxi
df
dx.
On a donc
puis
^ = — - 0, {a fit) (6,d,c,) (b^difii).
Vo^ pi.
^•=^-*-Po-
Ainsi, le semi-invarianl représenté symboliquement par \p^^ est ramené aux
sources de deux covarianis primaires dérivés de covarianls primaires.
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